专题1.9 一元二次方程全章复习与巩固（单元复习•强化精讲精练）-2025-2026学年九年级数学上册考点精讲与题型精练（人教版）

专题1.9 一元二次方程全章复习与巩固 （单元复习·强化精讲精练） 4大核心知识梳理+9大重点题型精练+4大类综合压轴题精练+中考真题综合练 · 了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转换、降次等数学思想 · 通过根的判别式判断一元二次方程的情况，了解根与系数的关系 · 能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力 要点一、一元二次方程的有关概念 （1）一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程． （2）一元二次方程的一般式： （3）一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【注意】 （1）判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：一个未知数；未知数的最高次数为2. （2）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 （1）基本思想：一元二次方程一元一次方程 （2）基本解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【注意】解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 （1）一元二次方程根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即. 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； 当△<0时，一元二次方程没有实数根. （2）一元二次方程的根与系数的关系： 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 【注意】 （1）一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　不解方程判定方程根的情况； 　　根据参系数的性质确定根的范围； 　　解与根有关的证明题． （2）一元二次方程根与系数的应用很多： 已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 （1）列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. （2）利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. （3）解决应用题的一般步骤： 审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等） 设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量） 列（根据题目中的等量关系，列出方程） 解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰） 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答（写出答案，切忌答非所问） （4）常见应用题型：数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 【注意】列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 题型一、由一元二次方程的概念求参数的值 1．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 2．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 题型二、一元二次方程的解的估算 5．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 6．（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 7．（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 题型三、配方法的应用 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 10．（2025·广东佛山·一模）如果正实数，满足，那么的最小值为（   ） A．0 B． C．41 D．1 11．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 12．（24-25九年级上·湖南永州·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 题型四、利用根与系数的关系降次求值 13．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，是的两个根，则的值为（   ） A．27 B．28 C．4 D．3 14．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，是方程的两个实数根，则代数的值是（          ） A．4049 B．4047 C．2024 D．1 15．（20-21九年级上·四川·阶段练习）已知，是方程的两个根，那么 ． 16．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 题型五、由一元二次方程根的情况求参数取值范围 17．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是（   ） A．1 B．4 C．6 D．8 19．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知一元二次方程的两根为，，若方程（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·四川南充·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，满足不等式，求的取值范围． 题型六、换元法解一元二次方程 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 22．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知实数满足，则的值为（   ） A． B．4 C．或4 D．2 23．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知关于x的方程的两根为，则方程的两根分别是 ． 24．（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 题型七、根与系数关系的综合应用 25．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； 26．（2025·云南临沧·模拟预测）已知关于是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是___________；（填写序号） (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 27．（2025·河北张家口·模拟预测）已知矩形的对角线长，且矩形两条边和的长恰好是关于x的一元二次方程的两根． (1)试说明，无论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)求矩形的周长和面积． 28．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决 请你完成下面两个问题： (1)已知实数、满足、，求的值． (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 题型八、一元二次方程的实际应用 29．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是多少斤？（用含的代数式表示）； (2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 30．（24-25九年级下·山东烟台·期末）某种商品在某电商平台1月份的销量是5万件，3月份的销量是万件． (1)若该平台1月份到3月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)某商场销售这种商品，每件进价为40元．市场调研发现：当每件售价为80元时，平均每天能售出20件；而当售价每降低1元时，平均每天就能多售出4件．为尽量减少库存，商场决定降价促销，若想使这种商品的销售利润平均每天达到1400元，每件售价应降低多少元？ 31．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 32．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，修建所用木栏总长30米． (1)矩形的面积为， 求出的长； (2)矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 题型九、一元二次方程中的新定义问题 33．（24-25九年级下·全国·假期作业）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，，因为是的2倍，所以方程是“一元二次倍根方程”．已知是正整数，若关于的一元二次方程是“一元二次倍根方程”，且关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的值为 ． 34．（2025·广东广州·二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ． 35．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)方程的“两根点”的坐标为______（直接写出）； (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”． ①若点在直线上，求的值； ②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为______（直接写出结果）． 36．（24-25八年级下·浙江温州·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 压轴专练一、利用一元二次方程解决三角形中的动点问题 1．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为，与此同时，点从点开始沿边运动，速度为，当点到达点时，点，同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)当时，求线段的长； (2)当为何值时？ (3)在点运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 2．（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在中，，，，若点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，运动时间为秒．    (1)_________，_________（用含有t的代数式表示） (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 3．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，C两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点停止运动．设运动时间为． (1)当_________时，？当_________时，的长度为？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积为？若存在，请求出此时的t值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）在中，，，． (1)如图1，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点，同时出发，经过秒后，的长为______． (2)在（1）的条件下，经过几秒的面积等于？ (3)如图2，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点，同时出发，经过几秒的面积等于？ 压轴专练二、利用一元二次方程解决四边形中的动点问题 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，． (1)当______时，点在的垂直平分线上； (2)当为何值时，的长度等于? (3)是否存在t的值，使得的面积等于?若存在，请求出此时的值：若不存在，请说明理由． 6．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向点移动，点从点开始以的速度沿边向点移动，分别从点同时出发，设运动时间为秒． (1)经过几秒，是等腰三角形？ (2)是否存在某个时刻，使的面积是矩形面积的？ (3)是否存在某个时刻，使成为直角三角形？为什么？ 7．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图，菱形中， 交于点 O， ，动点 M 从 A 点出发沿方向以匀速直线运动到 C 点，动点 N 从 B 点出发沿方向以匀速直线运动到 D 点．若 M，N 同时出发，设运动时间为 t 秒：    (1)当时， ， ．（用 t 表示） (2)当秒时， 的面积为多少？ (3)点 M 到达点 C 后立即原路返回，速度保持不变，直到点 N 到达 D 后同时停止运动，那么在整个移 动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，求出运动时间；若不存在，请说 明理由． 8．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 压轴专练三、利用一元二次方程解决坐标系中的动点问题 9．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，正方形放在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，A、C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点B的坐称为．已知点E、点F分别从点A、B同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度在线段上来回运动．点F沿方向，以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点F到达点O时，E、F两点都停止运动．在E、F的运动过程中，存在某个时刻，使得的面积为6．则点E的坐标为 ． 10．（21-22九年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C（12，0）作矩形，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒． (1)当t=_____时，点P移动到点D； (2)当△OPQ的面积为16时，求此时t的值； (3)当为何值时，△PQB为直角三角形． 11．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，以为邻边作矩形，其面积是8．    (1)求直线的解析式； (2)如图2，点从点出发，沿线段向终点运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿线段向终点运动，速度为每秒1个单位长度，连接，两点同时出发，运动时间为秒，当为何值时，的面积为； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，两点同时停止运动，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 压轴专练四、一元二次方程中的规律探究问题 12．（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 13．（2025·安徽阜阳·二模）数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：．他们继续研究下面用“※”和“”组成的图案中“※”和“”的个数问题： 【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“※”的个数为__________； （2）第n个图案中“”的个数为__________； 【规律应用】 （3）结合图案中“※”和“”的排列方式及上述规律，求第几个图案中“”的个数比“※”的个数多77． 14．（2025·安徽芜湖·二模）【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 15．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）【观察思考】 【规律发现】 （1）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形个数记作，，图中小正方形个数记作，则______，______；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）结合上述规律，试说明是否存在正整数，使得等于的4倍？ （2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． （2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 （2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 （2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 （2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． （2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 （2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 （2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． （2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． （2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． （2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． （2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． （2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． （2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． （2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． （2023·湖北宜昌·中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． (1)求豆沙粽和肉粽的单价； (2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． （2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． （2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.9 一元二次方程全章复习与巩固 （单元复习·强化精讲精练） 4大核心知识梳理+9大重点题型精练+4大类综合压轴题精练+中考真题综合练 · 了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转换、降次等数学思想 · 通过根的判别式判断一元二次方程的情况，了解根与系数的关系 · 能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力 要点一、一元二次方程的有关概念 （1）一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程． （2）一元二次方程的一般式： （3）一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【注意】 （1）判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：一个未知数；未知数的最高次数为2. （2）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 要点二、一元二次方程的解法 （1）基本思想：一元二次方程一元一次方程 （2）基本解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【注意】解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． 要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 （1）一元二次方程根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即. 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； 当△<0时，一元二次方程没有实数根. （2）一元二次方程的根与系数的关系： 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 【注意】 （1）一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　不解方程判定方程根的情况； 　　根据参系数的性质确定根的范围； 　　解与根有关的证明题． （2）一元二次方程根与系数的应用很多： 已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 （1）列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性. （2）利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. （3）解决应用题的一般步骤： 审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等） 设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量） 列（根据题目中的等量关系，列出方程） 解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰） 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答（写出答案，切忌答非所问） （4）常见应用题型：数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 【注意】列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 题型一、由一元二次方程的概念求参数的值 1．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知且，从而解得答案． 【详解】解：是一元二次方程 且 故答案为： 2．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟记定义是解本题的关键． 由关于x的方程是一元二次方程，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据定义可知，且，求出解即可． 【详解】解：根据题意，得，且， 解得：． 故答案为：1． 4．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 题型二、一元二次方程的解的估算 5．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，看0在相对应方程的哪两个值之间，那么近似解就在这两个对应的值对应的x的值之间，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴当时，一定有一个x对应的值，使得， ∴一元二次方程的一个解x的取值范围是， 故选：B． 6．（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 7．（2025·宁夏吴忠·二模）观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是． 【详解】解：， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 8．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于，一个大于，从而可判断当的某个值时，代数式的值为． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解的取值范围为：， 故选：B． 题型三、配方法的应用 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，非负数的性质，将变形，然后根据非负数的性质和式子的结果，可以求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ∴当时，， 解得：， ， 故选：B． 10．（2025·广东佛山·一模）如果正实数，满足，那么的最小值为（   ） A．0 B． C．41 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，再变形为，结合非负数的性质即可得解． 【详解】解：∵正实数，满足， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 11．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查配方法的应用，把代入代数式，利用配方法，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值等于2； 故答案为：2． 12．（24-25九年级上·湖南永州·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 题型四、利用根与系数的关系降次求值 13．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，是的两个根，则的值为（   ） A．27 B．28 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，． 根据一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，得出，，，，整体代入求值即可得到答案． 【详解】解：m，n是方程的两根， ，，，， ，， 故选A． 14．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，是方程的两个实数根，则代数的值是（          ） A．4049 B．4047 C．2024 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握方程根的定义和根与系数的关系，完全平方公式变形，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为．根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到和，即得． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 15．（20-21九年级上·四川·阶段练习）已知，是方程的两个根，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，即，由题意可得，即，于是可推出，进而可得，化简即可得出答案． 【详解】解：，是方程的两个根， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系， （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求得两个不等式的公共部分即可； （2）确定，方程变为，利用根与系数的关系得到，，利用一元二次方程的定义得到，，则，，然后利用整体代入法计算的值； 解题的关键是掌握：①一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；②式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且； （2）∵取满足（1）中条件的最小整数， ∴， 此时方程变为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 题型五、由一元二次方程根的情况求参数取值范围 17．（2025·福建三明·一模）已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 18．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是（   ） A．1 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得到，根据得到，推出，根据推出，代入，推出的最大值是6． 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌两根之和与两根之积与系数的关系，解方程组，运用配方法求最值． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实根、， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值6． 故选：C． 19．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知一元二次方程的两根为，，若方程（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的两根为，，得，，得到方程为，于是得到的两个根均为正数，建立不等式组，求不等式组的解集，判断即可． 本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，根的判别式，不等式组的解法，熟练掌握定理，根的判别式，正确解不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴方程为， ∵的两个根均为正数，设两个根为： ∴， 解不等式组，得， 故选：C． 20．（24-25九年级上·四川南充·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，满足不等式，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系和根与系数的关系是解决此题的关键． （1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，再变形已知条件，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ． 由（1）知， ． 题型六、换元法解一元二次方程 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则所求的方程可转化为方程，从而可得，，将代入计算即可得． 【详解】解：令， 则方程可转化为方程， ∵一元二次方程的两根分别为，1， ∴方程的两根分别为，1， ∴，， 即，， ∴，， 即方程的两根分别为，， 故选：D． 22．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知实数满足，则的值为（   ） A． B．4 C．或4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， 解得或， ∴当，即时，此时方程无解， ∴， 故选：B． 23．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知关于x的方程的两根为，则方程的两根分别是 ． 【答案】0或1 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握运用换元法解一元二次方程成为解题的关键． 设可得，再根据方程的解的定义可得，最后确定方程的两根即可． 【详解】解：设，则方程可化为， ∵关于x的方程的两根为， ∴关于t的方程的两根为， ∵， ∴， ∴程的两根分别是0或1． 故答案为：0或1． 24．（2025九年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，． (2)， 【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键； （1）把原方程化为：，设，则．再按照一元二次方程的解法求解即可； （2）把原方程化为：，设，则，再按照解一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则． 解得：，． 当时，， ∴； 当时， ∴； ∴原方程的解是：，，． （2）解：∵， ∴， 即． 设，则， 解得：，． 当时，即， ∴或． 当时，即， ∴方程无解． ∴原方程的解是：，． 题型七、根与系数关系的综合应用 25．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； 【详解】（1）证明：， ； ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ． 26．（2025·云南临沧·模拟预测）已知关于是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是___________；（填写序号） (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】此题考查了勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握“差根方程”的定义是解题的关键． （1）解方程并根据定义进行判断即可； （2）解方程得到，，根据定义得到，即； （3）分为斜边和为直角边两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 该方程是差根方程； ， ， ， ， 该方程不是差根方程； 故答案为： （2）， 因式分解得：， 解得：， 关于x的方程是“差根方程”， ； （3）设 当为斜边时，， ， ， ， 解得， ， 解得舍去，边长不能为负， ， 方程为， 当为斜边，则， ， ， ， 当时，时，解得由韦达定理可得方程为， 当时，(边长不能为负，舍去， 综上，这个差根方程为和 27．（2025·河北张家口·模拟预测）已知矩形的对角线长，且矩形两条边和的长恰好是关于x的一元二次方程的两根． (1)试说明，无论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)求矩形的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)矩形的周长为，面积为 【分析】（1）根据题意只需证明即可； （2）由根与系数的关系得到，再有勾股定理和矩形的性质得到，即，进而可得，据此解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，， ， 无论k取何值，方程总有两个不相等的有实数根； （2）解：和是方程的两个根， ， 矩形的对角线长， ，即， ， 整理得：， 解得：， ， ， ， 矩形的周长为：， 矩形的面积为：． 【点睛】本题考查了接一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质和勾股定理，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． 28．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决 请你完成下面两个问题： (1)已知实数、满足、，求的值． (2)已知实数、、满足、，且，求的最大值． 【答案】(1)或 (2)的最大值为 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，若是一元二次方程的两根时，则． （1）当时， 、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，代入计算解题； （2）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，求出c的取值范围即可解题． 【详解】（1）解：当时， ∵实数、满足， ∴、可看作方程的两根， ， ∴原式， 当， 则原式； 综上所述，原式的值为或； （2）解：， ∴将、看作是方程 的两实数根， ，而 ， ， ， 即， ∴的最大值为． 题型八、一元二次方程的实际应用 29．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是多少斤？（用含的代数式表示）； (2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【答案】(1) (2)张阿姨需将每斤的售价降低1元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列出代数式，根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据销售量原来销售量降价增加的销售量，即可解答； （2）设将每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤，根据题意列出方程，解方程求出x的值，再结合题意“每天至少售出280斤”，即可得出结论． 【详解】（1）解：将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤； 故答案为：． （2）解：设将每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤， 依题意得，， 整理得，， 解得：，， 当时，每天的销售量是斤，符合题意； 当时，每天的销售量是斤，不符合题意，舍去； ． 答：张阿姨需将每斤的售价降低1元． 30．（24-25九年级下·山东烟台·期末）某种商品在某电商平台1月份的销量是5万件，3月份的销量是万件． (1)若该平台1月份到3月份销量的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)某商场销售这种商品，每件进价为40元．市场调研发现：当每件售价为80元时，平均每天能售出20件；而当售价每降低1元时，平均每天就能多售出4件．为尽量减少库存，商场决定降价促销，若想使这种商品的销售利润平均每天达到1400元，每件售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)30元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是x，然后根据题意列出关于x的一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，再利用总利润、每件的销售利润和日销售量的关系列出关于y的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是x， 由题意可得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：月平均增长率是 （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， 答：每件售价应降低30元． 31．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是x，则最大数是，根据题意列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是，，，根据题意列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【详解】（1）解：设最小数是x，则最大数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） 答：最小数是10； （2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 32．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，修建所用木栏总长30米． (1)矩形的面积为， 求出的长； (2)矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)6米 (2)不能，理由见详解 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．正确的识图，掌握矩形的面积公式，准确的列出方程，是解题的关键． （1）根据题意，求出的长，利用矩形的面积为长乘宽，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）同（1）列出方程，判断判别式的符号，即可得出结论． 【详解】（1）解：设矩形的一边长为， 则：， 由题意，得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； ， ∴的长为 6 米； （2）解：不能，理由如下： 由题意，得：， 整理，得：， ∴一元二次方程没有实数根， ∴矩形的面积不能为． 题型九、一元二次方程中的新定义问题 33．（24-25九年级下·全国·假期作业）定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一个根是另一个根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如：方程的两个根为，，因为是的2倍，所以方程是“一元二次倍根方程”．已知是正整数，若关于的一元二次方程是“一元二次倍根方程”，且关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的值为 ． 【答案】2或5 【分析】本题考查根的判别式和因式分解法解一元二次方程，用因式分解法求解方程得出，，再根据一元二次方程根的判别式，得出的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 总有两个不相等的实数根， ， 解得， 是正整数， ，2，3，4，5，6， 方程是“倍根方程”， 能被整除或能被3整除， ∴或6或 或5或0(舍去)． 故答案为：2或5． 34．（2025·广东广州·二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，根据新定义得：，，由可得到一元二次方程，求解即可．根据题意得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 35．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)方程的“两根点”的坐标为______（直接写出）； (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”． ①若点在直线上，求的值； ②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为______（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了解一元二次方程、一次函数的应用、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先利用因式分解法解方程可得，，再结合定义即可得解； （2）①先解方程得出，再代入直线，计算即可得解；②由①可得点在直线上，令直线交轴于，交轴于，当于时，最小，作于，证明为等腰直角三角形，得出，从而可得，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴方程的“两根点”的坐标为； （2）解：①∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； ②由①可得， ∴点在直线上， 如图所示，令直线交轴于，交轴于，当于时，最小，作于， ， 在中，当时，，即；当时，，解得，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴． 36．（24-25八年级下·浙江温州·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)③ (2)或 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得：，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：设的两个根为，， 由韦达定理得，． ∵为“邻根方程”， ∴，可得， 即， 代入得． 压轴专练一、利用一元二次方程解决三角形中的动点问题 1．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边运动，速度为，与此同时，点从点开始沿边运动，速度为，当点到达点时，点，同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)当时，求线段的长； (2)当为何值时？ (3)在点运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3)在点运动过程中，的值不可能为5，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键． （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解，，，再利用勾股定理求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可； （3）利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， ∴； （2）解：由题意，，， ∴，， ， ， ∵ ∴， 整理，得， 解得，， ∵当点到达点时，点，同时停止运动， ∴， ∴， 答：当时，； （3）解：在点运动过程中，的值不可能为5．理由： 由得， ∵， ∴方程无实数根， 故在点运动过程中，的值不可能为5． 2．（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在中，，，，若点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，运动时间为秒．    (1)_________，_________（用含有t的代数式表示） (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)秒或2秒 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．解题的关键是正确的识图，准确的列出一元二次方程． （1）点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，即可表示出和的长度； （2）和的长度，根据利用勾股定理可列方程求解； （3）利用三角形面积公式列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况． 【详解】（1）解：根据题意得， 则，； （2）解：设秒后，， 则，， 在中，得， 解得：，， 故经过秒或2秒后，线段的长为； （3）解：不能． 理由：设经过秒，的面积等于， 则，， ∴， 即， ， 该方程无实数解． 的面积不会等于． 3．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，C两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点停止运动．设运动时间为． (1)当_________时，？当_________时，的长度为？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积为？若存在，请求出此时的t值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4 (2)存在， (3)存在， 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． （1）根据题意可得：，，再根据题意分别列出方程求解即可； （2）根据，列出方程求解即可； （3）根据当时，，列出方程求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得：， 则， 当时，，解得：； 当的长度为时，， 解得：或（舍去）； 故答案为：；4． （2）解：存在． ∵， ， ∴， 整理得：， 解得：，． ∵， ∴， ∴当时，的面积为． （3）解：存在． 若，则， 即， 整理得：， 解得：，． ∵， ∴， ∴当时，的面积与四边形的面积之比等于． 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）在中，，，． (1)如图1，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点，同时出发，经过秒后，的长为______． (2)在（1）的条件下，经过几秒的面积等于？ (3)如图2，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动．当一点到达终点时，另一点随即停止移动．如果点，同时出发，经过几秒的面积等于？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理； （1）根据含度角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理求得的长，进而根据路程等于速度乘以时间，再列代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程，求解即可求出答案； （3）画出图形，根据，求出边上的高，根据面积列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． （2）设经过t秒，的面积等于． 由题意，得， 化简，得， 解得，． 答：经过秒或秒，的面积等于． （3）如图，连接，过点Q作于点H． ∵，， ∴． ∵， ∴当的面积等于时，， 即， 整理，得， 解得． 答：经过秒，的面积等于． 压轴专练二、利用一元二次方程解决四边形中的动点问题 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，． (1)当______时，点在的垂直平分线上； (2)当为何值时，的长度等于? (3)是否存在t的值，使得的面积等于?若存在，请求出此时的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，； (3)不存在，理由见解析 【分析】设运动的时间为秒，可得：，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； 先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可； 先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，点在的垂直平分线上， 设运动的时间为秒， 则，，， 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． （2）解：设运动的时间为秒， 则有，， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； （3）解：不存在； ，， ， ， 整理得：， ，，， ， 该方程无解， 不存在的值，使得的面积等于． 【点睛】本题考查了动点问题、线段垂直平分线的性质、一元二次方程的应用、勾股定理及矩形的性质，解决本题的关键是根据动点运动的时间用含的代数式表示出线段的长度，根据线段垂直平分线的性质、勾股定理列一元二次方程并求解． 6．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向点移动，点从点开始以的速度沿边向点移动，分别从点同时出发，设运动时间为秒． (1)经过几秒，是等腰三角形？ (2)是否存在某个时刻，使的面积是矩形面积的？ (3)是否存在某个时刻，使成为直角三角形？为什么？ 【答案】(1)经过4秒，是等腰三角形； (2)经过3秒，的面积是矩形的面积的； (3)经过秒或秒，是直角三角形． 【分析】（1）由是等腰三角形，则，再列方程求解即可； （2）由的面积是矩形的面积的列方程，解方程可得答案； （3）先分别表示，，，再根据是直角三角形分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故经过4秒，是等腰三角形； （2）解：根据题意得，， 整理得，，即， ∴， ∴经过3秒，的面积是矩形的面积的； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴当时，则， ∴，（负值舍去）； 当时，即， ∴或（不合题意舍去）， 当时，不存在，舍去， 综上所述，经过秒或秒，是直角三角形． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，分类讨论是解题的关键． 7．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）如图，菱形中， 交于点 O， ，动点 M 从 A 点出发沿方向以匀速直线运动到 C 点，动点 N 从 B 点出发沿方向以匀速直线运动到 D 点．若 M，N 同时出发，设运动时间为 t 秒：    (1)当时， ， ．（用 t 表示） (2)当秒时， 的面积为多少？ (3)点 M 到达点 C 后立即原路返回，速度保持不变，直到点 N 到达 D 后同时停止运动，那么在整个移 动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，求出运动时间；若不存在，请说 明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)或或 【分析】本题主要考查了菱形的性质，动点问题，一元二次方程的应用， 对于（1），先根据菱形的性质求出，可确定时，两个点的位置，即可得出答案； 对于（2），先分别求出，再根据面积公式求出答案； 对于（3），分，，，四种情况，分别表示，再根据面积等于列出方程，求出解即可． 【详解】（1）∵四边形时菱形， ∴． 根据题意可知， 当时， 点M在上，点N在上， ∴，． 故答案为：，； （2）当时，， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 解得或（舍）； 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 无解； 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 解得或（舍）； 当时， 根据题意得， ∴， ∴， 解得或（舍）． 所以或或． 8．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)经过秒钟，点、之间的距离为 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、解一元二次方程等知识，理解题意是解答的关键． （1）过A作于E，过点P作于F，先证明四边形、四边形是矩形得到，，，分别在和中利用勾股定理求解即可； （2）假设存在t值，使得恰好平分，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，进而可得，利用勾股定理求得t值，根据t值的取值范围可得结论． 【详解】（1）解：如图．过A作于E，过点P作于F， ∵，， ∴， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由题意，，，， 在中，，， 由得， ∴，（不合题意舍去）． 答：经过秒钟，点、之间的距离为； （2）解：假设存在t值，使得恰好平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴两个解都不符合题意， 故不存在某个时刻，使得恰好平分． 压轴专练三、利用一元二次方程解决坐标系中的动点问题 9．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，正方形放在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，A、C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点B的坐称为．已知点E、点F分别从点A、B同时出发，点E以每秒2个单位长度的速度在线段上来回运动．点F沿方向，以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点F到达点O时，E、F两点都停止运动．在E、F的运动过程中，存在某个时刻，使得的面积为6．则点E的坐标为 ． 【答案】，， 【分析】由于点E、F同时运动，根据它们位置的不同，可分成三种情况进行讨论：，，，根据6面积为列方程求解即可． 【详解】解：设时间为t秒， ①当时，，，， ，， ， ，即， 解得：或， 又∵， ∴． 此时，点E的坐标为； ②当时，，，， ，， ， ，即，解得或， 又∵， ． 此时，点E的坐标为； ③当时，， ，， ， ，即，解得， 此时，点E的坐标为； 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及三角形的面积，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，会用运动时间表示边长，面积，搞清楚正方形中的三角形的三边关系等，可有助于提高解题速度和准确率． 10．（21-22九年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C（12，0）作矩形，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒． (1)当t=_____时，点P移动到点D； (2)当△OPQ的面积为16时，求此时t的值； (3)当为何值时，△PQB为直角三角形． 【答案】(1)5 (2)4 (3)或或． 【分析】（1）由 是等腰直角三角形，可得，即可得出的值； （2）过点作于点，则，，，代入面积公式即可得出，解方程即可； （3）根据，，，表示出，，的长，再分或或，分别列出方程． 【详解】（1）平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5； （2）过点作于点， 平分， ， ， 又，， ， ， ， （负值舍去）， ； （3）如图，连接，，， 由题意知，，，， ， ， ， ①若， 则， ，（舍去）， ②若， 则， ， ③若， 则， （舍， 综上所述，的值为：或或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，直角三角形的性质等知识，将动点问题转化为线段的长是解题的关键． 11．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，以为邻边作矩形，其面积是8．    (1)求直线的解析式； (2)如图2，点从点出发，沿线段向终点运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿线段向终点运动，速度为每秒1个单位长度，连接，两点同时出发，运动时间为秒，当为何值时，的面积为； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，两点同时停止运动，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)，理由见解析 【分析】对于（1），令，求出点，再根据矩形的面积是8求出点，将点的坐标代入关系式可得答案； 对于（2），根据题意可知，再结合列出关系式，求出解即可； 对于（3），先求出点P，点Q的坐标，再取点N，进而求出，可知是直角三角形，可得，然后设的关系式为，将点的坐标代入求出直线的关系式，令时求出答案即可． 【详解】（1）由直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，， 解得， ∴点， ∴． ∵矩形的面积是8， ∴， 解得， ∴点， 将点B代入关系式，得， 解得， ∴直线的关系式为； （2）由点P从点O出发，眼线段向终点运动，速度是每秒2个单位长度，点Q从点B出发，沿着线段向终点O运动，速度是每秒1个单位长度，得． 由， 即， 解得， ∴当或时，的面积是； （3）存在，点M的坐标是． 如图所示． 当时，点P的坐标是，点Q的坐标是， 取点． 由图形可知，    ∴， ∴是直角三角形， ∴． 设的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点． 【点睛】本题主要考查了动点问题，矩形的性质，待定系数法求直线解析式，勾股定理及其逆定理，解一元二次方程，解决此类问题的关键是化动为静． 压轴专练四、一元二次方程中的规律探究问题 12．（2025·安徽淮北·三模）【观察思考】 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，1个碳原子；第2种如图2有6个氢原子，2个碳原子；第3种如图3有8个氢原子，3个碳原子；第4种如图4有10个氢原子，4个碳原子；……， （1）直接写出第5种化合物的分子结构模型图有 个氢原子， 个碳原子； 【规律发现】 请用含 n 的式子填空： （2）第n种化合物的分子结构模型图中碳原子的个数为 ； （3）第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数为 ； 【规律应用】 （4）求正整数n，使得连续的正整数之和等于第n种化合物的分子结构模型图中氢原子的个数的3倍． 【答案】（1）12，5；（2）n；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元二次方程的应用，正确找到图形之间的规律是解题的关键． （1）观察前面四幅图可知碳原子个数为序号，氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据（1）所求即可得到答案； （4）根据（1）所求结合题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）第1种化合物的分子模型中，碳原子个数为1，氢原子的个数为， 第2种化合物的分子模型中，碳原子个数为2，氢原子的个数为， 第3种化合物的分子模型中，碳原子个数为3，氢原子的个数为， 第4种化合物的分子模型中，碳原子个数为4，氢原子的个数为， ， ∴第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n，氢原子的个数为， ∴第5种化合物的分子结构模型图有个氢原子，5个碳原子， 故答案为：12，5； （2）由（1）可得第种化合物的分子模型中，碳原子个数为n， 故答案为：； （3）由（1）可得第种化合物的分子模型中，氢原子的个数为， 故答案为：； （4）由题意得，， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 13．（2025·安徽阜阳·二模）数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：．他们继续研究下面用“※”和“”组成的图案中“※”和“”的个数问题： 【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“※”的个数为__________； （2）第n个图案中“”的个数为__________； 【规律应用】 （3）结合图案中“※”和“”的排列方式及上述规律，求第几个图案中“”的个数比“※”的个数多77． 【答案】（1） （2） （3）第10个图案中“”的个数比“※”的个数多77 【分析】本题主要考查图形的变化规律，一元二次方程的应用，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据前四个图形中所求图案的个数总结规律即可； （2）根据前四个图形中所求图案的个数总结规律即可； （3）根据题意列出一元二次方程即可解答． 【详解】解：（1）由图得第1个图案中“※”的个数为个， 第2个图案中“※”的个数为个， 第3个图案中“※”的个数为个， 第个图案中“※”的个数为个； 故答案为： （2）由图得第1个图案中“”的个数为个， 第2个图案中“”的个数为个， 第3个图案中“”的个数为个， 第个图案中“”的个数为个； 故答案为：； （3）由题意可得， 解得（舍去）， 故第10个图案中“”的个数比“※”的个数多77． 14．（2025·安徽芜湖·二模）【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【答案】； ； 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【分析】本题主要考查了数字与图形的规律、解一元二次方程，解决本题的关键是根据数字与图形的规律得到关于的一元二次方程． 根据图案中“▲”的个数的变化规律得到第个图案中“▲”的个数即可； 根据图案中“★”的个数的变化规律得到第个图案中“★”的个数即可； 根据图案中“▲”的个数的变化规律和“★”的个数的变化规律得到关于的一元二次方程，解方程求出即可． 【详解】解：第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为； 故答案为：； 解：第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， ， 第个图案中，“★”的个数为； 故答案为：； 设第个图案中“▲”的个数的倍比“★”的个数多， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 15．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）【观察思考】 【规律发现】 （1）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形个数记作，，图中小正方形个数记作，则______，______；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）结合上述规律，试说明是否存在正整数，使得等于的4倍？ 【答案】（1），；（2）存在，理由见解析． 【分析】本题主要考查了图形规律探索以及一元二次方程的应用． （1）根据图形规律总结出规律并表示出来即可，并计算出结果． （2）根据题意列出关于n的一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）图1中小正方形的数量是：（个） 图2中小正方形的数量是：（个） 图3中小正方形的数量是：（个） … 图n中小正方形的数量是：个， ， 故答案为：， （2）存在，理由如下： 根据题意：， 整理得：， 即， ∴，（舍去） 故时，使得等于的4倍． （2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． （2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． （2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． （2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． （2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴判别式， 整理得：， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． （2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． （2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． （2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当时，原方程无实数根， 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于一元二次方程的无实根情况； 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． （2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． （2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． （2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ． 【答案】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． （2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ； （2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． （2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． （2023·湖北宜昌·中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． (1)求豆沙粽和肉粽的单价； (2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． 【答案】(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元 (2)①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；② 【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，依题意列一元一次方程即可求解； （2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求解； ②根据销售额=销售单价销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值． 【详解】（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元， 依题意得， 解得； 则； 所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元； （2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元， 依题意得，解得， 所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元； ②依题意得， 解得或， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意找到题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键． （2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． （2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1） 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， （3）解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$