精品解析：湖南省怀化市2025-2026学年高一上学期入学考试数学试题（强化卷）

怀化市2025年下期高一入学考试 数学试题（强化卷） 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，若，则（ ） A. 或或2 B. 或 C. 或2 D. 或2 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 4. （ ） A. B. C. D. 5. 已知且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则等于 A. B. C. D. 8. 设，若，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 以上均不对 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合或，则的必要不充分条件可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 11. 十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数满足，则称为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应横线上． 12. 已知点是正三角形内部一点，，，的面积值构成一个集合，若的子集有且只有个，则点需满足的条件为________. 13. 有一个密码锁，它的密码是由三个数字组成的.只有当我们正确输入每个位置的数字时，这个密码锁才能够打开.现如今我们并不知道密码是多少，当输入246时，提示1个数字正确，并且位置正确；输入258时，提示1个数字正确，但位置错误；输入692时，提示2个数字正确，但位置全错；输入174时，提示没有一个数字是对的；输入419时，提示1个数字正确，但位置错误.则正确的密码为__________. 14. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）求函数的最小正周期； （2）已知均为锐角，，求的值． 16. 试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 18. 已知函数的图象关于轴对称. （1）求的值； （2）若关于的方程无实数解，求实数的取值范围； （3）若函数，则是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数， （1）求与，与； （2）猜想与有什么关系？并证明你的猜想； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀化市2025年下期高一入学考试 数学试题（强化卷） 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，若，则（ ） A. 或或2 B. 或 C. 或2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】 分和讨论，即得解. 【详解】当时，，符合题意； 当时，或. 当时，符合题意；当时，，与集合元素的互异性矛盾.所以舍去. 故或. 故选：C 【点睛】本题主要考查元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数及二次函数单调性求出单调增区间. 【详解】函数中，，解得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D 3. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 【答案】D 【解析】 【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围． 【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，， （2）当a≠0时 则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， 当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，， 当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得. 【详解】 . 故选：A 5. 已知且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】变换，代入计算得到答案. 【详解】设，，，，，， 解得，即， 故. 当且仅当，即，时等号成立， 故选：B 6. 已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称，令，可得出，转化为函数与函数图象交点横坐标之和，数形结合可得出结果. 【详解】由于函数为上的奇函数，则，， 所以，函数是周期为的周期函数，且该函数的图象关于直线对称， 令，可得，则函数在区间上的零点之和为函数与函数在区间上图象交点横坐标之和，如下图所示： 由图象可知，两个函数的四个交点有两对关于点对称， 因此，函数在区间上的所有零点之和为. 故选：D. 【点睛】本题考查函数零点之和，将问题转化为两个函数的交点，结合函数图象的对称性来求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 7. 已知，则等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用拼凑法将表示成，再结合，可得，结合辅助角公式和诱导公式进一步化简即可 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以， 故选D. 【点睛】本题考查三角函数公式的化简求值，拼凑角、辅助角公式的使用，解题关键在于表示出，属于中档题 8. 设，若，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 以上均不对 【答案】D 【解析】 【分析】设，，由题意，利用诱导公式可得，而，，可得，或，分类讨论即可求解． 【详解】解：设，， 因为，，所以，，， 又因为，所以，而，， 因此，或， 所以（1）当时，， ，因此， （2）当时，，， 因此：①当时，，则， ②当时，，则， ③当时，，则． 故选：D． 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合或，则的必要不充分条件可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】分别在、的情况下，根据求得的范围，即为的充要条件，再根据选项即可得解． 【详解】解：因为集合或， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，若，则，解得， 又，则， 则的充要条件为， 所以的必要不充分条件可能是，， 故选：AB． 10. 已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】将化为，根据值域可得，进而得到，所以的最大值为，只有选项CD不满足. 【详解】由题意得， . ∵函数的值域为，∴，即， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∵，∴的值不可能是. 故选：CD. 11. 十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数满足，则称为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据所给定义一一计算可得. 【详解】对于A：，则，所以，故A正确； 对于B：，则，故B错误； 对于C：，则，所以，故C正确； 对于D：定义域为，则当时，此时无意义，故D错误； 故选：AC 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡相应横线上． 12. 已知点是正三角形内部一点，，，的面积值构成一个集合，若的子集有且只有个，则点需满足的条件为________. 【答案】在的三条高上且不为重心 【解析】 【分析】由题意知，若集合的子集只有个，则集合有个元素，可得出，，三个三角形的面积有两个相等，分析点的位置，即可得出结论. 【详解】若集合的子集只有个，则集合有个元素，是等边内部一点， ，，三个三角形的面积值构成集合， 故，，三个三角形的面积有且只有两个相等. 若，的面积相等，则点在边的高上且不为的重心； 若，的面积相等，则点在边的高上且不为的重心； 若，的面积相等，则点在边的高上且不为的重心. 综上所述，点在等边的三条高上且不为的重心. 故答案为：在的三条高上且不为重心 【点睛】本题考查子集的个数与元素个数之间的关系，根据已知条件得出集合元素的个数是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 13. 有一个密码锁，它的密码是由三个数字组成的.只有当我们正确输入每个位置的数字时，这个密码锁才能够打开.现如今我们并不知道密码是多少，当输入246时，提示1个数字正确，并且位置正确；输入258时，提示1个数字正确，但位置错误；输入692时，提示2个数字正确，但位置全错；输入174时，提示没有一个数字是对的；输入419时，提示1个数字正确，但位置错误.则正确的密码为__________. 【答案】986 【解析】 【分析】根据所给数字的特征判断各个数位的数字. 【详解】由输入174时，提示没有一个数字是对的，说明不含有1，7，4； 由输入258时，提示1个数字正确，但位置错误；由当输入246时，提示1个数字正确，并且位置正确，所以不含数字2； 由输入692时，提示2个数字正确，但位置全错，所以含有数字6，且6在个位； 由输入419时，提示1个数字正确，但位置错误，所以含有数字9，且9在百位； 由输入258时，提示1个数字正确，但位置错误，当含有数字5时，5在十位，与位置错误矛盾，所以含有数字8，在十位. 故数字为986. 故答案为：986. 14. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【详解】，又，因此 当或者时，等号成立； 即最小值为8. 【考点】三角恒等变换，切的性质应用 【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量． （1）求函数的最小正周期； （2）已知均为锐角，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式和两角差的余弦公式以及辅助角公式化简解析式,由周期公式可得答案; （2）利用同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由知 函数的最小正周期为； 【小问2详解】 ∴ 因为，所以 因为，所以 因为，所以 所以 所以 16. 试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）用描述法表示集合，再解方程求出对应根，用列举法表示即可； （2）用描述法表示集合，再列举出大于10且小于20的所有整数，用列举法表示集合即可. 【详解】（1）设，则x是一个实数，且. 因此，用描述法表示为. 方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为. （2）设，则x是一个整数，即，且.因此，用描述法表示为.大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为. 【点睛】本题主要考查了用描述法以及列举法表示集合，属于基础题. 17. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或. （3）. 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果； （2），对，与分类讨论，可分别求得其解集 （3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围． 【小问1详解】 根据题意，当，即时，，不合题意；  当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 即，故时，或. 故 ． 【小问2详解】 ，即， 即， 当，即时，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或. 【小问3详解】 ，即， 恒成立， ， 设则， ， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 当时，， ． 【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题. 18. 已知函数的图象关于轴对称. （1）求的值； （2）若关于的方程无实数解，求实数的取值范围； （3）若函数，则是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意得到函数为偶函数，从而得到，求出； （2）方程转化为无实数解，由得到，求出； （3）化简得到，，分，，三种情况，得到函数的最小值，列出方程，求出的值. 【小问1详解】 由题意得，即， 即，其中， 所以，解得： 【小问2详解】 变形为， 即无实数解，即无实数解， 其中，所以，解得：， 故实数的取值范围是； 【小问3详解】 由（1）得：， 故，， 故， 因为，所以， 当，即时，在上单调递增， 令，解得：，满足要求， 当，即时，在上单调递减， 令，解得：，不合要求， 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 故，解得：，不合要求， 综上：. 19. 已知函数， （1）求与，与； （2）猜想与有什么关系？并证明你的猜想； （3）求的值． 【答案】（1），，，； （2） ． 证明如下： ； （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据函数解析式代入计算可得； （2）由（1）猜想，然后代入解析式进行证明即可； （3）根据（2）中的结论计算可得． 【小问1详解】 解：因为， 所以，，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，，，，，又， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $