专题1.8 实际问题与一元二次方程（一课一练•培优分层精练）-2025-2026学年九年级数学上册考点精讲与题型精练（人教版）

专题1.8 实际问题与一元二次方程（一课一练•培优分层精练） 两层必刷：基础巩固练+能力培优练 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某市2021年年底自然保护区覆盖率为10%，经过两年努力，该市2023年年底自然保护区覆盖率达到，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率．设年均增长率为x，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据该市2023年年底自然保护区覆盖率达到，列方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 2．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设全班有x名同学，根据全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，列出方程即可． 【详解】解：设全班有x名同学，则每个同学要发条信息， 根据题意得：， 故选：A． 3．（2025·江苏盐城·一模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个数为，列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意，设这个数为， ∴， ， ， ∴， 故选：． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，某小区计划在一个长，宽的矩形场地上，修建若干条同样宽的小路，竖直的与平行，水平的与平行，其余部分种草．已知草坪部分的总面积为，设小路宽，若x满足方程，则修建的示意图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．假设四个选项中的草坪部分的面积均为，由此可分别列出相应的方程，化简后再与题干中的方程对比即可求得答案． 【详解】解：A、根据题意可得：， 整理，得：，故A选项不符合题意； B、根据题意可得：， 整理，得：，故B选项不符合题意； C、根据题意可得：， 整理，得：，故C选项不符合题意； D、根据题意可得：， 整理，得：，故D选项符合题意； 故选：D． 5．（2025·河北邯郸·三模）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第（    ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，一元二次方程的应用，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；…， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，， 解得，， 又因为n为正整数，所以， 即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了45次手，这次会议到会的人数是 人． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这次会议到会的人数是x人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，根据题意列方程． 【详解】解：设这次会议到会的人数是x人， 依题意得：， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：参加这次会议的有10人， 故答案为：10． 7．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）竹溪梅子贡茶是一种著名的中国绿茶．某茶园从年到年茶叶产量从增长到，则茶叶产量从年到年平均每年增长率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系． 先设平均每年增长率为x，再根据“某茶园从年到年茶叶产量从增长到”列出方程求解． 【详解】解：设平均每年增长率为x， 则可列式， 解得，负值舍去． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某生物实验室需培育一群有益菌．现有个活体样本，经过两轮培育后，总和达个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 个有益菌． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出个有益菌，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出个有益菌， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平移的性质，设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为，根据题意列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：设垂钓通道的宽度为，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为，宽为， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意，舍去， ∴， ∴垂钓通道的宽度为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 【答案】秒或秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设经过秒钟，的面积等于，由题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设经过秒钟，的面积等于，由题意得， ， ，， ∴经过秒或秒时，的面积等于， 故答案为：秒或秒． 11．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了等面积法，解一元二次方程． 设，则，根据等面积法计算即可． 【详解】解：设， ∵矩形的面积为， ∴， ∴，， ∵ ∴ 整理得：， 解得：，， 故答案为：和． 三、解答题 12．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，一艘军舰位于点处，在其正南方向有一目标，在点的正东方向有一目标，且，在上有一艘补给船，．军舰从点出发，向，方向匀速航行，补给船同时从点出发，沿垂直于的方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由点到点的途中与补给船相遇于点处，则相遇时补给船航行了多远？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，一元二次方程的应用，根据题意列关系式是解题的关键． 设相遇时补给船航行了x海里,则海里，由军舰的速度是补给船的倍,它们的时间相同,可得 海里，根据勾股定理可得方程,解方程即可求解． 【详解】解：设相遇时补给船航行了,即． 军舰的速度是补给船的2倍,他们的时间相同, ． , ． 在中，，根据勾股定理可得， 解得，（不合题意，舍去）． 故相遇时补给船航行了． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米． (1)________米（用含的代数式表示）； (2)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (3)矩形围栏面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 【答案】(1) (2)篱笆的长为10米； (3)矩形围栏面积不可能达到270平方米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式． （1）设篱笆长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （3）根据矩形围栏面积为270平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏面积不可能达到270平方米． 【详解】（1）解：设栅栏长为x米， ∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴米， 故答案为：； （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米； （3）解：不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏面积不可能达到270平方米． 14．（24-25九年级上·重庆合川·期中）今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 【答案】(1)每件T恤的进货单价为60元，每件衬衣的进货单价为40元 (2)衬衣的销售单价为100元 【分析】本题考查分式方程的实际应用、一元二次方程的实际应用， （1）设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设衬衣的销售单价为a元，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，符合题意，是原方程的解， 元， 答：每件T恤的进货单价为40元，每件衬衣的进货单价为60元； （2）解：设衬衣的销售单价为a元， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：衬衣的销售单价为100元． 15．（24-25八年级下·广东深圳·期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36．3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1)从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． (2)下调后每辆汽车的售价为20万元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，然后根据题意可得方程求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为万元，根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x． 根据题意得：． 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． （2）解：设下调后每辆汽车的售价为y万元．则每辆汽车的销售利润为万元， 根据题意得：，整理得：． 解得：，． 又∵要尽量让利于顾客， ． 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 16．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)时，的长度等于 (3)存在的值，使得五边形的面积等于，此时， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积等于长方形面积减去的面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵点的速度为，点的速度为，运动时间为秒， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴当时，， 解得：或（舍去）， ∴当时，的长度等于． （3）解：∵五边形的面积等于，五边形的面积等于长方形面积减去的面积， ∴， 解得：，， ∵当点运动到点时，两点停止运动，， ∴， ∴， ∴存在的值，使得五边形的面积等于，此时，． 17．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． (1)三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） (2)三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； (3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)28；； (2)不能 (3)一共能摆放20排 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律探索，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是520，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （3）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前7行的点数之和为： ， 前行的点数之和为： ； （2）解：不能，理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， ∴三角点阵中前n行的点数和不能是520； （3）解：同理，前排的盆景之和为： ， 由题意得：， 整理得， 即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 一、单选题 1．（2025·云南临沧·二模）某新兴科技产业园区在2025年第一季度的营业收入为2亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，预计到2025年第三季度的营业收入为亿元．设该产业园区营业收入的季度平均增长率为x．根据题意，可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．根据第一季度的营业收入为2亿元，预计到2025年第三季度的营业收入为亿元，列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选A． 2．（2025·湖北襄阳·一模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题∶“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（  ） A．3步 B．6步 C．9步 D．12步 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设矩形田地的长为x步，则宽为步，根据矩形田地的面积为891平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合长不小于宽，即可确定x的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为步， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意，此时； 当时，，不符合题意，舍去． ∴长比宽多6步． 故选B． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）随着山西旅游热持续升温，某景区推出一款文创产品，每件成本30元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，平均每天能售出40件；当销售单价每降低2元时，平均每天就能多售出15件．该景区想要这款文创产品的销售利润平均每天达到1200元，每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这款文创产品每件降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设这款文创产品每件降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量是件，根据题意得： ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（  ） A．6 B．7 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．设这个最大的数为，则最小的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为112列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这个最大的数为，则最小的数为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这个最大的数为16． 故选：D． 5．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型． 根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：设运动时间为t秒，则有，， ， ， ， 解得或5， 或时，的面积为． 故选：C． 二、填空题 6．（2025·重庆·三模）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，由经过两轮传播后共有196台电脑被感染建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器传播设备的台数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得，（舍）， 故每轮中平均每台服务器传播设备的台数为6台． 故答案为：6 7．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）为了一座馆，奔赴一座城．某博物馆近两年的接待量逐年递增，该博物馆年接待量万人次，年接待量万人次．该博物馆这两年接待量的年平均增长率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为，根据该博物馆年接待量万人次，用含的代数式表示出年接待量为，根据年接待量为万人，可列方程进行求解． 【详解】解：设该博物馆这两年接待量的年平均增长率是， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：该博物馆这两年接待量的年平均增长率是， 故答案为： ． 8．（24-25九年级上·湖南永州·期末）数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？” 【答案】19 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这群人共有x人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到10个石榴”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设这群人共有x人，则共摘了个石榴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴这群人共有19人． 故答案为：19． 9．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，已知四边形是一个矩形，它由正方形、正方形和矩形拼合而成，若两个正方形的面积之和为34，矩形是面积为15的长方形，则矩形的面积为 ．    【答案】40 【分析】本题考查了完全平方公式化简计算，一元二次方程的几何应用，正确建立方程是解题的关键． 设正方形、正方形的边长分别为，根据题意得到方程组，根据完全平方公式将其转化为，再由代入消元法得到一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：设正方形、正方形的边长分别为， 由题意得：， ∴， ∴（舍负）， ∴， 整理得： 解得：或（不合题意）， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：40． 10．（2024·云南昆明·一模）如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点，已知前行共有个点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、一元二次方程的应用，解决本题的关键是结合图形，找出数字的运算规律，利用规律列出一元二次方程解决问题． 【详解】解：第一行有个点，第二行有个点第行有个点， 根据前行共有个点， 可得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，(舍去)， 的值为． 故答案为： ． 三、解答题 11．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低20元 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 12．（2025·河南·模拟预测）汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣工艺，也是国家非物质文化遗产之一．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批汴绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了元，采购书签花费了元．每件文化衫比每个书签的进价贵元，且采购书签的数量是文化衫数量的倍． (1)求每件文化衫和每个书签的进价． (2)社团活动期间，文化衫的售价为每件元、书签的售价为每个元．经统计，平均每天能售出文化衫件，书签个．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销，要求降价幅度不超过．据调查，每降低元，平均每天多售出件文化衫．社团希望在保证书签的售价和销量不变的情况下，通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到元，则文化衫的售价应定为每件多少元？ 【答案】(1)每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元 (2)元 【分析】（）设采购文化衫件，则采购书签个，每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元，根据题意列出方程求出进而即可求解； （）售出个书签的利润为元，降价前文化衫每件的利润为元，设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元，根据题意列出方程求出的值，进而即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设采购文化衫件，则采购书签个，每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴，， 答：每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元； （2）解：售出个书签的利润为元， 降价前文化衫每件的利润为元， 设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元， 根据题意，得， 解得，， ∵降价幅度不超过，，即， ∴不合，舍去， ∴， 元， 答：文化衫的售价应定为每件元. 13．（2025·安徽淮北·三模）把三角形与正方形按如图所示的规律拼图案，回答下列问题． (1)图案①中共有个“△”，图案②中共有个“△”，图案③中共有个“△”若按此规律拼图案，则图案⑨中共有 个“△”． (2)第n个图案中“△”的个数为 （请用含n的式子表示）． (3)结合图案中“△”的排列方式及规律；求正整数n，使得的和是第n个图案中“△”的个数的2倍多4． 【答案】(1)28 (2) (3) 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为28． （2）， 故答案为． （3）由题意，得， 即 解得（不符合题意，舍去） 答：n的值为12． 14．（2025·广东中山·三模）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 【答案】(1)510 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，一元二次方程的实际应用，熟练掌握进制之间的换算方法，是解题的关键： （1）根据图形，列出算式进行计算即可； （2）类比十进制的加减运算，进行计算即可； （3）根据进制之间的换算关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：（天）； 故答案为：510； （2）； 故答案为： （3）由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故． 15．（2025·广东茂名·模拟预测）综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务． 设计合适的盒子 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）． 素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是． 素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是． 问题解决 任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高． 任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高． 任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 【答案】任务一：该长方体盒子的高为；任务二：该长方体盒子的高为；任务三：每个有盖盒子应降价元或元. 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用； 任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，可得，再解方程并检验即可； 任务二：设剪去的正方形的边长为，可得，再解方程并检验即可； 任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，可得，再解方程即可. 【详解】解：任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，则 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：不符合题意舍去， ∴， ∴该长方体盒子的高为； 任务二：设剪去的正方形的边长为，则 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：不符合题意舍去， ∴， ∴该长方体盒子的高为； 任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，则 ， 整理得：， 解得：，， 答：每个有盖盒子应降价元或元. 16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)能， (3)能，或 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了动点在几何图形的运动，勾股定理矩形和菱形的性质，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形， 故答案为：4； （2）解：运动过程中，四边形可以为菱形， 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． （3）点和点的距离可以是， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.8 实际问题与一元二次方程（一课一练•培优分层精练） 两层必刷：基础巩固练+能力培优练 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某市2021年年底自然保护区覆盖率为10%，经过两年努力，该市2023年年底自然保护区覆盖率达到，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率．设年均增长率为x，可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏盐城·一模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，某小区计划在一个长，宽的矩形场地上，修建若干条同样宽的小路，竖直的与平行，水平的与平行，其余部分种草．已知草坪部分的总面积为，设小路宽，若x满足方程，则修建的示意图是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北邯郸·三模）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第（    ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题 6．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了45次手，这次会议到会的人数是 人． 7．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）竹溪梅子贡茶是一种著名的中国绿茶．某茶园从年到年茶叶产量从增长到，则茶叶产量从年到年平均每年增长率为 ． 8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某生物实验室需培育一群有益菌．现有个活体样本，经过两轮培育后，总和达个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 个有益菌． 9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，某农家乐老板计划在一块长，宽的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为 ． 10．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 11．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要用它加工一个矩形零件（其中点Q，M在边上，点P，N分别在，边上）．若矩形的面积为，则其长和宽分别为 ． 三、解答题 12．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，一艘军舰位于点处，在其正南方向有一目标，在点的正东方向有一目标，且，在上有一艘补给船，．军舰从点出发，向，方向匀速航行，补给船同时从点出发，沿垂直于的方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由点到点的途中与补给船相遇于点处，则相遇时补给船航行了多远？ 13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米． (1)________米（用含的代数式表示）； (2)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (3)矩形围栏面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 14．（24-25九年级上·重庆合川·期中）今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 15．（24-25八年级下·广东深圳·期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36．3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 16．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 17．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． (1)三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） (2)三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； (3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 一、单选题 1．（2025·云南临沧·二模）某新兴科技产业园区在2025年第一季度的营业收入为2亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，预计到2025年第三季度的营业收入为亿元．设该产业园区营业收入的季度平均增长率为x．根据题意，可列出方程（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北襄阳·一模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题∶“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（  ） A．3步 B．6步 C．9步 D．12步 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）随着山西旅游热持续升温，某景区推出一款文创产品，每件成本30元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是50元时，平均每天能售出40件；当销售单价每降低2元时，平均每天就能多售出15件．该景区想要这款文创产品的销售利润平均每天达到1200元，每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）如图是2024年11月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为112，求这个最大的数（  ） A．6 B．7 C．14 D．16 5．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（   ） A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s 二、填空题 6．（2025·重庆·三模）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 7．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）为了一座馆，奔赴一座城．某博物馆近两年的接待量逐年递增，该博物馆年接待量万人次，年接待量万人次．该博物馆这两年接待量的年平均增长率是 ． 8．（24-25九年级上·湖南永州·期末）数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？” 9．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，已知四边形是一个矩形，它由正方形、正方形和矩形拼合而成，若两个正方形的面积之和为34，矩形是面积为15的长方形，则矩形的面积为 ．    10．（2024·云南昆明·一模）如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点，已知前行共有个点，则的值为 ． 三、解答题 11．（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 12．（2025·河南·模拟预测）汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣工艺，也是国家非物质文化遗产之一．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批汴绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了元，采购书签花费了元．每件文化衫比每个书签的进价贵元，且采购书签的数量是文化衫数量的倍． (1)求每件文化衫和每个书签的进价． (2)社团活动期间，文化衫的售价为每件元、书签的售价为每个元．经统计，平均每天能售出文化衫件，书签个．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销，要求降价幅度不超过．据调查，每降低元，平均每天多售出件文化衫．社团希望在保证书签的售价和销量不变的情况下，通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到元，则文化衫的售价应定为每件多少元？ 13．（2025·安徽淮北·三模）把三角形与正方形按如图所示的规律拼图案，回答下列问题． (1)图案①中共有个“△”，图案②中共有个“△”，图案③中共有个“△”若按此规律拼图案，则图案⑨中共有 个“△”． (2)第n个图案中“△”的个数为 （请用含n的式子表示）． (3)结合图案中“△”的排列方式及规律；求正整数n，使得的和是第n个图案中“△”的个数的2倍多4． 14．（2025·广东中山·三模）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 15．（2025·广东茂名·模拟预测）综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务． 设计合适的盒子 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）． 素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是． 素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是． 问题解决 任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高． 任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高． 任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． (1)当________秒时，四边形为矩形． (2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． (3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$