第10讲：指数对数运算【6个题型】讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第10讲：指数对数运算】 总览 题型梳理 一．有理数指数幂与根式的互化（共5小题） 二．有理数指数幂及根式化简运算求值（共9小题） 三．对数的概念（共2小题） 四．指数式与对数式的互化（共18小题） 五．对数的运算性质（共5小题） 六．对数运算求值（共6小题） 【知识点清单】 1．有理数指数幂及根式 【知识点的认识】 根式与分数指数幂 规定：（a＞0，m，n∈N*，n＞1） （a＞0，m，n∈N*，n＞1） 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 有理数指数幂 （1）幂的有关概念： ①正分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ②负分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． （2）有理数指数幂的性质： ①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）； ②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）； ③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）． 2．对数的概念 【知识点的认识】 1．对数的定义 如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． （2）几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a（a＞0且a≠1） log a N 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln N 3．指数式与对数式的互化 【知识点的认识】 ab＝N⇔logaN＝b； alogaN＝N；logaaN＝N 指数方程和对数方程主要有以下几种类型： （1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法） （2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法） （3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法） （4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）；（换底法） （5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法） 4．对数的运算性质 【知识点的认识】 对数的性质：① N ；②logaaN＝ N （a＞0且a≠1）． loga（MN）＝logaM+logaN； logalogaM﹣logaN； logaMn＝nlogaM； logalogaM． 5．对数运算求值 【知识点的认识】 对数的性质：① N；②logaaN＝ N（a＞0且a≠1）． loga（MN）＝logaM+logaN；logalogaM﹣logaN； logaMn＝nlogaM；logalogaM． 【解题方法点拨】 ﹣利用对数定义直接求值． ﹣利用换底公式进行换底运算． ﹣结合对数运算性质，如loga（mn）＝logam+logan、、进行化简求值． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．有理数指数幂与根式的互化（共5小题） 1．已知a＞0，则化为（　　） A． B． C． D． 【考点】有理数指数幂与根式的互化．版权所有 【分析】利用根式的运算性质即可得出． 【解答】解：原式． 故选：B． 【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．可化为（　　） A． B． C． D． 【考点】有理数指数幂与根式的互化．版权所有 【分析】将根式化为有理数指数幂的形式，即可得答案． 【解答】解：． 故选：A． 【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算，属于基础题． （多选）3．下列各式中正确的是（　　） A． B．2﹣2＝﹣4 C． D． 【考点】有理数指数幂与根式的互化．版权所有 【分析】根据指数幂的运算法则计算可得． 【解答】解：根据根式的意义及指数幂的运算性质可得， 对于A：|a|，故A错误； 对于B：4，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确． 故选：CD． 【点评】本题主要考查了根式的意义及指数幂的运算性质，属于基础题． 4．将化为有理数指数幂的形式为 　　 ． 【考点】有理数指数幂与根式的互化．版权所有 【分析】利用根式与分数指数幂的互化求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化，属于基础题． 5．计算化简A，B： （1）已知a＞0，b＞0，化简：A； （2）化简：． 【考点】有理数指数幂与根式的互化．版权所有 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可； （2）根据指数幂的运算性质求解即可． 【解答】解：（1）A． （2）． 【点评】本题主要考查指数幂的运算，属于基础题． 二．有理数指数幂及根式化简运算求值（共9小题） 6．设a＞0，下列计算中正确的是（　　） A． B． C．a﹣4•a4＝0 D． 【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．版权所有 【分析】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解． 【解答】解：对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，a﹣4•a4＝a﹣4+4＝a0＝1，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查有理数指数幂及根式的化简运算，属于基础题． 7．•的值是（　　） A．3 B． C．9 D．81 【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．版权所有 【分析】利用有理数指数幂运算法则求解． 【解答】解：•． 故选：B． 【点评】本题考查有理数指数幂运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．某放射性物质在衰减过程中，其质量y与年数t满足关系式（m0为初始质量，m0＞0，k为常数，e≈2.718）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（　　） A． B． C． D． 【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．版权所有 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则列式计算得解． 【解答】解：由已知当t＝4，时，，所以， 再经过8年，即t＝12时，， 所以再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的． 故选：C． 【点评】本题考查指数运算，属于基础题． 9．某食品的保鲜时间y（单位：天）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+m（e为自然对数的底数，k，m为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是14天，在10℃的保鲜时间是7天，则该食品在20℃的保鲜时间是（　　） A．48小时 B．60小时 C．72小时 D．84小时 【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．版权所有 【分析】由已知结合指数运算性质即可求解． 【解答】解：因为y＝ekx+m， 若该食品在0℃的保鲜时间是14天，在10℃的保鲜时间是7天，则， 所以e10k， 所以该食品在20℃的保鲜时间是y＝e20k+m＝e20k•em天，即84小时． 故选：D． 【点评】本题主要考查了指数运算性质应用，属于基础题． 10．已知a2x＝3，则ax+a﹣x＝（　　） A． B． C． D． 【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．版权所有 【分析】根据条件可求出a﹣2x的值，然后对ax+a﹣x求平方即可得解． 【解答】解：∵a2x＝3，∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了指数的运算法则，是基础题． 11．某放射性物质在衰变过程中，其质量m（单位：克）与年数t满足关系式（m0为初始质量，k为常数，e≈2.718）．已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（　　） A． B． C． D． 【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．版权所有 【分析】依题意，t＝3时，e﹣3k，求出t＝9时，ekt的值． 【解答】解：经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半， ∴t＝3时，e﹣3k， ∴再经过6年，t＝9， m＝m0e﹣9k＝（）3m0m0， ∴再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的． 故选：D． 【点评】本题考查完指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12．若5m＝2，5n＝3，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．版权所有 【分析】结合指数幂的运算性质即可求解． 【解答】解：若5m＝2，5n＝3，则． 故选：B． 【点评】本题主要考查了指数幂的运算，属于基础题． 13．计算 　8　 ． 【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．版权所有 【分析】根据给定条件，利用指数运算计算得解． 【解答】解：原式． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了指数运算性质的应用，属于基础题． 14．计算： 　　 ． 【考点】有理数指数幂及根式化简运算求值．版权所有 【分析】应用根式与有理数指数幂的关系及指数幂运算化简求值． 【解答】解：原式2+102+2． 故答案为：． 【点评】本题考查有理数指数幂的化简，属于基础题． 三．对数的概念（共2小题） 15．在对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）中，实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B．（3，5） C．（3，4） D．（3，4）∪（4，5） 【考点】对数的概念．版权所有 【分析】根据对数的概念，底数大于0且不等于1，真数大于0，列不等式组即可求解． 【解答】解：要使对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）有意义，需满足， 解得3＜a＜4或4＜a＜5， 所以实数a的取值范围是（3，4）∪（4，5）． 故选：D． 【点评】本题主要考查对数的概念，属于基础题． 16．对数式log（a﹣2）（5﹣a）中实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，5） B．（2，5） C．（2，3）∪（3，5） D．（2，+∞） 【考点】对数的概念．版权所有 【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可． 【解答】解：要使对数式b＝log（a﹣2）（5﹣a）有意义， 则 ，解得a∈（2，3）∪（3，5）， 故选：C． 【点评】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题． 四．指数式与对数式的互化（共18小题） 17．历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明大大缩短了计算时间，为人类进行科学研究和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知lg2≈0.301，lg5≈0.699，则2.51051的估算值为（　　） A．10418 B．10419 C．10420 D．10421 【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．版权所有 【分析】结合对数的运算性质即可求解． 【解答】解：因为lg2≈0.301，lg5≈0.699， 所以lg2.51051＝1051lg2.5＝1051（lg5﹣lg2）≈1051×（0.699﹣0.301）≈418， 所以2.51051≈10418． 故选：A． 【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题． 18．已知2a＝3b＝t，且，则t＝（　　） A． B． C． D．12 【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．版权所有 【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解． 【解答】解：由2a＝t可得a＝log2t， 所以logt2， 由3b＝t可得b＝log3t， 所以logt3， 故2logt2+logt3＝logt4+logt3＝logt12＝2， 故t2＝12，由于t＞0， 故． 故选：B． 【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题． 19．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中K是消光系数，D（单位：米）是海水深度，ID（单位：坎德拉）和I0（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K的值约为（　　） （参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6） A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14 【考点】指数式与对数式的互化．版权所有 【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得． 【解答】解：某海域6米深处的光强是海面光强的40%， 依题意得，， 化成对数式，， 则该海域消光系数K的值约为K≈0.15． 故选：C． 【点评】本题考查指数式、对数式互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 20．已知2x＝3y＝5z（x，y，z≠0），且，则a＝（　　） A．log23 B．log25 C．log35 D．log56 【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．版权所有 【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解． 【解答】解：2x＝3y＝5z＝k， 则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， 故logk3+logk2＝logk6＝alogk5， 故alog56． 故选：D． 【点评】本题主要考查对数的运算，属于基础题． 21．已知实数a，b满足a﹣1＝ln（4﹣a），beb＝e3，其中e是自然对数的底数，则a+b＝（　　） A．2 B．e C．3 D．4 【考点】指数式与对数式的互化；函数的单调性．版权所有 【分析】通过对已知等式进行变形，构造出相同形式的函数，再利用函数的单调性来建立等式关系，从而求出a+b的值． 【解答】解：由a﹣1＝ln（4﹣a），可得ea﹣1＝4﹣a，即ea﹣1+（a﹣1）﹣3＝0， 由beb＝e3，可得b＝e3﹣b，所以lnb＝3﹣b＝3﹣elnb，即elnb+lnb﹣3＝0． 令f（x）＝ex+x﹣3， 所以函数f（x）＝ex+x﹣3为增函数，由f（a﹣1）＝f（lnb）＝0，得a﹣1＝lnb， 又因为lnb＝3﹣b，得a﹣1＝3﹣b，所以a+b＝4． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数单调性的应用，属于中档题． 22．历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知lg2≈0.301，则2.51000的估算值为（　　） A．10365 B．10379 C．10389 D．10398 【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．版权所有 【分析】首先计算lg2.51000，再根据指对运算公式即可求解． 【解答】解：lg2.51000＝1000lg2.5＝1000（1﹣2lg2）≈1000×（1﹣0.602）＝398， 所以2.51000≈10398． 故选：D． 【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础题． 23．关于x的方程x+lgx＝3，x+10x＝3的两根分别是α，β，则α+β＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】指数式与对数式的互化．版权所有 【分析】对方程进行变形，再结合对数的运算性质，即可求解． 【解答】解：关于x的方程x+lgx＝3，x+10x＝3的两根分别是α，β， 则α+lgα＝3，β+10β＝3， 故lgα＝3﹣α，lg（3﹣β）＝β， y＝lgx在（0，+∞）上单调递增， 故，即α+β＝3． 故选：A． 【点评】本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题． 24．已知ax＝2，loga6＝y，a＞0，且a≠1，则ax+y＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．12 【考点】指数式与对数式的互化；对数运算求值．版权所有 【分析】将对数式转化为指数式，结合指数运算，求解即可． 【解答】解：由loga6＝y，可得ay＝6， 又ax＝2，则ax+y＝x•ay＝12． 故选：D． 【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题． 25．把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ′℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后该物体的温度θ℃满足．若θ0，θ′不变，在t1min，t2min后该物体的温度分别为θ1℃，θ2℃，且θ1＞θ2，则下列结论正确的是（　　） A．t1＞t2 B．t1＜t2 C．若θ′＞θ0，则t1＞t2；若θ′＜θ0，则t1＜t2 D．若θ′＞θ0，则t1＜t2；若θ′＜θ0，则t1＞t2 【考点】指数式与对数式的互化．版权所有 【分析】根据指对数互化，结合复合函数的单调性即可求解． 【解答】解：因为，θ1＞θ2， 所以． 若θ′＞θ0，则是减函数，所以t1＜t2． 若θ′＜θ0，则是增函数，所以t1＞t2． 故选：D． 【点评】本题主要考查对数函数的单调性，属于基础题． 26．设a＞0，a≠1，已知m＝ax，n＝ay，，则xyz的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【考点】指数式与对数式的互化．版权所有 【分析】根据指数的运算性质化简运算得解． 【解答】解：由m＝ax，得my＝（ax）y＝axy， 又∵n＝ay，∴nx＝（ay）x＝axy， ∴mynx＝axyaxy＝a2xy， 又，则，可得，解得xyz＝2． 故选：C． 【点评】本题考查指数式与对数式的互化，是基础题． 27．已知正数x，y，z，满足3x＝4y＝6z，则下列说法不正确的是（　　） A． B．x＞y＞z C． D．3x＜4y＜6z 【考点】指数式与对数式的互化；函数的单调性与函数图象的特征．版权所有 【分析】令3x＝4y＝6z＝t＞1，则x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t，对于A，直接代入利用对数的运算性质计算判断，对于B，结合对数函数的单调性分析判断，对于C，利用作差法分析判断，对于D，对3x，4y，6z化简变形，结合幂的运算性质及不等式的性质分析判断． 【解答】解：令3x＝4y＝6z＝t＞1，则x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t， 对于A，，所以A正确， 对于B，因为y＝logtx（t＞1）在（0，+∞）上递增，且1＜3＜4＜6， 所以logt1＜logt3＜logt4＜logt6，即， 即，所以x＞y＞z，所以B正确， 对于C，因为 ＝logt3+logt6﹣2logt4 ＞logt1＝0（t＞1）， 所以，所以C错误， 对于D，， 因为，所以， 所以，所以， 因为t＞1，所以lnt＞0，所以， 所以，所以3x＜4y＜6z，所以D正确． 故选：C． 【点评】本题考查对数式、指数式互化公式、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 28．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为（　　） A．ln2 B．ln3 C． D． 【考点】指数式与对数式的互化．版权所有 【分析】易知，它们的初速度相等，故Q点的速度为107，然后可以根据，求出P在中点、分点时的x，则Q点移动的距离可求，结合速度，时间可求． 【解答】解：由题意，P点初始速度107即为Q点的速度． 当P在靠近A点的三等分点时：，解得：x， 当P在二等分点时：，解得：x＝107ln2， 所以经过的时间为：． 故选：D． 【点评】本题考查对数的计算和指数式和对数式的互化，要注意对题意的准确理解．属于基础题． 29．嫦娥六号是中国计划进行的一次月球采样返回任务．假设嫦娥六号在接近月球表面时，需要进行一系列的减速操作，其减速过程可以近似地看作是一个指数衰减过程，其速度v（t）（单位：米/秒）随时间t（单位：秒）的变化关系可以表示为：，其中v0是初始速度，λ是一个减速过程相关的常数．已知嫦娥六号在t＝0时的初始速度为v0＝1000m/s，经过t＝10s后，速度变为v（10）＝500m/s．若嫦娥六号需要在t＝Ts时将速度减至月球表面的安全着陆速度v（T）＝1m/s，则T＝（　　） （精确到小数点后一位，参考数值：lg2≈0.301） A．99.7 B．99.8 C．99.3 D．96.3 【考点】指数式与对数式的互化．版权所有 【分析】由题意可得，可求得，又，代入计算可求得T． 【解答】解：由，根据题意可得v（10）＝1000•e﹣10λ， 又v（10）＝500，所以， 两边取以e为底的对数，可得， 所以，由v（T）＝1m/s，所以1＝1000•e﹣λT，所以， 所以两边取以e为底的对数，得， 所以． 故选：A． 【点评】本题考查了指数与对数函数模型应用问题，是基础题． （多选）30．若实数a，b满足2a＝3b＝6，则（　　） A． B．logab＞logba C．a＞b D．aa＞ab＞bb 【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．版权所有 【分析】利用指数式与对数式的互化结合对数运算的性质，指数函数的单调性、幂函数数的单调性进行求解即可． 【解答】解：对于A，因为2a＝3b＝6，所以b＝log36，a＝log26，，A正确； 对于B，C，由已知得，a＝log26＞b＝log36＞1，所以logba＞1＞logab，B错误，C正确； 对于D，因为a＞b＞1，f（x）＝ax单调递增，所以f（a）＝aa＞f（b）＝ab， 又g（x）＝xb在（0，+∞）上单调递增，所以g（a）＝ab＞g（b）＝bb，故aa＞ab＞bb，D正确． 故选：ACD． 【点评】本题主要考查对数运算的性质、指数式与对数式互化，属于中档题． （多选）31．若6a＝2，6b＝3，则下列判断正确的是（　　） A．a+b＝1 B． C． D． 【考点】指数式与对数式的互化．版权所有 【分析】结合指数幂的运算法则，基本不等式的公式，配方法，对数函数的单调性，即可求解． 【解答】解：6a＝2，6b＝3， 则6a•6b＝6a+b＝6，即a+b＝1，故A正确； a2+b2＝a2+（1﹣a）2（a不成立，等号无法取得），故B错误； ，故C正确； 6a＝2， 则a＝log62， 又， 故，故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题． 32．若正实数m，n，t满足5m＝7n＝t，且，则t＝ 　　 ． 【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．版权所有 【分析】先把指数式化为对数式，求出m，n，再结合对数的运算性质求解． 【解答】解：因为正实数m，n，t满足5m＝7n＝t， 所以m＝log5t，n＝log7t， 所以logt5+logt7＝logt35＝2， 所以t2＝35， 又因为t＞0， 所以t． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题． 33．已知a＞0且a≠1，若loga2＝m，loga3＝n，则am+n＝ 　6　 ． 【考点】指数式与对数式的互化；有理数指数幂及根式化简运算求值．版权所有 【分析】先把对数式化为指数式，再指数幂的运算性质求解． 【解答】解：因为loga2＝m，loga3＝n， 所以am＝2，an＝3， 所以am+n＝aman＝2×3＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了指数幂的运算性质，属于基础题． 34．放射性物质原子核数的衰变规律是：，其中N0指初始时刻的原子核数，t为衰变时间，T为半衰期，N为衰变后剩余的原子核数．已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为T1、T2（单位：天），若两种物质的初始原子核数相同，512天后发现甲的原子核数是乙的原子核数的4倍，则 　　 ． 【考点】指数式与对数式的互化．版权所有 【分析】由题意得M04M0，由此能求出结果． 【解答】解：由题意得M04M0， ∴2， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查指数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 五．对数的运算性质（共5小题） 35．已知a＞1，且loga8×loga2＝1﹣loga4，则a＝（　　） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 【考点】对数的运算性质．版权所有 【分析】根据对数的运算性质化简计算即可求解． 【解答】解：因为loga8×loga2＝1﹣loga4， 又， ， 令t＝loga2＞0， 所以3t2＝1﹣2t，解得或t＝﹣1（不符合题意舍去）， 所以，解得a＝8． 故选：C． 【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题． 36．已知a＝lg2，b＝lg3，则lg12可以表示为（　　） A．a2b B．2ab C．a+2b D．2a+b 【考点】对数的运算性质．版权所有 【分析】结合对数运算性质即可得解． 【解答】解：因为a＝lg2，b＝lg3， 所以lg12＝lg（3×4）＝lg3+lg4＝lg3+lg22＝lg3+2lg2＝2a+b． 故选：D． 【点评】本题主要考查对数运算，属于基础题． 37．在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述．视星等m是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响．绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度．视星等m和绝对星等M满足，其中d是与地球的距离，单位为秒差距．若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足mB﹣mA＝4，则（　　） A．MB＝MA+4 B．MB＝MA+6 C．MA＝MB+1 D．MA＝MB+6 【考点】对数的运算性质．版权所有 【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解． 【解答】解：由题意可知，，mB﹣mA＝4， 则4﹣（MB﹣MA）＝5，解得MA＝MB+1． 故选：C． 【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题． 38．若2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，则x，y的关系是（　　） A．x＝y B．x＝2y C．x＝4y D．x＝y或x＝4y 【考点】对数的运算性质．版权所有 【分析】由已知结合对数的运算性质可得x，y的关系式，然后结合对数真数大于0的条件可求． 【解答】解：因为2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy， 所以lg（x﹣2y）2＝lgx+lgy＝lgxy，x＞0，y＞0，x﹣2y＞0， 所以（x﹣2y）2＝xy， 整理得，x2﹣5xy+4y2＝0， 解得，x＝4y或x＝y（舍）， 故选：C． 【点评】本题主要考查了对数的运算性质的应用，解题中不要漏掉对数真数大于0的条件，属于基础题． 39．（1）； （2）． 【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式．版权所有 【分析】（1）结合指数幂的运算性质即可求解； （2）结合对数的运算性质即可求解． 【解答】解：（1）， （2）原式． 【点评】本题主要考查了指数幂及对数的运算性质，属于基础题． 六．对数运算求值（共6小题） 40．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（　　） （参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 【考点】对数运算求值．版权所有 【分析】利用归纳可知，从2025年起，到第n（n∈N*）年，DeepSeek的算力提升至2250×1.5nPetaFLOPS，解不等式，即可得出结论． 【解答】解：根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%， 截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率， 由题意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS， 到2026年，其算力提升至2250×1.5PetaFLOPS， 到2027年，其算力提升至2250×1.52PetaFLOPS，⋯， 以此类推可知， 从2025年起，到第n（n∈N*）年，DeepSeek的算力提升至2250×1.5nPetaFLOPS， 由，可得， ∴， ∴DeepSeek的算力预计在2028年首次突破7500PetaFLOPS． 故选：C． 【点评】本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 41．已知a＞b＞1，若，ab＝ba，则ab＝（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【考点】对数运算求值．版权所有 【分析】设t＝logba并由条件求出t的范围，代入化简后求出t的值，得到a与b的关系式代入ab＝ba化简后列出方程，求出a，b的值，进而求解． 【解答】解：设t＝logba，由a＞b＞1得t＞1，已知等式转化为：， 即3t2﹣10t+3＝0，解得：t＝3或（舍去）． 所以logba＝3，即a＝b3，又因为ab＝ba，所以b3b＝ba，则a＝3b＝b3， 解得：，，所以ab＝9． 故选：D． 【点评】本题考查对数运算，属于基础题． 42．化简（log62）2+log62•log63+2log63的值为（　　） A．﹣log62 B．﹣log63 C．log63 D．﹣1 【考点】对数运算求值．版权所有 【分析】由已知结合对数运算性质进行化简即可求解． 【解答】解：（log62）2+log62•log63+2log63 ＝（log62）2+log62•（1﹣log62）+2（1﹣log62）﹣2 ＝（log62）2+log62﹣（log62）2+2﹣2log62﹣2 ＝﹣log62． 故选：A． 【点评】本题主要考查了对数的运算性质的应用，属于基础题． 43．若logam＝2，b3＝m，则logm（ab）＝（　　） A． B． C． D． 【考点】对数运算求值；指数式与对数式的互化．版权所有 【分析】先根据指数式和对数式互换得出logbm＝3；再根据对数的运算法则及换底公式可求解． 【解答】解：由b3＝m可得：logbm＝3， 则logm（ab）＝logma+logmb． 故选：C． 【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题． 44．已知，则log215＝（　　） A． B． C． D． 【考点】对数运算求值．版权所有 【分析】先利用对数的换底公式得，b＝log23，最后利用对数的运算法则即可求解． 【解答】解：， ∴a＝log52， ∴，b＝log23， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查对数的运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 45．若a＞1，b＞1，且log3a•log3b＝4，则ab的最小值为　81　 ． 【考点】对数运算求值．版权所有 【分析】利用基本不等式及对数的运算法则，最后借助对数函数的单调性即可求解． 【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴log3a＞0，log3b＞0，且log3a•log3b＝4， ∴， 当且仅当log3a＝log3b即a＝b时等号成立， 又log3a+log3b＝log3ab，∴， ∴ab≥34＝81，则ab的最小值为81． 故答案为：81． 【点评】本题考查了对数的运算性质，基本不等式求最值的方法，是基础题． 课后针对训练 一、单选题 1．已知，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，且，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．若，，则（    ） A． B． C． D． 4．若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D．18 6．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 9．某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，k为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（    ） 季节 春季 夏季 秋季 冬季 （参考数据：，） A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季 10．按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内二氧化碳最高容许浓度不高于．经测定，刚下课时，教室内含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间的最小整数值为（    ） 参考数据：． A．1 B．3 C．7 D．8 二、多选题 11．下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 12．已知，，则（    ） A． B． C． D． 13．设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14． . 15． ． 16．，则用和表示的结果为 四、解答题 17．（1）已知，试用表示； （2）已知，求的值． 18．求解下列问题： (1)在①，②中任选一个求值； (2)已知，，试用a，b表示． 19．计算： (1)； (2)； (3)． 20．（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B B C B C D D 题号 11 12 13 答案 ACD BCD AD 1．D 【分析】利用对数运算，结合因式分解，通过分析可得，然后再利用基本不等式可求得最小值. 【详解】由题意得：， 所以或，即或， 因为，所以， 即， 取等号条件为，此时， 故选: D 2．A 【分析】先根据指数式对数式互化求出，再根据换底公式转化，再根据求解即可. 【详解】由，得，即， 所以，所以. 故选：A. 3．C 【分析】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【详解】由可得：. 则 . 故选：C 4．B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 5．B 【分析】根据条件，利用指对数的互化，即可求解. 【详解】因为，得到，所以， 故答案为：.B 6．C 【分析】由条件列方程求，再求对应条件下的时间增加量即可. 【详解】由题意得， 所以，所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时， 训练时间增加为（小时）. 故选：C. 7．B 【分析】由根式与有理数指数幂的关系及指数幂的运算性质化简，即可得. 【详解】由于，则； 故选：B 8．C 【分析】首先根据已知条件将用表示出来，然后根据对数函数、指数函数、二次函数的单调性判断的范围即可进行比较. 【详解】由题意可求得，. 因为，所以根据对数函数、指数函数、二次函数的单调性可知， ， ，， 所以. 故选：C. 9．D 【分析】根据已知函数模型结合指对数转化计算求解判断即可. 【详解】由题意，，所以，所以，， ， 所以，为冬季， 故选：D． 10．D 【分析】由得，再由，求解即可. 【详解】当时，，解得，所以， 令，即， 即， 所以，故所需时间的最小整数值为8． 故选：D 11．ACD 【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性进行大小比较即可，对于D，可以用作商法，再对无理数放缩进行大小比较即可. 【详解】利用是单调递增函数，可得，故A正确； 利用指数函数的单调性可知：， 利用幂函数的单调性可知：，所以，故B错误； 利用指数函数单调性可知：， 利用对数函数单调性可知：，所以，故C正确； 利用作商法， 因为，所以， 即，所以，故D正确； 故选：ACD 12．BCD 【分析】应用指对数互化、对数运算法则、换底公式及对数函数的性质分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，，所以，故A不正确； 对于B，由，得，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 13．AD 【分析】根据指数幂运算法则即可判断． 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，方法一（由内向外化）． 方法二（由外向内化）．故D正确. 故选:AD. 14．3 【分析】利用换底公式结合对数的运算性质求解即可. 【详解】由换底公式得 . 故答案为：3. 15．/ 【分析】利用指对数的运算性质和换底公式，即可求解. 【详解】因为 ， 故答案为：. 16． 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 17．（1）；（2） 【分析】（1）由对数的运算性质结合换底公式计算即可； （2）先根据所给条件求得的值，再代入计算即可. 【详解】（1）； （2） 即， ，即． ，即， 或． 符合题意，舍去， ． 18．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可； （2）结合换底公式及对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）选①，原式 ． 选②，原式 ． （2）因为， 所以． 19．(1) (2)8 (3)-3 【分析】（1）（2）（3）根据指对幂运算法则逐一求解即可. 【详解】（1） ． （2） ． （3） . 20．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由根式与指数关系及有理数指数幂的运算性质化简求值； （2）将目标式化为，再代入求值； （3）由已知及指数幂运算得、，代入目标式求值. 【详解】（1）原式； （2）由，， 则； （3）由于，则， 所以，， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2026年高三数学一轮复习常考题型归纳 【第10讲：指数对数运算】 总览 题型梳理 一．有理数指数幂与根式的互化（共5小题） 二．有理数指数幂及根式化简运算求值（共9小题） 三．对数的概念（共2小题） 四．指数式与对数式的互化（共18小题） 五．对数的运算性质（共5小题） 六．对数运算求值（共6小题） 【知识点清单】 1．有理数指数幂及根式 【知识点的认识】 根式与分数指数幂 规定：（a＞0，m，n∈N*，n＞1） （a＞0，m，n∈N*，n＞1） 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 有理数指数幂 （1）幂的有关概念： ①正分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ②负分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． （2）有理数指数幂的性质： ①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）； ②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）； ③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）． 2．对数的概念 【知识点的认识】 1．对数的定义 如果ax＝N（a＞0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． （2）几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a（a＞0且a≠1） log a N 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln N 3．指数式与对数式的互化 【知识点的认识】 ab＝N⇔logaN＝b； alogaN＝N；logaaN＝N 指数方程和对数方程主要有以下几种类型： （1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法） （2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法） （3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法） （4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）；（换底法） （5）\;Alog4{a}^{2}$x+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法） 4．对数的运算性质 【知识点的认识】 对数的性质：① N ；②logaaN＝ N （a＞0且a≠1）． loga（MN）＝logaM+logaN； logalogaM﹣logaN； logaMn＝nlogaM； logalogaM． 5．对数运算求值 【知识点的认识】 对数的性质：① N；②logaaN＝ N（a＞0且a≠1）． loga（MN）＝logaM+logaN；logalogaM﹣logaN； logaMn＝nlogaM；logalogaM． 【解题方法点拨】 ﹣利用对数定义直接求值． ﹣利用换底公式进行换底运算． ﹣结合对数运算性质，如loga（mn）＝logam+logan、、进行化简求值． 题型分类 知识讲解与常考题型 一．有理数指数幂与根式的互化（共5小题） 1．已知a＞0，则化为（　　） A． B． C． D． 2．可化为（　　） A． B． C． D． （多选）3．下列各式中正确的是（　　） A． B．2﹣2＝﹣4 C． D． 4．将化为有理数指数幂的形式为 　 　 ． 5．计算化简A，B： （1）已知a＞0，b＞0，化简：A； （2）化简：． 二．有理数指数幂及根式化简运算求值（共9小题） 6．设a＞0，下列计算中正确的是（　　） A． B． C．a﹣4•a4＝0 D． 7．•的值是（　　） A．3 B． C．9 D．81 8．某放射性物质在衰减过程中，其质量y与年数t满足关系式（m0为初始质量，m0＞0，k为常数，e≈2.718）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（　　） A． B． C． D． 9．某食品的保鲜时间y（单位：天）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝ekx+m（e为自然对数的底数，k，m为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是14天，在10℃的保鲜时间是7天，则该食品在20℃的保鲜时间是（　　） A．48小时 B．60小时 C．72小时 D．84小时 10．已知a2x＝3，则ax+a﹣x＝（　　） A． B． C． D． 11．某放射性物质在衰变过程中，其质量m（单位：克）与年数t满足关系式（m0为初始质量，k为常数，e≈2.718）．已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（　　） A． B． C． D． 12．若5m＝2，5n＝3，则的值为（　　） A． B． C． D． 13．计算 　 　 ． 14．计算： 　 　 ． 三．对数的概念（共2小题） 15．在对数式b＝log（a﹣3）（5﹣a）中，实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B．（3，5） C．（3，4） D．（3，4）∪（4，5） 16．对数式log（a﹣2）（5﹣a）中实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，5） B．（2，5） C．（2，3）∪（3，5） D．（2，+∞） 四．指数式与对数式的互化（共18小题） 17．历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明大大缩短了计算时间，为人类进行科学研究和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知lg2≈0.301，lg5≈0.699，则2.51051的估算值为（　　） A．10418 B．10419 C．10420 D．10421 18．已知2a＝3b＝t，且，则t＝（　　） A． B． C． D．12 19．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中K是消光系数，D（单位：米）是海水深度，ID（单位：坎德拉）和I0（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的40%，则该海域消光系数K的值约为（　　） （参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6） A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14 20．已知2x＝3y＝5z（x，y，z≠0），且，则a＝（　　） A．log23 B．log25 C．log35 D．log56 21．已知实数a，b满足a﹣1＝ln（4﹣a），beb＝e3，其中e是自然对数的底数，则a+b＝（　　） A．2 B．e C．3 D．4 22．历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知lg2≈0.301，则2.51000的估算值为（　　） A．10365 B．10379 C．10389 D．10398 23．关于x的方程x+lgx＝3，x+10x＝3的两根分别是α，β，则α+β＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 24．已知ax＝2，loga6＝y，a＞0，且a≠1，则ax+y＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．12 25．把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ′℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后该物体的温度θ℃满足．若θ0，θ′不变，在t1min，t2min后该物体的温度分别为θ1℃，θ2℃，且θ1＞θ2，则下列结论正确的是（　　） A．t1＞t2 B．t1＜t2 C．若θ′＞θ0，则t1＞t2；若θ′＜θ0，则t1＜t2 D．若θ′＞θ0，则t1＜t2；若θ′＜θ0，则t1＞t2 26．设a＞0，a≠1，已知m＝ax，n＝ay，，则xyz的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 27．已知正数x，y，z，满足3x＝4y＝6z，则下列说法不正确的是（　　） A． B．x＞y＞z C． D．3x＜4y＜6z 28．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB（长度为107单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（PB＝y）．令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底．当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为（　　） A．ln2 B．ln3 C． D． 29．嫦娥六号是中国计划进行的一次月球采样返回任务．假设嫦娥六号在接近月球表面时，需要进行一系列的减速操作，其减速过程可以近似地看作是一个指数衰减过程，其速度v（t）（单位：米/秒）随时间t（单位：秒）的变化关系可以表示为：，其中v0是初始速度，λ是一个减速过程相关的常数．已知嫦娥六号在t＝0时的初始速度为v0＝1000m/s，经过t＝10s后，速度变为v（10）＝500m/s．若嫦娥六号需要在t＝Ts时将速度减至月球表面的安全着陆速度v（T）＝1m/s，则T＝（　　） （精确到小数点后一位，参考数值：lg2≈0.301） A．99.7 B．99.8 C．99.3 D．96.3 （多选）30．若实数a，b满足2a＝3b＝6，则（　　） A． B．logab＞logba C．a＞b D．aa＞ab＞bb （多选）31．若6a＝2，6b＝3，则下列判断正确的是（　　） A．a+b＝1 B． C． D． 32．若正实数m，n，t满足5m＝7n＝t，且，则t＝ 　 　 ． 33．已知a＞0且a≠1，若loga2＝m，loga3＝n，则am+n＝ 　 　 ． 34．放射性物质原子核数的衰变规律是：，其中N0指初始时刻的原子核数，t为衰变时间，T为半衰期，N为衰变后剩余的原子核数．已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为T1、T2（单位：天），若两种物质的初始原子核数相同，512天后发现甲的原子核数是乙的原子核数的4倍，则 　 　 ． 五．对数的运算性质（共5小题） 35．已知a＞1，且loga8×loga2＝1﹣loga4，则a＝（　　） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 36．已知a＝lg2，b＝lg3，则lg12可以表示为（　　） A．a2b B．2ab C．a+2b D．2a+b 37．在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述．视星等m是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响．绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度．视星等m和绝对星等M满足，其中d是与地球的距离，单位为秒差距．若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足mB﹣mA＝4，则（　　） A．MB＝MA+4 B．MB＝MA+6 C．MA＝MB+1 D．MA＝MB+6 38．若2lg（x﹣2y）＝lgx+lgy，则x，y的关系是（　　） A．x＝y B．x＝2y C．x＝4y D．x＝y或x＝4y 39．（1）； （2）． 六．对数运算求值（共6小题） 40．2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek的算力每年增长50%．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek的算力预计在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（　　） （参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 41．已知a＞b＞1，若，ab＝ba，则ab＝（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 42．化简（log62）2+log62•log63+2log63的值为（　　） A．﹣log62 B．﹣log63 C．log63 D．﹣1 43．若logam＝2，b3＝m，则logm（ab）＝（　　） A． B． C． D． 44．已知，则log215＝（　　） A． B． C． D． 45．若a＞1，b＞1，且log3a•log3b＝4，则ab的最小值为　 　 ． 课后针对训练 一、单选题 1．已知，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，且，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．若，，则（    ） A． B． C． D． 4．若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D．18 6．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数，在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 9．某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，k为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（    ） 季节 春季 夏季 秋季 冬季 （参考数据：，） A．春季 B．夏季 C．秋季 D．冬季 10．按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内二氧化碳最高容许浓度不高于．经测定，刚下课时，教室内含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间的最小整数值为（    ） 参考数据：． A．1 B．3 C．7 D．8 二、多选题 11．下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 12．已知，，则（    ） A． B． C． D． 13．设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14． . 15． ． 16．，则用和表示的结果为 四、解答题 17．（1）已知，试用表示； （2）已知，求的值． 18．求解下列问题： (1)在①，②中任选一个求值； (2)已知，，试用a，b表示． 19．计算： (1)； (2)； (3)． 20．（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值 1 学科网（北京）股份有限公司 $$