2025-2026学年苏科版八年级数学上册期中综合能力提升卷 （第1-3章）

2025-2026学年八年级数学期中测试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】A.图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比上面那根小棒长，这两段相减比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形； B.图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形； C.图中小棒被剪刀剪成两段，这两段相减比上面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形； D.图中小棒被剪刀剪成两段，这两段加起来和上面那根小棒相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形故选A． 2.如图，，下列四个结论中，不正确的是(    ) A. B. 和的周长相等 C. 和的面积相等 D. ，且 【答案】A  【解析】略 3.估算的值在(    ) A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间 【答案】A  【解析】略 4.如图所示，正方形和正方形的面积分别是和，则以为直径的半圆的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 5.如图，是的外角的平分线，，于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】过点作，垂足为因为是的平分线，，所以在和中，所以所以在和中，所以所以设，则又，，所以，，即，解得则的长为． 6.如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点若以，，为三边的三角形的面积为，则的面积可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】连接，因为，分别是，的垂直平分线，所以，由“”可知三边固定的三角形是唯一的．因为以，，为三边的三角形的面积为，所以又，所以，即因为，所以，即则的面积可能是． 7.对于有理数，，定义的含义为：当时，例如：已知，，且和为两个连续正整数，则的立方根为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】，，，且和为两个连续正整数，，，，的立方根为  故选A． 8.如图，在的正方形网格中，以为边画直角三角形，使点在格点上，满足这样条件的点的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】当时，如图，可作出个点， ，，， ，，，为直角三角形． 当时，如图，可作出个点， ，，， ，，，为直角三角形； ，，， ，，，为直角三角形． 当时，如图，可作出个点， ，， ，，，为直角三角形． 综上，以为边画直角三角形，使点在格点上，满足这样条件的点共个． 故选C． 9.如图，通过画边长为的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查实数与数轴，理解”数轴上两点之间的距离等于数轴上这两点表示的数中，较大的数减去较小的数“是关键． 由题意得，，，，，，，表示的数分别为，，，，，，，；，则，从而可知的数为，以此类推即可得，，，，，分别表示的数，进而可求出的长． 【解答】 解：由题意得，，，，，，，表示的数分别为，，，，，，，；， 所以， 所以的数为； 所以， 所以的数为； 所以， 所以的数为； 所以， 所以的数为； 所以， 所以的数为； 所以， 所以的数为； 所以， 所以的数为； 所以． 10.如图，，平分，于点，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】提示：如图，延长，交于点，设交于点因为，所以，所以，因为是的平分线，所以，所以，所以因为，所以因为，所以因为，，所以，所以因为为的中点，所以所以，因为，，所以当时，的面积最大，最大面积为． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.比较大小：          ． 【答案】     【解析】提示：因为，所以，所以． 12.为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在边上，且通过计算，可得           填“”“”或“”． 【答案】     【解析】提示：因为，，，所以由勾股定理，得，因为，所以． 13.如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则           ． 【答案】  【解析】略 14.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，，是方格纸中的两个格点即正方形的顶点在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有          个 【答案】  【解析】如图，满足，在的垂直平分线上且在格点上的点有个． 15.将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则           ． 【答案】  【解析】略 16.如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积分别为，，，，则           ． 【答案】  【解析】略 17.如图，在中，，，点与点关于直线对称，动点，分别在线段，上点不与点，重合，满足当为等腰三角形时，的长度是          ． 【答案】或  【解析】提示：因为点与点关于直线对称，所以，在中，根据勾股定理，得分种情况讨论：当时，由对称性，得，即因为，所以又因为，所以，易证≌，所以此时当时，因为，所以因为点不与点，重合，所以的情况不存在．当时，因为，所以，所以，所以点在的垂直平分线上，设，则在中，由勾股定理，得，即，解得所以综上所述，当为等腰三角形时，的长度是或． 18.如图，在等腰直角三角形纸片中，是斜边的中点，是边上的一点，将沿翻折至，与边相交于点若，则的周长为          ． 【答案】  【解析】如图，过点作于点，于点，于点，连接，因为，，所以因为是的中点，所以平分，所以，由折叠的性质，得，，，所以，，所以平分，所以因为，所以，所以在和中，所以≌，所以，所以． 因为，所以，所以，所以，所以故的周长为． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 已知：和是的两个不同的平方根． 求，的值； 求的平方根． 【答案】(1)由题意，得2x-1+4x+3=0，解得， ∴．   (2)∵，∴． ∵4的平方根为±2，∴1-9x的平方根为±2．   【解析】 略  略 20.本小题分 如图，在中，为边上的高，为边上的一点，连接． 当为边上的中线时，若，的面积为，求的长． 当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1)解：因为是边上的高，，的面积为24，所以．因为为边上的中线，所以．  (2)因为，，所以．因为为的平分线，所以．因为为边上的高，所以．所以．所以．  【解析】 略  略 21.本小题分 某中学计划为新生配备如图所示的折叠凳，图是折叠凳撑开后的侧面示意图木条等材料宽度忽略不计，其中凳腿和的长度相等，是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为由以上信息你能求出的长吗？并说明理由． 【答案】的长为理由如下： 是，的中点，，． 在和中， ，D. 又，．   【解析】略 22.本小题分 如图，在中，． 用直尺和圆规作点，使得点到的两边的距离相等，且；不写作法，保留作图痕迹 过点作，，垂足分别为，，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)如图，点D即为所求．   (2)结论：∠ABD+∠ACD=180°． 理由如下： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF． ∵点D在线段BC的垂直平分线上，∴DB=DC． 在Rt△DEB和Rt△DFC中， ∴，∴∠ABD=∠DCF． ∵∠DCF+∠ACD=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°．   【解析】 略  略 23.本小题分 阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设是互质的正整数． 由的意义，可知． ，          ． 是一个偶数，是一个偶数，           ． 设是正整数， ，          ， 是一个偶数，           ， 和均为偶数， 这与          的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 不是有理数． 【答案】 是一个偶数 是一个偶数 ，是互质的正整数   【解析】略 24.本小题分 如图，在等边三角形外作射线，，点关于直线的对称点为，连接，，其中，分别交射线于点，． 依题意补全图形．求的度数． 用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 若是等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)解：①补全图形如图1所示． ②如图2，连接AP．因为点P，B关于AD对称，所以AP=AB=AC．设∠APC=∠ACP=x，则∠PAC=180°-2x．因为∠BAC=60°，所以∠PAB=180°-2x-60°=120°-2x．因为AP=AB，所以．所以∠BPC=∠APB-∠APC=30°+x-x=30°．   (2)CF=AF+2EF．证明如下： 如图2，连接BF，在CP上取一点T，使得TF=AF，连接AT．因为点B，P关于AD对称，所以AE⊥PB，∠AEB=90°，PF=BF．因为∠BPC=30°，所以∠PFE=∠AFT=60°，BF=PF=2EF．因为AF=TF，所以△AFT是等边三角形，所以AF=AT，∠FAT=60°．因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC，∠BAC=∠FAT=60°，所以∠FAB=60°-∠BAT=∠TAC．在△FAB和△TAC中，所以△FAB△TAC，所以CT=BF．所以CF=TF+CT=AF+BF=AF+2EF．   (3)30°或75°．  【解析】 略  略   提示：当时，，因为，所以因为，所以如图，当时，因为，所以，所以，所以如图，当时，，与重合，不符合题意．综上所述，的度数为或． 25.本小题分 综合与实践． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然．请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． 如图，在中，是边上的高，，，设，求的值． 【答案】(1)证明：由题图，可知，，．因为，所以，所以，所以．  (2)（2）  ​​​​​​​ （3）解：在中，由勾股定理，得．由题意，得．在中，由勾股定理，得．所以，解得．   【解析】 略  提示：由题图，可知，所以，解得． 26.本小题分 在数学实践课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【概念理解】如图，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展开，折痕为四边形，则四边形           筝形填“是”或“不是”． 【性质探究】如图，已知四边形是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明． 【拓展应用】 如图，是锐角三角形的高，将沿边所在直线翻折后得到，将沿边所在直线翻折后得到，延长，交于点． 若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 若，，，，求的长． 【答案】(1)是  (2)性质：筝形有一组对角相等，即；一条对角线被另一条对角线垂直平分，即垂直平分．（答案不唯一） 证明：连接，．因为，，所以垂直平分．又因为，所以，所以．   (3)①的度数为或或．  ​​​​​​​ ②由折叠的性质，得，，，，，．所以，．设，则，．在中，由勾股定理，得，即，解得，所以．   【解析】 略  略  提示：由折叠的性质，得，，，所以，所以分情况讨论：当时，，所以，所以，因为，所以；当时，同理可得；当时，同理可得综上所述，当是等腰三角形时，的度数为或或． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 8页 2025-2026 学年八年级数学期中测试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共 4页，满分为 150 分，考试时间为 100 分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸 一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题 纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共 10小题，每小题 3分，共 30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要 求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．） 1.如图，在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪 成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是( ) A. B. C. D. 2.如图，▵��� ≌ ▵���，下列四个结论中，不正确的是( ) A. ∠� + ∠��� = ∠� + ∠��� B. ▵���和▵���的周长相等 C. ▵���和▵���的面积相等 D. ��/ ​ /��，且�� = �� 3.估算 15 − 2 的值在( ) A. 1 与 2 之间 B. 2 与 3 之间 C. 3 与 4 之间 D. 4 与 5 之间 4.如图所示，正方形����和正方形����的面积分别是 100 和 36，则以��为直径的半圆的面积是( ) A. 4� B. 8� C. 12� D. 16� 5.如图，��是△ ���的外角∠���的平分线，�� = ��，�� ⊥ ��于点�.若�� = 5， �� = 3，则��的长为( ) A. 2 B. 1.5 C. 1 D. 0.5 6.如图，在△ ���中，∠��� > 90°，��的垂直平分线交��于点�，交��于点�，�� 的垂直平分线交��于点�，交��于点�.若以��，��，��为三边的三角形的面积为 8， 第 2页，共 8页 则△ ���的面积可能是( ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7.对于有理数�，�，定义���{�, �}的含义为：当� < �时，���{�, �} = �.例如：���{1, − 2} =− 2.已知 min{ 40, �} = �，min{ 40, �} = 40，且�和�为两个连续正整数，则� − �的立方根为( ) A. −1 B. 1 C. −2 D. 2 8.如图，在 5 × 5 的正方形网格中，以��为边画直角三角形���，使点�在格点上，满足这样条件的点�的 个数是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 9.如图，通过画边长为 1 的正方形，就能准确的把 2表示在数轴上点�1处，记�1右侧最近的整数点为�1， 以点�1为圆心，�1�1为半径画半圆，交数轴于点�2，记�2右侧最近的整数点为�2，以点�2为圆心，�2�2 为半径画半圆，交数轴于点�3，如此继续，则�8�8的长为( ) A. 2 − 1 B. 2 C. 2 + 1 D. 2 − 2 10.如图，�� = �� = 3，��平分∠���，�� ⊥ ��于点�，�为��的中点，则图中两个阴影部分面积之差的 最大值为( ) A. 1.5 B. 3 C. 4.5 D. 9 第 3页，共 8页 二、填空题（本题共 8小题，第 11~12 题每小题 3 分，第 13~18 题每小题 4 分，共 30 分，不需写出解答过 程，把最后结果填在答题纸对应的位置上）． 11.比较大小： 6−12 1 2． 12.为了比较 5 + 1 与 10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠� = 90∘，�� = 3，点�在边 ��上，且�� = �� = 1.通过计算，可得 5 + 1 10(填“>”“<”或“=”)． 13.如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子(�� = ��)，且�� = ��，已知�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，则∠� + ∠� = ∘． 14.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，�，�是方格纸中的两个格点(即正方形的 顶点).在这张 5 × 5 的方格纸中，找出格点�，使�� = ��，则满足条件的格点�有 个. 15.将一张长方形纸片按如图所示折叠，若�� = 6��，点�到��距离为 4��，则�△��� = ��2． 16.如图，在直线�上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为 1.0，1.21，1.44，正 放置的四个正方形的面积分别为�1，�2，�3，�4，则�1 + �4 = ． 第 4页，共 8页 17.如图，在▵���中，�� = 4，�� = 3，点�与点�关于直线��对称，动点�，�分别在线段��，��上(点 �不与点�，�重合)，满足∠��� = ∠���.当▵���为等腰三角形时，��的长度是 ． 18.如图，在等腰直角三角形纸片���中，�是斜边��的中点，�是边��上的一点，将△ ���沿��翻折至 △ �′��，�′�与边��相交于点�.若�� = 10，则△ ���的周长为 ． 三、解答题（本题共 8小题，共 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）. 19.(本小题 8 分) 已知：2� − 1 和 4� + 3 是�的两个不同的平方根． (1)求�，�的值； (2)求 1 − 9�的平方根． 20.(本小题 8 分) 如图，在▵���中，��为边��上的高，�为边��上的一点，连接��． (1)当��为边��上的中线时，若�� = 6，▵���的面积为 24，求��的长． (2)当��为∠���的平分线时，若∠� = 66∘，∠� = 36∘，求∠���的度数． 第 5页，共 8页 21.(本小题 8 分)某中学计划为新生配备如图 1 所示的折叠凳，图 2 是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等 材料宽度忽略不计)，其中凳腿��和��的长度相等，�是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开 后的折叠凳宽度��设计为 35 ��.由以上信息你能求出��的长吗？并说明理由． 22.(本小题 8 分)如图，在△ ���中，�� > ��． (1)用直尺和圆规作点�，使得点�到∠���的两边的距离相等，且�� = ��；(不写作法，保留作图痕迹) (2)过点�作�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，垂足分别为�，�，连接��，��.判断∠���与∠���的数量关系，并说明 理由． 第 6页，共 8页 23.(本小题 8 分)阅读下列材料：“为什么 2不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设 2是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设 2 = �� (�, �是互质的正整数)． 由 2的意义，可知 �� 2 = 2． ∴ � 2 �2 = 2，∴ ． ∵ 2�2是一个偶数，∴ �2是一个偶数， ∴ ． 设� = 2�(�是正整数)， ∴ (2�)2 = 2�2，∴ �2 = ， ∴ �2是一个偶数， ∴ ， ∴ �和�均为偶数， 这与 的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“ 2是一个有理数”不成立， ∴ 2不是有理数． 24.(本小题 8 分) 如图，在等边三角形���外作射线��，∠��� = �(0° < � < 90°)，点�关于直线��的对称点为�，连接��， ��，其中��，��分别交射线��于点�，�． (1) ①依题意补全图形．②求∠���的度数． (2)用等式表示线段��，��与��之间的数量关系，并证明． (3)若△ ���是等腰三角形，请直接写出�的度数． 第 7页，共 8页 25.(本小题 8 分) 综合与实践． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图 1 是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三 角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于�2，另一种是等于四 个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 1 2 �� × 4 + � − � 2，从而得到等式�2 = 12 �� × 4 + � − � 2， 化简便得结论�2 + �2 = �2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求 法”． (1)【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向 常春在 2010 年构造发现了一个新的证法：把两个全等的��▵���和��▵���按如图 2 所示的方式放置，其 三边长分别为�，�，�，∠��� = ∠��� = 90∘，显然�� ⊥ ��．(1)请用�，�，�，分别表示出四边形����， 梯形����，▵���的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理�2 + �2 = �2． (2)【方法迁移】 (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图 3，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个顶点，可得▵���， 边��上的高为_________． (3)如图 4，在▵���中，��是边��上的高，�� = 5，�� = 6，�� = 7.设�� = �，求�的值． 第 8页，共 8页 26.(本小题 8 分) 在数学实践课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的 四边形叫作“筝形”． (1)【概念理解】如图 1，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展开，折痕为四边形 ����，则四边形���� 筝形(填“是”或“不是”)． (2) 【性质探究】如图 2，已知四边形����是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么 几何特征，然后写出一条性质并进行证明． (3) 【拓展应用】 如图 3，��是锐角三角形���的高，将▵���沿边��所在直线翻折后得到▵���，将▵���沿边��所在直 线翻折后得到▵���，延长��，��交于点�． ①若∠��� = 50∘，当▵���是等腰三角形时，请直接写出∠���的度数． ②若∠��� = 45∘，�� = 2，�� = 5，�� = �� = ��，求��的长． 2025-2026学年八年级数学期中测试卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共4页，满分为150分，考试时间为100分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上．） 1.如图，在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，，下列四个结论中，不正确的是(    ) A. B. 和的周长相等 C. 和的面积相等 D. ，且 3.估算的值在(    ) A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间 4.如图所示，正方形和正方形的面积分别是和，则以为直径的半圆的面积是(    ) A. B. C. D. 5.如图，是的外角的平分线，，于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点若以，，为三边的三角形的面积为，则的面积可能是(    ) A. B. C. D. 7.对于有理数，，定义的含义为：当时，例如：已知，，且和为两个连续正整数，则的立方根为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在的正方形网格中，以为边画直角三角形，使点在格点上，满足这样条件的点的个数是(    ) A. B. C. D. 9.如图，通过画边长为的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，，平分，于点，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分，不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上）． 11.比较大小：          ． 12.为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在边上，且通过计算，可得           填“”“”或“”． 13.如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则           ． 14.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形，，是方格纸中的两个格点即正方形的顶点在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有          个 15.将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则           ． 16.如图，在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，，，正放置的四个正方形的面积分别为，，，，则           ． 17.如图，在中，，，点与点关于直线对称，动点，分别在线段，上点不与点，重合，满足当为等腰三角形时，的长度是          ． 18.如图，在等腰直角三角形纸片中，是斜边的中点，是边上的一点，将沿翻折至，与边相交于点若，则的周长为          ． 三、解答题（本题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 19.本小题分 已知：和是的两个不同的平方根． 求，的值； 求的平方根． 20.本小题分 如图，在中，为边上的高，为边上的一点，连接． 当为边上的中线时，若，的面积为，求的长． 当为的平分线时，若，，求的度数． 21.本小题分某中学计划为新生配备如图所示的折叠凳，图是折叠凳撑开后的侧面示意图木条等材料宽度忽略不计，其中凳腿和的长度相等，是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为由以上信息你能求出的长吗？并说明理由． 22.本小题分如图，在中，． 用直尺和圆规作点，使得点到的两边的距离相等，且；不写作法，保留作图痕迹 过点作，，垂足分别为，，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 23.本小题分阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设是互质的正整数． 由的意义，可知． ，          ． 是一个偶数，是一个偶数，           ． 设是正整数， ，          ， 是一个偶数，           ， 和均为偶数， 这与          的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 不是有理数． 24.本小题分 如图，在等边三角形外作射线，，点关于直线的对称点为，连接，，其中，分别交射线于点，． 依题意补全图形．求的度数． 用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 若是等腰三角形，请直接写出的度数． 25.本小题分 综合与实践． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然．请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． 如图，在中，是边上的高，，，设，求的值． 26.本小题分 在数学实践课上，老师让学生以“折叠筝形”为主题开展数学实践探究活动．定义：两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【概念理解】如图，将一张纸对折压平，以折痕为边折出一个三角形，然后把纸展开，折痕为四边形，则四边形           筝形填“是”或“不是”． 【性质探究】如图，已知四边形是筝形，请用测量、折叠等方法猜想筝形的角、对角线有什么几何特征，然后写出一条性质并进行证明． 【拓展应用】 如图，是锐角三角形的高，将沿边所在直线翻折后得到，将沿边所在直线翻折后得到，延长，交于点． 若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 若，，，，求的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$