专题02 解一元二次方程重难点题型专训（4个知识点+9大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题02 解一元二次方程重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 配方法的应用 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型六 根据一元二次方程根的情况求参数 题型七 因式分解法解一元二次方程 题型八 换元法解一元二次方程 题型九 含绝对值的一元二次方程的解法 拓展训练一 配方法求最值 拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算 拓展训练三 一元二次方程的解含参综合 拓展训练四 换元法综合 拓展训练五 一元二次方程解法与几何问题 知识点一、直接开方法解一元二次方程 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 1. 直接开平方法（基础） 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义与解法．将代入方程，得到，再利用一元二次方程根的定义得到，确定出a的值即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴ 故选C． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法．利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 开方得：， 解得：． 知识点二、用配方法解一元二次方程 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 【即时训练】 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）一元二次方程配方后可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）用配方法解一元二次方程时，步骤如下： ①；②；③；④，即，．其中，开始出现错误的步骤是 （填序号）． 【答案】④ 【分析】根据配方法解方程的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握解题步骤是解题的关键． 【详解】解：解方程， ①； ②； ③； ④，即，． 故答案为：④． 知识点三、用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 【即时训练】 5．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先计算，再利用求根公式解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴，； 故答案为：，． 6．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 知识点四、用因式分解法解一元二次方程 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤： 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 【即时训练】 7．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴，， 故选：D． 8．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键．设，根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设， 则， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：2． 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（25-26九年级上·全国·阶段练习）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程．将方程化为标准形式后，利用平方根的定义求解． 【详解】解：∵， 两边同时除以2，：， ∴直接开方得：， 解得：，， 故选：B． 1．（24-25八年级下·山东淄博·期末）下面是爱思考的小颖同学在学习了一元二次方程的解法之后，又探索发现了一元二次方程的另一种解法．请认真阅读小颖同学的解法，并完成下面的相关任务． 【阅读材料】 解方程：． 小颖同学的解法：将原方程变形，得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． 【用以致学】 请运用小颖同学的解法解下列方程： （1）； （2）． 【总结感悟】 （3）若在用小颖的方法解关于的方程（，，是常数）时，可将其变形为（也是常数），则_____，_____．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）由材料中的解法求解即可得到答案； （2）由材料中的解法求解即可得到答案； （3）由材料中的解法，列方程组求解即可得到答案． 【详解】解：（1）， 则令，解得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． （2）， 则令，解得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． （3）将关于的方程（，，是常数）变形为（也是常数）， ，解得， 故答案为：；． 【点睛】本题考查阅读理解，探究一元二次方程的新解法，涉及构造二元一次方程组解决问题、解二元一次方程组、平方差公式、直接开平方法、开方运算等知识，读懂题意，理解阅读材料中的解法是解决问题的关键． 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下面是嘉淇在学习了直接开平方法解方程时做的4个小题，其中正确的有（   ） ①，解方程，得； ②，解方程，得，； ③，解方程，得，； ④，解方程，得，，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开方法解一元二次方程，根据判别式判断方程的解即可． 【详解】①， ∵ ∴原方程在实数范围内无解，故错误； ②， 解得，，故错误； ③， ∴原方程在实数范围内无解，故错误； ④， 解得，故正确． 综上所述，其中正确的有1个． 故选：A． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项等于0，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义可得，再根据题意得到，即可求出的值． 【详解】解：关于x的一元二次方程的常数项等于0， 且， 且， ． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）关于的方程和的两个根均相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，由，得，，代入方程，求出的值，然后代入，解出方程的根即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵关于的方程和的两个根均相同， ∴，解得：， ∴， 解得：，， 由题意得：， 故答案为：． 【经典例题二 配方法解一元二次方程】 【例2】（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法，熟悉掌握配方的方法是解题的关键．移项后方程两边都加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）关于x的为一元二次方程，下列配方正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程；将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：A． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则b的值是（   ） A．2024 B．2025 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法，将2024移到方程的右边，然后方程左右两边同时加上1，则方程左边变成了完全平方式，方程右边即为所求的b的值． 【详解】解： ， ∴， 故选：B． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若方程的两根为：，，则方程的两根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是配方法解方程的步骤．利用配方法解方程即可． 【详解】解：， 故答案为：， 8．（24-25九年级上·广东潮州·期末）解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数，即可求解． 【详解】解：， 移项，得， ， ， 根据平方根的意义，得， ． 【经典例题三 配方法的应用】 【例3】（2025·安徽六安·一模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用．先根据已知等式求出，，再利用完全平方公式判断出，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， 解得，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】11 【分析】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用；根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解：， ， 则原式化为：， ， 代数式的最小值等于， 故答案为：11． 10．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． (1)当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少?    【答案】(1)1；大；3 (2)1；大；5 (3)当花园与墙相邻的边长为时，花园的面积最大为 【分析】（1）利用利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解． （2）先利用配方法将二次三项式变形，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解． （3）设花园与墙相邻的边长为，则另一边为，由题意得：，利用配方法变形二次三项式，再利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，即时，代数式有最大值为3， 故答案为：1；大；3． （2） ， ， ， ， 当时，即时，代数式有最大值为5， 故答案为：1；大；5． （3）设花园与墙相邻的边长为，则另一边为，由题意得： ， 当时，有最大值为：32， 当花园与墙相邻的边长为时，花园的面积最大为． 【点睛】本题考查了配方法的应用及不等式的基本性质，熟练掌握配方法变形二次三项式及不等式的基本性质是解题的关键． 11．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式，利用作差法和配方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以为边在的同侧作菱形和菱形，点在一条直线上，，分别是对角线的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为 ． 【答案】 【分析】连接、．首先证明，设，则，，，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．本题考查菱形的性质、勾股定理、配方法的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用配方法解决最值问题． 【详解】解：连接、．   四边形，四边形是菱形，， ，， ，分别是对角线，的中点， ，， ， 设， 则，， ， ， 当时，则，此时有最小值， 即时，， ∴有最小值，最小值为， 故答案为：． 【经典例题四 公式法解一元二次方程】 【例4】（25-26九年级上·全国·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程等．先根据一元二次方程的定义确定m的值，再利用求根公式解方程． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得：， ∴方程为：， ∵， ∴， 故选：B． 13．（2025九年级·全国·专题练习）利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程--公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 一元二次方程的两个根为，且， 的值为， 故选：D． 14．（2024·江苏常州·模拟预测）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　） A． B． C．， D． ，， 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，解一元二次方程．根据新定义和函数图象进行讨论是解题的关键． 根据新定义和函数图象分情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；然后分别求关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：由题意知，当时，，解得或，均不合题意； 当时，，解得或（舍去）； 当时，，方程没有实数解； 当时，，方程没有实数解； ∴方程的解为0， 故选：B． 15．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，若k为正整数，且该方程的根都是整数，此时方程的根为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，由判别式可得k的取值范围，再由k是正整数可得k的值，再把k的值代入原方程求出对应的x的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵k为正整数， ∴k为1或2， 当时，原方程为，解得或，此时不符合题意； 当时，原方程为，解得或，此时符合题意； ∴原方程的根为或， 故答案为：或． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）小明在解方程时，解答过程如下： ． ．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ，．第五步 (1)小颖解方程的方法为 ；（填字母） A．直接开平方法  B．因式分解法  C．配方法  D．公式法 (2)解方程过程中，第二步变形的依据是 ； (3)请你用“公式法”解该方程． 【答案】(1)C (2)等式的基本性质 (3)见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法和步骤，掌握解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）根据解题方法直接对应即可； （2）第二步是方程的左右两边同时加了一个数，利用的是等式的基本性质； （3）直接利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：小颖解方程的方法是配方法， 故选：C； （2）解方程过程中第二步变形的依据是等式的基本性质（或等式两边同时加（或减）同一个整式，所得结果仍是等式）， 故答案为：等式的基本性质； （3）， ， ， 即． 【经典例题五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例5】（24-25九年级上·重庆合川·期中）对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于方程，其中，，， 则， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 17．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）一元二次方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 18．（2025·江苏宿迁·一模）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．由得到，代入到关于的方程整理得到，再利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】解：， ， 代入到关于的方程得，， 整理得：， ， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 19．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）现有三个代数式：，，，它们的值互不相同，且分别与，0，中的某一个值对应相等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．由题意得：，若，则，方程无实数根； ，解得：；若，得出方程无实数根，故可推出；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 若，则，方程无实数根； ∴，解得：； 若，整理得：， 则，方程无实数根； ∴； 当时，，解得，此时成立； ∴； 当时，，解得，此时成立； ∴ 综上所述：或 故答案为：或 20．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可证明结论； （2）把代入原方程求出m的值，进而可得到原方程，再解原方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵为方程的一个根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 【经典例题六 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例6】（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 21．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 本题中根据，即可求解． 【详解】解： 解得， 因此，的值为， 故选：A． 22．（2025·江西吉安·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数的值是（     ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．首先根据根的判别式求出的取值范围，然后从中找到最小整数即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴满足条件的最小整数的值是， 故选：D． 23．（2025·江苏淮安·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 24．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (2)当时，求方程的解． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】本题主要考查了根的判别式及解一元二次方程公式法，熟知一元二次方程根的判别式及公式法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）将代入方程，并对所得方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴m的取值范围为且； （2）解：当时，原方程为， ，， ∴ ∴，． 【经典例题七 因式分解法解一元二次方程】 【例7】（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】题目主要考查因式分解法解一元二次方程，理解因式分解方法是解题关键 根据因式分解法的原理，若两数相乘为零，则至少有一个因数为零，将原方程的每个因式分别等于零，即可转化为两个一元一次方程，即可求解 【详解】解：原方程为 ， 根据因式分解法，若两数乘积为0，则至少有一个数为0， ∴， 故选：C 25．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，，代入对应选项中的方程，看方程左右两边是否相等即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴方程为， 故选：A． 26．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）方程有（   ） A．两个相等的实数根 B．两个不相等的实数根 C．三个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题重点考查了解一元二次方程，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ①如果，那么方程可化为， ∴， ∴； ②如果，那么方程可化为， ∴， ∴． 故有两个不相等的实数． 故选：B． 27．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 28．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的各种方法和步骤，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键． （1）先移项，再用因式分解法进行求解即可； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 移项，得， 提公因式，得， 化简，得， ∴， ∴，或， 故原方程的解为． （2）， 分解因式，得， ∴， ∴，或， 故原方程的解为． 【经典例题八 换元法解一元二次方程】 【例8】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把所求方程中的看做一个整体，根据已知方程的解可得或，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根满足或，解得或， 故选；A． 29．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查换元法求一元二次方程的解，令，对于关于的一元二次方程的解为，，则或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：∵方程（m，h，k均为常数，）的解是，， 令， ∴对于关于的一元二次方程的解为，， 即或， 即，， ∴关于的一元二次方程的解是，． 故选：C． 30．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知实数a，b满足，则的值为（　　） A．3 B．5 C．或5 D．3或 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，设，则原方程变为，解这个方程即可求得的值． 【详解】解：设， 原方程变为：， ， 解得：， 因为平方和是非负数， 所以的值为5； 故选：B． 31．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，得到方程的两根满足关系式是解答的关键．由方程的两根为，得出方程的两根满足关系式，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴方程的两根满足关系式， ∴． 故答案为：． 32．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 【答案】(1)①，；②原方程有三个根：，， (2) 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程—配方法，换元法，因式分解法，解题的关键是学会模仿例题解决问题． （1）模仿例题解决问题即可； （2）求出的值，利用降次思想求解即可． 【详解】（1）解：①设，则原方程可变为，解得， 当时，即，∴无解（舍去） 当时，即，，． ②将其变形为： ， ， 或 原方程有三个根：，，． （2）， ，且 ， 原式． 【经典例题九 含绝对值的一元二次方程的解法】 【例9】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 【答案】，（舍去）；，；， 【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：②当时，原方程化为， 或 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，； ①当时，即时，原方程化为： ∴ 或 解得，（舍去）； ②当时，即时，原方程化为 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，． 33．（24-25九年级上·河南安阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 任务：请参照上述方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． 本题先分类讨论，将绝对值方程化为一元二次方程，进而求解一元二次方程，舍弃不符合条件的答案，即可得到本题的答案； 【详解】解：分两种情况讨论 （1）当时，原方程可化为， 解得：，（舍去）； （2）当时，原方程可化为， 解得：，（舍去）； ∴综上所述，原方程的根是，． 34．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 【答案】，（舍去）；，；， 【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：②当时，原方程化为， 或 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，； ①当时，即时，原方程化为： ∴ 或 解得，（舍去）； ②当时，即时，原方程化为 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，． 35．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：当时，原方程可化为：， 解得：（与矛盾，舍去），； 当时，原方程可化为， 解得：（与矛盾，舍去），； 原方程的解是， 36．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）阅读下面的材料，并完成相应的任务． 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当x≥0时，原方程化为，解得x1＝5，x2＝-2（舍去）； ②当x＜0时，原方程化为，解得x1＝-5，x2＝2（舍去）．综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝-5． 任务：请参照上述方法解方程 【答案】， 【分析】根据题意分x-5≥0和x-5＜0两种情况，分别解方程即可． 【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为，即， ， ∴， ∴原方程无解， ②当x-5＜0时，即x＜5时，原方程化为，即， ， ∴ 解得：，． 【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论． 【拓展训练一 配方法求最值】 1．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查配方法，涉及完全平方公式、平方非负性等知识，读懂题意，利用配方法，结合平方非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案； （2）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， 的最小值是3； （2）解： ， ，， ， 无论取任何实数时，多项式的值总为正数． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值1 （2）① ；②当时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方式、代数式求值等知识点，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键 （1）仿照范例即可解答； （2）①直接根据题意列代数式即可；②先运用完全平方公式配方，然后再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 当时，代数式有最小值1． （2）①由题意可得：鸡场的长为， 则鸡场的面积：． ②， ∵， ∴， 当时，围成的矩形鸡场的面积最大．最大面积是． ∵，， ∴最大面积是符合题意． 3．（24-25九年级上·山东德州·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)9 (2)当为4时，多项式有最小值，最小值是 (3)当时，多项式有最小值，最小值是2 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的非负性是解题的关键． （1）根据完全平方式的定义，添加常数项，把原式配成完全平方式即可； （2）仿照示例，把变形为，从而得到结果； （3）根据题意，把原式变形为，可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：， ， ∴当时，代数式有最小值， 答：当为4时，多项式有最小值，最小值是； （3）解： ， ， ， ∴当时，多项式有最小值，最小值是2． 4．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ，即的最小值为2． (1)请直接写出，的最小值 ； (2)试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查配方法的应用，二次根式有意义的条件．读懂题意，掌握利用配方法求二次三项式的最值是解题关键． （1）原式配方变形为，即可求解； （2）被开方式配方变形为，即得出无论x取何实数，的值都大于0，再结合二次根式有意义的条件解答即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为； （2）解：∵， 又∵无论x取何实数，都有， ∴，即无论x取何实数，的值都大于0， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义． 【拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算】 5．（24-25九年级下·山东烟台·期末）定义：若是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差1方程”． (1)下列方程是“差1方程”的是______ ；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“差1方程”，求的值． 【答案】(1)② (2)或 【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键． （1）分别求出方程的解即可判断； （2）利用因式分解法解出方程，再根据“差方程”的定义即可求解． 【详解】（1）解：①， ， ∴， ，不是整数根，故①不是“差方程”； ②， ， ∴， ∴，故②是“差方程”； ③， ， ， ∴， ∴方程无整数根，故③不是“差方程”； 故答案为：②； （2）解： ， 解得：，. ∵方程为“差方程”，m为整数， ∴， 解得：或． 6．（24-25八年级下·浙江·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“C方程”，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，理解“C方程”的定义是解题的关键． （1）求出方程的解，再根据“C方程”定义即可判断； （2）根据“C方程”定义，得到，利用配方法，非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：是“C方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， 解得：， ∵， ∴一元二次方程是“C方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“C方程”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． (1)方程__________（填是或不是）“差积方程”； (2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值． (3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)2 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）先解方程得出，，根据新定义得出，求出，根据它的一个实数根为，得出，整体代入求出结果即可． 【详解】（1）解：， 即， 解得：， ， ∴不是差积方程； （2）解：， 即， 解得：，， ∵是差积方程， ， 即或． 解得：或； （3）解：， 解得：， ，， ∵是差积方程， ， 即， 即， ∵它的一个实数根为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”． 如与是“同类方程”． （1）若与是“同类方程”，则 ． （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 【答案】 2026 【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． ∴当时，取得最大值为2026． 故答案为：2026． 【拓展训练三 一元二次方程的解含参综合】 9．（24-25九年级上·天津和平·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元一次不等式等知识点，解题的关键是掌握根的判式． 利用根的判别式和一元二次方程的定义列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 又， ∴， ∴且， 故选：A． 10．（24-25八年级下·北京昌平·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据方程有两个不相等实数根，可知，然后即可求得的取值范围； （2）将代入题目中的方程，可以求得的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程的另一个根． 【详解】（1）解： 方程有两个不相等实数根， ， 解得； （2）解：是方程的一个根， ， 解得， 方程为， 解得，， 方程的另一个根是． 11．（24-25九年级上·广东梅州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k取满足条件的最大整数时，求该方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）由题意可得，求解即可； （2）结合题意得出，从而可得原一元二次方程为，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵当k取满足条件的最大整数时，且， ∴， ∴原一元二次方程为， 解得，． 12．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程． (1)若该一元二次方程没有实数根，试求k的取值情况； (2)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值，并求出方程的根． 【答案】(1) (2)答案不唯一，当时， 【分析】（1）根据，求k的取值情况即可； （2）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，根据方程的根的判别式，解答即可． 本题考查了根的判别式，解方程，熟练掌握根的判别式和解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵方程没有实数根，， ∴， 解得． （2）解：∵方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得． 当时，方程变形为， 解得． 【拓展训练四 换元法综合】 13．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程．先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出y的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 原方程变为． ∴． ∴，． 当时，方程的判别式，存在实数解． 当时，方程的判别式，无实数解． ∴满足条件． 故选：A． 14．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【详解】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 15．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 【答案】(1)；， (2)，，， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，换元法解方程， 对于（1），根据换元法思想，令，把原方程转化为一元二次方程，解方程后的解，代入到原方程中，从而得到原方程的解； 对于（2），利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程后，再得到原方程的解． 【详解】（1）解：， 设， ∴原方程变为：， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 可知，无解. 所以原方程的解是； （2）， 设，则 ∴原方程可变形为：， 即， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 经检验，所有解均是方程的根， ∴，. 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），，，；（2），． 【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令，即原方程=，求解即可． （2）同理，令，即原方程=，求解即可． 【详解】（1）设， 得：， 解得：，． 当时，，解得：， 当时，，解得：，． ∴原方程的解为，，，． （2）设，则方程可变成， ∴， ，． 当时，，所以无解． 当时，， ∴， ∴，． 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键． 【拓展训练五 一元二次方程解法与几何问题】 17．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10． (1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)时，为等腰三角形，的周长分别为30或32． 【分析】此题考查解一元二次方程，根的判别式，灵活选用适当的方法求得方程的解即可． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）由（1）的结论及为等腰三角形，可得出只能是的腰，再将代入原方程中求出n的值，分别解一元二次方程求解即可． 【详解】（1）证明： ∴无论n为何值方程总有两个不等实根； （2）解：∵方程有两个不相等实根， 为等腰三角形， ∴方程的其中一根应为10， ∴， 即：， 解得， 当时，方程为， 解得， ∴三边为10，10，12，周长为， 当时，方程为， 解得， ∴三边为8，10，12，周长为． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【实践】小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为（____________）； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________． 【答案】（1）【理解】B；（2）【实践】，见解析；（3）【应用】1 【分析】本题考查了用图形法解一元二次方程，理解题意，构造出适当的图形是解题的关键． 【理解】利用图形求解方程的过程是数形结合思想的应用，从而右确定答案； 【实践】按照题干材料中的步骤进行即可； 【应用】按照题干材料中的步骤进行即可． 【详解】解：【理解】从解题过程知，用到了数形结合思想； 故选：B． 【实践】第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图所示， 则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为1的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． 故答案为：； 【应用】第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图2所示， 则图2中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为a的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以， 由于中间正方形的边长为a，其面积为，则， 即， ∴． 故答案为：1． 19．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3)1 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【详解】（1）解：当，，时勾系一元二次方程为； （2）证明：根据题意，得， ∵， ∴ ∴， ∴勾系一元二次方程必有实数根； （3）解：当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， 或 ， ∴ ，， 故选：． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元二次方程，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 3．（24-25九年级上·广东茂名·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关键．根据题意，由且求得m的取值范围，进而可得结果． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， ∴的最大整数值是4， 故选：D． 4．（24-25九年级上·湖南永州·开学考试）若a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（   ） A．2025 B．2025 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算，熟知若，是一元二次方程的两根，则，是解题的关键． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：B． 5．（2024·河南鹤壁·模拟预测）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图．可以得到大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】解∶方程，即的拼图如图所示 中间小正方形的边长为，其面积为9， 大正方形的面积∶， 其边长为7因此，D选项所表示的图形符合题意， 故选∶D． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可求出，进而可得是关于t的方程的两个实数根，则由根与系数的关系可求出，据此可得答案． 【详解】解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴是关于t的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 8．（24-25九年级下·江苏连云港·期中）方程的两个根为，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据，可求出m的值；再由，即可求出答案． 【详解】解：∵方程的两个根为，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2025·江苏扬州·三模）关于x的方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，一元二次方程根的判别式，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分情况讨论：当时，方程为一元一次方程，有实数根，符合题意；当时，方程为一元二次方程，根据根的判别式得到关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：当，即时，方程为， 解得， ∴方程有实数根，符合题意． 当，即时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， ∴． 综上所述，m的取值范围为． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，，且，则化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，根据、满足的等式判断出、可看作方程的两不相等的实数根且是解题的关键． 由，即，，且可知、可看作方程的两不相等的实数根，然后得出，从而得出结论． 【详解】， 即，，且， ∴、可看作方程的两不相等的实数根， 则， 故答案为：． 11．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）在中，，，那么的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的判别式和最值的知识点，需熟记勾股定理的运用和最值问题．过点作于点，令，，勾股定理表示出，然后得到，设，得到，代入，得到，然后利用判别式求解即可．利用勾股定理和取最值即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 令，， 在中， ∵， ∴， ，， 在中，由勾股可得：， ， ∴设， ， 代入 可得：， 整理得， ∴，， 解得：， 即的最大值为． 故答案为：． 12．（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒， 根据题意得：，， ，，， ，， ， 线段将分成面积的两部分， 或， 即或， 整理得：或（无实数解）， 解得：，， 即线段将分成面积的两部分，运动时间为或秒． 故答案为：或． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）解方程 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）利用公式法解答，即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴或， ∴； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、换元法、因式分解法成为解题的关键． （1）设，则，再移项、运用直接开平方法求得y，进而求得x即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ， ， ，即， 所以该方程的解为：． （2）解：， ， ， 所以该方程的解为：． 15．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，方程的两个根是，，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号进行判断即可； （2）根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ； ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）由题意，当时，， ∴． 16．（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 【答案】(1) (2)420 (3)1；3；6；10 【分析】本题主要考查了平方根、平方差公式、一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用平方根的知识估算即可解答； （2）设，k、m为正整数，易得，由1只有因数1和41，可列方程组求得，最后代入即可求得n的值； （3）关于的一元二次方程至少有一个整数解，根据根的判别式可得，则，由方程的解为正整数，为整数，设，则，解得：，设可得，然后代入验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的值为． （2）解：设，k、m为正整数， ∴， ∴， ∵41只有因数1和41， ∴，解得：， ∵， ∴． （3）解：∵关于的一元二次方程至少有一个整数解， ∴恒成立，即， ∴， ∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数， ∴或为整数， 设(k为非负整数)，则，解得：， ∵a为正整数， ∴k为正奇数，且， 设（为正整数），则， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，，不符合题意； ， 当时，，此时，，都不是整数； ∴满足题意的正整数的值是：1；3；6；10． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知：关于的方程（）． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程， （）求出的值即可求证； （）求出一元二次方程的两个根，根据为正整数，且方程的两个根均为整数即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴方程是关于的一元二次方程， ∵ ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵，且为正整数， ∴， ∴，， ∵方程的两个根均为整数，且为正整数， ∴或． 18．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3)1 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【详解】（1）解：当，，时勾系一元二次方程为； （2）证明：根据题意，得， ∵， ∴ ∴， ∴勾系一元二次方程必有实数根； （3）解：当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 19．（23-24八年级上·上海静安·期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)n的值为0或3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． 20．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)，另一根为0 (2)详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先把代入方程，得，然后再把代入方程，求出，即可作答． （2）先求出，然后分析无论k取何值，，即可作答． 【详解】（1）解：把代入方程， 得 ∴； 把代入方程， 得， ∴， 即，另一根为0； （2）解：∵， ∴， ∵无论k取何值，， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解一元二次方程重难点题型专训 （4个知识点+9大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 配方法的应用 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型六 根据一元二次方程根的情况求参数 题型七 因式分解法解一元二次方程 题型八 换元法解一元二次方程 题型九 含绝对值的一元二次方程的解法 拓展训练一 配方法求最值 拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算 拓展训练三 一元二次方程的解含参综合 拓展训练四 换元法综合 拓展训练五 一元二次方程解法与几何问题 知识点一、直接开方法解一元二次方程 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 1. 直接开平方法（基础） 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）解方程： 知识点二、用配方法解一元二次方程 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 【即时训练】 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）一元二次方程配方后可变形为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）用配方法解一元二次方程时，步骤如下： ①；②；③；④，即，．其中，开始出现错误的步骤是 （填序号）． 知识点三、用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 【即时训练】 5．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程的根为 ． 6．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）解方程：． 知识点四、用因式分解法解一元二次方程 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤： 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 【即时训练】 7．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）方程的根是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（25-26九年级上·全国·阶段练习）方程的解是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·山东淄博·期末）下面是爱思考的小颖同学在学习了一元二次方程的解法之后，又探索发现了一元二次方程的另一种解法．请认真阅读小颖同学的解法，并完成下面的相关任务． 【阅读材料】 解方程：． 小颖同学的解法：将原方程变形，得， 再变形，得， 所以，， 所以，， 所以，， 直接开平方并整理，得． 所以，原方程的解为． 【用以致学】 请运用小颖同学的解法解下列方程： （1）； （2）． 【总结感悟】 （3）若在用小颖的方法解关于的方程（，，是常数）时，可将其变形为（也是常数），则_____，_____．（用含的式子表示） 2．（24-25九年级上·全国·随堂练习）下面是嘉淇在学习了直接开平方法解方程时做的4个小题，其中正确的有（   ） ①，解方程，得； ②，解方程，得，； ③，解方程，得，； ④，解方程，得，，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若关于x的一元二次方程的常数项等于0，则a的值为 ． 4．（24-25九年级上·河北承德·阶段练习）关于的方程和的两个根均相同，则 ． 【经典例题二 配方法解一元二次方程】 【例2】（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）关于x的为一元二次方程，下列配方正确的是(   ) A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则b的值是（   ） A．2024 B．2025 C．1 D．2 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若方程的两根为：，，则方程的两根为 ． 8．（24-25九年级上·广东潮州·期末）解方程：． 【经典例题三 配方法的应用】 【例3】（2025·安徽六安·一模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足，则代数式的最小值等于 ． 10．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． (1)当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ； (2)当 时，代数式有最 （填写大或小）值为 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少?    11．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得： ． 12．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以为边在的同侧作菱形和菱形，点在一条直线上，，分别是对角线的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为 ． 【经典例题四 公式法解一元二次方程】 【例4】（25-26九年级上·全国·阶段练习）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（   ） A． B． C． D．以上都不对 13．（2025九年级·全国·专题练习）利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．（2024·江苏常州·模拟预测）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　） A． B． C．， D． ，， 15．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，若k为正整数，且该方程的根都是整数，此时方程的根为 ． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）小明在解方程时，解答过程如下： ． ．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ，．第五步 (1)小颖解方程的方法为 ；（填字母） A．直接开平方法  B．因式分解法  C．配方法  D．公式法 (2)解方程过程中，第二步变形的依据是 ； (3)请你用“公式法”解该方程． 【经典例题五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例5】（24-25九年级上·重庆合川·期中）对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 17．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）一元二次方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 18．（2025·江苏宿迁·一模）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 19．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）现有三个代数式：，，，它们的值互不相同，且分别与，0，中的某一个值对应相等，则的值为 ． 20．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【经典例题六 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例6】（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 21．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．2 22．（2025·江西吉安·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数的值是（     ） A．－1 B．0 C．1 D．2 23．（2025·江苏淮安·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ． 24．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． (2)当时，求方程的解． 【经典例题七 因式分解法解一元二次方程】 【例7】（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （ ） A．， B．， C．， D．， 25．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程可能为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）方程有（   ） A．两个相等的实数根 B．两个不相等的实数根 C．三个不相等的实数根 D．没有实数根 27．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）解方程：． 28．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）解下列方程 (1)； (2)． 【经典例题八 换元法解一元二次方程】 【例8】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 29．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（  ） A．， B．， C．， D．， 30．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）已知实数a，b满足，则的值为（　　） A．3 B．5 C．或5 D．3或 31．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为 ． 32．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 【经典例题九 含绝对值的一元二次方程的解法】 【例9】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 33．（24-25九年级上·河南安阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 任务：请参照上述方法解方程：． 34．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 35．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 36．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）阅读下面的材料，并完成相应的任务． 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当x≥0时，原方程化为，解得x1＝5，x2＝-2（舍去）； ②当x＜0时，原方程化为，解得x1＝-5，x2＝2（舍去）．综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝-5． 任务：请参照上述方法解方程 【拓展训练一 配方法求最值】 1．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 3．（24-25九年级上·山东德州·期末）阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 4．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； ∵无论x取何实数，都有， ，即的最小值为2． (1)请直接写出，的最小值 ； (2)试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； 【拓展训练二 一元二次方程解法的新定义计算】 5．（24-25九年级下·山东烟台·期末）定义：若是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差1方程”． (1)下列方程是“差1方程”的是______ ；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“差1方程”，求的值． 6．（24-25八年级下·浙江·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断一元二次方程是否为“C方程”，请说明理由； (2)已知关于x的一元二次方程是“C方程”，求代数式的最小值． 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． (1)方程__________（填是或不是）“差积方程”； (2)若关于的方程是“差积方程”，求出的值． (3)若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”． 如与是“同类方程”． （1）若与是“同类方程”，则 ． （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 【拓展训练三 一元二次方程的解含参综合】 9．（24-25九年级上·天津和平·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 10．（24-25八年级下·北京昌平·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 11．（24-25九年级上·广东梅州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k取满足条件的最大整数时，求该方程的根． 12．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知方程是关于x的一元二次方程． (1)若该一元二次方程没有实数根，试求k的取值情况； (2)若该一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值，并求出方程的根． 【拓展训练四 换元法综合】 13．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 14．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 15．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 【拓展训练五 一元二次方程解法与几何问题】 17．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10． (1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【实践】小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为（____________）； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________． 19．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方后的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东茂名·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（   ） A．5 B．6 C．3 D．4 4．（24-25九年级上·湖南永州·开学考试）若a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（   ） A．2025 B．2025 C．2024 D．2025 5．（2024·河南鹤壁·模拟预测）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图．可以得到大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 8．（24-25九年级下·江苏连云港·期中）方程的两个根为，，若，则 ． 9．（2025·江苏扬州·三模）关于x的方程有实数根，则m的取值范围是 ． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，，且，则化简 ． 11．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）在中，，，那么的最大值为 ． 12．（23-24九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）解方程 (1)． (2)． 14．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 15．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，方程的两个根是，，求的值． 16．（2025·江苏扬州·二模）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数． (1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）； (2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值； (3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知：关于的方程（）． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 18．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 19．（23-24八年级上·上海静安·期中）若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 20．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $$