第2章 常用逻辑用语（单元测试·基础卷）数学苏教版2019必修第一册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 常用逻辑用语·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B A B D B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD AD AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）要使是的充要条件，需使，（1分） 即，（3分） 此方程组无解，（4分） 故不存在实数，使是的充要条件．（6分） （2）要使是的必要条件，需使．（7分） 当时，，解得，满足题意；（8分） 当时，，解得，（9分） 要使，则有 ，（11分） 解得，所以．（12分） 综上可得，当实数时，是的必要条件．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，（1分） 即关于的方程无实数根，（3分） 因此，解得，（5分） 所以实数的取值范围是.（7分） （2）由（1）知，若命题是真命题，则，（9分） 因为命题是命题的必要不充分条件， 则是的真子集，（11分） 因此，解得（13分）， 所以实数的取值范围是.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由已知当时，，（3分） 又，（3分） 则；（5分） （2）若选①，则由，得，（7分） 当时，即，解得，（8分） 此时满足，符合题意；（9分） 当时，，解得，（10分） 且，（12分） 解得；（14分） 综上所述，实数的取值范围为；（15分） 若选②，由“”是“”的充分不必要条件， 则，（7分） 当时，即，解得，此时满足，符合题意；（9分） 当时，，解得，（10分） 且且不同时取等号，（12分） 解得；（14分） 综上所述，实数的取值范围为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）集合P为函数的值域，故，（3分） （2）因为是的充分条件，所以，（4分） ①当时，， 所以解得：，无解，（6分） ②当时，， 所以，解得：，故，（8分） ③当时，， 所以，解得：，无解，（10分） 故实数的取值集合为.（11分） （3）由题意可转化为方程在上有解，（12分） 等价于，且或（15分） 解得，（16分） 故实数的取值范围.（17分） 19.（17分） 【详解】（1）由便可得出，从而得出集合不是“好集”.（1分） 有理数集是“好集”，（2分） 理由是：，对任意，都有，且时，.（4分） 故：有理数集是“好集”.（5分） （2）因为集合是“好集”，所以，若，则，即，所以，即. 故得证.（8分） （3）若中有时，显然有，（9分） 下设中不存在，由定义得，所以，则，由（2）得，同理.（11分） 若或时，显然；（13分） 若或时，显然，可得，所以，由（2）得，所以.（15分） 综上：.（16分） 故：若，则必有．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 常用逻辑用语·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（   ） A． B． C． D． 4．设．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．下列结论正确的是（    ） A． B． C．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” D．若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题是真命题的有（    ） A．， B．， C．， D．， 10．的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若“存在，使得”是假命题，则a的取值范围是 . 13．已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 14．设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 16．（15分） 已知：关于的方程有实数根，. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．（15分） 已知集合，． (1)若，定义集合或，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 18．（17分） 设，集合. (1)求出集合； (2)若是的充分条件，求实数的取值集合； (3)若，且存在，使得成立，求实数的取值范围. 19．（17分） 若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①；②若，则，且时，． (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若，则必有． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 常用逻辑用语·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（   ） A． B． C． D． 4．设．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．下列结论正确的是（    ） A． B． C．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” D．若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题是真命题的有（    ） A．， B．， C．， D．， 10．的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若“存在，使得”是假命题，则a的取值范围是 . 13．已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 14．设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 16．（15分） 已知：关于的方程有实数根，. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．（15分） 已知集合，． (1)若，定义集合或，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 18．（17分） 设，集合. (1)求出集合； (2)若是的充分条件，求实数的取值集合； (3)若，且存在，使得成立，求实数的取值范围. 19．（17分） 若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①；②若，则，且时，． (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若，则必有． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第2章 常用逻辑用语·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定的知识来确定正确答案. 【详解】命题是存在量词命题，则命题的否定是全称命题， 所以命题，的否定为：，. 故选：D. 2．“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】若等价于或，所以由不能推出， 若，则，即由可以推出， 所以是的必要且不充分条件. 故选：B. 3．设计如图所示的四个电路图，条件“灯泡亮”；条件“开关闭合”，则是的必要不充分条件的电路图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各电路的特点，判断两个命题之间的逻辑关系，即可判断出答案. 【详解】对于A，灯泡L亮，可能是闭合，不一定是S闭合， 当S闭合时，必有灯泡L亮，故p是q的必要不充分条件，A正确； 对于B，由于S和L是串联关系，故灯泡L亮，必有S闭合， S闭合，灯泡L亮，即p是q的充要条件，B错误； 对于C，灯泡L亮，则开关和S必都闭合， 当开关S闭合打开时，灯泡L不亮，故p是q的充分不必要条件，C错误； 对于D，灯泡L亮，开关S未必闭合，故p不是q的充分条件，D错误. 故选：A. 4．设．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式， 因此，而不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设集合，集合， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 则，解得. 故选：D 6．“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特称命题及其否定形式的真假结合二次不等式恒成立问题计算即可. 【详解】由特称命题的否定形式及真假可知： “”为假则其否定形式“”为真命题， 显然当时符合题意， 当时，由一元二次不等式的恒成立问题得，解之得， 综上可得. 故选：B 7．函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】因为，则，则， 又因为表示不大于的最大整数， 所以不等式的解集为：， 因为所求的时不等式成立的充分不必要条件， 所以只要求出不等式解集的一个非空真子集即可， 选项中只有⫋. 故选：B. 8．在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．下列结论正确的是（    ） A． B． C．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” D．若，则 【答案】D 【分析】由“类”的定义代入计算可判断A、B、D，分别验证C选项的充分性和必要性可判断C. 【详解】对于A，因为，所以，A错误． 对于B，每个整数除以4所得的余数只有0，1，2，3，没有其他余数，所以，又， 所以，B错误． 对于C，若，则， 所以； 若，则，不妨设， 则，所以， 所以a，b除以4所得的余数相同，即属于同一“类”． 故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”，C错误． 对于D，由，可设， 则， 因为，所以，D正确． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题是真命题的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，解方程，即可判断C. 【详解】对于A，B，当时，，故A正确，B错误； 对于C：由，解得，所以不存在，使得，故C错误； 对于D：因为，所以，所以，，故D正确. 故选：AD 10．的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 11．对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 【答案】AD 【分析】根据集合的新定义结合并集及子集定义分别计算判断各个选项即可. 【详解】对A，，A正确； 对B，若，当时，，，且，当时，假设， 则，故，B错误； 对C，若，则，C错误； 对D，由得，反之也成立，D正确． 故选：AD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若“存在，使得”是假命题，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得“任意，使得”是真命题，结合一次函数性质即可求解. 【详解】若“存在，使得”是假命题， 则“任意，使得”是真命题， 根据一次函数在上单调递减，所以，即. 故答案为：. 13．已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得. 【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即； 因此实数m的取值范围为. 故答案为： 14．设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 【答案】②③④ 【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断. 【详解】①若，①错误， ②，②正确， ③，③正确， ④，④正确， ⑤若，⑤错误. 故答案为：②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，． (1)是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)存在， 【分析】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可. 【详解】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 16．（15分） 已知：关于的方程有实数根，. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答. （2）由命题是命题的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答. 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题， 即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，若命题是真命题，则， 因为命题是命题的必要不充分条件， 则是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（15分） 已知集合，． (1)若，定义集合或，求； (2)给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据集合间运算的新定义直接得解； （2）根据集合间的关系及命题的充分必要性列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）由已知当时，， 又， 则； （2）若选①，则由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，，解得， 且，解得； 综上所述，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件， 则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，，解得， 且且不同时取等号，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 18．（17分） 设，集合. (1)求出集合； (2)若是的充分条件，求实数的取值集合； (3)若，且存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由集合的含义求解即可； （2）是的充分条件，所以，分类讨论求解即可； （3）由题意可转化为方程在上有解，由且其根在上求解即可. 【详解】（1）集合P为函数的值域，故， （2）因为是的充分条件，所以， ①当时，， 所以解得：，无解， ②当时，， 所以，解得：，故， ③当时，， 所以，解得：，无解， 故实数的取值集合为. （3）由题意可转化为方程在上有解， 等价于，且或 解得， 故实数的取值范围. 19．（17分） 若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”：①；②若，则，且时，． (1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证：若，则； (3)对任意的一个“好集”A，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若，则必有． 【答案】(1)集合不是“好集”,有理数集是“好集”，理由见解析 (2)证明过程见解析 (3)真，理由见解析 【分析】（1）由定义判断. （2）由，，可得，从而可得出. （3）中有时，易得结论，中没有时，可得，进而，再由（2）的结论可得出得，，进而得，从而得，进而，即得出. 【详解】（1）由便可得出，从而得出集合不是“好集”. 有理数集是“好集”，理由是：，对任意，都有，且时，. 故：有理数集是“好集”. （2）因为集合是“好集”，所以，若，则，即，所以，即. 故得证. （3）若中有时，显然有， 下设中不存在，由定义得，所以，则，由（2）得，同理. 若或时，显然； 若或时，显然，可得，所以，由（2）得，所以. 综上：. 故：若，则必有． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$