专题2.4 二次函数与一元二次方程，不等式综合讲义（13类题型）- 【赢在暑假】2025年新高一暑假衔接数学人教A版必修第一册

【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题2-4 二次函数与一元二次方程，不等式综合（13类题型） 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型1】三个“二次”关系的应用 【题型2】一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式 【题型3】 由一元二次不等式的解集求参数 【题型4】简单的含参一元二次不等式的解集 【题型5】实数集上的含参一元二次不等式恒成立问题：判别式法 【题型6】一元二次不等式的实际问题 模块二 中档题突破 【题型7】 有范围限制的含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法 【题型8】一元二次不等式与基本不等式结合 【题型9】一元二次不等式与集合、逻辑用语综合 【题型10】解含参一元二次不等式 【题型11】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 【题型12】一元二次不等式的整数解问题 【题型13】一元二次方程根的分布 模块三 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】三个“二次”关系的应用 基础知识 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式与的解集的关系，可归纳为： 若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解． 通过以上论述，可对“三个二次”的关系有一个较为全面的了解，在解题中，我们要不失时机的渗透“三个二次”三位一体的思维意识，实现“三个二次”之间的相互转换，能自然规范的运用函数方程思想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想，提高数学解题思维水平。 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 【例题1】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，若，则的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】判断出的符号后可得正确的选项. 【解析】因为，故即， 而，故， BC中图象开口向下，不符合，而A中图象过原点，与矛盾 【巩固练习1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【解析】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 【巩固练习2】（24-25高一上·河北保定·期末）关于二次函数，则下列正确的是（    ） A．函数图象与x轴总有两个不同的交点 B．若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则 C．不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点 D．当时，y随x的增大而增大，则 【分析】根据二次函数对应二次方程的判别式判断A，由根与系数的关系判断B，由图象的平移判断C，根据对称轴判断D. 【解析】，函数图象与x轴总有两个不同的交点或相同的交点，故A错误； 若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则由根与系数的关系知，解得且，故B错误； 若将函数图象向左平移1个单位，可得到，令，则，即图象经过原点，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，即函数图象的对称轴，解得，故D错误. 【巩固练习3】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，函数与轴的交点横坐标为、，且，则（   ） A． B． C． D． 【分析】先画出函数的大致图象，再将其图象往上平移1个单位，并画出其大致图象，数形结合即可求解. 【解析】二次函数与轴的交点横坐标为 、 ， 将其图象往上平移1个单位长度可得出二次函数的图象， 如图所示观察图象，可知: . 故选: B. 【题型2】一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式 基础知识 1、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形 总结：一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、元二次方程求解，步骤如下： (1)化二次项系数为正； (2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则可得到两根x1，x2，那么“y>0”型的解为x<x1或x>x2(俗称“大于取两边”)，“y<0”型的解为x1<x<x2(俗称“小于取中间”)； 2、解绝对值不等式的常见方法 法一：等式两边同时平方 法二：分类讨论去绝对值 法三：利用绝对值的几何意义 3、简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 例： 策略一： 同乘分母的平方 （也可以提公因式） 策略二：也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 同乘： 策略三：先将一端变为0，再讨论分子分母是否同号，注意分母不能为0 【例题1】（24-25高一上·天津南开·开学考试）求下列不等式的解集. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将不等式组转化为，再分别解出各个一元二次不等式，即可得解； （2）移项、通分，再将分式不等式等价转化为一元二次不等式（组），解得即可. 【详解】（1）因为，即， 解不等式，即，解得； 解不等式，即，又恒成立， 所以不等式的解集为， 综上，不等式组的解集为. （2）由，即，即， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 【例题2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由 若成立，则不一定成立，即充分性不成立； 若成立，则一定成立，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件 【例题3】解不等式：(1)； (2)；（3）的解集为 【答案】（1）或；（2）或；（3） 【解析】（1）方法一：（分类讨论） ①当时，原不等式变为：， 解得，所以； ②当时，原不等式变为：， 解得，所以； 综上所述，原不等式的解集为． 方法二：或，解得或， 所以原不等式的解集为． （2） 则有，即，解得或 （3）由, 可得, 即, 所以, 解得, 所以原不等式的解集为. 故答案为: . 【巩固练习1】解下列一元二次不等式： (1)； (2)． 【解析】（1）由，得， 即，所以， 所以不等式得解集为； （2）由，得，无解， 所以不等式的解集为. 【巩固练习2】不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 【巩固练习3】（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将，转化为不等式组求解即可. 【详解】因为，所以 所以即所以不等式的解集为． 【巩固练习4】（24-25高一上·天津·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】化简不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式，不等式， 而集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 【题型3】 由一元二次不等式的解集求参数 基础知识 先判断开口方向，再结合图像，通过韦达定理列出参数相关的方程组 【例题1】（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知不等式的解集为，则的取值分别为（    ） A．3， B．2，1 C．，3 D．1，2 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系即可解题. 【详解】由不等式的解集为， 则1和为方程的两根，且， 所以，解得. 【例题2】（多选题）（2025·高一·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【答案】AC 【解析】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，，故D不正确. 【例题3】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后将都表示成的形式即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得， 所以，所以， 所以. 【巩固练习1】（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】AD 【分析】是方程的两根，且，A正确；由韦达定理得到，，从而解不等式得到B错误，D正确，，C错误. 【详解】由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 【巩固练习2】（多选题）（2024·高一·山东聊城·期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为不等式的解集是， 可得，且，所以，所以， 所以A、C正确，D错误． 因为二次函数的两个零点为，且图像开口向下， 所以当时，，所以B正确． 【巩固练习3】（多选题）若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 【答案】ABD 【详解】因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以，又因为，所以；A．，故正确；B．因为，所以，故正确；C．因为解集为，所以，故错误；D．因为即为，即，解得，故正确 【巩固练习4】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）(多选)若关于x的不等式的解集为，则的值可以是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】BC 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得， 所以，所以， 所以，故的值可以是和， 故选：BC. 【巩固练习5】（25-26高一上·全国·单元测试）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 【答案】ABD 【分析】根据不等式的解集可得，且，，据此可逐项判断求解. 【详解】对于A，因为不等式的解集为，所以，， 二次函数的图象开口向下，因此有最大值，故A正确； 对于BC，，3是关于的一元二次方程的两根， 则，所以，，则，故B正确，C错误； 对于D，不等式即为， 即，即， 解得（舍去）或， 所以，故D正确； 故选：ABD. 【题型4】简单的含参一元二次不等式的解集 【例题1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【解析】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 【例题2】（高一上·山西朔州·阶段练习）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，知，原不等式等价于，再确定相应二次方程的根的大小得不等式的解集. 【详解】由，则，原不等式等价于不等式的解集， 又由，则方程的两根分别为， 当时，，故原不等式的解集为. 【巩固练习1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据t的范围可得，从而即可求得不等式的解集. 【解析】 ， ， 不等式， 即不等式的解集为. （24-25高一上·浙江·期中）当时，关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【分析】确定二次项的系数符号和两根的大小关系，直接写出解集即可. 【解析】因为，又因为， 所以，所以， 又因为，于是等价于， 可得， 所以的解集为. 【巩固练习3】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 【题型5】实数集上的含参一元二次不等式恒成立问题：判别式法 基础知识 一元二次不等式在R上的恒成立问题 与恒成立问题有关的词有：“任意”、“全体实数”、“都”、“一切实数”等. 方法是通过二次函数的图像来理解. 1.若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0； 2.若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0； 3.若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0. 【例题1】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 【例题2】（多选），关于的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由，关于的不等式恒成立得，求得的取值范围，然后根据充分条件与必要条件的概念判断即可得出答案． 【详解】，关于的不等式恒成立，则，解得． 对于A，因为，符合题意，故A正确； 对于B，是充要条件，故B错误； 对于C，因为，符合题意，故C正确； 对于D，因为当时，不一定成立，不符合题意，故D错误 【巩固练习1】（24-25·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，，解得， 即的取值范围为． 【巩固练习2】已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据给定条件，分段讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，依题意，二次函数的图象总在x轴下方， 于是，解得，则 【巩固练习3】（高一下·湖南·阶段练习）(多选)下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对讨论：；，；，结合二次函数的图象，解不等式可得的取值范围，再由充要条件的定义判断即可. 【详解】因为关于的不等式对恒成立， 当时，原不等式即为恒成立； 当时，不等式对恒成立， 可得，即，解得：. 当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立， 综上：的取值范围为：. 所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有 或. 【题型6】一元二次不等式的实际问题 基础知识 一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围 【例题1】（24-25高一上·广东揭阳·期中）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设每件衬衫提价元，则每件衬衫的售价为元，表示出每天出售衬衫的净收入，由不等关系列出不等式，解出的范围，即可得件衬衫的售价的取值范围. 【详解】设每件衬衫提价元，则每件衬衫的售价为元， 则每天出售衬衫的净收入为：（元）， 由题可知，， 整理得，，解得， ， 每件衬衫的售价的取值范围是. 【例题2】（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)单价定为元时利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 【巩固练习1】某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【答案】C 【解析】依题意，每天有套礼服被租出， 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 元. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元， 所以， 即，解得.因为且，所以， 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.故选：C. 【巩固练习2】某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【解析】中，，为等腰直角三角形， 设米，则米，米， 依题意有，解得. 即的长度（单位：米）范围是.故选：B. 【巩固练习3】如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？ 【答案】花卉的宽度至少为 【解析】设花卉带的宽度为，则，可得， 所以，草坪的长为，宽为， 则草坪的面积为， 因为草坪的面积不超过总面积的一半，则， 整理可得，解得，又因为，可得. 所以，花卉的宽度至少为. 模块二 中档题突破 【题型7】 有范围限制的含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法 基础知识 含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题 参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 【例题1】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．9 【分析】将不等式的未知数移到同一侧，得到小于等于关于的函数的最小值，利用基本不等式求解即可. 【解析】由，得对任意的恒成立. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的最大值为10. 【例题2】（广东深圳·高一深圳外国语学校校考）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】参变分离得，再利用基本不等式求的最小值即可得答案． 【详解】关于x的不等式恒成立 即，时恒成立， ， 又， 当且仅当，即时等号成立，． 【巩固练习1】（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以 【巩固练习2】若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为________；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________. 答案：, 【解析】首先分离参数可得，然后结合对勾函数的性质求得，从而可确定的取值范围． 【详解】（1）因为不等式，所以在区间上恒成立，，当x=1时取等号，故 （2）不等式对一切恒成立， 由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递增， 且当时，，所以 故实数的取值范围是． 【巩固练习3】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）设．若函数在区间上的图象恒位于x轴的上方，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得对任意恒成立，分离参数得对任意恒成立，利用分离常数法以及换元法求出的最大值，即可得答案. 【详解】由题意函数在区间上的图象恒位于x轴的上方， 即对任意恒成立， 当时，， 则，即对任意恒成立， 而，令， 则令， 由于在上单调递增，故， 则的最大值为， 故，即实数a的取值范围是. 【题型8】含参一元二次不等式能成立问题（有解问题） 一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围 【例题1】若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：B 【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解. 【详解】因为不等式在上有解， 所以不等式在上有解， 令，则， 所以， 所以实数的取值范围是 【例题2】（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，成立； 当时，抛物线开口向上，成立； 当时，由，得或，所以． 综上所述，． 【巩固练习1】（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是 【巩固练习2】已知命题：“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分离参数法得，只需求出不等式右边的最大值即可． 【详解】，， 设，对称轴为，在上单调递增， 故，即， ，，使得成立， ，，，故 【巩固练习3】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____． 【答案】 【解答】当时，不等式为有解，故，满足题意； 当时，若不等式有解， 则满足，解得或； 当时，此时对应的函数的图象开口向下， 此时不等式总是有解，所以， 综上可得，实数a的取值范围是. 【题型8】一元二次不等式与基本不等式结合 【例题1】已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解即可. 【详解】解：由题设，， 当且仅当时等号成立， ∴要使恒成立，只需， ∴， ∴. 【巩固练习1】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）(多选)已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．的最小值为 C．的解集为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，不等式成立， 即是不等式的一个解，于是，A正确； 对于B，由不等式的解集为， 得且，， 而，当且仅当，即时取等号， 因此，即的最大值为，B错误； 对于C，由选项B知，，即，解得，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 【题型9】一元二次不等式与集合、逻辑用语综合 【例题1】已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，求解出集合，再讨论的范围，解出集合，结合，最后得出的范围. 【详解】由，得到，则； 当时，则，此时， 当时，由，解得或，此时， 当时，由，解得或， 因为，则； 综上所述，. 【例题2】（24-25·河南商丘·期末）已知集合. (1)用区间表示集合； (2)若，求a，b的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）解分式不等式确定集合； （2）分，和确定集合，再由，所以，确定a，b的取值范围. 【详解】（1）由，有，解得或， 所以. （2）因为，所以， 不等式可化为. 时，则，解得但不满足，舍去， 时，因为但，不满足，舍去， 时，解得或， 因为，所以解得， 所以. 【巩固练习1】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）设全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式，得到，，利用交集概念求出答案； （2）求出，得到为的真子集，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）由得：，解得：，即， 当时，， 解得：，即； 故； （2）由（1）知：； 由得：， 即， 因为“”是“”的必要不充分条件，所以为的真子集. 或，解得， 即实数的取值范围为. 【巩固练习2】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合和非空集合，. (1)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2). 【分析】（1）由题意得到，分或或三种情况，得到方程，求出； （2）由题意得到，从而得到不等式，求出的取值范围. 【详解】（1）由命题“，都有，”为真命题知， 因为集合非空，所以或或. 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，无解. 综上，实数的取值是1. （2）因为“”是“”的必要条件，所以， 所以， 解得. 故实数的取值范围是. 【巩固练习3】（高一上·广东深圳·阶段练习）已知：，：. (1)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若是的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解不等式化简命题，由充分不必要条件列出不等式求解； （2）根据命题的关系，可得对应集合互不包含，列出不等式求解. 【详解】（1）由，可得，则：， 又由，可得，则：， 若q是p的充分不必要条件，可得是的真子集， 有，解可得； （2）若q是p的既不充分也不必要条件，则和互不包含， 可得或，解得或. 【巩固练习4】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合，，． (1)当时，是的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若，求实数α的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，，再根据，列出不等式组求解即可； （2）由（1）得或，分、分别求解后再取并集即可. 【详解】（1）因为，， 又因为，所以， 因为是的充分条件，所以， 所以，解得，所以实数的取值范围为：； （2）由（1）得或，， 又因为， 所以当时，有，解得； 当时，或，或或， 解得或或或， 综上所述，实数的取值范围为. 【巩固练习5】（江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一上学期9月阶段性检测数学试卷）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题为假命题，则在上无解，即与，函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题为真命题，则，求出参数求交集即可. 【详解】命题为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点，      由图可知：或， 命题为真命题，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 【巩固练习6】（湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【详解】（1）若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. （2）若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 【巩固练习7】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合，集合. (1)存在，使成立，求集合； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)命题，有，命题，使得成立．若命题为假命题，为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据一元二次函数的系数与根的个数的关系，可求得，又，代入集合，化简即可； （2）由是的必要不充分条件，得且，所以对于恒成立，再解含参的恒成立问题即可； （3）由命题为真命题，得，根据均值不等式求得，从而求得的范围，又为假命题，所以求其补集即为的范围；根据命题的否定，得，使得，再根据一元二次系数与根的关系进行运算求解即可. 【详解】（1）存在，使成立， ，解得， 又， 当时，集合， 此时. （2）由题. 是的必要不充分条件，且， 即对于恒成立， ， 由一元二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以当时，，即，解得， 的取值范围是. （3）由（2）知， 命题，都有，则. ，当且仅当即时取等号， ，即， 若命题为真命题，则，命题为假命题， 命题使得成立， 所以，使得为真命题， 则恒成立， 所以恒成立，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 【题型10】解含参一元二次不等式 基础知识 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏 【例题1】解关于的不等式：. 【解析】不等式，即， 当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或. 【例题2】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先讨论时不等式的解，在时，求得相应方程的两根，通过比较两根的大小可得不等式的解. 【详解】原不等式可化为，即， ①当时，原不等式化为，解得 ②当时，原不等式化为， 原不等式解集， 原不等式解集为， 原不等式解集为， ③当时，原不等式化为． 原不等式解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集； 当时，不等式解集为. 【巩固练习1】解不等式 【解析】即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【巩固练习2】当时，解关于的不等式. 【解析】当时，代入不等式可得，解得； 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为， 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为或， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【巩固练习3】解关于的不等式：． 【分析】根据条件得，讨论与的大小，求解即可． 【详解】原不等式可化为， 讨论与的大小． （1）当，即时，不等式的解为或； （2）当，即时，不等式的解为； （3）当，即时，不等式的解为或． 综上：当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或． 【巩固练习4】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知，关于的一元二次不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由题中条件，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解出即可； （2）依题意可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以关于的一元二次方程的两解为和， 所以，解得； （2）由（1）得关于的不等式 即，因式分解得， ①当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为； ②当时，原不等式为，解得或， 所以不等式的解集为； ③当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为； ④当时，原不等式解得，即不等式的解集为； ⑤当时，原不等式解得，即不等式的解集为； 综上可得：当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为. 【巩固练习5】（24-25高一上·江西）解关于x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【巩固练习6】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数． (1)已知关于x的不等式的解集为，若存在，使关于x的不等式有解，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据不等式的解可求的值，从而可得关于的不等式，故可求的范围； （2）就分类讨论后可得不等式的解集. 【详解】（1）因为的解集为， 所以且的两个根为， 所以，故， 因为不等式在上有解，故或， 故. （2）即为， 故， 若，则，此时不等式的解为； 若，则，此时不等式的解为； 若， 若，则或，此时不等式的解为； 若，则不等式的解为； 若，则或，此时不等式的解为； 综上：当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 【题型11】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 基础知识 变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 【例题1】已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围． 【详解】由题意，因为当，不等式恒成立， 可转化为关于a的函数， 则对任意恒成立， 则满足， 解得， 即x的取值范围为 【巩固练习1】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解． 【详解】可转化为． 设，则是关于m的一次型函数． 要使恒成立，只需，解得． 【巩固练习2】函数，若恒成立，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】采用变换主元的策略，看作关于的一次函数，利用端点函数值不小于0建立不等式组求解即可． 【详解】令，当时，恒成立， 只需 即 解得或． 所以实数x的取值范围是． 故答案为： 【巩固练习3】已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y＜0恒成立，求实数x的取值范围． 【答案】 【详解】解　y＜0⇔mx2－mx－6＋m＜0⇔(x2－x＋1)m－6＜0． ∵1≤m≤3， ∴x2－x＋1＜恒成立， ∴x2－x＋1＜⇔x2－x－1＜0⇔＜x＜． ∴x的取值范围为． 【题型12】一元二次不等式的整数解问题 【例题1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的运算和一元二次不等式的求解即可得到答案； 【详解】若中恰含有3个整数且可得， 若，由集合可得，不符合题意； 若，由集合可得， 此时，因为，所以， 所以实数a的取值范围是 【例题2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，分类讨论，和，解含参的一元二次不等式，再结合不等式恰有四个整数解，即可得出答案. 【详解】不等式，即可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是． 【巩固练习1】（24-25高一上·福建·期中）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对实数的取值进行分类讨论，再由解集中不含有整数限定出不等式可得结果. 【详解】不等式可分解为， 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 当，不等式为，此时解集为空集，符合题意； 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围为. 【巩固练习2】关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】不等式化为，讨论与的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出. 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得. 综上，实数的取值范围是. 【巩固练习3】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知关于的不等式的解集中恰有两个整数，则正整数的值为 ． 【答案】5 【分析】根据给定条件，按分类求出解集，进而求出的值. 【详解】不等式， 显然，否则原不等式解集为空集， 当时，解得，要原不等式的解集中恰有两个整数，必小于0，与为正整数矛盾， 因此，解得，要原不等式的解集中恰有两个整数，则， 所以正整数的值为5. 【巩固练习4】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求得集合，分类讨论解出集合，并根据中恰有两个整数，求出参数的取值范围即可. 【详解】由，可得，解得，所以， 当时，由，可得，， 因为中恰有两个整数，所以，解得， 当，由，可得，， 此时，不符合题意， 综上所述：若中恰有两个整数，实数的取值范围为. 【巩固练习5】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数，不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】解出不等式的解集，再分析非负整数解即可求解. 【详解】， ，即， ， ， 不等式的解集为， 不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数， ，解得，实数a的取值范围为. 【题型13】一元二次方程根的分布 基础知识 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面： 1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）. 2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立） 3. 判定△符号. 4. 判定对称轴的位置.       总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆. （1）二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 （3）一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于； ②两根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内 ②两根都在外 ③两根仅有一根在内 ④一根在内,另一根在内 1． 已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 解析 方法一： 当时，若要满足题意，必须； 当时，若要满足题意，必须； 即，解得。 方法二：(韦达定理) 设是的两个根，若要满足题意等价于 ，解得。 2． （2024·高一·山东潍坊·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 【解析】①当时，解得，满足条件； ②当时，显然方程没有零根， 由，得 设方程的两个实数根为 若方程有两异号实根，则 ，解得； 若方程有两个负的实根，则，解得 ． 综上，若方程至少有一个负的实根，则． 3． 已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【解析】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 4． （24-25高一上·天津·阶段练习）方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解. 【详解】令，由方程的两根都大于， 得，即，解得． 故答案为： 5． （24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 6． 若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为　 　． 答案 解析 设函数， 方程的一个根在区间上，另一根在区间， ，∴，即， 则 即实数的取值范围是； 故答案为：(4，2)． 7． 已知方程的两根分别在区间之内，则实数的取值范 围为　 　． 答案 解析 设， 方程的两根分别在区间，之内， 可得，， 即有，且， 即为，解得． 故答案为：． 8． 若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且， 则实数的取值范围是(　　) 答案 解析 由题意设， 方程有两个不相等的实根，且，， ，则，解得 【巩固练习1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令函数，依题意，的两个不等实根满足， 而函数图象开口向上，因此，解得， 所以实数a的取值范围为. 【巩固练习2】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及方程的根与函数零点的等价关系，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】显然，关于的方程对应的二次函数 当时，二次函数的图象开口向上， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； ②当时，二次函数的图象开口向下， 因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于， 所以，即，解得； 综上所述，实数的范围是． 【巩固练习3】方程的两根分别在与内，则实数的取值范围为(　　) 答案 解析 令 方程的两根分别在与内， ，， ， 的取值范围为． 【巩固练习4】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是　 　． 解析 关于的方程对应的二次函数 若，即图象开口向上， 的两个实根一个小于，另一个大于， 只需，且， 即且，则； 若，即图象开口向下， 的两个实根一个小于，另一个大于， 只需，且， 即且，则． 综上可得的范围是． 故答案为：． 【巩固练习5】已知方程的两根为，且，则的取值范围是　　． 答案 解析 由程， 知对应的函数图象开口方向朝上 又方程的两根满足, 则 ,即 ,即 ， 故答案为 模块三 【课后训练】 1． （24-25高一上·上海·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)；(2)． 【分析】（1）根据绝对值不等式的解法求解即可； （2）根据分式不等式的解法求解即可. 【解析】（1）由，得或， 所以或， 所以不等式的解集为或； （2）由，得， 解得， 所以不等式的解集为. 2． （多选题）（2024·高一·山东泰安·期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】由于不等式的解集为， 所以和是的两个实数根， 所以，故， ，故AB正确， 对于C,不等式为，故，故C错误， 对于D, 不等式可变形为， 解得，故D正确 3． （24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对二次项系数是否为0分类讨论可得正确的选项. 【详解】若，则，此不等式恒不成立，故原不等式无解，符合题设； 若，因为不等式的解为空集，故， 故，综上，， 4． 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，过作于，交于，易知，即， 则，．所以矩形花园的面积， 解得． 5． （24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据分式不等式以及一元二次解求解，为真命题时的范围，即可结合逻辑关系求解. 【详解】由得， 由不等式的解集为，所以或者，解得， 综上为真时，， 故成立是既不充分也不必要条件 6． （24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 7． （24-25高一上·江苏常州·期中）已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个大于个实数根列不等式，结合韦达定理求得正确答案. 【详解】方程有两个大于的实数根， 则， 由题意可得，可得， 代入可得，解得， 所以实数的取值范围为. 8． （24-25高一上·四川绵阳·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求. 【详解】由可得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为， 因为有且仅有3个正整数解，故整数解为， 所以，. 综上，实数的取值范围是. 9． 若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：B 【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解. 【详解】因为不等式在上有解， 所以不等式在上有解， 令，则， 所以，所以实数的取值范围是 10． 已知关于的方程有一根大于，另一根小于，则实数的取值范围是(　　) 答案 解析 设， 若方程有一根大于，另一根小于，则只需要， 即，得， 即实数的取值范围是 11． 关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 12． 已知不等式的解集是，则的值为_____． 【答案】 【解析】因为函数,关于的不等式的解集是，的两根为：和；所以有：且； 且； 13． 解下列关于的不等式：． 【答案】答案见解析. 【分析】对分三种情况讨论得解. 【详解】由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为． 14． （高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于的不等式. （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）. 【解析】（1）不等式化为：， 当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）当时，恒成立，则， 当时，不等式， 依题意，，，而最大值为2，因此， 所以实数的取值范围是. 15． （24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【分析】（1）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分与两类进行讨论求解即可； （2）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分、和三类进行讨论求解即可； 【解析】（1）①若，则原不等式可化为，显然恒成立， ②若，则不等式恒成立， 等价于 ，解得， 综上，实数m的取值范围是. （2）①当时，则原不等式可化为，显然恒成立， ②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 若时不等式恒成立， 则，解得， ③当时，函数的图象开口向下， 若时不等式恒成立， 则，解得， 综上，实数m的取值范围是. 16． 已知，不等式恒成立，求的取值范围 【答案】或 【详解】解因为时，不等式恒成立，即恒成立。当时，不等式不成立，所以。令(其中为自变量)，，问题转化为在时恒大于0，则解得或。所以的取值范围为或 17． （24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数，不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】解出不等式的解集，再分析非负整数解即可求解. 【详解】， ，即， ， ， 不等式的解集为， 不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数， ，解得， 实数a的取值范围为. 18． 解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【解析】由题意可知，可化为 （1）当时，不等式化为，解得， （2）当时，不等式化为，解得， （3）当时，不等式化为，解得或， （4）当时，不等式化为，解得， （5）当时，不等式化为，解得或， 综上所述，时，不等式的解集为 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为; 19． （24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知集合，． (1)若集合，求此时实数的值； (2)已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意、为关于的方程的两根，利用韦达定理计算可得； （2）由是的充分条件，知，分，、三种情况求出，利用集合的包含关系求实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以、为关于的方程的两根， 所以，解得； （2）由，即，解得， 所以， 由命题，命题且是的充分条件， 所以， 由，可得， 当时，解得，即，所以（等号不同时取到），解得； 当时，解得，即，显然不符合题意； 当时，解得，即，所以（等号不同时取到），解得； 综上可得实数的取值范围为. 20． （高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式（其中）. 【答案】(1),． (2)答案见解析. 【分析】（1）分离参数a，转化为函数最值问题求解； （2）分类讨论求解即可． 【详解】（1）不等式即为：， 当,时，可变形为：， 即, 又，当且仅当，即时，等号成立， ，即， 实数的取值范围是：,． （2）不等式， 即， 等价于， 即， 当时， 当时，因为，解不等式得：； 当时，因为，不等式的解集为； 当时，因为，解不等式得：； 综上所述，不等式的解集为： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题2-4 二次函数与一元二次方程，不等式综合（13类题型） 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型1】三个“二次”关系的应用 【题型2】一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式 【题型3】 由一元二次不等式的解集求参数 【题型4】简单的含参一元二次不等式的解集 【题型5】实数集上的含参一元二次不等式恒成立问题：判别式法 【题型6】一元二次不等式的实际问题 模块二 中档题突破 【题型7】 有范围限制的含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法 【题型8】一元二次不等式与基本不等式结合 【题型9】一元二次不等式与集合、逻辑用语综合 【题型10】解含参一元二次不等式 【题型11】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 【题型12】一元二次不等式的整数解问题 【题型13】一元二次方程根的分布 模块三 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】三个“二次”关系的应用 基础知识 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式与的解集的关系，可归纳为： 若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解． 通过以上论述，可对“三个二次”的关系有一个较为全面的了解，在解题中，我们要不失时机的渗透“三个二次”三位一体的思维意识，实现“三个二次”之间的相互转换，能自然规范的运用函数方程思想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想，提高数学解题思维水平。 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 【例题1】（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，若，则的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   【巩固练习2】（24-25高一上·河北保定·期末）关于二次函数，则下列正确的是（    ） A．函数图象与x轴总有两个不同的交点 B．若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则 C．不论k为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点 D．当时，y随x的增大而增大，则 【巩固练习3】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，函数与轴的交点横坐标为、，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型2】一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式 基础知识 1、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形 总结：一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、元二次方程求解，步骤如下： (1)化二次项系数为正； (2)若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则可得到两根x1，x2，那么“y>0”型的解为x<x1或x>x2(俗称“大于取两边”)，“y<0”型的解为x1<x<x2(俗称“小于取中间”)； 2、解绝对值不等式的常见方法 法一：等式两边同时平方 法二：分类讨论去绝对值 法三：利用绝对值的几何意义 3、简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 例： 策略一： 同乘分母的平方 （也可以提公因式） 策略二：也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号： 同乘： 策略三：先将一端变为0，再讨论分子分母是否同号，注意分母不能为0 【例题1】（24-25高一上·天津南开·开学考试）求下列不等式的解集. (1)； (2) 【例题2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题3】解不等式：(1)； (2)；（3）的解集为 【巩固练习1】解下列一元二次不等式： (1)； (2)． 【巩固练习2】不等式的解集为 ． 【巩固练习3】（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【巩固练习4】（24-25高一上·天津·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型3】 由一元二次不等式的解集求参数 基础知识 先判断开口方向，再结合图像，通过韦达定理列出参数相关的方程组 【例题1】（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知不等式的解集为，则的取值分别为（    ） A．3， B．2，1 C．，3 D．1，2 【例题2】（多选题）（2025·高一·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【例题3】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 【巩固练习1】（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【巩固练习2】（多选题）（2024·高一·山东聊城·期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（多选题）若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ） A．且 B． C． D．不等式的解集是 【巩固练习4】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）(多选)若关于x的不等式的解集为，则的值可以是（   ） A． B． C．2 D．4 【巩固练习5】（25-26高一上·全国·单元测试）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 【题型4】简单的含参一元二次不等式的解集 【例题1】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（高一上·山西朔州·阶段练习）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （24-25高一上·浙江·期中）当时，关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型5】实数集上的含参一元二次不等式恒成立问题：判别式法 基础知识 一元二次不等式在R上的恒成立问题 与恒成立问题有关的词有：“任意”、“全体实数”、“都”、“一切实数”等. 方法是通过二次函数的图像来理解. 1.若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0； 2.若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0； 3.若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0. 【例题1】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（多选），关于的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（24-25·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是________ 【巩固练习3】（高一下·湖南·阶段练习）(多选)下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ） A． B． C． D． 【题型6】一元二次不等式的实际问题 基础知识 一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围 【例题1】（24-25高一上·广东揭阳·期中）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ． 【例题2】（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【巩固练习1】某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【巩固练习2】某市有块三角形荒地，如图所示，（单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地，其中点分别在线段上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则的长度（单位：米）范围是（    ）      A． B． C． D． 【巩固练习3】如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？ 模块二 中档题突破 【题型7】 有范围限制的含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法 基础知识 含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题 参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系, ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 【例题1】（24-25高一上·辽宁朝阳·阶段练习）若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．9 【例题2】（广东深圳·高一深圳外国语学校校考）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 ． 【巩固练习1】（24-25高一下·贵州·阶段练习）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为________；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________. 【巩固练习3】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）设．若函数在区间上的图象恒位于x轴的上方，则实数a的取值范围是 ． 【题型8】含参一元二次不等式能成立问题（有解问题） 一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围 【例题1】若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【巩固练习1】（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知命题：“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习3】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____． 【题型8】一元二次不等式与基本不等式结合 【例题1】已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）(多选)已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B．的最小值为 C．的解集为 D．的最小值为 【题型9】一元二次不等式与集合、逻辑用语综合 【例题1】已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25·河南商丘·期末）已知集合. (1)用区间表示集合； (2)若，求a，b的取值范围. 【巩固练习1】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）设全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【巩固练习2】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知集合和非空集合，. (1)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【巩固练习3】（高一上·广东深圳·阶段练习）已知：，：. (1)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若是的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围. 【巩固练习4】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合，，． (1)当时，是的充分条件，求实数a的取值范围； (2)若，求实数α的取值范围． 【巩固练习5】（江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一上学期9月阶段性检测数学试卷）已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习6】（湖北武汉·期末）设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【巩固练习7】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合，集合. (1)存在，使成立，求集合； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)命题，有，命题，使得成立．若命题为假命题，为真命题，求实数的取值范围. 【题型10】解含参一元二次不等式 基础知识 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏 【例题1】解关于的不等式：. 【例题2】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式． 【巩固练习1】解不等式 【巩固练习2】当时，解关于的不等式. 【巩固练习3】解关于的不等式：． 【巩固练习4】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知，关于的一元二次不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【巩固练习5】（24-25高一上·江西）解关于x的不等式： 【巩固练习6】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数． (1)已知关于x的不等式的解集为，若存在，使关于x的不等式有解，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【题型11】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解 基础知识 变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。 【例题1】已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ． 【巩固练习1】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 ． 【巩固练习2】函数，若恒成立，则实数x的取值范围是 ． 【巩固练习3】已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y＜0恒成立，求实数x的取值范围． 【题型12】一元二次不等式的整数解问题 【例题1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（24-25高一上·福建·期中）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习3】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知关于的不等式的解集中恰有两个整数，则正整数的值为 ． 【巩固练习4】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知集合，，若中恰有两个整数，则实数的取值范围为 . 【巩固练习5】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数，不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数，求实数a的取值范围． 【题型13】一元二次方程根的分布 基础知识 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面： 1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）. 2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立） 3. 判定△符号. 4. 判定对称轴的位置.       总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆. （1）二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 （3）一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于； ②两根都大于 ③一根小于，一根大于 （4）一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内 ②两根都在外 ③两根仅有一根在内 ④一根在内,另一根在内 1． 已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 2． （2024·高一·山东潍坊·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 【解析】①当时，解得，满足条件； ②当时，显然方程没有零根， 由，得 设方程的两个实数根为 若方程有两异号实根，则 ，解得； 若方程有两个负的实根，则，解得 ． 综上，若方程至少有一个负的实根，则． 3． 已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 4． （24-25高一上·天津·阶段练习）方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 5． （24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 6． 若方程的一个根在区间上，另一根在区间上，则实数的取值范围为　 　． 7． 已知方程的两根分别在区间之内，则实数的取值范 围为　 　． 8． 若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，且， 则实数的取值范围是(　　) 【巩固练习1】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【巩固练习2】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习3】方程的两根分别在与内，则实数的取值范围为(　　) 【巩固练习4】已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是　 　． 【巩固练习5】已知方程的两根为，且，则的取值范围是　　． 模块三 【课后训练】 1． （24-25高一上·上海·阶段练习）求下列不等式的解集： (1)；(2)． 2． （多选题）（2024·高一·山东泰安·期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 3． （24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4． 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 5． （24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）已知命题，命题q：不等式的解集为，则p成立是q成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6． （24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 7． （24-25高一上·江苏常州·期中）已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为 . 8． （24-25高一上·四川绵阳·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是 . 9． 若不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10． 已知关于的方程有一根大于，另一根小于，则实数的取值范围是(　　) 11． 关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 12． 已知不等式的解集是，则的值为_____． 13． 解下列关于的不等式：． 14． （高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于的不等式. （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 15． （24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知不等式. (1)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当时不等式恒成立，求实数m的取值范围. 16． 已知，不等式恒成立，求的取值范围 17． （24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数，不等式的解集中有且仅有2个整数，且这两个整数均为非负数，求实数a的取值范围． 18． 解关于x的不等式. 19． （24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知集合，． (1)若集合，求此时实数的值； (2)已知命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 20． （高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式（其中）. 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$