专题1.5 有理数的乘法和除法（高效培优讲义）数学湘教版2024七年级上册

专题1.5 有理数的乘法和除法 教学目标 1. 理解有理数乘法法则，能熟练运用法则进行有理数乘法运算。 2. 探索并掌握有理数乘法运算律，如交换律、结合律和分配律 ，并能利用运算律简化运算。 3. 经历有理数乘法法则及运算律的探索过程，提升观察、归纳、猜想、验证等思维能力。 教学重难点 1.重点 （1）有理数乘法法则的理解与运用，准确确定积的符号与绝对值。 （2）掌握有理数乘法的运算律，能正确运用运算律进行简便运算。 2.难点 （1）理解有理数乘法中负数参与运算时积的符号确定，以及多个有理数相乘时积的符号判断。 （2）根据具体算式特点，灵活选择合适的乘法运算律进行简便计算 。 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 【即学即练1】2025的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数是定义，根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：2025的倒数是， 故答案为：． 【即学即练2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数乘法，根据两个有理数相乘的法则计算． （1）根据“同号得正，并把绝对值相乘”计算即可； （2）根据“异号得负，并把绝对值相乘”计算即可； （3）根据“异号得负，并把绝对值相乘”计算即可； （4）根据“一个数与0相乘，积为0”计算即可． 【详解】（1） （2） （3） ， （4） ． 【即学即练3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的乘法运算，掌握知识点是解题的关键． （1）先判断代数式的正负性，再进行约分，即可解答； （2）有理数的乘法运算中，有0因数，结果为0． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 【即学即练1】下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 【答案】A 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，乘法运算律，熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 根据题干中的解题过程，结合乘法运算律即可得出答案． 【详解】解： （乘法结合律） （乘法分配律） ∴运用的运算律为乘法结合律及分配律， 故选：A． 【即学即练2】计算下列各题: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法、乘法运算律，熟练掌握利用乘法分配律的进行简便运算是解答的关键． （1）利用乘法分配律去掉括号，再利用有理数乘法和加减法运算法则求解即可； （2）先得到，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【即学即练3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用乘法分配律和有理数的乘法法则进行计算即可； （2）利用乘法的分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） ． 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 【即学即练1】下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 【即学即练2】对于，若，则其结果为（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】B 【分析】考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算符号法则是解题关键． 根据负数的乘法符号规律：奇数个负数相乘结果为负数，偶数个负数相乘结果为正数，即可判断． 【详解】解：由题意个相乘，当时，有奇数个负数相乘，所以结果为负． 故选：B． 知识点04 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【即学即练1】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练运算法则． （1）利用有理数的除法法则进行计算即可； （2）利用有理数的除法法则进行计算即可； （3）利用有理数的除法法则进行计算即可； （4）利用有理数的除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【即学即练2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了多个有理数的除法，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先确定符号，小数化分数，除法转乘法，再计算； （2）先确定符号，小数化分数，除法转乘法，再计算． 【详解】（1） ； （2） ． 【即学即练3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了有理数的乘除法运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）按从左到右的顺序计算有理数的乘除法即可； （2）按从左到右的顺序计算有理数的乘除法即可． 【详解】（1）解： （2） 题型01 两个有理数的乘法运算 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)13 【分析】此题考查有理数的乘法，关键是根据有理数的乘法法则解答． （1）根据有理数乘法运算法则即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)7 (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法．解题的关键是掌握有理数的乘法法则，特别要注意积的符号． （1）零乘以任何数都等于零，由此即可求解； （2）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数的乘法运算法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解：． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （3）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （4）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型02 多个有理数的乘法运算 【典例2】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键， （1）首先根据负因数的个数可判断积为负，再把绝对值相乘，然后约分计算即可； （2）首先根据负因数的个数可判断积为正，再把绝对值相乘，然后约分计算即可； （3）观察发现因数中有0，故结果为零． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)700 【分析】本题考查了有理数乘法，解题的关键是掌握有理数乘法的运算法则． （1）将带分数化为假分数，根据有理数乘法的运算法则求解即可； （2）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算； （3）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查多个有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算律． （1）首先确定乘积的符号，再根据乘法结合律计算即可； （2）首先确定乘积的符号，再计算； （3）首先确定乘积的符号，再计算； （4）首先确定乘积的符号，再利用乘方交换律，结合律计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式3】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)6 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，注意计算时先确定积的符号． （1）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； （2）先确定符号，再用约分即可得答案； （3）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； （4）先确定符号，再用约分即可得答案； （5）先确定符号，再用约分即可得答案； （6）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 题型03 倒数 【典例3】的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故答案为：． 【变式1】的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数的概念，熟练掌握基本概念是解题的关键． 先将带分数化为假分数，再将分子分母颠倒位置即可得到答案． 【详解】解：， ∴的倒数是， 故答案为：． 【变式2】的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了化简多重符号，绝对值，相反数，倒数的性质，先整理，，，然后结合倒数，相反数，绝对值等性质进行逐个解答即可． 【详解】解：∵， 则的倒数是， ∴的相反数是 ， ∴的绝对值是， 故答案为： 题型04 有理数乘法运算律 【典例4】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及乘法分配律，正确掌握有理数乘法运算法则是关键． （1）先将化为，再利用乘法分配律计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【变式1】计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查乘法分配律，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分分配律的逆运算进先计算解答即可； （2）把原式化为，然后运用乘法分配律解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法和加减法的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）利用乘法分配律计算； （2）利用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型05 有理数乘法的实际应用 【典例5】小车司机某天下午的运输全是在东西走向的高速公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程单位：千米如下： ，，，，，，，，，， (1)司机这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)司机这天下午共行车多少千米？ (3)若每千米耗油升，则这天下午司机用了多少升油？ 【答案】(1)师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地千米； (2)师傅这天下午共行车千米； (3)这天下午师傅用了升油 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的加减的应用、有理数的乘法的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把所有行车记录的里程相加，再根据正数和负数的意义解答； （2）求出所有行车里程的绝对值的和； （3）将（2）中的结果乘以即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地38千米； （2）解： （千米）   答：师傅这天下午共行车78千米； （3）解：，   答：这天下午师傅用了升油． 【变式1】在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)195 (2)1408件 (3)84460元 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据产品数量算出生产产品的工资，再加上超额部分的奖励，减去少生产部分的总额，即可求解． 【详解】（1）解：（件）， 即该合作社星期三生产竹制品和陶瓷件， 故答案为：； （2）解：（件）， 答：该厂本周生产竹制品和陶瓷件； （3）解：（元）， 超过的部分奖励总额为：（元）， 扣款总额为：（元）， ∴（元）， 答：合作社成员这一周的工资总额是元． 【变式2】今年杜大伯在自家种植的地里采摘了7筐白萝卜，每筐的质量如下表（其中以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，单位：）． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 图片 正（负）数 (1)质量最大的一筐比质量最小的一筐重多少千克？ (2)如果每千克白萝卜按1.2元出售，一共能卖多少钱？ 【答案】(1)质量最大的一筐比质量最小的一筐重5.9千克 (2)一共能卖204元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的混合运算的应用： （1）利用超出质量最大减去超出质量最小即可； （2）利用表格中的数据先计算超出或不足的质量，再加上7筐萝卜的标准质量即可求出总质量，再乘以萝卜的单价解答即可． 熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：质量最大的一筐比质量最小的一筐重5.9千克． （2）解： （元）， 答：一共能卖204元． 题型06 有理数的除法运算 【典例6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)400 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； （2）根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，即可解答； （3）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； （4）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：进而得出即可； （5）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； （6）根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：，进而得出即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ． 【变式1】计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （2）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （3）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （4）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)12 (2) (3) (4) (5)5 (6) 【分析】（1）根据有理数的除法法则进行计算即可； （2）先把带分数化成假分数，再根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （3）根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （4）先把带分数化成假分数，再根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （5）根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （6）先把带分数化成假分数，再根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法及有理数除法，熟练掌握有理数乘法及有理数除法法则进行求解是解决本题的关键．应用有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： （）， （1）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （2）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （3）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型07 有理数的乘除混合运算 【典例7】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （3）根据含0的有理数乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，根据有理数的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． （3） ． 【变式2】计算： (1)． (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算：将除法变成乘法，再根据乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】计算： (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； （）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可求解； 本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型08 有理数的乘除混合运算之新定义型问题 【典例8】如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解决问题的关键． （1）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，进而计算得出结果即可． （2）按照规定的运算方法把式子改为有理数的混合运算，先计算括号内的运算，进而计算得出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴ ； （2）， ∴ ， ∴ ． 【变式1】定义一种新的运算：，如：， 求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了新定义运算和有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）把原式利用题中的新定义计算转换为有理数运算，即可得到结果； （2）先计算，求得，再计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 【变式2】若对于任意两数，定义一种运算“”，使得． (1)求的值； (2)试探索运算“”是否满足结合律，若满足，请证明；若不满足，请说明理由． 【答案】(1) (2)满足结合律，见解析 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可； （2）把相应的值进行结合律运算，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：已知，令，则． 将，代入运算规则可得： ​​ ，令，则． 将，代入运算规则可得： 因为，，所以，运算 “” 满足结合律． 题型09 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 【典例9】阅读下列材料： 即当时，；当时，． 用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)或0 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的化简，分类思想，有理数除法法则，熟练掌握分类思想，准确理解绝对值化简是解题的关键． （1）根据题意，分类讨论：①，，②，，进行计算即可得； （2）根据题意可分，，和，，，和a，b，c两负一正和a，b，c两正一负，四种情形求解即可． 【详解】（1）解：已知a，b是有理数，当时， ①若，，则； ②若，，则； ③若a，b异号，则． 故的值为或0； （2）解：已知a，b，c是有理数，当时， ①若，，，则； ②若，，，则； ③若a，b，c两负一正，则； ④若a，b，c两正一负，则． 故的值为或． 【变式1】探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义， （1）根据，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出、、、中有1个或3个负数，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b同号，即，或，， ∴或； ∴当时，； 故答案为：． （2）解：∵， ∴a、b、c中有3个负数或两正一负， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有两正一负时，设，； ∴时，的值为或； 故答案为：或． （3）解：∵， ∴、、、中有1个或3个负数 设， 设， ∴的最大值是 【变式2】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，绝对值的意义． （1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论； （2）由题意得，a，b，c中有2个负数，1个正数，则，利用绝对值的意义可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①若a，b，c都是负数，即，，时， ； ②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或1． （2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c有2个负数，1个正数， ∴， ∴． 一、单选题 1．计算：（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，直接根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．下面算式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数的加减乘除法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，错误，符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选A． 3．将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则是解题的关键．分别计算出四种运算下的结果即可得． 【详解】解： 使运算结果最小的是 故选：D． 4．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【知识点】有理数的除法运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 5．定义一种新运算：  ．如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了新运算的运算法则以及有理数的四则混合运算，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 依题意，根据该新运算的运算法则，代入数值即可列式作答． 【详解】解：依题意， 那么  ， 故选：C． 二、填空题 6．计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数除法法则，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数成为解题的关键． 根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．若， 比较四个数的大小，并用“”连接 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、倒数 【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数和有理数的大小比较，正确得出，，是解题的关键； 根据可得，，，即可得解． 【详解】解：因为， 所以，，， 所以； 故答案为：． 8．如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 9．定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 【答案】①③/③① 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算 【分析】本题考查了“和积等数对”，有理数的加法和乘法，理解“和积等数对”的定义是解题的关键． 根据“和积等数对”的定义计算即可． 【详解】解∶ ①，是“和积等数对”； ②，不是“和积等数对”； ③，是“和积等数对”； 故答案为：①③． 10．下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 针对每一选项逐一判断． 【详解】解：对于①：当时，无意义，故①错误，不符合题意； 对于②：∵， ∴同号， ∵， ∴，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 对于③：若， 则有四种情况， 1：如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 2如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 3如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 4如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 综上，若，则； 故③正确，符合题意； 对于④： ∵， ∴a、b、c中至少有一个负数， ∵， ∴同号， ∵， ∴a和b均为负数， ∴ 故④正确，符合题意； 综上，正确的有②③④； 故答案为：②③④． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）原式利用乘法分配律计算即可求解； （2）原式从左到右依次计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把除法化为乘法，再根据乘法法则进行计算，即可作答． （2）先运算乘除，再运算加法，即可作答． （3）先运算小括号内，再运算中括号，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13．在1，，3，，中任意取出两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】绝对值非负性、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数乘法计算，有理数加法计算，绝对值的非负性： （1）根据乘法计算法则可得要使得两个数的乘积最大，则这两个数一定要同号，且绝对值要满足是最大的两个数，要使得两个数的乘积最小，这两个数一定要异号，且绝对值要满足是最大的两个数，据此求解即可； （2）根据绝对值的非负性得到，则，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵要使得两个数的乘积最大， ∴这两个数一定要同号，且绝对值要满足是最大的两个数， ∴； ∵要使得两个数的乘积最小， ∴这两个数一定要异号，且绝对值要满足是最大的两个数， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 【答案】(1)一 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，有理数乘法分配律： （1）观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律； （2）先计算，计算方法为先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，求得的结果取倒数即为题目所求式子的值． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数为 ． 所以． 15．阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） 第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第___________步，错误原因___________； 第二处是第___________步，错误原因是___________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号弄错 (2)见解析 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】此题考查了有理数的乘除运算． （1）根据有理数的乘除运算法则即可进行判断； （2）根据有理数的乘除运算法则写出解答过程即可． 【详解】（1）解：第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算， 第二处是第三步，错误原因是符号弄错， 故答案为：二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号弄错； （2）解：原式 ． 16．定义新运算“*”，对于任意有理数a，b满足，如：，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)2 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的加减和乘法混合运算，解题的关键是理解题目所给的定义中包含的运算及运算顺序． （1）利用新定义计算即可求出值； （2）利用新定义计算即可求出值． 【详解】（1）． （2）． 17．随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，刚大学毕业的志强把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 七 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？并说明理由； (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均1元，那么志强本周一共收入多少元？ 【答案】(1) (2)达到了，理由见解析 (3) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的应用等知识，读懂题意是关键． （1）用表格中最大的数减去最小的数即可； （2）将本周数据加起来，再与计划进行比较即可； （3）根据题意列式计算出志强本周收入即可． 【详解】（1）解：由表格可得：（斤）， 即销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售斤， 故答案为：； （2）解：达到了，理由如下： 实际销售总量：（斤）， ∵， ∴本周实际销售总量达到了计划数量． （3）解：（元）， 答：志强本周一共收入元． 18．观察下列计算： (1)______（根据规律写算式，不要直接写结果） (2)你能试一试找到下列各式的规律吗？ 则______（n为正整数） (3)计算： (4)计算： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，观察、归纳数列规律的能力，仔细观察，准确找出规律是解题关键． （1）根据观察找到规律即可得到答案； （2）根据观察找到规律即可得到答案； （3）根据（1）算式规律：，进行计算化简即可； （4）先把原式变形为，再仿照（3）求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：根据观察，算式规律为：， 即； （3）解：根据（1）算式规律可得： ； （4）解： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 有理数的乘法和除法 教学目标 1. 理解有理数乘法法则，能熟练运用法则进行有理数乘法运算。 2. 探索并掌握有理数乘法运算律，如交换律、结合律和分配律 ，并能利用运算律简化运算。 3. 经历有理数乘法法则及运算律的探索过程，提升观察、归纳、猜想、验证等思维能力。 教学重难点 1.重点 （1）有理数乘法法则的理解与运用，准确确定积的符号与绝对值。 （2）掌握有理数乘法的运算律，能正确运用运算律进行简便运算。 2.难点 （1）理解有理数乘法中负数参与运算时积的符号确定，以及多个有理数相乘时积的符号判断。 （2）根据具体算式特点，灵活选择合适的乘法运算律进行简便计算 。 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数同0相乘，都得0. （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 【即学即练1】2025的倒数是 ． 【即学即练2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【即学即练3】计算： (1)； (2)． 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：；（2）乘法结合律：；（3）乘法分配律：． 【即学即练1】下列运算中用的运算律是（  ） ． A．乘法结合律及分配律 B．乘法交换律及分配律 C．乘法交换律及乘法结合律 D．分配律及加法结合律 【即学即练2】计算下列各题: (1) (2) 【即学即练3】计算： (1)； (2)． 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 【即学即练1】下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【即学即练2】对于，若，则其结果为（    ） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 知识点04 有理数除法法则 ◆除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数 ◆两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 【注意】：0除以任何不为0的数，都得0. 【即学即练1】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【即学即练2】计算： (1)； (2)． 【即学即练3】计算： (1)； (2)． 题型01 两个有理数的乘法运算 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 多个有理数的乘法运算 【典例2】计算： (1)． (2)． (3)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型03 倒数 【典例3】的倒数是 ． 【变式1】的倒数是 ． 【变式2】的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． 题型04 有理数乘法运算律 【典例4】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【变式2】计算： (1) (2) 题型05 有理数乘法的实际应用 【典例5】小车司机某天下午的运输全是在东西走向的高速公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程单位：千米如下： ，，，，，，，，，， (1)司机这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)司机这天下午共行车多少千米？ (3)若每千米耗油升，则这天下午司机用了多少升油？ 【变式1】在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【变式2】今年杜大伯在自家种植的地里采摘了7筐白萝卜，每筐的质量如下表（其中以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，单位：）． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 图片 正（负）数 (1)质量最大的一筐比质量最小的一筐重多少千克？ (2)如果每千克白萝卜按1.2元出售，一共能卖多少钱？ 题型06 有理数的除法运算 【典例6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1】计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 题型07 有理数的乘除混合运算 【典例7】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】计算： (1)． (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1) (2)； (3) (4)． 题型08 有理数的乘除混合运算之新定义型问题 【典例8】如果对于任何有理数a，b定义运算“”如下：，如． (1)； (2)求的值． 【变式1】定义一种新的运算：，如：， 求： (1)； (2)． 【变式2】若对于任意两数，定义一种运算“”，使得． (1)求的值； (2)试探索运算“”是否满足结合律，若满足，请证明；若不满足，请说明理由． 题型09 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 【典例9】阅读下列材料： 即当时，；当时，． 用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【变式1】探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 【变式2】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 一、单选题 1．计算：（   ） A． B． C．5 D．6 2．下面算式错误的是（　　） A． B． C． D． 3．将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 4．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．定义一种新运算：  ．如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 二、填空题 6．计算： ． 7．若， 比较四个数的大小，并用“”连接 ． 8．如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 9．定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 10．下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．计算： (1)； (2)； (3)． 13．在1，，3，，中任意取出两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b． (1)求的值； (2)若，求的值． 14．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 (1)上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； (2)请你运用合适的方法计算：． 15．阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） 第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第___________步，错误原因___________； 第二处是第___________步，错误原因是___________； (2)请写出正确的解题过程． 16．定义新运算“*”，对于任意有理数a，b满足，如：，． (1)求的值． (2)求的值． 17．随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，刚大学毕业的志强把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 七 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？并说明理由； (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均1元，那么志强本周一共收入多少元？ 18．观察下列计算： (1)______（根据规律写算式，不要直接写结果） (2)你能试一试找到下列各式的规律吗？ 则______（n为正整数） (3)计算： (4)计算： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$