2.2 基本初等函数-【高考密码】备战2026年高考数学十年高考真题分类汇编

2.2　基本初等函数 考点1 指、对、幂的运算 1.(2022浙江,7,4分)已知2a=5,log83=b,则4a-3b= (　　) A.25　　　　B.5　　　　C. 【答案】　C　 【解析】由题意知b=log83=lolog23,又2a=5,所以4a-3b=22(a-3b)=22a-6b=(2a)2·2-6b=25×,故选C. 2.(2021全国甲理,4,5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259) (　　) A.1.5　　　　B.1.2　　　　C.0.8　　　　D.0.6 【答案】　C　 解题指导:将L=4.9代入L=5+lg V,结合对数与指数互化,即可求出V的值. 【解析】　将L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V, 即lg V=-0.1=-, ∴V=1≈0.8, ∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C. 3.(2024全国甲理,15,5分,中)已知a>1且-=-,则a= .　　　　.  【答案】64 【解析】　∵-=-,∴loga8-=-, 即3loga2-=-, 设t=loga2,∵a>1,∴t>0, 则3t-=-,整理得6t2+5t-1=0,即(t+1)(6t-1)=0, ∵t>0,∴t=,即loga2=,∴=2,∴a=26=64. 4.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若logab+logba=,ab=ba,则a=　　　　,b=　　　　.  【答案】　4;2 【解析】　令logab=t,∵a>b>1,∴0<t<1,由logab+logba=得,t+=,解得t=或t=2(舍去),即logab=,∴b=,又ab=ba,∴=()a,即=,亦即=,解得a=4,∴b=2. 评析　　本题考查对数式、指数式的运算,注意logab=,先求出logab=是解题的突破口. 考点2 基本初等函数的性质及应用 1.(2024天津,5,5分,易)设a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 【答案】B 【解析】 因为y=4.2x在R上单调递增,且-0.3<0<0.3, 所以0<4.2-0.3<4.20=1<4.20.3,即0<a<1<b, 因为y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增, 所以log4.20.2<log4.21=0,即c<0, 所以b>a>c,故选B. 2.(2024新课标Ⅰ,6,5分,中)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 【答案】B 【解析】当x≥0时,函数f(x)显然是增函数;当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a=-(x+a)2+a2-a,而f(x)在R上单调递增,所以则-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0].故选B. 易错警示:该题容易只考虑当x≥0时,函数f(x)是增函数,及当x<0时,函数f(x)是增函数,从而得到a≤0,而忽视了函数分界点处的函数值大小. 3.（2023天津，3）若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由在R上递增，则， 由在上递增，则，所以，故选D. 4.（2025全国一卷，8,5分）已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能为　　(　　) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 【答案】B 【解析】解法一由题意可得,2+=3+=5+,则-1==2+, 令t1=ln x,t2=ln y,t3=ln z,则-1==2+, ∵ ≈1.4, ≈1, ≈0.6, ∴可令y1=1.4t-1,y2=t,y3=2+0.6t,如图. ①此时t1>t2>t3,即ln x>ln y>ln z,即x>y>z; ②此时t2>t1>t3,即ln y>ln x>ln z,即y>x>z; ③此时t2>t3>t1,即ln y>ln z>ln x,即y>z>x; ④此时t3>t2>t1,即ln z>ln y>ln x,即z>y>x. 综上,选项B不可能.故选B. 解法二令2+log2x=3+log3y=5+log5z=t, 当t=3时,x=2,y=1,z=,则x>y>z,选项A成立; 当t=5时,x=8,y=9,z=1,则y>x>z,选项C成立; 当t=8时,x=64,y=243,z=125,则y>z>x,选项D成立. 故选B. 5.（2025上海，14,4分）设a>0,s∈R.下列各项中,能推出as>a的一项是(　　) A.a>1,且s>0 B.a>1,且s<0 C.0<a<1,且s>0 D.0<a<1,且s<0 【答案】D 【解析】∵a>0,as>a,∴as-1>1=a0, 当a∈(0,1)时,y=ax在定义域上严格单调递减, 此时若s-1<0,则一定有as-1>1=a0成立,故D正确,C错误; 当a∈(1,+∞)时,y=ax在定义域上严格单调递增,要满足as-1>1=a0,需s>1,即A、B错误.故选D. 6.(2016课标Ⅲ,6,5分)已知a=,b=,c=2,则(　　) A.b<a<c　　　　　B.a<b<c C.b<c<a　　　　　D.c<a<b 【答案】　A　 【解析】因为a==,c=2=,函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以<,即a<c, 又因为函数y=4x在R上单调递增,所以<,即b<a, 所以b<a<c,故选A. 7.(2015天津文,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c　　　B.c<a<b　　　C.a<c<b　　　D.c<b<a 【答案】　B　 【解析】因为f(x)是偶函数,所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,由题意得a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),因为log25>log23>0,所以f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c,故选B. 8.(2013课标Ⅱ文,12,5分)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,+∞)　　　　　B.(-2,+∞) C.(0,+∞)　　　　　D.(-1,+∞) 【答案】　D　 【解析】由2x(x-a)<1得a>x-,令f(x)=x-,即a>f(x)有解,则a>f(x)min,又y=f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(x)>f(0)=-1,所以a>-1,选D. 评析　本题考查了函数的值域与最值的求法,考查了分离参变量的方法,熟悉基本初等函数的单调性是解题关键. 9.(2019天津文,5,5分)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<b<a　　　　　B.a<b<c C.b<c<a　　　　　D.c<a<b 【答案】　A　 本题考查指数函数与对数函数的图象和性质;通过对对数式的估算或适当“缩放”考查学生的直观想象与逻辑推理的核心素养. 【解析】显然c=0.30.2∈(0,1). 因为log33<log38<log39,所以1<b<2. 因为log27>log24=2,所以a>2. 故c<b<a.选A. 10.(2016课标Ⅰ文,8,5分)若a>b>0,0<c<1,则(　　) A.logac<logbc　　　　　B.logca<logcb C.ac<bc　　　　　 D.ca>cb 【答案】　B　 【解析】∵0<c<1,∴当a>b>1时,logac>logbc,A项错误; ∵0<c<1,∴y=logcx在(0,+∞)上单调递减,又a>b>0, ∴logca<logcb,B项正确; ∵0<c<1,∴函数y=xc在(0,+∞)上单调递增, 又∵a>b>0,∴ac>bc,C项错误; ∵0<c<1,∴y=cx在(0,+∞)上单调递减, 又∵a>b>0,∴ca<cb,D项错误.故选B. 评析　本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质,熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质是解题的关键. 11.(2013课标Ⅱ理,8,5分)设a=log36,b=log510,c=log714,则(　　) A.c>b>a　　　B.b>c>a　　　C.a>c>b　　　D.a>b>c 【答案】　D　 【解析】由对数运算法则得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象得log32>log52>log72,所以a>b>c,故选D. 12.(2013课标Ⅱ文,8,5分)设a=log32,b=log52,c=log23,则(　　) A.a>c>b　　　B.b>c>a　　　C.c>b>a　　　D.c>a>b 【答案】　D　 【解析】∵<2<3,1<2<,3>2,∴log3<log32<log33,log51<log52<log5,log23>log22, ∴<a<1,0<b<,c>1,∴c>a>b.故选D. 13.(2012课标文,11,5分)当0<x≤时,4x<logax,则a的取值范围是(　　) A.　　　B.　　　C.(1,)　　　D.(,2) 【答案】　B　 【解析】易知0<a<1,则函数y=4x与y=logax的大致图象如图,则只需满足loga>2,解得a>,∴<a<1,故选B. 评析　本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式. 14.(2023北京,11,5分,易)已知函数f(x)=4x+log2x,则f =　　　　.  【答案】　1 【解析】　f =2-1=1. 15.（2025天津，15,5分）若a,b∈R,∀x∈[-2,2],均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立,则2a+b的最小值为　　　　.  【答案】-4 【解析】设2a+b=t,则b=t-2a, tx2+tx-2ax-a-1≤0∀x∈[-2,2]恒成立, 即tx2+tx≤a(2x+1)+1∀x∈[-2,2]恒成立, 令g(x)=tx(x+1),抛物线的对称轴为直线x=-,顶点坐标为; 令h(x)=a(2x+1)+1,该直线恒过定点. 当t>0时,如图1, 在[-2,2]上g(x)≤h(x)不恒成立; 　 当t<0时,如图2,只要存在a使g(x)≤h(x),x∈[-2,2]恒成立即可, 因此-≤1,t≥-4,验证当-=1,t=-4时,可取a=0,符合题意, 所以2a+b的最小值为-4. 16.(2016四川文,14,5分)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f+f(2)=　　　.  【答案】　-2 【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0, 又∵f(x)的周期为2,∴f(2)=0, 又∵f=f=-f=-=-2,∴f+f(2)=-2. 评析　本题考查了函数的奇偶性及周期性,属中档题. 17.(2015山东理,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=　　　　.  【答案】　- 【解析】　①当a>1时, f(x)在[-1,0]上单调递增,则无解. ②当0<a<1时, f(x)在[-1,0]上单调递减,则解得∴a+b=-. 评析　本题主要考查指数函数的性质及分类讨论的思想. ( 第 2 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$