专题1.7 有理数的混合运算（高效培优讲义）数学湘教版2024七年级上册

专题1.7 有理数的混合运算 教学目标 1. 深入理解并进一步掌握有理数的运算法则和运算律，如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律与分配律等。 2. 能够准确、熟练地依据有理数运算顺序进行混合运算，明确先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的规则。 3. 通过练习与思考，提升自身运算能力，培养严谨、细致的数学思维习惯 。 教学重难点 1.重点 （1）牢固掌握有理数混合运算的法则，清晰区分不同运算的优先级。 （2）能正确且熟练地按照有理数运算顺序，进行加、减、乘、除、乘方的混合运算，确保计算过程和结果的准确性。 2.难点 （1）在复杂的混合运算中，灵活且巧妙地运用运算律，对算式进行合理变形，实现简便计算，提高运算效率。 （2）准确处理运算中的符号问题，避免因符号错误导致计算失误，尤其是负数参与运算时 。 知识点01 有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【即学即练1】在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，需按照运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，逐一验证各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：甲： 正确步骤：先算乘方，再算除法，最后减法，甲错误， 乙： 正确步骤：括号内先算乘方，再算乘法，最后减法，乙错误， 丙： 正确步骤：先把除法变成乘法，再用乘法分配律得，丙正确， 丁： 正确步骤：先算乘方，再从左到右依次运算：，接着，丁错误， 综上，只有丙的计算正确， 故选：． 【即学即练2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键． （1）根据混合运算的法则和顺序，进行计算即可； （2）根据混合运算的法则和顺序，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【即学即练3】阅读下面解答过程． 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)上面解题过程存在错误，是从第______步开始错误的； (2)上面解题第二步运算的依据是______； (3)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)有理数的乘法分配律 (3)30 【分析】本题主要查了有理数的混合运算： （1）根据有理数的乘方计算，即可求解； （2）根据有理数的乘法分配律解答，即可求解； （3）根据有理数的混合运算计算步骤计算，即可． 【详解】（1）解：上面解题过程存在错误，是从第一步开始错误的； 故答案为：一 （2）解：上面解题第二步运算的依据是有理数的乘法分配律； 故答案为：有理数的乘法分配律 （3）解： 解：原式 ． 题型01 有理数四则混合运算 【典例1】计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先算小括号里的加减法，再算中括号里的除法，然后算中括号里的减法，最后算括号外的乘法； 【详解】解： ． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握乘法分配律，是解题的关键．求出的值，然后根据有理数倒数的定义得出结果即可． 【详解】解：原式的倒数为： ， 故原式． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了四则混合运算，先算小括号里的减法，并将除法转化为乘法，再利用乘法分配律算中括号里的加法，最后算乘法即可． 【详解】解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）先算乘除，再算加减，据此计算求解即可； （2）先计算乘方运算，然后计算小括号内的运算，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 题型02 含乘方的有理数混合运算 【典例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键； （1）按照先算乘方、再算乘除、最后计算加减的运算顺序求解即可； （2）先计算乘方、乘法分配律，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是关键： （1）先乘方，再乘除，最后算加减； （2）先乘方，去绝对值，再进行乘除运算，最后算加减． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式2】计算： (1)； (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （3）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （4）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型03 有理数混合运算错题复原问题 【典例3】淇淇在计算时，步骤如下： 解：原式① ② ③ (1)请指出淇淇在第一步中的两处错误原因______、______； (2)请给出正确的解题过程． 【答案】(1)乘方的意义理解错误，除法对加法没有分配律 (2)28 【分析】（1）根据有理数的运算法则可知从①计算错误； （2）根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】（1）乘方的意义理解错误，除法对加法没有分配律； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查含乘方的有理数的运算，解题的关键是掌握运算法则并能够正确计算． 【变式1】计算，小明同学的计算过程如下： (1)请判断小明同学的解答过程是否正确； (2)若你认为小明同学解答过程错误，请写出正确解答过程． 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据有理数的运算顺序进行检验即可求解； （2）根据先乘方，再乘除的运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： ∵表示的是的相反数，即， ∴应该等于，再从左往右以此计算，而不是先算乘法，再算除法， ∴不正确； （2）解： ． 【点睛】本题考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算顺序是解决问题的关键． 【变式2】请帮助小华同学找出下列运算过程中出现的错误． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)小华同学在第______步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)17 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方、再计算乘除、最后计算加减，同级运算中，从左往右依次计算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解此题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： 小华同学在第二步开始出现错误，运算顺序弄错了， 故答案为：二； （2）解： ． 【变式3】小兰在计算：时，步骤如下： 解：原式① ② ③ (1)小兰的计算过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），错误的原因是______； (2)请给出正确的解题过程． (3)计算：． 【答案】(1)①，运算顺序出错；去负括号时，括号内第二项没有变号 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）观察解题过程可知，在第①步计算时，先计算了乘法，而不是先计算的乘方，并且在去括号时，括号内第二项没有变号，据此可得答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可； （3）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，在第①步计算时，先计算了乘法，而不是先计算的乘方，并且在去括号时，括号内第二项没有变号；从而导致后续计算错误， 故答案为：①，运算顺序出错；去负括号时，括号内第二项没有变号； （2）解：原式 ； （3）解： ． 题型04 程序流程图与有理数计算 【典例4】如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先理解运算程序为，把代入进行计算，得，因为得数不符合，故再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， ∴把代入， 得， 故答案为： 【变式1】如图是一个数值转换机，当输入的数字时，按照图中的程序计算，输出的答案为 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 先将代入程序，然后按照程序图计算即可． 【详解】解：根据题意： 故答案为： 【变式2】按如图所示的程序计算，若输入的数值为3，则输出的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的运算．按照程序把3代入进行计算，若小于或等于，再代入计算即可求解． 【详解】解：当输入的数值为3时， ， 故答案为：． 题型05 算“24”点 【典例5】请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的加减乘除运算法则求解即可得． 【详解】解：因为， 所以列出的算式是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】生活情境·24点游戏  有一种“24点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行混合运算，使其结果等于24或．将下面的四张扑克牌凑成，结果是 ．（注：A表示1，K表示13） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式．根据题意和题目中的数据，可以写出一个使得结果为的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，根据题意列出算式即可，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得：或或． 故答案为：或或． 题型06 新定义型有理数混合运算 【典例6】定义一种新的运算“⊕”，规则如下：． (1)______； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算方式运算求解即可； （2）根据新定义的运算方式运算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 【变式1】用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 例如：．试分别计算出和的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、新定义运算等知识点，掌握含乘方的有理数混合运算法则成为解题的关键。 分别根据新定义运算将所求式子化成有理数混合运算的形式，然后再计算即可。 【详解】解：． ． 【变式2】对于有理数m，n，定义新运算“”，规定：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2)76 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算，理解新定义，正确进行有理数混合运算是解题的关键． （1）按新定义表示出算式，再根据有理数混合运算法则进行计算，即可求解； （2）按新定义分步表示出算式，再根据有理数混合运算法则进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，知， 所以的值为8． （2）解：由题意，知， 所以， 所以的值为76． 【变式3】在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据有理数的新定义运算计算即可求解； （）根据有理数的新定义运算计算先求出的值，进而求出的值即可； 本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵， ∴． 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题有理数的减法法则、乘法法则、除法法则以及乘方的意义等知识，掌握以上知识是解题的关键．根据有理数的减法法则、乘法法则、除法法则以及乘方的意义逐一判断即可． 【详解】解：A． ，故选项A错误； B．，故选项B正确； C．，故选项C错误； D．，故选项D错误； 故选：B． 2．在，，，中，最大的数和最小的数的和等于（   ） A． B．5 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算、有理数大小比较 【分析】此题主要考查了有理数的乘方运算，根据乘方运算方法，化简各数是关键． 根据有理数的乘方运算，先化简四个数，即可得出最大数与最小数，即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴最大的数与最小的数的和：． 故选：B． 3．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数含乘方的混合运算，按照有理数的运算顺序与法则依次进行判断即可． 【详解】解：，故甲计算错误； ，故乙计算正确； ，故丙计算错误； ，故丁计算错误； 故选：B． 4．对于任意非零有理数，定义运算“※”如下：，则… 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 5．数学活动课上，嘉嘉同学设计了一个运算程序，当输入任意有理数对时，会得到一个新的有理数．例如：输入数对时，就会得到．现输入有理数对，则得到的有理数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题中的运算程序计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得输入有理数对，则得到的有理数为， 故选：D ． 二、填空题 6．计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 首先计算有理数的乘方，然后计算加法即可． 【详解】 ． 故答案为：． 7．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于4的数，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】倒数、含乘方的有理数混合运算、相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据相反数，倒数的定义，得到，绝对值的意义，得到，然后根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∵， ∴或； 故答案为：或． 8．24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 【答案】 【知识点】算“24”点 【分析】本题主要考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．根据有理数的混合运算可进行求解． 【详解】解：． 故答案为：． 9．在二进制数中，“1101”转化成十进制数为；“11000”转化成十进制数为，则二进制数“111011”转化成十进制数为 ． 【答案】59 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题干给定的方法，列出算式进行计算即可． 【详解】解：二进制数“111011”转化成十进制数为： ， 故答案为： 10．定义一种运算符号“※”： ．例如：，根据定义的运算法则，解决下列问题： （1） ； （2） ． 【答案】 10 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，新定义运算，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）先求出，再求出，即可得出答案． 【详解】（1） ． 故答案为：； （2） ， ． 故答案为：10． 三、解答题 11．在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板演内容解答下面的问题： (1)小明第一步板演中共出现______次错误； (2)请完整的写出此题正确的运算过程． 【答案】(1)2 (2)5，过程见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是关键． （１）根据有理数的运算法则指出错误的地方即可； （２）根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：小明第一步板演中共出现2次错误， 第一次是计算时结果错误，第二次是计算时出现错误， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 12．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先去括号和绝对值符号，再计算加减即可； （2）先计算乘方和括号内运算，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算； （1）先把减法化为加法，再计算即可； （2）先把除法化为乘法，再计算即可； （3）把分母相同的两数先加，再进一步的计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的乘除法则计算即可； （3）利用有理数的运算顺序，先算乘方，再算括号里面的，然后算乘除，最后算加减即可； （4）利用有理数的运算顺序，先算乘方和绝对值，再算括号里面的，然后算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式            ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 15．对于有理数a，b，我们规定运算符号“☆”：，如：． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算顺序和法则是关键． （1）根据新定义进行含乘方的有理数混合运算即可； （2）根据新定义进行含乘方的有理数混合运算即可． 【详解】（1）解： （2） 16．有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答； （2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，； ． 17．如图，数学课上，老师用A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按的顺序运算，则可列算式． (1)直接写出算式的结果； (2)若嘉嘉同学选择了的顺序，请列出算式并计算该算式的结果． 【答案】(1)102 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握含乘方的有理数的混合运算是解题的关键． （1）先计算括号，然后进行乘方运算即可； （2）根据题意列式，计算求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意列出算式为， 原式， ∴所列算式的计算结果为． 18．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方” 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，_____； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以如下所示转化为乘方运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式 _____；_____，_____ （3）请利用（2）中结论计算： 【答案】（1）1；；（2），；（3） 【知识点】含乘方的有理数混合运算、乘方的应用 【分析】本题考查有理数的乘方，新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意，可以计算出所求式子的值； （2）根据题意，可以计算出所求式子的值； （3）先算乘方和除方，再算乘除法，然后算加减法即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 故答案为：1；． （2）； ； ； 故答案为：，； （3） ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 有理数的混合运算 教学目标 1. 深入理解并进一步掌握有理数的运算法则和运算律，如加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律与分配律等。 2. 能够准确、熟练地依据有理数运算顺序进行混合运算，明确先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内的规则。 3. 通过练习与思考，提升自身运算能力，培养严谨、细致的数学思维习惯 。 教学重难点 1.重点 （1）牢固掌握有理数混合运算的法则，清晰区分不同运算的优先级。 （2）能正确且熟练地按照有理数运算顺序，进行加、减、乘、除、乘方的混合运算，确保计算过程和结果的准确性。 2.难点 （1）在复杂的混合运算中，灵活且巧妙地运用运算律，对算式进行合理变形，实现简便计算，提高运算效率。 （2）准确处理运算中的符号问题，避免因符号错误导致计算失误，尤其是负数参与运算时 。 知识点01 有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【即学即练1】在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（   ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【即学即练2】计算： (1) (2) 【即学即练3】阅读下面解答过程． 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)上面解题过程存在错误，是从第______步开始错误的； (2)上面解题第二步运算的依据是______； (3)写出正确的解答过程． 题型01 有理数四则混合运算 【典例1】计算： 【变式1】计算： 【变式2】计算：． 【变式3】计算： (1)； (2)． 题型02 含乘方的有理数混合运算 【典例2】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2) 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 有理数混合运算错题复原问题 【典例3】淇淇在计算时，步骤如下： 解：原式① ② ③ (1)请指出淇淇在第一步中的两处错误原因______、______； (2)请给出正确的解题过程． 【变式1】计算，小明同学的计算过程如下： (1)请判断小明同学的解答过程是否正确； (2)若你认为小明同学解答过程错误，请写出正确解答过程． 【变式2】请帮助小华同学找出下列运算过程中出现的错误． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)小华同学在第______步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【变式3】小兰在计算：时，步骤如下： 解：原式① ② ③ (1)小兰的计算过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），错误的原因是______； (2)请给出正确的解题过程． (3)计算：． 题型04 程序流程图与有理数计算 【典例4】如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ． 【变式1】如图是一个数值转换机，当输入的数字时，按照图中的程序计算，输出的答案为 【变式2】按如图所示的程序计算，若输入的数值为3，则输出的结果是 ． 题型05 算“24”点 【典例5】请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 【变式1】生活情境·24点游戏  有一种“24点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行混合运算，使其结果等于24或．将下面的四张扑克牌凑成，结果是 ．（注：A表示1，K表示13） 【变式2】从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 题型06 新定义型有理数混合运算 【典例6】定义一种新的运算“⊕”，规则如下：． (1)______； (2)求的值． 【变式1】用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 例如：．试分别计算出和的值． 【变式2】对于有理数m，n，定义新运算“”，规定：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【变式3】在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)求的值． 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在，，，中，最大的数和最小的数的和等于（   ） A． B．5 C．6 D．8 3．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．对于任意非零有理数，定义运算“※”如下：，则… 的值为（   ） A． B． C． D． 5．数学活动课上，嘉嘉同学设计了一个运算程序，当输入任意有理数对时，会得到一个新的有理数．例如：输入数对时，就会得到．现输入有理数对，则得到的有理数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算： 7．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是绝对值等于4的数，则的值为 ． 8．24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 9．在二进制数中，“1101”转化成十进制数为；“11000”转化成十进制数为，则二进制数“111011”转化成十进制数为 ． 10．定义一种运算符号“※”： ．例如：，根据定义的运算法则，解决下列问题： （1） ； （2） ． 三、解答题 11．在学习完有理数的混合运算后，老师让小明进行板演，以下是小明板演中的第一步．请根据板演内容解答下面的问题： (1)小明第一步板演中共出现______次错误； (2)请完整的写出此题正确的运算过程． 12．计算 (1) (2) 13．计算： (1) (2) (3) (4) 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．对于有理数a，b，我们规定运算符号“☆”：，如：． (1)计算的值； (2)计算的值． 16．有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 17．如图，数学课上，老师用A，B，C，D四个圆分别代表一种运算，并依据这四个圆设计了数学游戏．例如：若按的顺序运算，则可列算式． (1)直接写出算式的结果； (2)若嘉嘉同学选择了的顺序，请列出算式并计算该算式的结果． 18．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方” 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_____，_____； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以如下所示转化为乘方运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式 _____；_____，_____ （3）请利用（2）中结论计算： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$