第六讲 二次根式（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第六讲 二次根式 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二次根式的概念 概念: 一般地，形如 (a ≥ 0)的式子叫做二次根式 ， a 叫做被开方数 特征: (1)必须含有二次根号“ ”，根指数 2 一般省略不写； (2)在二次根式 中，被开方数 a 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数； (3)双重非负性：二次根式 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a ≥ 0， ≥ 0 知识点02：二次根式的乘除法 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 符号表示: · =( a ≥ 0，b ≥ 0) 除法法则: 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 符号表示: = ( a ≥ 0 ，b ＞ 0) 知识点03：二次根式的性质 积的算术平方根: 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 符号表示: = · ( a ≥ 0，b ≥ 0) 商的算术平方根: 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 符号表示:= ( a ≥ 0 ，b ＞ 0) 知识点04：最简二次根式 1. 概念:一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这 样的二次根式， 叫 做最简二次根式 . 例如2 ， 。 2. 满足的条件：(1)被开方数中不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式 知识点05：二次根式的加减法 法则: 二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 步骤: (1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式； (2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式； (3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项 知识点06：二次根式的混合运算 混合运算种类 : 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算 混合运算顺序 : 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号的先算括号里面的 考点1：二次根式的定义 【典型例题】 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的定义，把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式； B、∵，∴不是二次根式； C、当时，，不是二次根式； D、∵，∴一定是二次根式． 故选：D． 【变式训练1】 下列式子中，不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的定义，熟练掌握形如的式子称为二次根式是解题的关键． 根据二次根式的定义，若被开方数为负数，则不属于二次根式．据此逐一判断即可． 【详解】解：A：，被开方数为，是负数，不符合二次根式的定义，不是二次根式．故此选项符合题意． B：，无论取何实数，，被开方数非负，属于二次根式．故此选项不符合题意． C：，被开方数为，是正数，属于二次根式．故此选项不符合题意． D：，被开方数为，是正数，属于二次根式．故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式训练2】 给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可． 【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义． ②：被开方数为，无意义，不是二次根式． ③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式． ④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式． ⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 故选B． 考点2：二次根式的混合运算 【典型例题】 下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的混合运算法则是关键，需根据运算法则逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：，计算正确，符合题意； 选项B：和不是同类二次根式，无法直接合并，且，计算错误，不符合题意； 选项C：，计算错误，不符合题意； 选项D：，计算错误，不符合题意； 故选：A． 【变式训练1】 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算． 【详解】解： 故选：B 【变式训练2】 计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 考点3：最简二次根式的定义 【典型例题】 在下列四个式子中，最简二次根式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是准确掌握该定义． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母，且分母中不含根号，逐一分析选项即可求解． 【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意， B. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意， C. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意， D.该选项被开方数为质数，无法分解为平方数的乘积，且不含分母，符合最简二次根式的定义，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式训练1】 已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件． 首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可. 【详解】解：， ， 故选：D ． 【变式训练2】 下列二次根式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的性质，同类二次根式，几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，据此进行求解即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； C、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； D、，与是同类二次根式，能合并，故本选项正确； 故选：D． 考点4：二次根式的混合运算 【典型例题】 下列算式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的加减、乘除运算以及完全平方公式的应用．对于每个选项，需要根据相应的运算法则进行计算，然后判断其正确性．本题主要考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则和完全平方公式的形式是解题的关键． 【详解】解：选项A：，此选项错误． 选项B：∵，， ∴，此选项错误． 选项C：∵ ，此选项正确， 选项D：∵，此选项错误． 故选：C． 【变式训练1】 当一个长方形的窗户的宽与高的比等于时，那么看上去就比较美观，若它的高为，则它的宽为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： ； 故选：D． 【变式训练2】 估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小估算．先对该式进行化简，再运用实数的估算方法求解． 【详解】解： ， ， ， ， 的值应在和之间， 故选：B． 一、单选题 1．下列式子中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：①被开方数的因数不含完全平方数；②分母不含根号．逐一分析选项即可． 【详解】A．被开方数含有分母，不是最简二次根式； B．被开方数5无平方因数，且无分母根号，符合最简条件； C．被开方数4是完全平方数，可化简为2，不是最简； D．被开方数为小数，需进一步有理化，不是最简． 故选B． 2．若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式有意义被开方数必须非负，即，解此不等式即可确定的取值范围． 【详解】解：要使二次根式有意义， 需满足被开方数， 即． 故选：B． 3．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，关键是根据二次根式的性质化简解答． 先根据，两点在数轴上的位置得到，再把绝对值和二次根式进行化简求解即可． 【详解】解：由图可知，， ， ． 故选：A． 4．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式被开方数为非负数，列出一元一次不等式，然后求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，， ∴， 故选：D． 5．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式，将各数化简为最简二次根式，根据被开方数相等的两个最简二次根式为同类二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、与是同类二次根式，符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不符合题意； 故选A． 6．若，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质，绝对值化简，再合并同类项即可； 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：． 7．若，，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的计算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用平方差公式将分解为，直接代入已知条件计算即可． 【详解】，， ∴ 因此，的值为． 故选：D． 8．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 9．若二次根式，则的值是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质解方程，根据二次根式的性质，表示的绝对值，即．由此可建立方程求解的值． 【详解】解：由题意得： 根据二次根式的非负性，， 因此原方程可转化为： 解得：或， 即的值为，经检验符合题意； 故选：D． 10．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质．先判断，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． 故选A． 二、填空题 11．若有意义，则能取的最小整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数列出不等式解答即可，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：若有意义，则， ∴能取的最小整数是7， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，熟练掌握计算法则是关键． 根据二次根式的除法运算法则求解即可． 【详解】 ． 故答案为：2． 13．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题属于新定义计算，根据平方根的定义解方程，掌握新的运算法则是解答本题的关键．按照题中给出的运算法则将所给式子进行变形，得到关于x的方程，然后利用平方根解方程即可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． ∴． 故答案为：． 14．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据二次根式结果的非负性求出的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查同类二次根式，解题关键是得出． 根据同类二次根式可知，两个二次根式内的式子相等，从而得出a的值． 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式 ∴ 解得： 故答案为：1． 16．定义新运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，积的乘方，合并同类项，理解定义新运算的计算方法，整式的混合运算法则是关键，根据定义新运算法则计算，结合整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 17．化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式化简求值，熟练掌握分母有理化的方法，是解题的关键．分子分母同时乘以，然后再进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 18．若，则代数式的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查非负性，二次根式的运算，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先开方和乘方，负整数指数幂的运算，然后合并同类项即可； （2）先运用平方差公式和完全平方公式计算，化简绝对值，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：， ； （2） ． 【点睛】本题考查了实数的运算，根式的化简，负整指数幂和偶次幂的运算，平方差公式和完全平方公式的运算，绝对值的性质及合并同类项等知识，正确运算是解题的关键． 20．已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，算术平方根非负性，由，则，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 21．如图，长方形中有两个正方形和，正方形的面积是，正方形的面积是． (1)求长方形的周长； (2)求长方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根的应用， （1）首先求出，，得到，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据长方形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵正方形的面积是，正方形的面积是 ∴， ∴ ∴长方形的周长； （2）∵ ∴ ∴长方形的面积． 22．阅读下列材料： ； ； ； 以上这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 回答下列问题： (1)将分母有理化后的结果为_____； (2)当为正整数时，_____； (3)计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）阅读材料，掌握分母有理化方法直接求解即可得到答案； （2）阅读材料，掌握分母有理化方法直接求解即可得到答案； （3）先由分母有理化的方法，再由有理数加减运算化简，最后由平方差公式及二次根式性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查分母有理化，涉及分母有理化、平方差公式、二次根式性质化简、二次根式加减运算等知识，理解材料中的分母有理化方法、掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版八年级数学上册 第六讲 二次根式 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二次根式的概念 概念: 一般地，形如 (a ≥ 0)的式子叫做二次根式 ， a 叫做被开方数 特征: (1)必须含有二次根号“ ”，根指数 2 一般省略不写； (2)在二次根式 中，被开方数 a 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数； (3)双重非负性：二次根式 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a ≥ 0， ≥ 0 知识点02：二次根式的乘除法 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 符号表示: · =( a ≥ 0，b ≥ 0) 除法法则: 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 符号表示: = ( a ≥ 0 ，b ＞ 0) 知识点03：二次根式的性质 积的算术平方根: 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 符号表示: = · ( a ≥ 0，b ≥ 0) 商的算术平方根: 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 符号表示:= ( a ≥ 0 ，b ＞ 0) 知识点04：最简二次根式 1. 概念:一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这 样的二次根式， 叫 做最简二次根式 . 例如2 ， 。 2. 满足的条件：(1)被开方数中不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式 知识点05：二次根式的加减法 法则: 二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 步骤: (1)“化”：将每个二次根式都化成最简二次根式； (2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式； (3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项 知识点06：二次根式的混合运算 混合运算种类 : 二次根式的加、减、乘、除、乘方(或开方)的混合运算 混合运算顺序 : 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号的先算括号里面的 考点1：二次根式的定义 【典型例题】 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列式子中，不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点2：二次根式的混合运算 【典型例题】 下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 考点3：最简二次根式的定义 【典型例题】 在下列四个式子中，最简二次根式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 下列二次根式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 考点4：二次根式的混合运算 【典型例题】 下列算式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 当一个长方形的窗户的宽与高的比等于时，那么看上去就比较美观，若它的高为，则它的宽为（   ）． A． B． C． D． 【变式训练2】 估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 一、单选题 1．下列式子中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 2．若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 4．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则可化简为（   ） A． B． C． D． 7．若，，则的值是（ ） A． B． C． D． 8．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 9．若二次根式，则的值是（   ） A． B． C．5 D． 10．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．若有意义，则能取的最小整数是 ． 12．计算： ． 13．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为，则方程的解为 ． 14．若，则的值为 ． 15．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 16．定义新运算：，则 ． 17．化简的结果是 ． 18．若，则代数式的值为 ． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 20．已知，求的值． 21．如图，长方形中有两个正方形和，正方形的面积是，正方形的面积是． (1)求长方形的周长； (2)求长方形的面积． 22．阅读下列材料： ； ； ； 以上这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 回答下列问题： (1)将分母有理化后的结果为_____； (2)当为正整数时，_____； (3)计算的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$