第2章 分式（复习讲义）数学湘教版2024八年级上册

第二章 分式（复习讲义） （一）基础目标：能复述概念、规范运算——聚焦“双基”夯实 1.概念理解：能准确复述分式的定义，区分分式与整式的本质差异；能独立判断给定式子是否为分式，并说明理由。 2.条件推导：能通过逻辑推导得出分式有意义、无意义、值为零的判定条件；能准确求出特定分式中字母的取值范围。 3.性质应用：能类比分数基本性质，复述分式基本性质，并规范完成简单约分与通分运算，步骤完整、结果正确。 （二）进阶目标：会推导过程、灵活解题——强化“思维”进阶 1.运算推导：能独立推导分式四则运算规则，规范完成异分母分式加减、乘除混合运算，过程步骤清晰，能自主检查运算合理性。 2.方程求解：能理解分式方程“去分母化为整式方程”的转化思想，规范完成解分式方程的全流程；能识别增根产生的原因，并独立求出含参数分式方程中参数的值。 3.模型应用：能从生活情境中抽象出分式模型，通过设未知数、列分式方程解决实际问题；能验证解的合理性，形成“问题分析—模型构建—求解验证”的完整解题链条。 （三）扩展目标：理解本质、迁移创新——发展“高阶”能力 1.思想渗透：能领悟类比、转化、建模等数学思想，并迁移到新情境中。 2.综合探究：能综合运用分式运算、方程求解及函数思想解决复杂问题；能对分式相关结论进行简单说理。 3.创新实践：能在开放性问题中设计分式方案，并通过运算验证可行性；能关注分式与后续知识的联系，形成知识网络的初步构建意识。 知识点 重点归纳总结 常见易错点 分式（）的定义 ① A、B是整式； ② B≠0 . 分式的判断只看形式，不看化简后的结果 分式有无意义及值为0的条件 ① 有意义：B≠0； ② 无意义：B=0； ③ 值为0：A=0，且B≠0. 在化简或求值时，未考虑分母不能为0，导致结果错误 分式的基本性质 （其中A，B，C（C≠0）是整式） 分子分母未同时乘或除以同一个非零整式，或只对部分项进行操作 分式的混合运算 ① 有括号的先算括号里的； ② 没括号的按先乘方后乘除再加减的顺序计算. 运算时符号处理不当，如忽略负号的位置 分式方程 ① 解分式方程：化为整式方程求解； ② 求出的根能使整式方程成立，但对于分式方程无意义的根是增根； ③ 列分式方程解应用题的思路与一元一次方程的应用解题思路一致. 解分式方程时没有检验是否为增根；解分式方程的应用时没有检验根是否符合实际意义 题型一 分式的概念 【例1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·河南驻马店·期末）下列各式中：，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-2】（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式的有 （只填序号） 题型二 分式有无意义的条件 【例1】（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）分式无意义，则未知数取值为（ ）． A． B． C． D．或 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）当时，下列式子没有意义的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·贵州遵义·二模）当，分式无意义，则括号里的代数式可能是（    ） A． B． C．x D． 【变式1-3】（2025·湖南衡阳·三模）若分式的值不存在，则 ． 【例2】（24-25八年级上·广东汕头·期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）要使分式有意义，x的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 【变式2-2】（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）若分式总有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三 分式值为0的条件 【例1】（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列分式的取值结果可以是的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）当时，分式的值为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 【变式1-3】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 题型四 分式的基本性质 【例1】（24-25七年级下·浙江台州·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·山西运城·期末）把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．扩大为原来的2倍 【变式1-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）下列各式中，从左向右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）如果把分式中的x和y都扩大为原来的5倍后，分式的值为2，那么原分式的值为 ． 题型五 分式的混合运算 【例1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式1-1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式1-2】（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型六 分式的化简求值 【例1】（24-25八年级上·广东东莞·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1-1】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）先化简，再求值：，请你从的整数解中选取一个合适的数代入求值． 【变式1-2】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）先化简，再求值：，其中x是方程的解． 题型七 分式方程的定义 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型八 解分式方程 【例1】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）解分式方程：． 【变式1-1】（24-25八年级上·天津·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏南通·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为______； (2)关于的方程的解为______； (3)试求：关于的方程的解． 题型九 根据分式方程根的情况求参数值 【例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江台州·期末）当 时，解分式方程：会产生增根． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，则增根是 ； （2）若该方程无解，则的值是 ． 【例2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若数使关于的不等式组，至少有五个整数解，关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有的值之和是（   ） A．8 B．6 C．5 D．1 【变式2-1】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． （2）若方程的解是正数，求a的取值范围． 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【变式2-3】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知关于的分式方程． (1)若方程的解为，求的值． (2)若方程的解为非负数，求的取值范围． 题型十 分式方程的实际应用 【例1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·四川成都·期末）从成都站到重庆北站铁路里程约为320千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的1.5倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． (1)求高铁的平均速度； (2)成都市某校共有50名师生前往重庆参加春季研学活动，为了便于管理，所有人必须乘坐同一列高铁，已知高铁单程一等座位票价为280元，二等座位票价为150元，学校预计提供交通补助费单程不超过10100元，请问学校为师生最少购买多少张高铁二等座位的车票． 【变式1-2】（24-25八年级下·陕西西安·期末）“文房四宝”是中国传统书画的核心工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查得知，每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格． (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过6260元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？（无需写出具体方案） 【变式1-3】（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务 嘉嘉设______■．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程______▲． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小龙舟或制作个大龙舟，并且制作个小龙舟的天数和制作个大龙舟的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． (1)①方案中“■”处的内容为______，“▲”处的内容为______． ②彩纸每包______元，竹条每捆______元． (2)完成任务中的问题． 基础巩固通关测 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）在，，，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）若分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期末）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”． 小明的做法是：原式； 小亮的做法是：原式； 小芳的做法是：原式． 其中正确的个数有（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）甲，乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为 ． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）对于实数，定义一种新运算“”为；，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 7．（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）计算： (1)； (2)． 8．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）解方程：． （2）先化简代数式，再从，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 9．（24-25七年级上·上海·阶段练习）关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解： (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 11．（2025·河南安阳·三模）洛阳作为十三朝古都，近年来文旅融合发展成效显著．某景区纪念品商店为迎接牡丹文化节，准备采购两款特色文创产品——牡丹瓷和龙门石窟书签． (1)已知该商店用元购进牡丹瓷和用元购进龙门石窟书签的数量相同．经核算，牡丹瓷的进货单价比龙门石窟书签多元．求这两种文创产品的进货单价； (2)已知牡丹瓷的售价为每件元，龙门石窟书签的售价为每件元．由于销售火爆，该商店计划追加不超过元的预算，再次购进这两种文创产品共件．则该商店应如何安排进货数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 12．（2025·广东珠海·三模）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 能力提升进阶练 1．（24-25八年级上·天津·期末）下列等式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．分式中，都扩大倍，分式的值不变 D．无论为何值，的值总为正数 3．（2025·湖北·三模）小华一家自驾车去某地旅游，手机导航系统推荐了两条线路，线路①全程90千米，线路②全程110千米，汽车在线路②上行驶的平均时速比线路①上行驶的平均时速快50千米/时，线路②的用时预计比线路①用时少半小时．设汽车在线路①上行驶的平均速度为x千米/时，则可列出正确方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 5．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）（1）解分式方程：； （2）计算：． 7．（24-25八年级下·江西吉安·期末）化简，并选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值． 8．（24-25八年级下·山西晋城·期中）已知关于的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求的值． (2)当分式方程的解为正数时，求的取值范围． (3)当分式方程有整数解，且时，直接写出所有满足条件的整数的和． 9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； ③ (1)仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (3)已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若，请求出x、y的值． 10．（2024·江苏无锡·二模）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 11．（24-25八年级上·浙江台州·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 12．（2025·黑龙江佳木斯·一模）2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 分式（复习讲义） （一）基础目标：能复述概念、规范运算——聚焦“双基”夯实 1.概念理解：能准确复述分式的定义，区分分式与整式的本质差异；能独立判断给定式子是否为分式，并说明理由。 2.条件推导：能通过逻辑推导得出分式有意义、无意义、值为零的判定条件；能准确求出特定分式中字母的取值范围。 3.性质应用：能类比分数基本性质，复述分式基本性质，并规范完成简单约分与通分运算，步骤完整、结果正确。 （二）进阶目标：会推导过程、灵活解题——强化“思维”进阶 1.运算推导：能独立推导分式四则运算规则，规范完成异分母分式加减、乘除混合运算，过程步骤清晰，能自主检查运算合理性。 2.方程求解：能理解分式方程“去分母化为整式方程”的转化思想，规范完成解分式方程的全流程；能识别增根产生的原因，并独立求出含参数分式方程中参数的值。 3.模型应用：能从生活情境中抽象出分式模型，通过设未知数、列分式方程解决实际问题；能验证解的合理性，形成“问题分析—模型构建—求解验证”的完整解题链条。 （三）扩展目标：理解本质、迁移创新——发展“高阶”能力 1.思想渗透：能领悟类比、转化、建模等数学思想，并迁移到新情境中。 2.综合探究：能综合运用分式运算、方程求解及函数思想解决复杂问题；能对分式相关结论进行简单说理。 3.创新实践：能在开放性问题中设计分式方案，并通过运算验证可行性；能关注分式与后续知识的联系，形成知识网络的初步构建意识。 知识点 重点归纳总结 常见易错点 分式（）的定义 ① A、B是整式； ② B≠0 . 分式的判断只看形式，不看化简后的结果 分式有无意义及值为0的条件 ① 有意义：B≠0； ② 无意义：B=0； ③ 值为0：A=0，且B≠0. 在化简或求值时，未考虑分母不能为0，导致结果错误 分式的基本性质 （其中A，B，C（C≠0）是整式） 分子分母未同时乘或除以同一个非零整式，或只对部分项进行操作 分式的混合运算 ① 有括号的先算括号里的； ② 没括号的按先乘方后乘除再加减的顺序计算. 运算时符号处理不当，如忽略负号的位置 分式方程 ① 解分式方程：化为整式方程求解； ② 求出的根能使整式方程成立，但对于分式方程无意义的根是增根； ③ 列分式方程解应用题的思路与一元一次方程的应用解题思路一致. 解分式方程时没有检验是否为增根；解分式方程的应用时没有检验根是否符合实际意义 题型一 分式的概念 【例1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）下列式子中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是明确分式的概念：一般地，如果、表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式． 根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式．逐一分析各选项的分母是否含有字母即可判断． 【详解】A．：分母为数字2，不含字母，是整式中的多项式，不是分式，而是整式； B．：分母为，含有字母，符合分式的定义； C．：分母为数字3，不含字母，是整式中的单项式，不是分式； D．：分母为数字12，不含字母，是整式中的多项式，不是分式． 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·河南驻马店·期末）下列各式中：，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的式子即为分式，需逐一判断各式的分母是否含字母，即可作答． 【详解】解：分母为数字2，不含字母，是整式，不是分式； 分母为字母a，符合分式定义，是分式； 分母为，含字母x和y，是分式； 分母为数字2，不含字母，是整式，不是分式； 分母π为常数，不含字母，是整式，不是分式； 综上，分式共有2个， 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式的有 （只填序号） 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是紧扣分式定义中“分母含有字母"这一核心特征（注意是常数，不属于字母）． 明确分式定义（分母含字母）；逐个分析式子分母是否含字母（排除等常数）；确定符合分式定义的序号． 【详解】解析：分式的定义是形如（是整式，B中含有字母且）的式子． 分母含字母x，是分式； ②分母是常数（非字母），是整式； ③分母含字母x，是分式； ④是整式的和，是整式； ⑤分母含字母x、y，是分式； ⑥是单项式，是整式． 因此，是分式的有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 题型二 分式有无意义的条件 【例1】（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）分式无意义，则未知数取值为（ ）． A． B． C． D．或 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分母为即可求解，掌握分式无意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故选：． 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏南京·期末）当时，下列式子没有意义的是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，二次根式有意义的条件，当分式的分母为零或二次根式的被开方数为负数时，式子无意义，将代入各选项，逐一检验即可． 【详解】解：选项A：代入，分母为，分母为零，分式无意义，符合题意； 选项B：代入，分母为，分子为，分式值为0，有意义，不符合题意； 选项C：代入，被开方数为，根式有意义，不符合题意； 选项D：代入，分子，分母为，分式有意义，不符合题意； 综上，只有选项A在时无意义， 故选：A． 【变式1-2】（2025·贵州遵义·二模）当，分式无意义，则括号里的代数式可能是（    ） A． B． C．x D． 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分母为零分式无意义可得结论． 【详解】解：当，，， ∴括号里的代数式可能是． 故选：B． 【变式1-3】（2025·湖南衡阳·三模）若分式的值不存在，则 ． 【分析】本题考查的是分式无意义的条件，根据分式无意义，分母为0求解即可． 【详解】解：∵分式的值不存在， ∴分式中分母的值为0， ∴， ∴． 故答案为：． 【例2】（24-25八年级上·广东汕头·期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）要使分式有意义，x的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 【分析】本题考查了分式有意义，即分母不为0，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 即且， 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）若分式总有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根的判别式与解的关系成为解题的关键． 分式有意义的条件是分母不为零．即分母恒不为零，则对应的二次方程无实根，再运用根的判别式列不等式求得m的取值范围即可． 【详解】解：∵分式总有意义， ∴分母为二次函数恒不为零，， ∴方程无实数根， ∴，解得． 故选A． 题型三 分式值为0的条件 【例1】（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）下列分式的取值结果可以是的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0成为解题的关键． 根据分式的值为0的条件逐项判断即可． 【详解】解：A．分子恒为1，不可能为0，不符合题意； B．（），当分子时，分母，分式无意义，不符合题意； C．，当分子时，分母，分式值为，符合条件； D．．当分子（即）时，分母也为0，分式无意义，不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）当时，分式的值为0，则a的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，当分式的值为0时，分子必须为0且分母不为0．将代入分式，解方程并验证分母是否非零． 【详解】解：当时，原分式化为 由分式的值为0，则分子必须为0，解得，即或． 同时，分母不能为0．当时，分母，符合条件；当时，分母，分式无意义，故排除． 因此，的值为2， 故选A． 【变式1-3】（2025七年级下·全国·专题练习）（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握掌握分式无意义的条件：分母为0；分式值为0的条件：分母不为0，分子等于0是解题的关键． （1）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得且，，解之得到、，再代入求解即可； （2）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得，，解之得到、，再代入求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得且，， ∴且，， 解得，， 则． （2）当时，分式无意义， ，解得． 当时，分式的值为0， ，解得， ． 题型四 分式的基本性质 【例1】（24-25七年级下·浙江台州·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以或除以同一个非零整式，分式的值不变；将原分式的分子和分母同时乘以，即可变形为选项C的形式. 【详解】解：分子和分母同时乘以： ； 故选：C 【变式1-1】（24-25八年级下·山西运城·期末）把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．扩大为原来的2倍 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 把分式中的a、b分别用代替，再利用分式的基本性质化简即可解答． 【详解】解：，即分式的值不变． 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）下列各式中，从左向右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查分式的基本性质，即分子分母同时乘以或除以同一个非零整式，分式的值不变，逐一验证各选项是否符合该性质即可. 【详解】解：选项A：，分子分母均减去2，不符合分式基本性质（需乘除非零整式），故错误， 选项B：，分子分母均除以（时），化简后等式成立，故正确； 选项C：，左边可拆分为，与右边明显不等，故错误； 选项D：，若等式成立，需分子分母同时除以3，但常数项无法满足此操作，故错误， 综上，正确答案为B， 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）如果把分式中的x和y都扩大为原来的5倍后，分式的值为2，那么原分式的值为 ． 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的求值，根据题意可得，据此可得． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴原分式的值为， 故答案为：． 题型五 分式的混合运算 【例1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的加减运算． （1）对分母进行因式分解后，约分，即可得到结果； （2）对分子进行因式分解后，进行约分，即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-1】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟练掌握分式运算的法则是解题的关键． （）直接利用同分母分式的减法法则计算即可得到答案； （）先将第二项利用除法法则变形，约分后，再进行通分，最后根据分式的减法法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【分析】本题考查分式的乘除运算，掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． （1）先计算分式的乘方，然后将分式的除法转化为分式乘法，最后进行约分化简； （2）先将分式分子、分母进行因式分解，同时将除法转化为乘法，最后进行约分化简； 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型六 分式的化简求值 【例1】（24-25八年级上·广东东莞·期末）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题主要考查分式的混合运算及化简求值．先计算括号里的减法，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，再代入x的值进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1-1】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）先化简，再求值：，请你从的整数解中选取一个合适的数代入求值． 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， ∵，即， ∴从的整数解中选取， 将代入得：原式． 【变式1-2】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）先化简，再求值：，其中x是方程的解． 【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则化简原式，再解一元二次方程，结合分式有意义的条件得到x值，进而代值求解即可． 【详解】解： ， 由方程得， 解得，， ∵分式中，，， ∴， ∴原式． 题型七 分式方程的定义 【例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、不含有分式，不是分式方程，不符合题意； B、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； C、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； D、分母中含有x，是关于x的分式方程，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 故选：C． 题型八 解分式方程 【例1】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）解分式方程：． 【分析】本题考查了解分式方程．先确定分式方程最简公分母，然后方程两边乘最简公分母，从而将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可得解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得 ， 解得， 检验：当时， ∴是方程的解． 【变式1-1】（24-25八年级上·天津·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，特别是注意验根． （1）根据解分式方程的基本步骤解答即可； （2）根据解分式方程的基本步骤解答即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，去分母得 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，去分母得 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根，原分式方程无解． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏南通·期末）下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为______； (2)关于的方程的解为______； (3)试求：关于的方程的解． 【分析】本题考查了解分式方程． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； （2）解：猜想关于x的方程的解是，； 故答案为：，； （3）解：， 方程变形得：， 即 ∴或， 解得：或． 题型九 根据分式方程根的情况求参数值 【例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【分析】本题考查了分式方程的概念与解法、分式方程的增根以及方程的解与方程成立条件的关系，解题的关键在于识别增根，将原方程化简为整式方程进行求解．分式方程的增根是使分母为零的根，先确定增根为，然后将分式方程转化为整式方程，代入增根求解的值． 【详解】解：原方程的最简公分母为， 令分母，解得增根为． 将方程两边同乘，得， 整理，得． ， 将代入整式方程，得， 解得，， 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级下·浙江台州·期末）当 时，解分式方程：会产生增根． 【分析】本题主要考查分式方程的增根；把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出，然后再根据分式方程有增根，可得，即，由此可得，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解： 方程两边同时乘，得， 解得： ∵分式方程有增根， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，则增根是 ； （2）若该方程无解，则的值是 ． 【分析】本题主要考查分式方程的运算，理解增根，无解的含义是关键． （1）根据增根的含义“分母为零”代入计算即可； （2）①根据方程有增根时，原方程无解，代入计算即可；②根据时，原方程无解，代入计算即可． 【详解】解：（1）若该方程有增根，则，即． （2）， 移项得，， ∴， 去分母、整理得， 当方程有增根时，原方程无解，即， 解得； 当时，原方程无解，即； 综合上述得，的值为或． 故答案为：①2；②或． 【例2】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若数使关于的不等式组，至少有五个整数解，关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有的值之和是（   ） A．8 B．6 C．5 D．1 【分析】本题考查了解不等式组，分式方程，掌握解不等式的方法，取值方法，分式方程解法等知识是解题的关键． 解不等式组确定的范围，解分式方程得到的表达式，结合正整数解条件筛选的值，最后求和符合条件的． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组有解，且至少有5个整数解， ∴不等式组的解集为． ∵要求至少有五个整数解， ∴即的整数解至少为7，8，9，10，11， ∴． 方程 化简为， 解得， ∵需为正整数且， ∴为正整数且． ∴为偶数且，即且． ∴需满足，且（为正整数）． ∴符合条件的为，1，3，5， 其和为． 故选：B 【变式2-1】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． （2）若方程的解是正数，求a的取值范围． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键． （1）先解方程可得，再根据这个分式方程有增根可得或，由此即可得； （2）先解方程可得，再根据这个分式方程的解是正数可得，然后根据方程有解可得，由此即可得． 【详解】解：（1）， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵这个分式方程有增根， ∴或，即或， ∴或， 解得或， 所以的值为或6． （2）， ， 解得， ∵这个方程的解是正数， ∴， 解得， 又∵这个方程有解， ∴，即， ∴， 解得， 综上，的取值范围为且． 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 【变式2-3】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知关于的分式方程． (1)若方程的解为，求的值． (2)若方程的解为非负数，求的取值范围． 【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，解题的关键是注意分式方程隐含的分母不为零． （1）把方程的解代入方程求解即可； （2）根据分式方程的求解方法，注意分母不为零，且解为非负数的条件． 【详解】（1）解：当时，， 解得． （2）解：， 去分母得， 解得， 分式方程有解且解为非负数，且， 且， 解得且． 题型十 分式方程的实际应用 【例1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键． 设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程． 【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨． ∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为， ∴， 即． 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·四川成都·期末）从成都站到重庆北站铁路里程约为320千米．已知高铁平均速度是快车平均速度的1.5倍，乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时． (1)求高铁的平均速度； (2)成都市某校共有50名师生前往重庆参加春季研学活动，为了便于管理，所有人必须乘坐同一列高铁，已知高铁单程一等座位票价为280元，二等座位票价为150元，学校预计提供交通补助费单程不超过10100元，请问学校为师生最少购买多少张高铁二等座位的车票． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，理解题意是解题的关键． （1）设快车的平均速度为x千米/小时，则高铁平均速度为千米/小时，根据“乘坐高铁比乘坐快车所用时间少小时”列方程求解即可； （2）设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，根据“学校预计提供交通补助费单程不超过10100元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设快车的平均速度为x千米/小时，依题意，得 ， 解得， ∴（千米/小时）． 答：高铁的平均速度为240千米/小时． （2）设学校为师生购买m张高铁二等座位的车票，依题意，得 ， 解得 ， 答：学校为师生最少购买30张高铁二等座位的车票． 【变式1-2】（24-25八年级下·陕西西安·期末）“文房四宝”是中国传统书画的核心工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查得知，每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格． (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过6260元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？（无需写出具体方案） 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲型号“文房四宝”m套，则购进乙型号“文房四宝”套，根据总费用不超过6260元，并且购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； （2）解：设购进甲型号“文房四宝”m套，则购进乙型号“文房四宝”套， 由题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以取26，27，28，29，…，40，41，42， ∴共有17种购买方案． 【变式1-3】（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）“浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务 嘉嘉设______■．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程______▲． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小龙舟或制作个大龙舟，并且制作个小龙舟的天数和制作个大龙舟的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． (1)①方案中“■”处的内容为______，“▲”处的内容为______． ②彩纸每包______元，竹条每捆______元． (2)完成任务中的问题． 【分析】（）①根据题意解答即可；②利用淇淇的方法求出方程的解即可求解； （）根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：①方案中“■”处的内容是买到的竹条捆数为，“▲”处的内容为， 故答案为：买到的竹条捆数为，； ②设彩纸每包元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴彩纸每包元，竹条每捆元， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴嘉琪每天可以制作小龙舟个． 基础巩固通关测 1．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）在，，，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查分式的概念，判断一个代数式是分式还是整式的方法：如果分母中含有字母，则是分式，如果分母中不含字母，则是整式．根据分母中是否含有字母即可判断是否为分式． 【详解】解：，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式， ，，，的分母中都含有字母，因此都是分式， 则分式共有4个． 故选：D． 2．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）若分式方程有增根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握增根产生的原因并求出增根，把分式方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程是解题关键．把分式方程化为整式方程，先令分母求增根，最后把增根代入整式方程求出k． 【详解】解：， 去分母，得， ，解得， 代入整式方程得：， 解得． 故选：B． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期末）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”． 小明的做法是：原式； 小亮的做法是：原式； 小芳的做法是：原式． 其中正确的个数有（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据异分母分式加法计算法则求解即可． 【详解】解：依题意，小明做法不正确， 正确的过程如下：原式； 小亮做法不正确，分式运算不能去掉分母， 正确的过程如下：原式； 小芳的做法正确， 故选：C 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）甲，乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量工作效率工作时间．先设乙单独清点这批图书需要的时间是小时，根据“甲3小时清点完一批图书的”和“两人合作小时清点完图书”列出方程． 【详解】解：设乙单独清点这批图书需要， 根据题意，得，即 故选：A． 5．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）若分式的值为0，则x的值为 ． 【分析】此题考查的是分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件：分子为而分母不为，即可解答． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故答案为：7． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）对于实数，定义一种新运算“”为；，其中等式右边是实数运算．例如：，则方程的解是 ． 【分析】此题考查了实数的新定义运算和解分式方程．根据新定义得到，解方程并检验即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 则原分式方程的解为： 故答案为：． 7．（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． (1)先计算分式的乘方，再计算乘除，然后进行减法计算； (2)先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）解方程：． （2）先化简代数式，再从，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，解分式方程，正确掌握分式混合运算法则是解题关键． （1）先去分母化为整式方程，进而即可求解； （2）直接将括号里面通分，再利用分式的混合运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解： ， ∵， ∴当时，原式． 9．（24-25七年级上·上海·阶段练习）关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的取值范围． 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． （）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 10．（24-25八年级下·河南郑州·期末）我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解： (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【分析】本题主要考查了新定义——“十字分式方程”．熟练掌握新定义，分解因数，拆数，完全平方公式变形，是解决问题的关键． （1）根据新定义计算，即可解答； （2）根据新定义计算，即可解答； （3）根据新定义可得，由可化为，代入即可解答． 【详解】（1）解：∵为“十字分式方程”， ∴， ； 故答案为：． （2）∵为“十字分式方程”， ∴， ∴， ∴或， ∴． （3）∵“十字分式方程”的两个解分别为， ∴， ∴． 11．（2025·河南安阳·三模）洛阳作为十三朝古都，近年来文旅融合发展成效显著．某景区纪念品商店为迎接牡丹文化节，准备采购两款特色文创产品——牡丹瓷和龙门石窟书签． (1)已知该商店用元购进牡丹瓷和用元购进龙门石窟书签的数量相同．经核算，牡丹瓷的进货单价比龙门石窟书签多元．求这两种文创产品的进货单价； (2)已知牡丹瓷的售价为每件元，龙门石窟书签的售价为每件元．由于销售火爆，该商店计划追加不超过元的预算，再次购进这两种文创产品共件．则该商店应如何安排进货数量，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【分析】（）设龙门石窟书签的进货单价为元，则牡丹瓷的进货单价为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进牡丹瓷件，则购进书签件，列出不等式求出的取值范围，设利润为元，求出与的一次函数函数关系，再根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设龙门石窟书签的进货单价为元，则牡丹瓷的进货单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， 答：龙门石窟书签的进价为元，牡丹瓷的进价为元； （2）解：设购进牡丹瓷件，则购进书签件， 由题意得，， 解得， 设利润为元， 由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最大，元， 此时， 答：购进牡丹瓷件，龙门石窟书签件时，销售总利润最大，最大利润为元． 12．（2025·广东珠海·三模）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，根据这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人用时比松延动力机器人少小时建立方程求解即可． 【详解】解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：松延动力机器人的平均速度是． 能力提升进阶练 1．（24-25八年级上·天津·期末）下列等式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查分式的基本性质，需要根据分式的基本性质对每个选项进行分析判断． 【详解】解：例如，当，，时， ∴以A选项错误． 当时，的分母为，分式无意义，此时变形不成立． 所以B选项错误． 在分母位置， ， ， 分子分母同时除以，分式的值不变，即 ∴C选项正确． 当和异号时，例如，，，，此时 所以D选项错误． 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．分式中，都扩大倍，分式的值不变 D．无论为何值，的值总为正数 【分析】逐个分析选项的正确性，需要对每个选项所涉及的分式相关概念进行分析判断，包括分式有意义的条件是分母不为零、最简公分母的确定：确定几个分式的最简公分母时，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变；以及分式的正负性判断． 【详解】解：A、当时，分式有意义，故本选项说法错误，不符合题意； B、分式与的最简公分母是，故本选项说法错误，不符合题意； C、分式中，都扩大倍，分式的值扩大倍；故本选项说法错误，不符合题意； D、无论为何值，的值总为正数，说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查分式相关概念进行分析判断，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式的基本性质以及分式值的正负性判断，解题的关键是熟知分式的特点与性质． 3．（2025·湖北·三模）小华一家自驾车去某地旅游，手机导航系统推荐了两条线路，线路①全程90千米，线路②全程110千米，汽车在线路②上行驶的平均时速比线路①上行驶的平均时速快50千米/时，线路②的用时预计比线路①用时少半小时．设汽车在线路①上行驶的平均速度为x千米/时，则可列出正确方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系成为解题的关键． 设线路①的平均速度为千米/时，则线路②的平均速度为千米/时．根据线路①的时间减去线路②的时间等于半小时列出方程即可． 【详解】解：设线路①的平均速度为千米/时，则线路②的平均速度为千米/时，则线路①的时间为小时，线路②的时间为小时． 由题意可得： ． 故选A． 4．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【分析】本题考查分式方程无解问题，去分母，将方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； 方程无解，分两种情况： ①当整式方程无解时，则：，解得：； ②当分式方程有增根时，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或； 故答案为：或． 5．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，确定a的取值范围，再解分式方程，根据方程解是整数，求出a的可能取值，最后求出同时满足已知条件的a的值并求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为： ∵关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解， ∴这两个奇数解为1和3， ∴，解得： 解分式方程，解得：， ∵关于y的分式方程的解是整数， ∴是3的倍数，且，即， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数的值之和为：2． 故答案为：2． 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）（1）解分式方程：； （2）计算：． 【分析】本题考查了解分式方程，分式的混合运算，掌握解分式方程的方法，分式的混合运算顺序和法则，是解题的关键． （1）先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可； （2）根据分式混合运算法则，先计算小括号的分式减法，然后再计算分式除法即可． 【详解】解：（1）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 是分式方程的增根， 分式方程无解； （2） ． 7．（24-25八年级下·江西吉安·期末）化简，并选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值． 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键，注意求值时代入的数值要使原式有意义． 先把除法运算变成乘法运算，然后再进行化简即可，最后代入使原式有意义的数值进行计算即可． 【详解】解：， 由分式有意义可得， 当时，原式． 8.（24-25八年级下·山西晋城·期中）已知关于的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求的值． (2)当分式方程的解为正数时，求的取值范围． (3)当分式方程有整数解，且时，直接写出所有满足条件的整数的和． 【分析】本题考查了分式方程的相关知识，正确理解分式方程的增根是关键； （1）先解分式方程求出方程的根，再把增根代入即可求解； （2）根据题意可得：且，再代入方程的解，求解不等式即可； （3）先根据得到x的范围，进而得到方程的整数解，即可得出m的值，再求和即可． 【详解】（1）解：分式方程去分母得：， 整理可得：， 当分式方程有增根时，即， 则， 解得：； （2）解：根据题意可得：且， 即，且， 解得：且； （3）解：当时， ∵， ∴， 当分式方程有整数解时，， 由于当分式方程有增根时，即，故需要舍去， 当时，， 当时，， 经检验，都符合题意， ∴它们的和是． 9．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； ③ (1)仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (3)已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若，请求出x、y的值． 【分析】本题考查了分式的变形与运算，需熟练掌握分式的拆分技巧，即对分子进行凑配或因式分解等方法，同时还考查了分式的加减运算，由这一条件列方程对正整数解的分析是解决本题的关键． （1）将中的分子化为；将的分子化为使用平方差公式即可求解； （2）将中的分子化为，再使用平方差公式即可求解； （3）先将转化为，将转化为，再结合，令，，分析出a，b为正整数，分类讨论即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：∵， ， 因为， 所以， 即， 令，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M、N均为正数，x、y均为正整数， ∴a，b为正整数， ∴或或， 当时，，此时，， 当时，，此时，（舍）， 当时，，此时，（舍）， ∴综上，， ∴，， 经检验，符合题意， ∴，． 10．（2024·江苏无锡·二模）在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了列分式方程，解分式方程，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键． （1）由题意得，解分式方程即可； （2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小； （3）分类讨论，设这三个电阻，则，①当并联，则；②当并联，则；③当并联，则由得，即，因此并联，再与串联，能够使得总电阻最小， （4）同理由（2）（3）问可推导，与并联，再与串联，再与并联，最后与串联． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： （3）解：设这三个电阻，，即， ①当并联，则； ②当并联，则； ③当并联，则 由得 ∴， ∴并联，再与串联，能够使得总电阻最小， 如图： （4）解：同理，由（2）（3）问可推导按照如下图方式摆放： 11．（24-25八年级上·浙江台州·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为（）． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 12．（2025·黑龙江佳木斯·一模）2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 【分析】（1）设每个滨滨的进价为每个元，则每个妮妮的进价是元，根据题意得：，即可解得每个冰墩墩的进价140元，每个雪容融的进价为75元； （2）由题意可得，根据商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，可得，而为整数，即可得答案； （3）由，，由一次函数性质可得最大值为24050，设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个，即得，而、都为非负整数，故知捐赠的冰墩墩10个，雪容融10个． 【详解】（1）解：设滨滨每个进价为每个元，则妮妮每个进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， （元， 答：每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元； （2）解：根据题意得：， 商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮， ， 解得：， ， 而为整数， 可取347或348或349或350； 有4种购买方案； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， 时，取最大值，最大值为， 设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个， 根据题意得：， ， 、都为非负整数， ，， 答：捐赠的滨滨10个，妮妮10个． 【点睛】本题考查分式方程和一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，方程的正整数解的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式． 48 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $$