第5章 函数概念与性质 专题微课 函数性质的综合应用（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数单调性、奇偶性、对称性的综合应用，通过建构知识体系梳理基本性质，再过渡到比较大小、解不等式等题型，形成从基础到综合的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融通学科素养，以例题解析（如奇函数单调性比较大小）和思维建模（如解不等式策略）发展数学抽象与逻辑推理，结合数形结合（图象法分析）和分类讨论思想，题型分层助力学生掌握方法，教师使用可提升教学效率。

专题微课 函数性质的综合应用 建构知识体系 1.浸润的核心素养 奇偶性、单调性、对称性是函数最重要的三个性质,通过学习,学生利用函数图象去研究函数的性质,学会用抽象的符号语言描述函数的单调性、奇偶性及最大(小)值,发展学生的数学抽象、逻辑推理等学科素养. 融通学科素养 2.渗透的数学思想 (1)在解决与函数性质有关的问题时,常利用函数的图象来解决,即利用数形结合的思想方法,将问题化难为易、化抽象为具体. (2)如果涉及到的函数中含有参数或解题结果不能确定,需要应用分类讨论的思想方法,把整个问题划分为几个部分逐一解决,最后合并为一种结果. (3)函数、方程与不等式密切相关,相互转化,在解决函数的定义域、值域或与其有关的问题时,一般把函数问题转化为不等式、方程等来解决,即应用转化与化归、函数与方程的思想方法. CONTENTS 目录 1 2 题型(一)　利用函数单调性与 奇偶性比较大小 题型(二)　利用函数单调性与 奇偶性解不等式 CONTENTS 目录 3 题型(三)　函数奇偶性、单调性 与对称性的综合 课时检测 题型(四)　函数的新定义问题 4 5 题型(一)　利用函数单调性与 奇偶性比较大小 01 [例1]　已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x). 若a=g(-2),b=g(1),c=g(3),则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a √ 解析：法一：易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数,∴a=g(-2)=g(2), ∵奇函数f(x)在R上是增函数,且f(0)=0. ∴g(x)在(0,+∞)上单调递增.∴g(1)<g(2)<g(3),即b<a<c. 法二：(特殊化)取f(x)=x,则g(x)=x2为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,a=g(-2)=4,b=g(1)=1,c=g(3)=9,从而可得b<a<c. |思|维|建|模| 利用函数单调性与奇偶性比较大小的求解策略 (1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小. (2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小. 1.已知偶函数f(x)在(-∞,-2]上单调递增,则下列关系式成立的是 (　 ) A.f<f(-3)<f(4) B.f(-3)<f<f(4) C.f(4)<f(-3)<f D.f(4)<f<f(-3) 针对训练 √ 解析：法一：∵f(x)为偶函数,∴f(-4)=f(4).又f(x)在(-∞,-2]上单调递增,∴f(-4)<f<f(-3),即f(4)<f<f(-3). 法二：∵f(x)为偶函数,且在(-∞,-2]上单调递增,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,其图象关于y轴对称.又|4|>>|-3|,∴f(4)<f<f(-3). 题型(二)　利用函数单调性与 奇偶性解不等式 02 [例2]　已知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是 (　 ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] √ 解析：∵函数f(x)为奇函数,f(1)=-1,∴f(-1)=1.又函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,-1≤f(x-2)≤1,∴f(1)≤f(x-2)≤f(-1).∴-1≤x-2≤1.解得1≤x≤3.故选D. [例3]　设函数y=f(x+1)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数, 在区间(-∞,0)上单调递减,且图象过点(1,0),则不等式(x-1)f(x)≤0的解集为　 　　.  {x|x≤0或1<x≤2} 解析：作出f(x)的大致图象如图所示. 不等式(x-1)f(x)≤0可化为或 由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1<x≤2}. 　|思|维|建|模| 利用函数单调性与奇偶性解不等式的策略 (1)利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式; (2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,去掉不等式中的“f”,转化为简单不等式(组)求解. [提醒]　列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域. 2.已知函数f(x)是定义在区间[-a-1,2a]上的偶函数,且在区间[0,2a]上单调递增,则不等式f(x-1)<f(a)的解集为 (　 ) A.[-1,3] B.(0,2) C.(0,1)∪(2,3] D.[-1,0)∪(1,2) √ 针对训练 解析：因为函数f(x)是定义在区间[-a-1,2a]上的偶函数, 所以-a-1+2a=0,解得a=1, 故f(x-1)<f(a)可化为f(|x-1|)<f(1), 因为f(x)在区间[0,2]上单调递增,所以|x-1|<1,解得0<x<2. 3.已知奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,且f(2)=0,则不等式(x+1)f(x+1)>0的解集为 　 　　　.  (-∞,-3)∪(1,+∞) 解析：∵f(x)是奇函数且在(-∞,0)单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(2)=0,∴f(-2)=0, 当x+1>0,即x>-1时,由(x+1)f(x+1)>0,可得f(x+1)>0,即x+1>2,解得x>1; 当x+1<0,即x<-1时,由(x+1)f(x+1)>0,可得f(x+1)<0,即x+1<-2,解得x<-3. 综上,不等式(x+1)f(x+1)>0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞). 题型(三) 函数奇偶性、单调性 与对称性的综合 03 (1)①若函数y=f(x)关于直线x=a对称,则f(a-x)=f(a+x); ②若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x),则函数关于点(a,0)对称. (2)两个函数图象的对称 ①函数y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称; ②函数y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称; ③函数y=f(x)与y=-f(-x)关于原点轴对称. [例4]　已知定义域为R的函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,且f(x+1)为偶函数,若f(3)=1,则不等式f(2x+1)<1的解集为 (　 ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) √ 解析：∵f(x+1)是偶函数,∴f(1-x)=f(1+x). 故f(x)的图象关于直线x=1对称. 又f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴f(x)在(-∞,1)上单调递减. ∵f(3)=1,∴f(-1)=f(3)=1. ∴f(2x+1)<1⇔-1<2x+1<3. 解得-1<x<1.故选A. 　|思|维|建|模| 解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法 图象法 根据题意,作出符合要求的草图,便可得出结论 性质法 根据对称性、单调性和奇偶性的性质,逐步推导解决求值和比较大小的问题 针对训练 4.若函数y=f(x)在(0,2)上单调递增,函数y=f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是 (　 ) A.f(1)<f<f B.f<f(1)<f C.f<f<f(1) D.f<f(1)<f √ 解析：∵y=f(x+2)是偶函数,∴f(2-x)=f(2+x).故y=f(x)的图象关于直线x=2对称.∴f=f,f=f.又f(x)在(0,2)上单调递增,<1<,∴f<f(1)<f,即f<f(1)<f. 题型(四)　函数的新定义问题 04 [例5]　定义函数f(x)=x-[x]为实数x的小数部分，[x]为不超过x的最大整数，下列结论正确的为 (　　) A.f(x)的最小值为0，最大值为1 B.f(x)在R上为增函数 C.f(x)是奇函数 D.f(x)满足f(x+1)=f(x) √ [解析]　由题意得∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x<k+1，此时f(x)=x-[x]=x-k，当k+1≤x+1<k+2，f(x+1)=x+1-[x+1]=x-k，所以f(x+1)=f(x)，故D正确.其图象如图所示； 由图可知f(x)的值域为[0，1)，故A错误；由图可知f(x)在R上没有单调性，故B错误；由图可知f(x)不是奇函数，故C错误. |思|维|建|模|　解决函数“新定义”问题的策略 理解新函 数的定义 深刻理解题目中新函数的定义,新函数所具有的性质或满足的条件,将定义、性质等与所求之间建立联系 转化 将题目中的新函数与已学函数联系起来,仔细阅读已知条件进行分析,通过类比已学函数的性质、图象解决问题,或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式 代入 特殊值 如果新函数的某一性质对某些数值恒成立,可以通过代入特殊值,得到特殊函数值甚至函数解析式,从而解决问题 5.(多选)若函数f(x)同时满足： ①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0; ②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有<0,则称函数f(x)为“理想函数”. 下列函数中的“理想函数”有(　 ) 针对训练 A.f(x)= B.f(x)=x2 C.f(x)= D.f(x)=- √ √ 解析：①要求函数f(x)为奇函数,②要求函数f(x)为减函数.A中的函数是奇函数但在整个定义域上不是减函数,B中的函数是偶函数而且也不是减函数,C和D中的函数既是奇函数又是减函数. 6.(多选)设函数y=f(x)的定义域为R,对于任意给定的正数m,定义函数fm(x)=若函数f(x)=-x2+2x+11,则下列结论正确的是(　 ) A.f3(3)=3 B.f3(x)的值域为[3,12] C.f3(x)的单调递增区间为[-2,1] D.f3(x+1)为偶函数 √ √ √ 解析：因为等式-x2+2x+11=3的解为x=4或x=-2,所以-x2+2x+11≥3的解集为-2≤x≤4,-x2+2x+11<3的解集为x<-2或x>4. 所以f3(x)= 对于A选项,f3(3)=-9+6+11=8,故错误;对于B选项,当-2≤x≤4时,f3(x)=-x2+2x+11=-(x-1)2+12∈[3,12], 当x∈(-∞,-2)∪(4,+∞)时,f3(x)=3,所以f3(x)的值域为[3,12],故正确;对于C选项,当-2≤x≤4时,f3(x)=-x2+2x+11=-(x-1)2+12在区间[-2,1]上单调递增,当x<-2或x>4时,函数为常数函数,所以f3(x)的单调递增区间为[-2,1],故正确;对于D选项,函数f3(x)图象关于x=1对称,其图象向左平移一个单位得到f3(x+1)的图象,此时f3(x+1)的图象关于x=0对称,即关于y轴对称.故f3(x+1)为偶函数,故正确.故选B、C、D. 课时检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.下列函数，既是奇函数又是增函数的为 (　 ) A.y=x+1 B.y=-x3 C.y= D.y=x|x| √ 解析：A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除；只有D符合题意，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若函数y=f(x)是奇函数，且函数F(x)=af(x)+bx+2在(0，+∞)上有最大值8，则函数y=F(x)在(-∞，0)上有 (　 ) A.最大值-8 B.最小值-8 C.最小值-6 D.最小值-4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：∵y=f(x)和y=x都是奇函数，∴T(x)=af(x)+bx也为奇函数.又∵F(x) =af(x)+bx+2在(0，+∞)上有最大值8，∴T(x)=af(x)+bx在(0，+∞)上有最大值6.∴T(x)=af(x)+bx在(-∞，0)上有最小值-6.∴F(x)=af(x)+bx+2在(-∞，0)上有最小值-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=2-f(x).若f(x)的图象关于直线x=3对称，则下列选项中一定成立的是 (　 ) A.f(-3)=1 B.f(0)=0 C.f(3)=2 D.f(5)=-1 √ 解析：函数f(x)的图象关于直线x=3对称，则必有f(3-x)=f(x+3)，所以，f(0)=f(6)，f(1)=f(5)，f(2)=f(4)，又因为f(x)满足f(2-x)=2-f(x)，取x=1，所以，f(1)=2-f(1)，f(1)=1，则f(1)=f(5)=1，取x=5，则f(-3)=2-f(5)=1，A对. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x+1)+f(1)≥0的解集是 (　 ) A.(-∞，1) B.(-1，+∞) C.[-1，+∞) D.(-∞，1] 解析：因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x+1)+f(1)≥0等价于f(2x+1)≥f(-1).又当x≥0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上为增函数.所以f(2x+1)≥f(-1)等价于2x+1≥-1，解得x≥-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5.(多选)已知函数f(x)是奇函数，在(0，+∞)上单调递减，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[-3，4]，则在区间[-b，-a]上 (　 ) A.有最大值4 B.有最小值-4 C.有最大值3 D.有最小值-3 √ 解析：法一：根据题意作出y=f(x)的简图，由图知，选B、C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二：当x∈[-b，-a]时，-x∈[a，b]，由题意得f(b)≤f(-x)≤f(a)，即-3≤-f(x)≤4，所以-4≤f(x)≤3，即在区间[-b，-a]上f(x)min=-4，f(x)max=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 6.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)=f(4-x)，当-2≤x<0时，f(x)=，则f等于(　 ) A.-2 B.- C. D.2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：∵f(x)=f(4-x)，∴f(x)的图象关于直线x=2对称.∴f=f. 又函数f(x)为奇函数，∴f=-f=-(-2)=2，即f=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)1837年，德国数学家狄利克雷第一个引入了现代函数概念：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：D(x)=(Q表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是(　 ) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 A.D(x)是偶函数 B.∀x∈R，D(D(x))=1 C.对于任意的有理数t，都有D(x+t)=D(x) D.不存在三个点A(x1，D(x1))，B(x2，D(x2))，C(x3，D(x3))，使△ABC为正三角形 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由D(x)定义知，定义域关于原点对称，若x∈Q，则-x∈Q，若x∈∁RQ，则-x∈∁RQ，即有D(-x)=D(x)，故D(x)是偶函数，A正确；由解析式知，∀x∈R，D(x)=1或D(x)=0，即D(D(x))=1，B正确；任意的有理数t，当x∈Q时，x+t∈Q即D(x+t)=D(x)，当x∈∁RQ时，x+t∈∁RQ即D(x+t)=D(x)，C正确；若存在△ABC为正三角形，则其高为1，边长为，所以当A，B(0，1)，C时成立，存在满足题意的三个点，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知偶函数f(x)在(0，+∞)内的最小值为2 026，则f(x)在(-∞，0)上的最小值为_______.  2 026 解析：因为偶函数的图象关于y轴对称，所以f(x)在对称区间内的最值相等.又当x∈(0，+∞)时，f(x)min=2 026，故当x∈(-∞，0)时，f(x)min =2 026. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)若f(x)是R上的偶函数，且在上单调递减，则函数f(x)的解析式可以为f(x)=________________.  -x2(答案不唯一) 解析：若f(x)=-x2，则f(-x)=-(-x)2=-x2=f(x)，故f(x)为偶函数，且易知f(x)在(0，+∞)上单调递减，故f(x)在上单调递减，符合条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m，n使得h(x)=mf(x)+ng(x)，那么称h(x)为f(x)，g(x)在R上生成的函数.设f(x)=x2+x，g(x)=x+2，若h(x)为f(x)，g(x)在R上生成的一个偶函数，且h(1)=3，则函数h(x)=_______.  -3x2+6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意，得h(x)=mf(x)+ng(x)=m(x2+x)+n(x+2)=mx2+(m+n)x+2n. 因为h(x)为偶函数，所以m+n=0　①. 又h(1)=3，所以m+m+n+2n=3　②. 联立①②，解得m=-3，n=3.所以h(x)=-3x2+6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知函数y=f(x)为奇函数，g(x)=，若f(x)与g(x)图象仅有四个交点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则y1+y2+y3+y4=_____. 0 解析：函数g(x)=的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，又g(-x)==-=-g(x)，所以函数g(x)是定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)的奇函数，所以g(x)的图象关于原点对称，又函数y=f(x)为奇函数，即f(x)的图象也关于原点对称，所以它们的四个交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)分为两组关于原点中心对称，所以y1+y2+y3+y4=2×0+2×0=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)设奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(1)=0，求不等式<0的解集为____________________.  (-∞，-1)∪(1，+∞) 解析：∵f(x)为奇函数，<0，∴<0. ∵f(x)在(0，+∞)上单调递减且f(1)=0， ∴当x>1时，f(x)<0，<0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∵奇函数的图象关于原点对称， ∴在(-∞，0)上f(x)单调递减且f(-1)=0. ∴当x<-1时，f(x)>0，<0. 综上，不等式的解集为(-∞，-1)∪(1，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a+b≠0时，都有>0. (1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(4分) 解：因为a>b，所以a-b>0. 由题意得>0，所以f(a)+f(-b)>0. 又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-b)=-f(b)，所以f(a)-f(b)>0，即f(a)>f(b). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0，求实数m的取值范围.(6分) 解：由(1)知f(x)为R上的增函数，因为f(1+m)+f(3-2m)≥0， 所以f(1+m)≥-f(3-2m)， 即f(1+m)≥f(2m-3).所以1+m≥2m-3， 即m≤4.所以实数m的取值范围为(-∞，4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)由于函数y=x+(k>0)的图象形状如勾，因此我们称形如“y=x+(k>0)”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增. (1)已知函数f(x)=2x+-6，x∈[1，4]，利用题干性质，求函数f(x)的单调区间和值域；(6分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：函数f(x)=2x+-6，x∈[1，4]，令2x-1=t∈[1，7]，则y=t+-5， 由对勾函数性质知，函数y=t+-5在[1，2]上单调递减，在[2，7]上单调递增， 而t=2x-1在[1，7]上单调递增，又当t∈[1，2]时，x∈， 当t∈[2，7]时，x∈， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 因此f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)min=f=-1，f(1)=0，f(4)=，所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是，值域是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若对于∀x∈[1，+∞)，都有g(x)=≥m恒成立，求m的取值范围.(9分) 解：当x∈[1，+∞)时， g(x)==(x+1)++2， 令x+1=u∈[2，+∞)，显然函数y=u++2在[2，+∞)上单调递增， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则当u=2时，ymin=5，于是当x=1时，g(x)取得最小值5， 因为对∀x∈[1，+∞)，都有g(x)≥m恒成立， 则m≤5， 所以m的取值范围是(-∞，5]. 本课结束 $$