专题01 一元二次方程重难点题型专训（3个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题01 一元二次方程重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程的概念 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 由一元二次方程的定义求参数 题型四 判断是否是一元二次方程的解 题型五 由一元二次方程的解求参数 题型六 一元二次方程的解的估算 题型七 根据一元二次方程的解代入求值 题型八 根据一元二次方程的解降次求值 题型九 由实际问题抽象出一元二次方程 题型十 根据一元二次方程的解求另一方程的解 拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合 拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合 拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合 拓展训练四 一元二次方程的新定义问题 知识点一、一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 【注意】一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件为（   ） A． B．且 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，本题中二次项系数不能为0． 【详解】解：若关于的方程是一元二次方程， 则满足的条件是， 解得． 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程；根据概念进行判断即可． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不符合题意； B、方程不是整式方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的概念，符合题意； D、方程的次数不是2次，不符合题意； 故选：C． 知识点二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2） 在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【即时训练】 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握：任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 移项，把等号右边化为0，即可． 【详解】解：， 移项，得， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 知识点三、一元二次方程的根 1.能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 2.一元二次方程的重要结论： （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【即时训练】 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，求解即可． 【详解】把代入，得 ， 解得：， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴． 【经典例题一 一元二次方程的概念】 【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．直接根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A、，是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、，是一元二次方程，故本选项符合题意； C、，含有两个未知数，故本选项不符合题意； D、，是分式方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般式为且为常数，根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．当时，不是一元二次方程，故此项错误； B．原方程整理为，不是一元二次方程，故此项错误； C．原方程整理为，是一元二次方程，故此项正确； D．不是整式方程，故此项错误． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程；熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故符合题意； B、是分式方程，故不符合题意； C、化简后为，是一元一次方程，故不符合题意； D、是二元一次方程，故不符合题意． 故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．据此判断即可． 【详解】解：①，不是整式方程，不是一元二次方程； ②，含有2个未知数，不是一元二次方程； ③，是一元二次方程； ④，是一元二次方程, 综上，符合条件的方程有③和④，共2个， 故选：B． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）判定下列方程是否关于x的一元二次方程： （1）；  　　 （2）． 【答案】（1）是；（2）不一定是 【分析】（1）先把原方程化成一般形式，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可； （2）先把原方程化成一般形式，然后根据一元二次方程的定义进行判断即可； 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴可以判定：对任何实数a，它都是一个一元二次方程； （2）∵ ∴ ∴ 当时，二次项系数为0，此时不是一元二次方程，当时，二次项系数为0，此时是一元二次方程， ∴原方程不一定是一元二次方程. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义. 【经典例题二 化成一元二次方程的一般式】 【例2】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程整理成一元二次方程的一般形式，即可确定、、的值，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程变形为：， 此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：D． 6．（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．5，3，2 B．，3， C．5，3， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式. 先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可． 【详解】解：转化为一般形式为：， ∴一元二次方程化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5，3，， 故选：C． 7．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项的系数为3， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·广西贺州·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 【经典例题三 由一元二次方程的定义求参数】 【例3】（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得或；且， ， 故选：C． 9．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）关于x的方程是一元二次方程，则a满足（   ） A． B． C． D．a为任意实数 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义；一般地，形如（a，b，c都是常数，且）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得． 故选：A． 10．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且，则且， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】3 【分析】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 由①得． 由②得， 所以． 12．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 【经典例题四 判断是否是一元二次方程的解】 【例4】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解决此题的关键是正确的理解方程解的定义． 由方程可以转化为，从表格中我们可以找到当或时，的值为6，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ 由表格可知，当或时，的值为6， ∴或， 故选：D 13．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2025 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2025，可得出关于的一元二次方程有一个根为2025，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2025， ∴关于的一元二次方程有一个根为2025， 即， 解得：， ∴方程必有一个根为2024． 故选：A． 14．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）若是方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和代数式求值，理解一元二次方程的解和整体代入思想是解题关键． 根据是方程的根，得出、，对代数式变形后将其代入即可求解． 【详解】解：是方程的一个根， ， ，， ， ． 故选：A． 15．（24-25九年级上·广西河池·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2025 B．2025 C．2025 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义，可得，整体代入代数式即可求解． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故选：D． 16．（2025·广东潮州·二模）已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式得化简求值、方程的解，正确化简分式P是解答的关键． （1）根据分式的加减混合运算法则和运算顺序化简分式P即可； （2）根据方程的解满足方程得到，代入化简式子中求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵若a为方程的一个解， ∴，即， ∴． 【经典例题五 由一元二次方程的解求参数】 【例5】（24-25八年级下·北京通州·期末）如果是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把的值代入方程即可得到一个关于的方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 故选：A． 17．（24-25九年级上·广东江门·期末）若m是关于x的方程的一个解，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，由题意，得，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴； 故选D． 18．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将第二个方程变形，使其与原方程的结构一致，利用已知解代入求解． 【详解】解：原方程有一解，代入得． 将第二个方程整理为：， ， 令，则方程变为， 与原方程形式相同，则解相同． 则，即，解得． 因此，第二个方程必有一解为， 故选：A． 19．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知下面三个关于的一元二次方程恰好有一个相同的实数根，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．把代入3个方程得出，3个方程相加即可得出，即可求出答案． 【详解】解：把代入得： ，，， 相加得：， ， ， ∵， ∴， 故选：A． 20．（24-25八年级下·上海·假期作业）已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键，将代入一元二次方程中，可得到关于的三元一次方程组，再将两个式子相加即可得到答案． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴代入可得：， ∴两式相加得：． 【经典例题六 一元二次方程的解的估算】 【例6】（24-25九年级上·山西运城·期中）已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解：时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：C． 21．（24-25八年级下·云南昆明·期末）根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 通过观察代数式值在相邻x值之间的符号变化，确定方程解的区间． 【详解】解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解， 根据表格数据：当时，（负数）； 当时，（正数）， 由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间， 故选：B． 22．（24-25九年级上·广东佛山·期末）探索方程的正数解的过程如下表： 0 1 2 13 可以看出方程的正数解应介于和之间，则，分别是（   ） A．0， B．，1 C．1， D．，2 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由列表数据可得判断出的值在1和之间即可解答． 【详解】解：通过列表可以看出看出方程的正数解应介于1和之间， ∴． 故选：C． 23．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 【答案】 【分析】观察表格可得当时， ，当时， ，可得到一元二次方程的解介于1.6与1.7之间，即可求解． 【详解】解∶根据题意得∶当时， ， 当时， ， ∴一元二次方程的解介于1.6与1.7之间， 即． 故答案为： 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解问题，解题的关键是从表格中找出两个x的值使得比较接近0，本题属于基础题型． 24．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 【经典例题七 根据一元二次方程的解代入求值】 【例7】（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于的方程的一个根，则的值是（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是利用根的定义得到关于的等式，再对所求式子进行变形求值． 因为是方程的根，所以将代入方程可得，变形得到，再将其代入所求式子进行计算． 【详解】已知是方程的一个根，把代入方程中， 根据方程根的定义，方程左右两边相等，可得： ，移项得到， 对于式子，可变形为， 把代入变形后的式子： 所以的值是2025， 故选：C． 25．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程： 的一个根是，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，将已知根代入方程，解关于m的方程即可． 【详解】解：将代入方程， 得：， 解得， 故选A． 26．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，将代入，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得：， 故选：A． 27．（24-25八年级下·广西梧州·期中）已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 28．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程解的概念，解题的关键是理解一元二次方程的概念，把代入一元二次方程中，解关于m的一元二次方程即可求得m的值． 【详解】解：把代入一元二次方程中，得． 解得或． 当时，原方程的二次项系数，舍去． 故m的值是：． 故答案为：1． 【经典例题八 根据一元二次方程的解降次求值】 【例8】（2025·广东珠海·一模）设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，再把，代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个实根， ∴， ∴，， ∴ ， 故选：B． 29．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）已知m为方程的根，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，，进一步可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 30．（24-25八年级下·重庆·期末）若a是方程的一个根，则的值为 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到，然后根据等式的性质易得，代入原式即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：11． 31．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到，进而得到，利用整体代入法，进行计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：2024 32．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知：是方程的一个根，求代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据一元二次方程的解得出，然后对代数式去括号，合并同类项，最后把代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴原式 ． 故答案为：1 【经典例题九 由实际问题抽象出一元二次方程】 【例9】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是，求的面积． 【答案】1 【分析】利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积． 【详解】当时，有，即 ∵，即 ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义及应用；勾股定理的证明． 33．（24-25九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m+6=0的其中一个根为3． （1）求m的值及方程的另一个根； （2）若该方程的两根的值为一直角三角形的两边长，求此直角三角形的第三边长． 【答案】（1）m=6，方程的另一根为4；（2）此直角三角形的第三边长为5或． 【分析】（1）把x=3代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根； （2）分两种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）把x=3代入方程可得9-3（m+1）+m+6=0， 解得m=6， 当m=6时，原方程为x2-7x+12=0， 解得x1=3，x2=4， 即方程的另一根为4； （2）设此直角三角形的第三边长为a， 当4是直角边时， ∴a=； 当4是斜边时， a=； 故此直角三角形的第三边长为5或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解及勾股定理，将方程的解代入原方程求出m的值是解题的关键． 34．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）是关于x的方程的根，其中a，b，c分别为三边的长，则的是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，一元二次方程的解的含义，把代入再整理即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的根， ∴， ∴， ∴的是等腰三角形； 故答案为：等腰 35．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知1是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则三角形的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，将代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论，根据三角形的三边关系找出三角形的三条边长是解题的关键． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：． 当时，原方程为， 解得：， ∵， ∴此等腰三角形的三边为5、5、1， ∴此等腰三角形的周长为：． 故答案为：11． 36．（24-25九年级上·广西来宾·期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x=-1是方程的根，则△ABC是 三角形． 【答案】等腰 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=﹣1代入方程得到a+c﹣2b+a﹣c=0，然后整理得到a=b，然后根据等腰三角形的判定方法进行判断即可得. 【详解】把x=﹣1代入（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0 得：a+c﹣2b+a﹣c=0， 所以a=b， 所以△ABC为等腰三角形， 故答案为：等腰． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【经典例题十 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 【例10】（23-24九年级上·全国·阶段练习）若关于的一元二次方程有一根为，则方程必有一根为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到，设，得到，所以，即可得到进而得到答案． 【详解】解：由得到， 对于一元二次方程， 设， ， 而关于的一元二次方程有一根为， 有一个根为， 则， ， 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解答本题的关键． 37．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程整理为：，通过变量替换，转化为原方程的形式，从而确定新方程的根． 【详解】解：将方程整理为：， 令，则方程变为，与原方程形式相同， ∵是关于y的方程的一个根， ∴， ∴， ∴关于x的方程必有一个根为2024， 故选：A． 38．（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的定义， 熟练掌握等式的性质和一元二次方程解的定义是解本题的关键． 将代入方程中，再两边同时除以即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个实数根为2025， ∴， ∴，即， ∴是方程的实数根． 故选：D． 39．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知一元二次方程的两根为，则的两根为 ． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换法求解一元二次方程的根，解题的关键是掌握利用整体代换法求解一元二次方程的根的方法． 首先将变形为，由题意可得：或，再进行转化即可得出根． 【详解】解：∵可变形为， 由题意可得：或， ∴或， 即方程的根为或． 故答案为：，． 40．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若关于x的方程（a，b，m均为常数，）的解是，，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程变形为，结合题意得出或，求解即可，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程（a，b，m均为常数，）的解是，， ∴方程变形为，即此方程中或， 解得：，， 故答案为：，． 【拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合】 1．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，据此可得且，最后求解即可解答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：1． 2．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，那么 ． 【答案】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】由题意，得且， 由得， ∴， ∵， 解得， 故答案为：． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知方程是关于x的一元二次方程，求a的值． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案． 【详解】解：由关于x的方程是一元二次方程，得 ． 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0 (1)m为何值时，方程是一元二次方程； (2)m为何值时，方程是一元一次方程． 【答案】(1)m＝﹣3 (2)3或±2或± 【分析】（1）由一元二次方程的定义进行计算，即可求出答案； （2）由一元一次方程的定义进行计算，即可求出答案； 【详解】（1）解：根据题意，则 ∵方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0是一元二次方程， ∴且m﹣3≠0， 解得m＝﹣3． 故m为﹣3时，原方程是一元二次方程； （2）解：根据题意，则 ∵关于（m﹣3）+（m﹣2）x+5＝0是一元一次方程， ∴m﹣3＝0且m﹣2≠0或或， 解得m＝3或m＝±2或m＝± 故m为3或±2或±时，原方程是一元一次方程． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行计算． 【拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合】 5．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，由方程的解可得，可得，，再代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ． ∴，． ． 6．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由一元二次方程有一个根为零，得到，然后求解，再利用一元二次方程的定义确定的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程有一个根为零， ， 解得：，， ∵方程为一元二次方程， ∴ ；即， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为． 7．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是；； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程， 得， ∴ （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 8．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可． 【详解】（1）解：， 两边同时除以x（），得 ， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵m是方程的根， ∴， 两边同时除以（），得 ， ∴， ∴， ∴ ∴． 【拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合】 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（   ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，可得出，在等式的两边同时除以，可得出，进而可得出方程有一个根是2024． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根是， ∴， 在等式的两边同时除以得：， 方程有一个根是2024． 故选：C． 10．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，2 D．，2 【答案】C 【分析】根据方程的两个根分别为，3，得到，或，即可求解， 本题考查了，一元二次方程的解，解题的关键是：理解方程的解． 【详解】解：∵的两个根分别为，3， ∴中，，或， 解得：或， 故选：C． 11．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把方程看作关于的一元二次方程，根据题意得出，，计算即可得解． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是，， ∴，， 解得：，， 故答案为：，． 12．（24-25九年级上·湖北荆门·期中）已知关于的方程（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解． 【详解】∵关于的方程的解是 ，， ∴方程变形为， 即此方程中或， 解得或， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了方程解的定义，运用整体思想是解题的关键． 【拓展训练四 一元二次方程的新定义问题】 13．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； (2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 【答案】(1)一元二次方程是 “和谐方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． （1）根据“和谐方程”的定义进行计算即可； （2）根据题意得到二元一次方程组，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， 故一元二次方程是 “和谐方程”； （2）解：是关于x的“和谐方程”， 当时，， 是此“和谐方程”的一个根， ， 即， 解得． 故． 14．（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解，新定义运算． （1）根据“友好”方程的定义求解； （2）先把代入方程得到，再写出关于的一元二次方程的“友好”方程为，再把代入得，然后根据一元二次方程解的定义可判断是方程的一个解． 【详解】（1）解：的“友好”方程是； 故答案为：； （2）解：是．理由如下： 把代入方程得， 即， 关于的一元二次方程的“友好”方程为， 把代入得， 所以是方程的一个解， 即为的“友好”方程的一个解． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程；如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则 ． 【答案】5 【分析】根据题意得出，求出的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， 解得：， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、解二元一次方程、求代数式的值，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 16．（24-25九年级上·河北唐山·期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则___________． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)4或16 【分析】（1）根据题意和题目中的方程，求得方程的解，据此即可判定； （2）根据题目中的方程和题意，利用分类讨论的方法可以求得n的值． 【详解】（1）解：方程是倍根方程， 理由如下： 由方程， 解得，， ， 方程是倍根方程； （2）解：由方程， 解得，， 方程是倍根方程， 或， 得或， 故或， 故答案为：4或16． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意； B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意； C、中的是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中得，且，解出的值即可． 【详解】解：由题意，得且， 或，且， ， 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）若是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是方程的一个根，可得，再代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值，根据一元二次方程的解的定义得出，再将分式进行化简，整体代入计算即可得出答案，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 6．（2024·湖北武汉·一模）若m是方程的根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，先根据分式的运算法则化简分式，再结合代入计算即可． 【详解】解： ， ， 故选：B． 7．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列一元二次方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，含有2个未知数，不是一元二次方程； ③，不是整式方程，故不是一元二次议程； ④，是一元二次方程； ⑤，是一元二次方程． 所以一元二次方程的个数为3个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 8．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列方程①x2﹣5x＝2025，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：①x2﹣5x＝2025，是一元二次方程； ②，当a=0时不是一元二次方程； ③，是一元二次方程； ④，整理后不含二次项，不是一元二次方程， 所以，一定是关于x的一元二次方程的是①③，共2个， 故选：B 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程是一元二次方程成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义得出且，然后求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：1． 10．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义得出，然后把变形为，再把整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为： 11．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）若是一元二次方程一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、整体代入法求代数式的值．首先根据是一元二次方程一个根，可得，然后用整体代入法代入代数式求值即可． 【详解】解：是一元二次方程一个根， ， ， ． 故答案为： ． 12．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知是方程的一个根，则= ． 【答案】2026 【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程根的定义，由根的定义得到，恒等变形代入代数式化简求值即可得到答案． 【详解】解：是方程的一个根， ，则，且， ， 故答案为：2026． 13．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程的根是 ． 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … 【答案】， 【分析】观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和3时，， ∴方程的根是：，， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程；如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则 ． 【答案】5 【分析】根据题意得出，求出的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， 解得：， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、解二元一次方程、求代数式的值，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 15．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）若关于x的一元二次方程的两根分别为，，则关于x的一元二次方程的两根分别为 ． 【答案】， 【分析】可得，从而可得或，即可求解． 【详解】解：由得 ， 一元二次方程的两根分别为，， 或， ，； 故答案：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的同解问题，理解方程的解，掌握解法是解题的关键． 16．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）若m是一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，完全平方公式的变形，把m代入方程变形得，然后利用计算即可解题． 【详解】解：是一元二次方程的根， ，且， ， ， ，即， ，即． ． 17．（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程，试问： (1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ (2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出或或是解（1）的关键，能根据一元二次方程的定义得出且是解（2）的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出或或，再求出即可； （2）根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【详解】（1）解：要使关于的方程是一元一次方程，分3种情况： ①，解得：，该方程是一元一次方程； ②，解得：，该方程是一元一次方程； ③，解得：，该方程是一元一次方程； 所以当或时，该方程是关于的一元一次方程； （2）解：要使关于的方程是一元二次方程，必须且， 解得：，都满足， 所以时，该方程是关于的一元二次方程． 18．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知m为方程的根，求的值． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形． 19．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知实数a是一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】-1 【分析】利用方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 20．（2025·安徽合肥·模拟预测）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． [观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推． (1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块； (2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由． 【答案】(1)16，20；，4n＋4 (2)存在，见解析 【分析】（1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量； （2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少1的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解证明假设成立． 【详解】（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9 图3的白砖数量为12+4=16 图4的灰砖数量应为1+2+3+4+3+2+1=16 图4的白砖应比图3上下各多一行 得图4白砖的数量为：16+4=20 图1灰砖的数量为1 图2灰砖的数量为4 图3灰砖的数量为9 图4灰砖的数量为16 得图灰砖的数量为 图1白砖的数量为8= 图2白砖的数量为12= 图3白砖的数量为16= 图4白砖的数量为20= 得图白砖的数量为 故答案为：16，20；，4n＋4． （2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少1 ∴白砖数量为，灰砖数量为 ∴= ∴ ∴ ∴，或（舍去） 故当时，白砖的数量为24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1 故答案为：存在． 【点睛】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 一元二次方程的概念 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 由一元二次方程的定义求参数 题型四 判断是否是一元二次方程的解 题型五 由一元二次方程的解求参数 题型六 一元二次方程的解的估算 题型七 根据一元二次方程的解代入求值 题型八 根据一元二次方程的解降次求值 题型九 由实际问题抽象出一元二次方程 题型十 根据一元二次方程的解求另一方程的解 拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合 拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合 拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合 拓展训练四 一元二次方程的新定义问题 知识点一、一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 【注意】一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件为（   ） A． B．且 C． D． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 知识点二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2） 在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【即时训练】 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 知识点三、一元二次方程的根 1.能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 2.一元二次方程的重要结论： （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【即时训练】 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为 ． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，求m的值． 【经典例题一 一元二次方程的概念】 【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（2025九年级上·全国·专题练习）判定下列方程是否关于x的一元二次方程： （1）；  　　 （2）． 【经典例题二 化成一元二次方程的一般式】 【例2】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．5，3，2 B．，3， C．5，3， D．，， 7．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 8．（24-25八年级下·广西贺州·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【经典例题三 由一元二次方程的定义求参数】 【例3】（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 9．（23-24九年级上·陕西咸阳·期末）关于x的方程是一元二次方程，则a满足（   ） A． B． C． D．a为任意实数 10．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ． 11．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 12．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【经典例题四 判断是否是一元二次方程的解】 【例4】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（   ） -2 -1 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D．或 13．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2025 D．2025 14．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）若是方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 15．（24-25九年级上·广西河池·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2025 B．2025 C．2025 D．2025 16．（2025·广东潮州·二模）已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 【经典例题五 由一元二次方程的解求参数】 【例5】（24-25八年级下·北京通州·期末）如果是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·广东江门·期末）若m是关于x的方程的一个解，则（ ） A． B．1 C．2 D． 18．（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知下面三个关于的一元二次方程恰好有一个相同的实数根，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 20．（24-25八年级下·上海·假期作业）已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 【经典例题六 一元二次方程的解的估算】 【例6】（24-25九年级上·山西运城·期中）已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级下·云南昆明·期末）根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·广东佛山·期末）探索方程的正数解的过程如下表： 0 1 2 13 可以看出方程的正数解应介于和之间，则，分别是（   ） A．0， B．，1 C．1， D．，2 23．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 24．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【经典例题七 根据一元二次方程的解代入求值】 【例7】（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于的方程的一个根，则的值是（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 25．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程： 的一个根是，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 26．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．6 27．（24-25八年级下·广西梧州·期中）已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 28．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是 ． 【经典例题八 根据一元二次方程的解降次求值】 【例8】（2025·广东珠海·一模）设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 29．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）已知m为方程的根，那么的值为 ． 30．（24-25八年级下·重庆·期末）若a是方程的一个根，则的值为 31．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）若a是方程的一个根，则的值为 ． 32．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知：是方程的一个根，求代数式的值是 ． 【经典例题九 由实际问题抽象出一元二次方程】 【例9】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是，求的面积． 33．（24-25九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m+6=0的其中一个根为3． （1）求m的值及方程的另一个根； （2）若该方程的两根的值为一直角三角形的两边长，求此直角三角形的第三边长． 34．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）是关于x的方程的根，其中a，b，c分别为三边的长，则的是 三角形． 35．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知1是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则三角形的周长为 ． 36．（24-25九年级上·广西来宾·期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x=-1是方程的根，则△ABC是 三角形． 【经典例题十 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 【例10】（23-24九年级上·全国·阶段练习）若关于的一元二次方程有一根为，则方程必有一根为（　　） A． B． C． D． 37．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 38．（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（   ） A．1 B． C． D． 39．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知一元二次方程的两根为，则的两根为 ． 40．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若关于x的方程（a，b，m均为常数，）的解是，，则方程的解是 ． 【拓展训练一 根据一元二次方程的定义求参综合】 1．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则m的值是 ． 2．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，那么 ． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知方程是关于x的一元二次方程，求a的值． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）方程（m﹣3）＋（m﹣2）x＋5＝0 (1)m为何值时，方程是一元二次方程； (2)m为何值时，方程是一元一次方程． 【拓展训练二 根据一元二次方程的解求参综合】 5．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 6．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为零，求的值． 7．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 8．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 【拓展训练三 两个一元二次方程解的关联性综合】 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（   ） A． B． C．2024 D． 10．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，2 D．，2 11．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ． 12．（24-25九年级上·湖北荆门·期中）已知关于的方程（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是 ． 【拓展训练四 一元二次方程的新定义问题】 13．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； (2)已知是关于x的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求m，n的值． 14．（24-25九年级上·全国·阶段练习）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程． (1)【概念感知】的“友好”方程是______； (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程；如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则 ． 16．（24-25九年级上·河北唐山·期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则___________． 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）若是方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．0 6．（2024·湖北武汉·一模）若m是方程的根，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 7．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列一元二次方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（24-25八年级下·山东烟台·期中）下列方程①x2﹣5x＝2025，②，③，④，一定是关于x的一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 10．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 11．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）若是一元二次方程一个根，则代数式的值是 ． 12．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）已知是方程的一个根，则= ． 13．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程的根是 ． 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程；如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则 ． 15．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）若关于x的一元二次方程的两根分别为，，则关于x的一元二次方程的两根分别为 ． 16．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）若m是一元二次方程的根，求代数式的值． 17．（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程，试问： (1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？ (2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？ 18．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知m为方程的根，求的值． 19．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知实数a是一元二次方程的根，求代数式的值． 20．（2025·安徽合肥·模拟预测）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． [观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推． (1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块； (2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$