2. 1 等式性质与不等式性质课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

该高中数学课件围绕等式性质与不等式性质展开，通过自主学习课前预习任务单（填空负数、正数等）导入，衔接等式性质梳理与不等式概念理解，构建“自主预习-师生共研-强化检测”的学习支架，帮助学生逐步掌握不等式性质。 其亮点在于以表格系统梳理不等式7条性质（含别名、内容及注意点），结合“三步一结论”变形技巧培养逻辑推理能力，通过衬衣购买应用题强化数学运算与应用意识。采用师生共研活动单，学生提升推理与运算素养，教师可高效实施分层教学。

第二章 | 一元二次函数、方程和不等式  2. 1　等式性质与不等式性质 明确目标 发展素养 1.梳理等式的性质 2.理解不等式的概念 3.研究不等式的性质 1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力 2.借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养 正数 等于0 负数 ＞ ＝ ＜ 答案：D 知识点二　不等式的性质 (一)教材梳理填空 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a＞b⇔______ 可逆 2 传递性 a＞b，b＞c⇒______ 不可逆 3 可加性 a＞b⇔____________ 可逆 4 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc c的符号 a＞b，c＜0⇒______   5 同向可加性 a＞b，c＞d⇒____________ 同向 6 同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0⇒_______ 同向 7 可乘方性 a＞b＞0⇒______ (n∈N，n≥2) 同正 b＜a a＞c a＋c＞b＋c ac＜bc a＋c＞b＋d ac＞bd an＞bn 提醒：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断差的符号”是目的，“变形”是关键．在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．　　 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式，一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质及其推论，并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)利用不等式的性质进行证明时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步证明，更不能随意构造性质与法则． 方法一(性质法)简单快捷，但思路不易发现． 方法二(作差法)思路简单，但通分较麻烦． 方法三(作商法)首先需要判断两个式子的符号，然后再判断其比值与1的大小关系，证明步骤较复杂．　　 二、应用性——强调学以致用 2．有一批衬衣原价为每件80元，甲、乙两商场均有销售．现在每个商场都推出了促销政策：到甲商场买一件衬衣优惠4元，买两件每件优惠8元，买三件每件优惠12元……依此类推，直至减到半价为止；乙商场则一律按原价7折酬宾．某单位欲为每位员工购买一件该衬衣，问：到哪个商场购买比较合算？ 知识点一　实数的大小比较的基本事实 (一)教材梳理填空 1．文字叙述： 如果a－b是_____，那么a＞b；如果a－b______，那么a＝b；如果a－b是_____，那么a＜b.反过来也对． 2．符号表示： a－b＞0⇔a____b；a－b＝0⇔a____b；a－b＜0⇔a____b. [微思考]　x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见，你能想个办法比较x2＋1 与2x的大小关系吗？ 提示：∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0， ∴x2＋1≥2x. (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)任意两个实数都能比较大小． (　　) (2)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0. (　　) (3)实数m不大于－2，用不等式表示为m≥－2. (　　) (4)不等式a2＋b2≥2ab中的a，b可以是任意实数． (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是 (　　) A.　　　　　　 B. C. D. (二)基本知能小试 1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是 (　　) A．a>b>－b>－a　　　 B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 解析：法一：∵a＋b>0，∴a>－b，又b<0，∴a>0，且|a|>|b|，∴a>－b>b>－a. 法二：(特殊值法)设a＝3，b＝－2，则a>－b>b>－a. 答案：C　 2．已知c＞a＞b＞0，则________.(填“＞”“＜”或“＝”) 解析：因为c＞a，所以c－a＞0，又因为a＞b，所以＞. 答案：＞ 题型一　用不等式(组)表示不等关系　 【学透用活】 [典例1]　用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于110 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式组表示其中的不等关系． [解]　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为＝m. 因此菜园面积S＝x. 依题意有S≥110，即x≥110， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 用不等式表示不等关系的注意点 (1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．　　 【对点练清】 1．[变条件]本例中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？ 解：因为矩形的另一边15－≤11，所以x≥8. 又0＜x≤18，且x≤11，所以8≤x≤11. 解：函数S＝x的对称轴方程为x＝15， 令S≥110，x∈N，经检验，当x＝13,14,15,16,17时，S≥110. 2．[变条件]本例中，若要求x∈N，则x可以取哪些值？ 题型二　比较实数(式子)的大小　 【学透用活】 [典例2]　已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1. 比较两个实数(式子)大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个实数(式子)作差． (2)变形：对差进行变形． (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号． (4)得出结论． 【对点练清】 1．[变条件]把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1＞0， 当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1. 2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 解：(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝2＋. ∵2≥0，∴2＋≥＞0， ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0， ∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2. 题型三　不等式性质的应用　 【分类例析】 角度(一)　判断命题的真假　 [典例3]　已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题中是真命题的是(　　) A．如果a＞b，那么＞ B．如果ac＜bc，那么a＜b C．如果a＞b，那么＜ D．如果a＞b，那么＞ [解析]　利用不等式的性质或者举反例进行判断．取a＝2，b＝－1，c＝－1，满足选项A、B、C中的前提条件．对于选项A，有＜，故A是假命题；对于选项B，有a＞b，故B是假命题；对于选项C，有＞，故C是假命题；对于选项D，∵c≠0，∴＞0，由不等式的性质4知，D是真命题． [答案]　D 利用不等式判断正误的两种方法 (1)直接法．对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可． (2)特殊值法．注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．　　 证明：－－＝. ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0，∴－ac＞－bd＞0， 即－ac－(－bd)＞0. 又cd＞0，∴＞0， 角度(二)　证明不等式　 [典例4]　已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证： ＜ . ∴－－＞0， ∴－＞－＞0，∴ ＞ ， 即－ ＞－ ，∴ ＜ . 角度(三)　求取值范围　 [典例5]　已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与的取值范围． [解]　因为1＜a＜4,2＜b＜8， 所以－8＜－b＜－2.所以1－8＜a－b＜4－2， 即－7＜a－b＜2. 又因为＜＜， 所以＜＜＝2，即＜＜2. 利用不等式的性质求代数式范围要注意的问题 (1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质． (2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如：由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等． (3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．　　 【对点练清】 1．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是 (　　) A．ab>bc　　　　　　　　 B．ac>bc C．ab>ac D．a|b|>|b|c 解析：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0， 所以a>0，c<0，所以ab>ac. 答案：C　 2．已知－1＜x＜4,2＜y＜3，则x－y的取值范围为________，3x＋2y的取值范围为________． 解析：因为－1＜x＜4,2＜y＜3， 所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2. 由－1＜x＜4,2＜y＜3，得－3＜3x＜12,4＜2y＜6， 所以1＜3x＋2y＜18. 答案：－4＜x－y＜2　1＜3x＋2y＜18 3．(1)已知a<b<0，求证：<； (2)已知a>b，<，求证：ab>0. 证明：(1)－＝＝. ∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0， ∴<0，故<. (2)∵<，∴－<0，即<0， 而a>b，∴b－a<0，∴ab>0. 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．已知－＜a＜0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，D＝，试判断A，B，C，D的大小关系． 解：∵－＜a＜0，∴可取a＝－， 此时A＝，B＝，C＝，D＝. 由此猜测：C＞A＞B＞D. C－A＝－(1＋a2) ＝ ＝， ∵－＜a＜0， ∴1＋a＞0，－a＞0，2＋＞0. ∴C－A＞0，∴C＞A. ∵A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2＞0，∴A＞B. B－D＝1－a2－ ＝ ＝， ∵－＜a＜0，∴1－a＞0， 2－＜2－＜0， ∴B－D＞0，∴B＞D.综上所述，C＞A＞B＞D. 解：设该单位共需购买x件衬衣，在甲、乙两商场购买分别需付款y元，z元．依题意，有 y＝ z＝80×70%x＝56x(x≥1，x∈Z)． ①若1≤x≤10，x∈Z，则y－z＝(80－4x)x－56x＝4x(6－x)． 当1≤x≤5，x∈Z时，6－x＞0， ∴y－z＞0，即y＞z. 当x＝6时，y－z＝0，即y＝z. 当7≤x≤10，x∈Z时，6－x＜0， ∴y－z＜0，即y＜z. ②若x＞10，x∈Z，则y－z＝40x－56x＝－16x. ∵－16x＜0，∴y＜z. 综上，若单位人数不超过5人，到乙商场购买合算；若单位人数恰为6人，到甲、乙商场购买一样合算；若单位人数超过6人，到甲商场购买更合算． 三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程． 解：命题一：若ab＞0，且＞，则bc＞ad. 证明：因为＞，且ab＞0，所以·ab＞·ab， 即bc＞ad. 命题二：若ab＞0，且bc＞ad，则＞. 证明：因为ab＞0，所以＞0.又bc＞ad， 所以bc·＞ad·，即＞.(只要写出一个即可) $$