专题06 动量（湖南专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟物理真题分类汇编

专题06 动量 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 动量 2021 五年考情显示，“动量守恒定律的应用”是绝对核心。命题趋势聚焦多过程碰撞的动力学链条构建、临界条件的精细化分析及跨模块规律的深度整合。试题设计显著强化多物体、多阶段碰撞的系统性建模，例如含弹簧的滑块-斜面-圆弧轨道复合场景中，要求分段分析弹性碰撞与非弹性碰撞的动量-能量传递，并精准判断动量守恒条件，同时结合机械能守恒或动能定理求解速度突变、最大形变量或高度变化；或构建“子弹打木块+冲击摆”组合模型，需综合运用动量守恒处理完全非弹性碰撞、圆周运动临界条件及平抛规律求解射程。对变力冲量的考查更趋灵活，涉及通过F-t图像面积定量计算动量变化，或结合导数思想分析流体冲击力的瞬时功率与系统动量变化率关系。跨模块综合命题日益突出，例如导体棒在磁场中切割磁感线时发生碰撞，需联动动量守恒与电磁感应规律；或结合原子物理的α粒子散射模型，用动量定理分析微观粒子受力方向与偏转轨迹。数学工具的严谨性要求提升，需熟练运用矢量分解处理斜面碰撞、数列迭代计算多次弹性碰撞后的速度序列，通过v-t图像斜率关联加速度与合外力冲量。 考点2 动量定理 2022 考点3 动量守恒定律的应用 2024、2023 考点01 动量 1．（2021·湖南·学业水平选择性）物体的运动状态可用位置和动量描述，称为相，对应图像中的一个点。物体运动状态的变化可用图像中的一条曲线来描述，称为相轨迹。假如一质点沿轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，则对应的相轨迹可能是（　　） A．B．C． D． 考点02 动量定理 2．（2022·湖南·高考）如图（a），质量为m的篮球从离地H高度处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地h的最高处。设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的倍（为常数且），且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同，重力加速度大小为g。 （1）求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比； （2）若篮球反弹至最高处h时，运动员对篮球施加一个向下的压力F，使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至h的高度处，力F随高度y的变化如图（b）所示，其中已知，求的大小； （3）篮球从H高度处由静止下落后，每次反弹至最高点时，运动员拍击一次篮球（拍击时间极短），瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，经过N次拍击后篮球恰好反弹至H高度处，求冲量I的大小。 考点03 动量守恒定律的应用 3．（2024·湖南·高考）如图，半径为R的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA和mB的小球A和B（mA>mB）。初始时小球A以初速度v0沿圆环切线方向运动，与静止的小球B发生碰撞。不计小球与圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。 （1）若小球A与B碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小； （2）若小球A与B之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量比。 （3）若小球A与B之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e倍（0<e<1） ，求第1次碰撞到第2n+1次碰撞之间小球B通过的路程。 4．（2023·湖南·高考）如图，质量为的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为和，长轴水平，短轴竖直．质量为的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系，椭圆长轴位于轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为。 （1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离； （2）在平面直角坐标系中，求出小球运动的轨迹方程； （3）若，求小球下降高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用及表示）。 一、单选题 1．（24-25高三·湖南·Flawless联考（三））如图为某滑雪大跳台的滑道示意图。运动员从助滑道某高度滑下，从跳台最高点O沿某一固定角度飞出。着落坡可以看作是以O点为起点的直道，不计空气阻力且运动员可视作质点。对于运动员（含滑雪器械）在空中的运动，下列说法正确的是（　　） A．运动员离着落坡最远时，重力功率为0 B．以不同速度飞出跳台的运动员滞空时间相同 C．运动员着落时的速度方向和滑下的高度无关 D．相等时间内，运动员动量变化量先减小后增大 2．（24-25高三·湖南邵阳·二联考）如图所示质量为的某型号双响爆竹的结构简化图，其内部结构分上、下两层，分别装载火药。某次在一水平地面上燃放测试中，点燃引线，下层火药被瞬间引燃后，爆竹获得了竖直升空的初始速度。当爆竹上升到最大高度处时，上层火药恰好被引燃，爆竹瞬间分裂成质量之比为的P、Q两部分。若P、Q均沿水平方向飞出，落地点间的水平距离为，不计空气阻力及爆竹爆炸前后的质量变化，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．下层火药被引燃后爆竹获得的动量为 B．爆竹分裂后Q获得的速度大小为 C．P、Q着地前瞬间的速度大小之比 D．上、下两层火药分别被引燃时，爆竹增加的机械能之比为 3．（25届·邵阳·三联·下）打羽毛球是深受大众喜爱的体育运动。如图所示是羽毛球从左往右飞行的轨迹图，图中A、B为同一轨迹上等高的两点，P为该轨迹的最高点，则羽毛球在该轨迹上运动时，下列说法正确的是（　　） A．在A、B两点的动能相等 B．AP段重力的冲量小于PB段重力的冲量 C．整个飞行过程中经过P点时的速度最小 D．在PB下落阶段，羽毛球加速度的竖直分量大于重力加速度值 4．（2025·湖南邵阳·一模）为了研究多层钢板在不同模式下的防弹效果，建立如下简化模型。如图所示，两个完全相同的钢板A、B厚度均为d，质量均为m。第一次把A、B焊接在一起静置在光滑水平面上，质量也为m的子弹水平射向钢板A，恰好将两钢板击穿。第二次把A、B间隔一段距离水平放置，子弹以同样的速度水平射向A，穿出后再射向B，且两块钢板不会发生碰撞。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，不计子弹的重力，子弹可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．第一次子弹射出B时，A的位移为d B．第一次子弹穿过A、B所用时间之比为 C．第二次子弹不能击穿钢板B，进入钢板B的深度为 D．第一次、第二次整个系统损失的机械能之比为 二、多选题 5．（25届·怀化·二模）如图甲，某轻弹簧两端系着质量均为的小球A、B。小球A用细线悬挂于天花板上，系统处于静止状态。将细线烧断，并以此为计时起点，A、B两小球运动的 图线如图乙所示（ 为小球的加速度， 为时间），两图线对应纵轴最小值均为，S表示到时间内A的 图线与横轴所围面积大小，当地重力加速度为 。下列说法正确的是（　　） A．从到时刻，弹簧对A球的冲量为 B．时刻，弹簧弹性势能最大 C．时刻，A、 B两小球的速度差最小 D．时刻，B物体的速度大小为 6．（2025·湖南永州·三模）如图甲所示在倾角为的足够大的固定光滑斜面上，质量为的物块A与质量为的物块B通过一根轻绳绕过两个轻质定滑轮C、D相互连接，位置关系如图乙所示，从某时刻开始同时静止释放A和B，1s末还没有物块碰到滑轮，忽略滑轮与轻绳之间的摩擦，已知，下列说法正确的是（　　） A．A和B具有相同的加速度 B．B在1s末的速度大小为 C．滑轮D对轻绳的作用力大小为16N D．1s内绳对A的冲量大小为16 7．（2025·湖南永州·三模）如图1所示，质量均为的物块甲和木板乙叠放在光滑水平面上，甲到乙左端的距离为L，初始时甲、乙均静止，质量为M的物块丙以速度向右运动，与乙发生完全弹性碰撞。碰后乙的位移x随时间t的变化如图2中实线所示，其中0.5s时刻前后的图像分别是抛物线的一部分（图中实线）和直线，二者相切于P点，抛物线的顶点为Q。甲始终未脱离乙，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．M = 1.5kg B．甲、乙间的动摩擦因数为0.2 C．甲到乙左端的距离至少为0.5m D．甲乙之间因摩擦产生的热量为2J 8．（2025·湖南岳阳·高三下二模）如图为水流导光实验，将塑料瓶下侧开一个小孔，瓶中灌入清水，水就从小孔流出。将红光水平射向塑料瓶小孔，观察到红光束沿水流方向发生了弯曲，光被完全限制在水流内，出现了“水流导光”现象。已知某时刻出水口中心到接水桶水面的高度为，水在接水桶中水面的落点中心到出水口的水平距离为，出水口横截面积为，水的密度为，重力加速度取。假设水落到水面上后瞬间竖直速度减为0，水平速度大小不变，不计空气阻力及水的发散效应，则（　　） A．“水流导光”是一种光的衍射现象 B．此时改用紫光以同样的方向照射一定能发生“水流导光”现象 C．空中水柱（出水口至水面落点间的水柱）的体积为 D．落水对水面的冲击力大小为 9．（2025·湖南娄底·高三下二模）如图所示在光滑水平面上有两个小木块和，其质量，它们中间用一根轻弹簧相连。一颗水平飞行的子弹质量为，初速度为，在极短的时间内射穿两木块，子弹射穿木块后子弹的速度变为原来的，且子弹射穿木块损失的动能是射穿木块损失的动能的2倍，则（　　） A．子弹射穿A 木块过程中系统损失的机械能为3975J B．子弹打穿两个木块后的过程中弹簧最大的弹性势能为 C．弹簧再次恢复原长时的速度为 D．弹簧再次恢复原长时的速度为 10．（25届高三下·湖南长沙邵阳多校联考·三模）光滑水平面有A、B两个物块，质量分别为2m和m，初始时用处于原长状态下的弹簧相连，现在给物块A一个水平向右的初速度。水平面右侧有一墙面，已知经过时间t，物块B第一次达到最大速度，且恰好到达墙壁处，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的最大弹性势能是 B．物块B的最大速度是 C．初始时物块B离墙面的距离是 D．初始时物块B离墙面的距离是 11．（24-25高三·湖南·多校联考·下）如图所示，一根匀质软细绳长为，质量为，下端与水平地面接触，细绳处于竖直状态。释放上端后，细绳不断坠落到地面。设碰撞为完全非弹性碰撞，重力加速度为，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．细绳完全下落到地面所用时间为 B．细绳对地面的最大作用力为 C．细绳对地面的作用力F随顶端下落的高度h变化的规律为 D．细绳对地面的作用力F随顶端下落的时间t变化的规律为 12．（2025·常德一中·高考模拟）如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点0右侧的人的序号记为n(n=1,2,3……)每人只有一个沙袋，每个沙袋质量为，一质量为的小车以某初速度v0从原点出发向正x方向滑行，不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，下列说法正确的是（　　） A．若u=2v0，当仅有序号为1的人将沙袋扔到车上后，则小车的速度变为 B．若u=2v0，当序号为3的人将沙袋扔到车上后，小车将反向运动 C．若u的大小不是定值，u等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍（n是此人的序号数），则车上有3个沙袋时小车开始反向运动 D．若仅有序号为1的人将沙袋朝与车速相反的方向以相对于小车的速度v相=2v0沿车面扔到车上后， 三、解答题 13．（24-25高三·湖南常德一中·月考）平板小车C放在光滑水平面上，现有质量为2m的物块A和质量为m的木块B，分别以2v0和v0的初速度沿同一直线从小车的两端水平相向滑上小车，如图所示，设A、B两物块与小车的动摩擦因数分别为μ和2μ，小车的质量为3m，A、B均可视为质点。 (1)在A、B物块同时相对小车滑动过程中，A、B、C的加速度大小分别为多少？ (2)为使A、B两物块不相碰，平板小车至少要多长？ (3)若A、B两物块不相碰，求从开始到A、B、C均相对静止，系统由于摩擦产生的热量是多少？ 14．（25届·怀化·二模）如图甲所示，水平地面上铺设有一厚度不计的软性材质地毯，在距离地毯高为 的位置 由静止自由释放一质量为 的小球 （ 远大于小球半径），小球 与水平地面上的地毯发生碰撞后竖直反弹。已知小球 每次与地毯发生碰撞之后的瞬时速率都是碰前瞬时速率的 。（整个过程不计空气阻力，已知重力加速度为 ） (1)求小球 第一次反弹的最高点到释放点 的距离； (2)如果要使小球 在第一次反弹后恰好回到出发点 ，则需在释放时瞬间给小球 一个竖直向下的初速度 ， 的大小是多少？ (3)如图乙所示，紧贴小球 的正下方放置一大小相同、质量为 的小球 ，此时仍然让两小球从位置 由静止自由下落，要使小球 在第一次碰后反弹恰好回到出发点 ，则小球 的质量 与小球 的质量 之比是多少？（假设小球 每次与地毯发生碰撞之后的瞬时速率都是碰前瞬时速率的 ，而小球 和小球 之间的碰撞为弹性正碰） 15．（24-25高三·湖南·多校联考·下）如图1所示，一质量为（未知）的小车静止在光滑水平地面上，其左端点与平台平滑相接。小车上表面是以为圆心、半径的四分之一圆弧轨道。质量的光滑小球，以某一水平速度冲上小车的圆弧面。测得小球与小车在水平方向上的速度大小分别为，作出的部分图像如图2所示。已知竖直，水平，水平台面高，小球可视为质点，重力加速度取，不计一切摩擦。求： (1)小球落地时的速度大小； (2)小球从点上升的最大高度； (3)小球运动到点时的速度大小。 16．（24-25高三·湖南天壹名校联盟·下期冲刺压轴大联考）篮球课结束后，同学们用小车收集散落在球场上的篮球，一个同学捡到球后，投射进入固定在小车上的小筐中。若篮球的质量为m，小车及小筐的总质量为M，将篮球以速度v0水平向静止于地面的小车投出，抛出点与小车车板的竖直高度为h，球进入小筐后立即相对于小车静止，没有反弹。重力加速度为g，求： (1)球进入小筐后，小车的速度v； (2)若地面与小车的动摩擦因数为μ，车在地面上滑行的距离L； (3)若地面光滑，将小车上的筐去掉，再次投出篮球，撞击在小车车板上后篮球反弹，最后又回落在小车车板的起始撞击点上。篮球与小车间的动摩擦因数为μ0，篮球碰前与碰后始终在同一竖直平面内运动，碰撞时小车对球的弹力远大于球的重力，则篮球反弹的高度H为多大。 17．（24-25高三·湖南怀化·三模）如图所示，初始时，一滑块（可视为质点）以的速度滑上一静止在光滑水平面上的小车，已知小车质量，滑块质量，两者之间的动摩擦因数，当滑块和小车相对静止时，小车与竖直墙壁刚好发生弹性碰撞。滑块始终都不会和墙壁相碰，重力加速度，求： (1)初始时，小车与竖直墙壁之间的距离； (2)小车至少多长； (3)从初始时至小车第次（已知且）与墙壁碰撞时，滑块做减速运动的总时间及匀速运动的总时间。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 动量 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 动量 2021 五年考情显示，“动量守恒定律的应用”是绝对核心。命题趋势聚焦多过程碰撞的动力学链条构建、临界条件的精细化分析及跨模块规律的深度整合。试题设计显著强化多物体、多阶段碰撞的系统性建模，例如含弹簧的滑块-斜面-圆弧轨道复合场景中，要求分段分析弹性碰撞与非弹性碰撞的动量-能量传递，并精准判断动量守恒条件，同时结合机械能守恒或动能定理求解速度突变、最大形变量或高度变化；或构建“子弹打木块+冲击摆”组合模型，需综合运用动量守恒处理完全非弹性碰撞、圆周运动临界条件及平抛规律求解射程。对变力冲量的考查更趋灵活，涉及通过F-t图像面积定量计算动量变化，或结合导数思想分析流体冲击力的瞬时功率与系统动量变化率关系。跨模块综合命题日益突出，例如导体棒在磁场中切割磁感线时发生碰撞，需联动动量守恒与电磁感应规律；或结合原子物理的α粒子散射模型，用动量定理分析微观粒子受力方向与偏转轨迹。数学工具的严谨性要求提升，需熟练运用矢量分解处理斜面碰撞、数列迭代计算多次弹性碰撞后的速度序列，通过v-t图像斜率关联加速度与合外力冲量。 考点2 动量定理 2022 考点3 动量守恒定律的应用 2024、2023 考点01 动量 1．（2021·湖南·学业水平选择性）物体的运动状态可用位置和动量描述，称为相，对应图像中的一个点。物体运动状态的变化可用图像中的一条曲线来描述，称为相轨迹。假如一质点沿轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，则对应的相轨迹可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】质点沿轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，则有，而动量为，联立可得动量关于为幂函数，且，故正确的相轨迹图像为D。 故选D。 考点02 动量定理 2．（2022·湖南·高考）如图（a），质量为m的篮球从离地H高度处由静止下落，与地面发生一次非弹性碰撞后反弹至离地h的最高处。设篮球在运动过程中所受空气阻力的大小是篮球所受重力的倍（为常数且），且篮球每次与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比相同，重力加速度大小为g。 （1）求篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比； （2）若篮球反弹至最高处h时，运动员对篮球施加一个向下的压力F，使得篮球与地面碰撞一次后恰好反弹至h的高度处，力F随高度y的变化如图（b）所示，其中已知，求的大小； （3）篮球从H高度处由静止下落后，每次反弹至最高点时，运动员拍击一次篮球（拍击时间极短），瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，经过N次拍击后篮球恰好反弹至H高度处，求冲量I的大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）篮球下降过程中根据牛顿第二定律有 再根据匀变速直线运动的公式，下落的过程中有 篮球反弹后上升过程中根据牛顿第二定律有 再根据匀变速直线运动的公式，上升的过程中有 则篮球与地面碰撞的碰后速率与碰前速率之比 （2）若篮球反弹至最高处h时，运动员对篮球施加一个向下的压力F，则篮球下落过程中根据动能定理有 篮球反弹后上升过程中根据动能定理有 联立解得 （3）方法一：由（1）问可知篮球上升和下降过程中的加速度分别为 （方向向下） （方向向下） 由题知运动员拍击一次篮球（拍击时间极短），瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，由于拍击时间极短，则重力的冲量可忽略不计，则根据动量定理有 即每拍击一次篮球将给它一个速度v。 拍击第1次下降过程有 上升过程有 代入k后，下降过程有 上升过程有 联立有 拍击第2次，同理代入k后，下降过程有 上升过程有 联立有 再将h1代入h2有 拍击第3次，同理代入k后，下降过程有 上升过程有 联立有 再将h2代入h3有 直到拍击第N次，同理代入k后，下降过程有 上升过程有 联立有 将hN-1代入hN有 其中 ， 则有 则 方法二：由（1）问可知篮球上升和下降过程中的加速度分别为 （方向向下） （方向向下） 由题知运动员拍击一次篮球（拍击时间极短），瞬间给其一个竖直向下、大小相等的冲量I，由于拍击时间极短，则重力的冲量可忽略不计，则根据动量定理有 即每拍击一次篮球将给它一个速度v’。设篮球从H下落时，速度为，反弹高度为，篮球受到冲量I后速度为v’，落地时速度为，则 ， 联立可得 代入k可得， ……① 篮球再次反弹，反弹速度为k，设反弹高度为h1，受到冲量后，落地速度为v2，同理可得 ， 同理化简可得 ……② 篮球第三次反弹，反弹速度为k，设反弹高度为h2，受到冲量后，落地速度为v3，同理可得 ， 同理化简可得 ……③ …… 第N次反弹可得 ……（N） 对式子①②③……(N)两侧分别乘以、、……、，再相加可得 得 其中，，，可得 可得冲量I的大小 考点03 动量守恒定律的应用 3．（2024·湖南·高考）如图，半径为R的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA和mB的小球A和B（mA>mB）。初始时小球A以初速度v0沿圆环切线方向运动，与静止的小球B发生碰撞。不计小球与圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。 （1）若小球A与B碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小； （2）若小球A与B之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量比。 （3）若小球A与B之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e倍（0<e<1） ，求第1次碰撞到第2n+1次碰撞之间小球B通过的路程。 【答案】（1），；（2）或； （3） 【详解】（1）有题意可知A、B系统碰撞前后动量守恒,设碰撞后两小球的速度大小为v，则根据动量守恒有 可得 碰撞后根据牛顿第二定律有 可得 （2）若两球发生弹性碰撞，设碰后速度分别为vA，vB，则碰后动量和能量守恒有 联立解得 ， 因为所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，如图 ①若第二次碰撞发生在图中的b点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B通过的路程之比为，则有 联立解得 由于两质量均为正数，故k1=0，即 对第二次碰撞，设A、B碰撞后的速度大小分别为，，则同样有 联立解得，，故第三次碰撞发生在b点、第四次碰撞发生在c点，以此类推，满足题意。 ②若第二次碰撞发生在图中的c点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B通过的路程之比为；所以 联立可得 因为两质量均为正数，故k2=0，即 根据①的分析可证，，满足题意。 综上可知 或。 （3）第一次碰前相对速度大小为v0，第一次碰后的相对速度大小为，第一次碰后与第二次相碰前B球比A球多运动一圈，即B球相对A球运动一圈，有 第一次碰撞动量守恒有且 联立解得 B球运动的路程 第二次碰撞的相对速度大小为， 第二次碰撞有且 联立可得 所以B球运动的路程 一共碰了2n次，有 4．（2023·湖南·高考）如图，质量为的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为和，长轴水平，短轴竖直．质量为的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系，椭圆长轴位于轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为。 （1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离； （2）在平面直角坐标系中，求出小球运动的轨迹方程； （3）若，求小球下降高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用及表示）。 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】（1）小球运动到最低点的时候小球和凹槽水平方向系统动量守恒，取向左为正 小球运动到最低点的过程中系统机械能守恒 联立解得 因水平方向在任何时候都动量守恒即 两边同时乘t可得 且由几何关系可知 联立得 （2）小球向左运动过程中凹槽向右运动，当小球的坐标为时，此时凹槽水平向右运动的位移为，根据上式有 则小球现在在凹槽所在的椭圆上，根据数学知识可知此时的椭圆方程为 整理得 （） （3）将代入小球的轨迹方程化简可得 即此时小球的轨迹为以为圆心，b为半径的圆，则当小球下降的高度为时有如图    此时可知速度和水平方向的夹角为，小球下降的过程中，系统水平方向动量守恒 系统机械能守恒 联立得 一、单选题 1．（24-25高三·湖南·Flawless联考（三））如图为某滑雪大跳台的滑道示意图。运动员从助滑道某高度滑下，从跳台最高点O沿某一固定角度飞出。着落坡可以看作是以O点为起点的直道，不计空气阻力且运动员可视作质点。对于运动员（含滑雪器械）在空中的运动，下列说法正确的是（　　） A．运动员离着落坡最远时，重力功率为0 B．以不同速度飞出跳台的运动员滞空时间相同 C．运动员着落时的速度方向和滑下的高度无关 D．相等时间内，运动员动量变化量先减小后增大 【答案】C 【详解】A．运动员离着落坡最远时，速度方向与着落坡平行，速度在竖直方向有分速度，则重力的功率不为零，故A错误； BC．设运动员从跳台最高点O沿某一固定角度飞出时的速度方向与着落坡的夹角为，着落坡与水平方向的夹角为，运动员飞出跳台的初速度为；将运动员在空中的运动分解为沿着落坡和垂直着落坡两个分运动，则运动员飞出跳台的滞空时间为，可知以不同速度飞出跳台的运动员滞空时间不相同；运动员着落时沿着落坡的分速度大小为，则运动员着落时的速度方向与着落坡的夹角满足，由于、都为定值，所以运动员着落时的速度方向与着落坡的夹角为定值，即运动员着落时的速度方向和滑下的高度无关，故B错误，C正确； D．根据动量定理可得，可知相等时间内，运动员动量变化量相等，故D错误。 故选C。 2．（24-25高三·湖南邵阳·二联考）如图所示质量为的某型号双响爆竹的结构简化图，其内部结构分上、下两层，分别装载火药。某次在一水平地面上燃放测试中，点燃引线，下层火药被瞬间引燃后，爆竹获得了竖直升空的初始速度。当爆竹上升到最大高度处时，上层火药恰好被引燃，爆竹瞬间分裂成质量之比为的P、Q两部分。若P、Q均沿水平方向飞出，落地点间的水平距离为，不计空气阻力及爆竹爆炸前后的质量变化，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．下层火药被引燃后爆竹获得的动量为 B．爆竹分裂后Q获得的速度大小为 C．P、Q着地前瞬间的速度大小之比 D．上、下两层火药分别被引燃时，爆竹增加的机械能之比为 【答案】D 【详解】A．设下层火药被引燃后爆竹的速度大小为v，则下层火药被引燃后爆竹获得的动量为，解得，故A错误； B．引燃上层火药后两部分向相反的方向做平抛运动，竖直方向有，水平方向有，上层火药燃爆时，水平方向动量守恒，取质量较小部分P获得的速度方向为正方向，则有，解得P、Q各自获得的速度大小分别为，，故B错误； C．P、Q着地前瞬间竖直方向的速度大小均为，P、Q着地前瞬间的速度大小分别为，，因，所以，故C错误； D．上层火药燃爆后爆竹获得的机械能为，下层火药燃爆后爆竹获得的机械能为，解得，故D正确。 故选D。 3．（25届·邵阳·三联·下）打羽毛球是深受大众喜爱的体育运动。如图所示是羽毛球从左往右飞行的轨迹图，图中A、B为同一轨迹上等高的两点，P为该轨迹的最高点，则羽毛球在该轨迹上运动时，下列说法正确的是（　　） A．在A、B两点的动能相等 B．AP段重力的冲量小于PB段重力的冲量 C．整个飞行过程中经过P点时的速度最小 D．在PB下落阶段，羽毛球加速度的竖直分量大于重力加速度值 【答案】B 【详解】A．羽毛球由A点运动到B点过程中，重力做功为零，空气阻力做负功，由动能定理可知，动能减小，所以羽毛球在A点的动能大于B点的动能，故A错误； BD．羽毛球上升阶段竖直方向所受合力大于重力，竖直方向的加速度大于g，下落阶段竖直方向所受合力小于重力，竖直方向的加速度小于g，所以羽毛球AP段所用时间比PB段小，结合冲量的定义可知，AP段重力的冲量小于PB段重力的冲量，故B正确，D错误； C．羽毛球经过P点时所受重力与空气阻力的合力与速度成钝角，说明速度正在减小，所以整个飞行过程中经过P点时的速度不是最小，故C错误； 故选B。 4．（2025·湖南邵阳·一模）为了研究多层钢板在不同模式下的防弹效果，建立如下简化模型。如图所示，两个完全相同的钢板A、B厚度均为d，质量均为m。第一次把A、B焊接在一起静置在光滑水平面上，质量也为m的子弹水平射向钢板A，恰好将两钢板击穿。第二次把A、B间隔一段距离水平放置，子弹以同样的速度水平射向A，穿出后再射向B，且两块钢板不会发生碰撞。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，不计子弹的重力，子弹可视为质点。下列说法正确的是（　　） A．第一次子弹射出B时，A的位移为d B．第一次子弹穿过A、B所用时间之比为 C．第二次子弹不能击穿钢板B，进入钢板B的深度为 D．第一次、第二次整个系统损失的机械能之比为 【答案】D 【详解】A．设第一次子弹穿过A、B时共同速度为v，对系统由动量守恒有，此过程对A和B有，对子弹有，解得，故A错误； B．第一次子弹相对A、B做匀减速直线运动，恰击穿时相对末速度为0，根据逆向思维，可以将看成子弹相对A、B做初速度为0的反向匀加速直线运动，穿过B、A的相对位移相等，根据连续相邻相等位移之内的时间间隔比例规律可知，穿过B、A的时间之比为，所以穿过A、B所用时间之比为，故B错误； C．设子弹的初速度为，受到的阻力大小为f，第一次穿过A、B时共同速度为v，对系统由动量守恒有，由能量守恒有，解得，第二次子弹穿过A时，设子弹速度为，A的速度为u，假设不能穿透B，最后与B的共同速度为，进入B的深度为，对子弹和A由动量守恒有，由能量守恒有，解得，对子弹和B，由动量守恒有，由能量守恒有，解得 假设成立，故C错误； D．第一次系统损失的机械能，第二次系统损失的机械能，第一次、第二次系统损失的机械能之比为，故D正确。 故选D。 二、多选题 5．（25届·怀化·二模）如图甲，某轻弹簧两端系着质量均为的小球A、B。小球A用细线悬挂于天花板上，系统处于静止状态。将细线烧断，并以此为计时起点，A、B两小球运动的 图线如图乙所示（ 为小球的加速度， 为时间），两图线对应纵轴最小值均为，S表示到时间内A的 图线与横轴所围面积大小，当地重力加速度为 。下列说法正确的是（　　） A．从到时刻，弹簧对A球的冲量为 B．时刻，弹簧弹性势能最大 C．时刻，A、 B两小球的速度差最小 D．时刻，B物体的速度大小为 【答案】AD 【详解】A．从图像可知从0到时刻两图线与时间轴所夹面积相等，而小球A、B的初速度为0，即时刻两小球速度大小相等，整体由动量定理，得两球速度大小，设弹簧对球的冲量为，对球由动量定理有，则，故A正确； B．时刻，两小球加速度大小相等，以小球 A、B整体为对象，由牛顿第二定律，得此时小球 A、B的加速度大小为，此时小球小A、B均处于完全失重状态，设此时弹簧弹力为，则，即弹簧处于原长，弹性势能最小，故B错误； C．从图乙可知，从0到时刻两者速度差一直在增大，时刻达到最大，故C错误； D．从0到时刻，以A、B两球整体为对象，由动量定理，其中时刻小球A的速度大小为，化简得时刻小球B的速度大小为，故D正确。 故选AD。 6．（2025·湖南永州·三模）如图甲所示在倾角为的足够大的固定光滑斜面上，质量为的物块A与质量为的物块B通过一根轻绳绕过两个轻质定滑轮C、D相互连接，位置关系如图乙所示，从某时刻开始同时静止释放A和B，1s末还没有物块碰到滑轮，忽略滑轮与轻绳之间的摩擦，已知，下列说法正确的是（　　） A．A和B具有相同的加速度 B．B在1s末的速度大小为 C．滑轮D对轻绳的作用力大小为16N D．1s内绳对A的冲量大小为16 【答案】BD 【详解】A．A和B的加速度大小相等，但方向不同，加速度不同，故A错误； B．根据题意，由牛顿第二定律有，解得，B在1s末的速度大小为，故B正确； CD．设绳的弹力为，对物体B由牛顿第二定律有，解得，则滑轮D对轻绳的作用力大小为，1s内绳对A的冲量大小为，故C错误，D正确。 故选BD。 7．（2025·湖南永州·三模）如图1所示，质量均为的物块甲和木板乙叠放在光滑水平面上，甲到乙左端的距离为L，初始时甲、乙均静止，质量为M的物块丙以速度向右运动，与乙发生完全弹性碰撞。碰后乙的位移x随时间t的变化如图2中实线所示，其中0.5s时刻前后的图像分别是抛物线的一部分（图中实线）和直线，二者相切于P点，抛物线的顶点为Q。甲始终未脱离乙，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．M = 1.5kg B．甲、乙间的动摩擦因数为0.2 C．甲到乙左端的距离至少为0.5m D．甲乙之间因摩擦产生的热量为2J 【答案】BC 【详解】A．设碰后瞬间乙的速度大小为v1，碰后乙的加速度大小为a，由图2可得，由图可知，，解得，，丙乙碰撞过程动量守恒，则，，解得，M=2kg，选项A错误； BCD．对甲乙系统由动量守恒和能量关系，解得v=1m/s，由图像可知0.5s时木板乙的速度，即0.5s时刻甲乙恰共速，则对甲由动量定理，解得，由能量关系，可得L=0.5m，甲乙之间因摩擦产生的热量为，选项BC正确，D错误。 故选BC。 8．（2025·湖南岳阳·高三下二模）如图为水流导光实验，将塑料瓶下侧开一个小孔，瓶中灌入清水，水就从小孔流出。将红光水平射向塑料瓶小孔，观察到红光束沿水流方向发生了弯曲，光被完全限制在水流内，出现了“水流导光”现象。已知某时刻出水口中心到接水桶水面的高度为，水在接水桶中水面的落点中心到出水口的水平距离为，出水口横截面积为，水的密度为，重力加速度取。假设水落到水面上后瞬间竖直速度减为0，水平速度大小不变，不计空气阻力及水的发散效应，则（　　） A．“水流导光”是一种光的衍射现象 B．此时改用紫光以同样的方向照射一定能发生“水流导光”现象 C．空中水柱（出水口至水面落点间的水柱）的体积为 D．落水对水面的冲击力大小为 【答案】BC 【详解】A．“水流导光”是一种光的全反射现象，故A错误； B．紫光的折射率大于红光的折射率，根据，可知，同一介质中，紫光的临界角小于红光的临界角，可知，此时改用紫光以同样的方向照射一定能发生“水流导光”现象，故B正确； C．水做平抛运动，则有，，解得，，则空中水柱的体积为，解得，故C正确； D．水落至水面竖直方向的分速度，截取极短时间内的水进行分析，水的质量 落到水面过程，根据动量定理有，由于时间极短，则有，则近似有，根据牛顿第三定律有，解得，故D错误。 故选BC。 9．（2025·湖南娄底·高三下二模）如图所示在光滑水平面上有两个小木块和，其质量，它们中间用一根轻弹簧相连。一颗水平飞行的子弹质量为，初速度为，在极短的时间内射穿两木块，子弹射穿木块后子弹的速度变为原来的，且子弹射穿木块损失的动能是射穿木块损失的动能的2倍，则（　　） A．子弹射穿A 木块过程中系统损失的机械能为3975J B．子弹打穿两个木块后的过程中弹簧最大的弹性势能为 C．弹簧再次恢复原长时的速度为 D．弹簧再次恢复原长时的速度为 【答案】AC 【详解】A．设子弹射穿木块后和子弹的速度分别为和，由题意可知，子弹穿过的过程中，由动量守恒定律可得，联立解得，射穿木块过程中系统损失的机械能为，故A正确； B．设子弹射穿木块后和子弹的速度分别为和，由动量守恒定律可得，由题意可知，联立解得，子弹穿过以后，弹簧开始被压缩，和弹簧所组成的系统动量守恒，当达到共同速度时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律可得，解得，根据机械能守恒定律可得弹簧的最大弹性势能为，故B错误； CD．弹簧再次恢复原长时的速度分别为、，规定水平向右为正方向，根据动量守恒定律，机械能守恒定律有，联立解得，故C正确，D错误。 故选AC。 10．（25届高三下·湖南长沙邵阳多校联考·三模）光滑水平面有A、B两个物块，质量分别为2m和m，初始时用处于原长状态下的弹簧相连，现在给物块A一个水平向右的初速度。水平面右侧有一墙面，已知经过时间t，物块B第一次达到最大速度，且恰好到达墙壁处，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．弹簧的最大弹性势能是 B．物块B的最大速度是 C．初始时物块B离墙面的距离是 D．初始时物块B离墙面的距离是 【答案】AC 【详解】A．当两物块共速时，弹簧压缩的最短，弹簧的弹性势能最大，此过程根据动量定理，两物块和弹簧组成的系统机械能守恒，则，解得，故A正确； B．当弹簧恢复原长时，物块B的速度达到最大，根据动量守恒，两物块的动能守恒，解得，，故B错误； CD．当弹簧恢复原长时，物块B的速度达到最大，根据动量守恒，两边同时乘以可得，即，初末状态弹簧均处于原长，所以，解得，故C正确，D错误。 故选AC。 11．（24-25高三·湖南·多校联考·下）如图所示，一根匀质软细绳长为，质量为，下端与水平地面接触，细绳处于竖直状态。释放上端后，细绳不断坠落到地面。设碰撞为完全非弹性碰撞，重力加速度为，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．细绳完全下落到地面所用时间为 B．细绳对地面的最大作用力为 C．细绳对地面的作用力F随顶端下落的高度h变化的规律为 D．细绳对地面的作用力F随顶端下落的时间t变化的规律为 【答案】AC 【详解】A．将细绳看作有很多质点组成，做自由落体运动，对于最顶端质点，根据自由落体运动位移公式，解得，所以细绳完全下落到地面所用时间为，故A正确； BCD．设顶端下落高度为h时，速度满足，此时落地部分细绳质量，取极短时间内下落的一小段绳为研究对象，质量，根据动量定理，解得，地面对细绳的支持力，根据牛顿第三定律，细绳对地面作用力，当h=L时， 即最大作用力为，又，解得，故BD错误；C正确。 故选AC。 12．（2025·常德一中·高考模拟）如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点0右侧的人的序号记为n(n=1,2,3……)每人只有一个沙袋，每个沙袋质量为，一质量为的小车以某初速度v0从原点出发向正x方向滑行，不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，下列说法正确的是（　　） A．若u=2v0，当仅有序号为1的人将沙袋扔到车上后，则小车的速度变为 B．若u=2v0，当序号为3的人将沙袋扔到车上后，小车将反向运动 C．若u的大小不是定值，u等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍（n是此人的序号数），则车上有3个沙袋时小车开始反向运动 D．若仅有序号为1的人将沙袋朝与车速相反的方向以相对于小车的速度v相=2v0沿车面扔到车上后， 【答案】AB 【详解】A．对小车、沙袋系统，以向右为正由动量守恒：Mv0-2mv0=（M+m）v1，解得v1=，故A正确； B．设n次扔出沙袋小车反向，则有Mv0-2nmv0<0，解得n>2.4，取整数应为n=3次后小车反向，故B正确； C．小车朝正x方向滑行的过程中，第（n-1）个沙袋扔到车上后的车速为vn-1，第n个沙袋扔到车上后的车速为vn，由动量守恒定律有，解得，小车反向运动的条件是：，，即，代入数据解得3.8<n<4.8，取整数应为即车上堆积4个沙袋后车开始反向滑行，故C错误； D．应取同一参考系，由公式v甲对地=v甲对乙+v乙对地，可知沙袋的速度应表示为v袋对地=-u+v0，由动量守恒：Mv0+m（-u+v0）=（M+m）v1，解得v1=，故D错误。 故选AB。 三、解答题 13．（24-25高三·湖南常德一中·月考）平板小车C放在光滑水平面上，现有质量为2m的物块A和质量为m的木块B，分别以2v0和v0的初速度沿同一直线从小车的两端水平相向滑上小车，如图所示，设A、B两物块与小车的动摩擦因数分别为μ和2μ，小车的质量为3m，A、B均可视为质点。 (1)在A、B物块同时相对小车滑动过程中，A、B、C的加速度大小分别为多少？ (2)为使A、B两物块不相碰，平板小车至少要多长？ (3)若A、B两物块不相碰，求从开始到A、B、C均相对静止，系统由于摩擦产生的热量是多少？ 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）因A、B物块在滑动过程中，对小车的摩擦力大小相等、方向相反，所以小车C不动。A、B的加速度分别为 ， （2）A、B物块在滑动过程中，小车C不动，AB组成的系统受到的合外力为零，系统动量守恒，当B停止运动时，设A的速度为vA，以向右为正，根据动量守恒定律，得2m•2v0-mv0=2mvA 解得 在这段时间内，在这段时间内A、B在车上滑行的距离为 ， 此后A相对小车仍在运动，A对车的摩擦力使车和B一同向右加速运动，直接三者速度相等，A、B恰好接触，此时小车的长度为最小长度。 设共同速度为v′，则有2m•2v0-mv0=(2m+m+3m）v′ 解得 则车的长度至少为 （3）系统由于摩擦产生的热量是 14．（25届·怀化·二模）如图甲所示，水平地面上铺设有一厚度不计的软性材质地毯，在距离地毯高为 的位置 由静止自由释放一质量为 的小球 （ 远大于小球半径），小球 与水平地面上的地毯发生碰撞后竖直反弹。已知小球 每次与地毯发生碰撞之后的瞬时速率都是碰前瞬时速率的 。（整个过程不计空气阻力，已知重力加速度为 ） (1)求小球 第一次反弹的最高点到释放点 的距离； (2)如果要使小球 在第一次反弹后恰好回到出发点 ，则需在释放时瞬间给小球 一个竖直向下的初速度 ， 的大小是多少？ (3)如图乙所示，紧贴小球 的正下方放置一大小相同、质量为 的小球 ，此时仍然让两小球从位置 由静止自由下落，要使小球 在第一次碰后反弹恰好回到出发点 ，则小球 的质量 与小球 的质量 之比是多少？（假设小球 每次与地毯发生碰撞之后的瞬时速率都是碰前瞬时速率的 ，而小球 和小球 之间的碰撞为弹性正碰） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）方法一：设小球A与地毯碰前的瞬时速率为v，从自由释放到落点前瞬间由机械能守恒定律得 设第一次碰后小球A上升的最大高度为h，依题意有碰后的瞬时速率为 ，则碰后反弹到最高点有 则第一次反弹的最高点到释放点P的距离为 方法二：设小球A与地毯碰前的瞬时速率为v，从自由释放到落点前瞬间由自由落体得 设第一次碰后小球A上升的最大高度为h，依题意有碰后的瞬时速率为 ，则碰后反弹到最高点有 则第一次反弹的最高点到释放点P的距离为 （2）方法一：当小球A自由下落的初速度为 时，其与地毯碰前的瞬时速度为 ，由机械能守恒得 反弹后小球A恰好回到释放点P，则有 联立得 方法二：当小球A自由下落的初速度为 时，其与地毯碰前的瞬时速度为 ，由运动学公式得 反弹后小球A恰好回到释放点P，则有 联立得 （3）设小球B与地毯碰前的瞬时速率为v，则与地毯碰后的速率为 ，此时小球A的速率为v，由于小球A和小球B之间的碰撞为弹性碰撞，则由动量守恒（取竖直向上为正）和机械能守恒得 ， 碰后小球A恰好回到释放点P，则有 联立上述各式，得 15．（24-25高三·湖南·多校联考·下）如图1所示，一质量为（未知）的小车静止在光滑水平地面上，其左端点与平台平滑相接。小车上表面是以为圆心、半径的四分之一圆弧轨道。质量的光滑小球，以某一水平速度冲上小车的圆弧面。测得小球与小车在水平方向上的速度大小分别为，作出的部分图像如图2所示。已知竖直，水平，水平台面高，小球可视为质点，重力加速度取，不计一切摩擦。求： (1)小球落地时的速度大小； (2)小球从点上升的最大高度； (3)小球运动到点时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，小球和小车组成的系统在水平方向动量守恒，由图2可知，当时，当时， 则有 解得 小球从点离开小车，小球离开小车时的速度为，小车的速度为，由动量守恒定律和能量守恒定律可得 小球落地时的速度为，由机械能守恒定律可得 联立解得 （2）小球在点时，在水平方向与小车共速，由动量守恒定律可得 解得 小球由点运动到最高点时，由机械能守恒定律可得 解得 从点上升的高度 （3）设小球在点的速度为，小球由点运动到点时，由机械能守恒定律可得 解得 16．（24-25高三·湖南天壹名校联盟·下期冲刺压轴大联考）篮球课结束后，同学们用小车收集散落在球场上的篮球，一个同学捡到球后，投射进入固定在小车上的小筐中。若篮球的质量为m，小车及小筐的总质量为M，将篮球以速度v0水平向静止于地面的小车投出，抛出点与小车车板的竖直高度为h，球进入小筐后立即相对于小车静止，没有反弹。重力加速度为g，求： (1)球进入小筐后，小车的速度v； (2)若地面与小车的动摩擦因数为μ，车在地面上滑行的距离L； (3)若地面光滑，将小车上的筐去掉，再次投出篮球，撞击在小车车板上后篮球反弹，最后又回落在小车车板的起始撞击点上。篮球与小车间的动摩擦因数为μ0，篮球碰前与碰后始终在同一竖直平面内运动，碰撞时小车对球的弹力远大于球的重力，则篮球反弹的高度H为多大。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）水平方向球与小车动量守恒 解得 （2）根据动能定理得 解得 （3）篮球反弹后又回落在小车车板上起始撞击点上，反弹时水平方向上， 水平方向根据动量守恒定律得 对于车，水平方向根据动量定理得 对于篮球，在竖直方向，取竖直向上为正，碰撞时小车对球的弹力远大于球的重力 由于， 解得 17．（24-25高三·湖南怀化·三模）如图所示，初始时，一滑块（可视为质点）以的速度滑上一静止在光滑水平面上的小车，已知小车质量，滑块质量，两者之间的动摩擦因数，当滑块和小车相对静止时，小车与竖直墙壁刚好发生弹性碰撞。滑块始终都不会和墙壁相碰，重力加速度，求： (1)初始时，小车与竖直墙壁之间的距离； (2)小车至少多长； (3)从初始时至小车第次（已知且）与墙壁碰撞时，滑块做减速运动的总时间及匀速运动的总时间。 【答案】(1)0.8m (2)3.6m (3) 【详解】（1）滑块滑上小车，滑块和小车系统动量守恒，有 对小车，有 解得 （2）小车第一次与墙壁碰撞后，小车向左减速，滑块向右减速，小车的速度先减为0，然后反向加速，直至与滑块共速后再一起匀速向右运动，然后与墙壁发生第二次碰撞，以此类推，二者速度会逐渐减小直至二者都趋于静止。设滑块相对小车的相对位移为，根据能量守恒 解得 即小车的长度至少为3.6m。 （3）设滑块做减速运动的时间为，对滑块， 则 小车和滑块以共同速度与墙第二次相碰，以向右为正，由动量守恒 解得 对小车，第一次碰后到二者共速的过程 得 减速时间 匀速时间 接着小车与墙第二次相碰，设小车第三次与墙相碰前和滑块的共同速度为，以右为正，由动量守恒 解得 第二次碰后到二者共速的过程 可得 减速时间 匀速时间 以此类推，小车第次与墙碰撞时小车和滑块的共同速度 总的减速时间 总的匀速时间 / 学科网（北京）股份有限公司 $$