专题 2.2 等腰三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 2.2 等腰三角形 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）等腰三角形定义 1 【题型1】等腰三角形个数 1 知识点（二）等腰三角形的画法 4 【题型2】等腰三角形的画法 4 【题型3】利用等腰三角形定义求值 6 【题型4】利用等腰三角形定义证明 8 知识点（三）等腰三角形是轴对称图形 10 【题型5】利用等腰三角形对称性作图、求值、证明 10 【题型6】利用等边三角形对称性作图、求值、证明 12 二．同步练习 15 【基础巩固（16题）】 15 【能力提升（16题）】 24 【中考真题2题】 37 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）等腰三角形定义 有两边相等的三角形叫作等腰三角形。如图1，在中，，是等腰三角形。 图1 如图1，相等的两边叫做腰，第三边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底的夹角叫底角。 【题型1】等腰三角形个数 【例题1】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·内蒙古）如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】先计算出∠BDC，再计算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法对图形中的三角形进行判断． 解：∵∠A=36°，∠DBC=36°， ∴△ABD为等腰三角形， ∵∠BDC=∠A+∠DBC=26°+36°=72°， 而∠C=72°， ∴∠BDC=∠C， ∴△BDC为等腰三角形， ∵∠ABC=180°-∠A-∠C=72°， ∴∠ABC=∠C， ∴△ABC为等腰三角形． 故选：B． 【点拨】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 【变式2】（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以①为底，②为腰，A为顶角顶点，③为腰，B为顶角顶点，这三种情况构造等腰三角形，即可找出点C． 解：①以为底，作的垂直平分线，可找出格点C一个，如图所示： ②为腰，以A为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： ③为腰，以B为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： 综上所述，点C的个数有3个， 故答案为：3． 知识点（二）等腰三角形的画法 已知线段，（如图2）用直尺和圆规作等腰三角形，使，。 （1）作线段 ； （2）分别以点 、为圆心，以为半径画弧，两弧交点； （3）连接、，为所求的等腰三角形（）. 图2 图3 【题型2】等腰三角形的画法 【例题2】（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，，求作：等腰，使得点、分别在、上，且底边上的高长为． 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，过直线上一点作直线的垂线，作线段等于已知线段，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，先作的平分线，再在角平分线上截取，再过作角平分线的垂线，交于即可. 解：如图，即为所求； 理由：由作图可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求. 【变式1】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）已知线段a、h，求作等腰三角形，使其底边长为a，底边上的高为h． 已知：线段a，h（如图）． 求作：，使，且，高． 【答案】见分析 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定． 先在射线上截取，再作的垂直平分线，垂足为D点，然后在垂直平分线上截取，则满足条件． 解：如图，为所作． 【变式2】（2025·陕西西安·一模）如图，已知，点D在射线上，请用尺规作图法在射线上求作一点E，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见分析 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等腰三角形的定义，先作线段的垂直平分线交于，再连接即可． 解：如图，即为所求； 【题型3】利用等腰三角形定义求值 【例题3】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）能用一根长为的细铁丝围成一个边长为的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】能，见分析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形存在问题，正确分类计算是解题的关键． 根据等腰三角形的定义，三角形存在性解答即可． 解：解∶分两种情况讨论 （1）若底边为5，则腰为，因为，所以能够围成三角形． （2）若腰为5，则底边为，因为．所以能围成三角形 由（1）（2）可知，无论5是底边还是腰均可围成等腰三角形． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．16或20 【答案】C 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系等知识点，结合等腰三角形的特点进行分类讨论，利用三边关系进行验证是解题关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定周长． 解：由题意，， 因平方和绝对值均非负，故，解得，， 等腰的两边为4和8，需分情况讨论： 1. 若腰为4，则三边为4、4、8。此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），无法构成三角形， 2. 若腰为8，则三边为8、8、4，此时，，满足三边关系，周长为． 综上，的周长为20， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）若，则以、为边的等腰三角形的周长为 . 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用非负数的性质可得，，即得，，得到以为边的等腰三角形的三边可能为或，再根据三角形的三边关系解答即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 解：∵， ∴，， ∴，， ∴以为边的等腰三角形的三边可能为或， 当三边为时，，三角形不存在； 当三边为时，符合三角形的三边关系，此时等腰三角形的周长为； 故答案为：． 【题型4】利用等腰三角形定义证明 【例题4】（24-25八年级上·福建莆田·期中）求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（根据题意画出图形，写出已知、求证并证明） 【答案】见分析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据题意写出已知，，、分别是、边上的中线，证明，即可得到答案． 解：已知：，，、分别是、边上的中线 求证：． 证明：、分别是、边上的中线 ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·福建龙岩·期中）证明命题“等腰三角形两腰上的高相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程． 【答案】见分析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．证明，根据全等三角形的性质即可得证． 解：已知：如图，在中，，，．                求证：．            证明过程：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，，垂足为E，且，连接求证：为等腰三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的判定，平行线的性质，由平行线的性质推出，由垂直的定义得到，判定，推出，即可证明是等腰三角形． 解：证明：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 知识点（三）等腰三角形是轴对称图形 1.等腰三角形是轴对称图形，过顶角角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是等腰三角形的对称轴；如图4，直线是等腰的对称轴。 2.三角边相等的三角形是等边三角形，如图5，在中，,则为等边三角形。 图4 图5 【题型5】利用等腰三角形对称性作图、求值、证明 【例题5】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，直线是的对称轴，E，F是上的任意两点．若的面积为，求图中阴影部分的面积．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于的面积的一半是解题的关键．根据轴对称的性质判断出阴影部分的面积等于的面积的一半，然后计算即可得解． 解：∵直线是的对称轴， ∴和关于直线成轴对称， ∴． ∵E，F是上的任意两点， ∴与关于直线成轴对称． ∴． ∴阴影部分的面积． 【变式1】（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，求作该三角形的对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见分析 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是理解等腰三角形也是轴对称图形，作出的垂直平分线即为对称轴． 解：作对称轴如下： 【变式2】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，AD平分，． （1）四边形是轴对称图形吗？如果你认为是，说出它的对称轴．哪一个点与点B对称？ （2）如图，连结BC，交AD于点E．把四边形沿AD对折、BE与CE重合吗？与呢？由此你得到什么结论？ 【答案】（1）四边形是轴对称图形，直线是对称轴，点C；（2）重合，，对称轴垂直平分两个对称点的连线段 【分析】（1）结合题目信息，观察图形，利用轴对称的概念，发现四边形是轴对称图形，所在的直线是对称轴，点C与点B对称 （2）根据轴对称图形的特征，BE与CE重合，，结论是：对称轴垂直平分两个对称点的连线 解：（1）四边形是轴对称图形，直线是对称轴，点C与点B对称 ∵平分， 根据角平分线的定义可知：是等腰三角形，所在的直线是四边形的对称轴 （2）根据轴对称图形的特征，BE与CE重合，，结论是：对称轴垂直平分两个对称点的连线段，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴沿对折时，点与点重合，点与点重合， ∴与重合，与重合 ∴ 所以可得结论：对称轴垂直平分两个对称点的连线段 【点拨】本题侧重考查知识点的记忆能力，熟练掌握轴对称图形的性质是解决问题的关键 【题型6】利用等边三角形对称性作图、求值、证明 【例题6】如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，，. （1）求的度数； （2）求的长度； （3）若是等边三角形，，求的周长. 【答案】（1）；（2）；（3）的周长是. 【分析】（1）由已知条件，根据轴对称图形的性质解答． （2）由已知条件，根据轴对称图形的性质解答． （3）由已知条件，根据轴对称图形的性质和等边三角形的性质进行解答即可； 解：（1）∵图案是轴对称图形，为对称轴，与是对应角，， ∴； （2）∵图案是轴对称图形，为对称轴，与是对应边，， ∴； （3）∵图案是轴对称图形，为对称轴，与是对应边，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴的周长是. 【点拨】此题考查轴对称的性质，轴对称图形是按一条直线折叠后两边重合的图形，题中图形对称轴为AF，B点对称点为E点，找准对应点是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）试画出等边三角形的三条对称轴．你能发现什么？ 【答案】见分析，对称轴是顶角平分线或底边上的高､中线所在的直线，并且三条对称轴交于一点 【分析】根据轴对称的意义，可以画出等边三角形的三条对称轴，从而可得等边三角形的三条对称轴相交于同一点． 解：如图： 发现：对称轴是顶角平分线或底边上的高､中线所在的直线，并且三条对称轴交于一点． 【点拨】此题考查了轴对称的意义．注意根据轴对称的意义画出图形是关键． 【变式2】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）请你利用无刻度直尺画出下列图形的对称轴 （1）如图1，在四边形中，，； （2）如图2，三个等边三角形如图所示放置，且点、、在一条直线上． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】本题考查画对称轴，解题的关键是熟练掌握对称轴的定义． （1）过点和点作直线即可； （2）连接，，交于点，过点和点作直线即可． 解：（1）解：如图，直线为所求， 证明：连接，作直线， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴直线为轴对称图形的对称轴． （2）解：如图，直线为所求， 证明：连接，，交于点，作直线，交于点， ∵、、均为等边三角形， ∴，，，，，， ∴，，，，，， ∴点为的中点，，，， ∴ ∴，， ∴，， ∴， ∴直线为线段和线段的垂直平分线， ∴直线为轴对称图形的对称轴． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）等腰三角形的一个外角是，则其底角等于（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义，利用邻补角互补求角度，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的一个外角等于，可得等腰三角形的顶角为，即可求解． 解：∵等腰三角形的一个外角等于， ∴等腰三角形的一个内角为， ∵三角形的内角和等于， ∴等腰三角形的顶角为， ∴两个底角都为． 故选：A． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期末）等腰三角形两边长为3和7，则该三角形的周长为（    ） A．13 B．3或7 C．13或17 D．17 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系．分情况讨论等腰三角形的腰长，并结合三角形两边之和大于第三边进行验证． 解：等腰三角形的两边长为3和7，可能有两种情况： 当腰长为3，底边为7时， 此时三边为3、3、7． ∵，不满足三角形三边关系，无法构成三角形； 当腰长为7，底边为3时， 此时三边为7、7、3， ∵， ∴可构成三角形， ∴周长为． 故选：D． 3．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，根据题意可得，，然后证明出，即可得到，进而求解即可． 解：如图所示， 由折叠得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴一定是等腰三角形． 故选：B． 4．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．16 B．18 C．16或18 D．14或16 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，将两个全等的直角三角形拼成等腰三角形时，有两种可能的拼接方式：沿直角边或拼接，形成底边为或的等腰三角形，两腰均为斜边；或者沿斜边拼接，但此时无法形成三角形．根据分析求出周长即可． 解：①沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ②沿直角边拼接：将两个直角边重合，形成底边为，两腰为斜边的等腰三角形．周长． ③沿斜边拼接，但此时无法形成三角形． 综上，等腰三角形的周长为或， 故选：C． 5．（24-25七年级下·河南新乡·期末）若有理数满足等式，且恰好是等腰的两条边长，则的周长是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性及等腰三角形的性质，由，计算出的值，分两种情况讨论等腰三角形的边长组合，结合三角形三边关系确定周长． 解：， 又， 且， 解得，， 当腰长为4（即两腰均为4），底边为2时，三边分别为4，4，2， 验证三角形三边关系： ，，均成立，可构成三角形， 周长为； 当腰长为2（即两腰均为2），底边为4时，三边分别为2，2，4， 验证三角形三边关系： ，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形， 综上，的周长为． 故选：B． 6．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）将一台带有保护套的平板电脑按图1所示的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示，经测量，得到，．若移动支点C的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形定义． 根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 解：是一个等腰三角形，， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 的周长为或． 故选：D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）一个等腰三角形的顶角和底角的比是，这个三角形的顶角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和，等腰三角形的定义，根据一个等腰三角形的顶角和底角的比是，结合三角形内角和为度进行列式计算，即可作答． 解：∵一个等腰三角形的顶角和底角的比是， ∴等腰三角形的顶角度数为， 故答案为： 8．（25-26七年级上·浙江·开学考试）一个等腰三角形的周长是48厘米．其中两条边的长度比是，这个三角形的底边长是（ ）厘米． 【答案】 【分析】本题考查了比的应用、设三边长度分别为厘米、厘米、厘米，再根据等腰三角形的周长建立方程求出的值，由此即可得出答案． 解：由题意，两条边的长度比是，只可能三边之比为，不存在 设这个等腰三角形的三边长度分别为厘米、厘米、厘米， 则， 解得， 则这个等腰三角形的底边长是（厘米）， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川达州·期末）若一个等腰三角形的两边长分别为7和15，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】37 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义分2种情况讨论即可求解． 解：若等腰三角形的三边长为7，7，15，，故不符合题意； 若等腰三角形的三边长为7，15，15，，则周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长为37． 故答案为：37． 10．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列几何图形：①等腰三角形；②直角三角形；③角；④线段；⑤任意三角形．其中，一定是轴对称图形的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．直接利用轴对称图形的概念分析得出答案． 解：一定是轴对称图形的有：①等腰三角形；③角；④线段； 故答案为：①③④． 11．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，中，，点在上，．将线段沿着的方向平移得到线段，与边相交于，并构成以为底边的等腰，则的周长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了图形的平移，等腰三角形的性质，由平移得到可得是解决本题的关键． 由图形平移，即沿着的方向平移得到线段，可得到两个信息，，且，再结合等腰三角形的腰长相等计算周长即可． 解：因为线段沿着的方向平移得到线段， 又， 所以，且， 又因为， 所以， 又因为是以为底边的等腰三角形， 所以， 则的周长为． 故答案为：13 ． 12．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 解：设运动的时间为秒，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·广东河源·期末）在中，，，若是等腰三角形，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的腰长，并结合三角形三边关系判断每种情况是否成立． 分两种情况讨论，结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不成立的情况，得出符合条件的长度． 解：根据等腰三角形的定义，有两条边长度相等的三角形为等腰三角形，分两种情况讨论： 若，则，三边为5，5，2，满足，成立． 若，则，三边为5，2，2，，不满足三边关系，不成立． ∴． 14．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）已知等腰三角形的周长为16，其中一边长为5，求这个等腰三角形的腰和底边的长． 【答案】等腰三角形的腰和底边的长分别为5，6或，5 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．由于长为5的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 解：①当5是腰长时，底边为， 因为，所以能组成三角形， ②当5是底边时，腰长为， 因为，所以能够组成三角形， 综上所述，等腰三角形的腰和底边的长分别为5，6或，5． 15．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定，根据等腰直角三角形的定义得出，，，根据等式的性质得出，然后根据证明即可． 解：证明∶∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴． 16．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． （1）在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形； （2）在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形； （3）在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解 【分析】本题考查了网格作图，等腰三角形的定义；由等腰三角形的定义作图即可． （1）按等腰三角形的定义作图即可； （2）按等腰三角形的定义作图即可； （3）按等腰三角形的定义作图即可； 解：（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， 为所求作； （3）解：如图， 为所求作． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）、、是等腰的三边长，其中、满足，则的周长为（    ）． A．9 B．9或12 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，运用完全平方公式的非负性求出即可.解题关键在于熟练掌握各种知识点的综合运用. 将已知方程配方成两个完全平方的和，利用非负性求出和的值，再根据等腰三角形的性质及三角形三边关系确定边长，计算周长. 解：配方求值： 可变形为：， 即； 根据非负性，得 且 ， 解得 ，； 等腰三角形分类讨论： 情况一：若 为腰，则另一腰为2，底边为5；此时 ，不满足三角形三边关系，舍去； 情况二：若 为腰，则另一腰为5，底边为2；此时 ，满足三边关系； 计算周长： 三边为，周长为 ， 综上，的周长为12， 故选：C . 2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）等腰三角形的两边长分别为，则该三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了定要三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义分两种情况，再根据三角形三边关系确定可能的边长组合并计算周长即可． 解：等腰三角形两边长分别为和，可能有两种情况： 情况一：腰长为，底边为． 则三边为、、． 此时，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故该情况不成立． 情况二：腰长为，底边为． 则三边为、、． 此时，，均满足三角形三边关系，故该情况成立． 则周长为． 故选：B 3．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）已知、、是的三边，且满足，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】B 解：本题考查因式分解的应用．判断三角形的形状，通常要整理成两个式子相乘等于0的形式或两个非负数相加等于0的形式．把所给等式先整理成右边等于0的形式，进而把等式左边“两、两”分组进行因式分解，然后整理成两个式子相乘等于0的形式．根据两个数相乘等于0，其中一个数为0，可得边长的关系，进而可得三角形的形状． 【分析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵、、是三角形的三边，均为正数， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 故选：B 4．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质及三角形三边关系，设，，由是边上的中线，得到，分两种情况：当的周长比的周长大6时，当的周长比的周长大6时，建立二元一次方程组求解，再利用三角形三边关系检验即可求解，掌握三角形三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 解：设，，是边上的中线， ， 分两种情况： 当的周长比的周长大6时， ， 解得：， 的三边长分别为12，12，6， ， 能组成三角形； 当的周长比的周长大6时， 即， 解得：， 的三边长分别为8，8，14； ， 能组成三角形； 综上所述：的长为6或14． 故选：C． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为18，，若，则的边等于（    ） A．8 B．2或5或7 C．5或8 D．2或5或8 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质，分为腰、为底两种情况，求出等腰三角形的另两边，根据全等三角形的性质解答． 解：当为腰时，等腰三角形的周长为18， ∴另两边为8和， 当为底时，等腰三角形的周长为18， ∴另两边为和5， ∵， ∴的边等于2或5或8， 故选：D． 6．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 解：如图所示，当，，，时，都能得到符合题意的等腰三角形． ∴这样的直线最多可画4条． 故选：B． 二、填空题 7．（24-25七年级下·广东佛山·期中）等腰三角形一边长是，另一边长是，则第三边的长是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，以及三角形三边关系，解题的关键是掌握等腰三角形的定义以及三角形三边关系． 分两种情况，当腰长分别为或时，结合三角形三边关系，求解即可． 解：当腰长为时，则三角形三边分别为、、， ∵ ∴满足三角形三边关系，能构成三角形， 当腰长为，则三角形三边分别为、、， ∵， ∴满足三角形三边关系，符合题意． 故答案为：或． 8．（24-25七年级下·山东烟台·期末）用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是要分两种情况讨论． 由三角形三边关系判定等腰三角形的腰长是底边长的倍，设较短的边长是，则较长的边长是，列出一元一次方程，解方程，再由三角形三边关系即可求解． 解：设较短的边长是，则较长的边长是， 如果等腰三角形的腰长是底边长的倍， ， ， 此时等腰三角形的三边长分别是、、，满足三角形三边关系； 如果等腰三角形的底边长是腰长的倍， ， ， 此时等腰三角形的三边长分别是、、，不满足三角形三边关系，不能围成一个等腰三角形； 综上所述，等腰三角形的底边长是， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如果二元一次方程组的解和的值是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】11或13 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是要分两种情况讨论．求出方程组的解为，由三角形三边关系定理得到等腰三角形的腰长可能是5或3，即可求出等腰三角形的周长． 解：方程组的解为， 当等腰三角形的腰长是5时， ，满足三角形三边关系， ∴此时等腰三角形的周长； 当等腰三角形的腰长是3时， ，满足三角形三边关系， ∴此时等腰三角形的周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长是11或13． 故答案为：11或13． 10．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，等腰三角形中，，是边的垂直平分线，若的周长是8，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的定义以及性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，得到，即可得到答案． 解：等腰三角形中，，是边的垂直平分线， ， 的周长是8，， ， 即， ， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在面积为24的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质． 如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 解：如图，连接， ， ， ∵的面积为 24， ， ， ∵垂直平分， ， ∵为直线上一动点， ， ， ， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点为边中点，，垂足为．以为斜边作等腰，使得直角顶点恰好在上．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点B作交的延长线于点H，设，则，证明，得出，，证明，得出，，求出，即可得出，求出，即可得出答案． 解：过点B作交的延长线于点H，如图所示： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵以为斜边作等腰， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 三、解答题 13．（2014·山东泰安·一模）如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证： （1）； （2）试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． （1）求出，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由，， 三角形内角和定理可求解． 解：（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： 如图，设与于G， ∵， ， ，， ， 14．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，为延长线上一点，点在边上，且，连接、． （1）求证：； （2）和有何位置关系？请说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的定义等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰直角三角形的定义可得，，再根据定理即可得证； （2）延长，与交于点，先根据全等三角形的性质可得，再证出，则可得，由此即可得． 解：（1）证明：∵为等腰直角三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）解：，理由如下： 如图，延长，与交于点， 由（1）已证：， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【代数推理】设的三边长是、、，周长是，其中，． （1）直接写出及的取值范围； （2）当为奇数时，求的最大值和最小值． （3）若小于的偶数，判断的形状． 【答案】（1），；（2）最大为，最小为；（3）是等腰三角形，理由见分析过程． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的分类等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案； （2）根据奇数的定义和的取值范围，可求解； （3）根据偶数的定义，以及的取值范围即可求的值，利用等腰三角形的定义得出即可． 解：（1）解：因为，， 所以． 故周长的范围为． （2），，为奇数， ， 最大为，最小为． （3）周长为小于的偶数， 或． 当为时，； 当为时，． 当时，，为等腰三角形； 当时，，为等腰三角形． 综上所述，是等腰三角形． 16．（24-25八年级下·河南郑州·期中）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在中，_________，和是的角平分线． 求证：_________． 证明： 【答案】，，证明见分析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由等腰三角形的性质推出．由等腰三角形的性质推出，由角平分线的定义得到，判定，推出． 解：已知：在中，，和是的角平分线． 求证：． 证明：， ， 和是的角平分线， ，， ， 在和中， ， ， ∴等腰三角形两底角的平分线相等． 故答案为：，. 【中考真题2题】 一、单选题 1．（2023·河北·中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 解：在中，， ∴，即， 当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去； 若时，为等腰三角形， 故选：B． 【点拨】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二、解答题 2．（2025·山东青岛·中考真题）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 【答案】见分析 【分析】本题考查了尺规作——角平分线，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 先作的平分线，再过点作角平分线的垂线，与射线的交点即为点，根据角平分线以及垂线的定义可得，则，故等腰即为所作． 解：如图，等腰即为所作： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.2 等腰三角形 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）等腰三角形定义 1 【题型1】等腰三角形个数 1 知识点（二）等腰三角形的画法 2 【题型2】等腰三角形的画法 3 【题型3】利用等腰三角形定义求值 3 【题型4】利用等腰三角形定义证明 4 知识点（三）等腰三角形轴对称图形 4 【题型5】利用等腰三角形对称性作图、求值、证明 4 【题型6】利用等边三角形对称性作图、求值、证明 5 二．同步练习 6 【基础巩固（16题）】 6 【能力提升（16题）】 8 【中考真题2题】 11 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）等腰三角形定义 有两边相等的三角形叫作等腰三角形。如图1，在中，，是等腰三角形。 图1 如图1，相等的两边叫做腰，第三边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底的夹角叫底角。 【题型1】等腰三角形个数 【例题1】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（23-24八年级上·内蒙古）如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°图中的等腰三角形个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个． 知识点（二）等腰三角形的画法 已知线段，（如图2）用直尺和圆规作等腰三角形，使，。 （1）作线段 ； （2）分别以点 、为圆心，以为半径画弧，两弧交点； （3）连接、，为所求的等腰三角形（）. 图2 图3 【题型2】等腰三角形的画法 【例题2】（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，，求作：等腰，使得点、分别在、上，且底边上的高长为． 【变式1】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）已知线段a、h，求作等腰三角形，使其底边长为a，底边上的高为h． 已知：线段a，h（如图）． 求作：，使，且，高． 【变式2】（2025·陕西西安·一模）如图，已知，点D在射线上，请用尺规作图法在射线上求作一点E，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型3】利用等腰三角形定义求值 【例题3】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）能用一根长为的细铁丝围成一个边长为的等腰三角形吗？为什么？ 【变式1】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．16或20 【变式2】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）若，则以、为边的等腰三角形的周长为 . 【题型4】利用等腰三角形定义证明 【例题4】（24-25八年级上·福建莆田·期中）求证：等腰三角形两腰上的中线相等．（根据题意画出图形，写出已知、求证并证明） 【变式1】（24-25八年级上·福建龙岩·期中）证明命题“等腰三角形两腰上的高相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程． 【变式2】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，，垂足为E，且，连接求证：为等腰三角形． 知识点（三）等腰三角形轴对称图形 1.等腰三角形是轴对称图形，过顶角角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是等腰三角形的对称轴；如图4，直线是等腰的对称轴。 2.三角边相等的三角形是等边三角形，如图5，在中，,则为等边三角形。 图4 图5 【题型5】利用等腰三角形对称性作图、求值、证明 【例题5】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，直线是的对称轴，E，F是上的任意两点．若的面积为，求图中阴影部分的面积．    【变式1】（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，求作该三角形的对称轴．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，AD平分，． （1）四边形是轴对称图形吗？如果你认为是，说出它的对称轴．哪一个点与点B对称？ （2）如图，连结BC，交AD于点E．把四边形沿AD对折、BE与CE重合吗？与呢？由此你得到什么结论？ 【题型6】利用等边三角形对称性作图、求值、证明 【例题6】如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，，. （1）求的度数； （2）求的长度； （3）若是等边三角形，，求的周长. 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）试画出等边三角形的三条对称轴．你能发现什么？ 【变式2】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）请你利用无刻度直尺画出下列图形的对称轴 （1）如图1，在四边形中，，； （2）如图2，三个等边三角形如图所示放置，且点、、在一条直线上． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）等腰三角形的一个外角是，则其底角等于（   ） A． B． C． D．或 2．（24-25七年级下·山东青岛·期末）等腰三角形两边长为3和7，则该三角形的周长为（    ） A．13 B．3或7 C．13或17 D．17 3．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 4．（24-25七年级下·上海普陀·期末）已知两个全等的直角三角形，直角边长分别为和，斜边长为．如果将这两个全等的直角三角形拼成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长为（   ） A．16 B．18 C．16或18 D．14或16 5．（24-25七年级下·河南新乡·期末）若有理数满足等式，且恰好是等腰的两条边长，则的周长是（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 6．（24-25七年级下·甘肃白银·期末）将一台带有保护套的平板电脑按图1所示的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示，经测量，得到，．若移动支点C的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 7．（24-25七年级上·广东深圳·开学考试）一个等腰三角形的顶角和底角的比是，这个三角形的顶角是 度． 8．（25-26七年级上·浙江·开学考试）一个等腰三角形的周长是48厘米．其中两条边的长度比是，这个三角形的底边长是（ ）厘米． 9．（24-25七年级下·四川达州·期末）若一个等腰三角形的两边长分别为7和15，则这个等腰三角形的周长为 ． 10．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列几何图形：①等腰三角形；②直角三角形；③角；④线段；⑤任意三角形．其中，一定是轴对称图形的有 ．（填序号） 11．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，中，，点在上，．将线段沿着的方向平移得到线段，与边相交于，并构成以为底边的等腰，则的周长为 ． 12．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 三、解答题 13．（24-25七年级下·广东河源·期末）在中，，，若是等腰三角形，求的长． 14．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）已知等腰三角形的周长为16，其中一边长为5，求这个等腰三角形的腰和底边的长． 15．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，求证：． 16．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． （1）在图1中，以为腰画一个等腰锐角三角形； （2）在图2中，以为腰画一个等腰直角三角形； （3）在图3中，以为腰画一个等腰钝角三角形． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）、、是等腰的三边长，其中、满足，则的周长为（    ）． A．9 B．9或12 C．12 D．14 2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）等腰三角形的两边长分别为，则该三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 3．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）已知、、是的三边，且满足，则的形状是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．不能确定 4．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，等腰的周长为30，且，中线将这个三角形的周长分为两部分，两部分的差为6，则的长（ ） A．6 B．14 C．14或6 D．12或8 5．（2025七年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的周长为18，，若，则的边等于（    ） A．8 B．2或5或7 C．5或8 D．2或5或8 6．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．5条 B．4条 C．3条 D．2条 二、填空题 7．（24-25七年级下·广东佛山·期中）等腰三角形一边长是，另一边长是，则第三边的长是 ． 8．（24-25七年级下·山东烟台·期末）用一条长细绳（不留余绳）围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的倍，则底边的长为 ． 9．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如果二元一次方程组的解和的值是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长是 ． 10．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，等腰三角形中，，是边的垂直平分线，若的周长是8，，则的长是 ． 11．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在面积为24的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 12．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点为边中点，，垂足为．以为斜边作等腰，使得直角顶点恰好在上．若，则的值为 ． 三、解答题 13．（2014·山东泰安·一模）如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，求证： （1）； （2）试猜想，有何特殊的位置关系，并说明理由． 14．（24-25七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，为延长线上一点，点在边上，且，连接、． （1）求证：； （2）和有何位置关系？请说明理由． 15．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【代数推理】设的三边长是、、，周长是，其中，． （1）直接写出及的取值范围； （2）当为奇数时，求的最大值和最小值． （3）若小于的偶数，判断的形状． 16．（24-25八年级下·河南郑州·期中）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．根据条件和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”． 已知：在中，_________，和是的角平分线． 求证：_________． 证明： 【中考真题2题】 一、单选题 1．（2023·河北·中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 二、解答题 2．（2025·山东青岛·中考真题）已知：如图，是内部一点．求作：等腰，使点，分别在射线，上，且底边经过点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$