3.3.2 第1课时 一元二次不等式及其解法（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式及其解法，通过“课前预知教材·自主落实基础”引导学生先掌握概念及二次函数、方程、不等式的对应关系，课堂采用梯度进阶式教学，从不含参数到含参数再到三者关系题型，搭建学习支架帮助学生逐步深化理解。 其亮点是梯度进阶设计与思维建模总结，通过例3解集反推系数等实例，培养数学思维的逻辑推理和数学眼光的联系观察，规范数学语言表达。学生能提升解题能力和思维品质，教师可借助清晰结构高效开展教学。

3.3.2 从函数观点看一元二次不等式 一元二次不等式及其解法 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 第1课时 课时目标 1.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 1.一元二次不等式的概念 定义 只含有一个________,并且未知数最高次数是___的整式不等式叫作一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0 未知数 2 |微|点|助|解| 　 　　一元二次不等式的二次项系数a有a>0或a<0两种情况,注意a≠0.当a<0时,我们通常将不等式两边同乘以-1,化为二次项系数大于0的一元二次不等式,但要注意不等号要改变方向,这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 方程ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=______ 没有实数根 - 二次函数y=ax2+bx+c的图象 ax2+bx+c>0的解集 _________________ ____________ R ax2+bx+c<0的解集 (x1,x2) _____ ____ 续表 (-∞,x1)∪(x2,+∞) ∪ ∅ ∅ 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)不等式ax2+x-1<0是一元二次不等式.(　 ) (2)不等式x2-5y<0是一元二次不等式.(　 ) (3)不等式-x2-2x+3>0是一元二次不等式.(　 ) × × √ 2.不等式3x2-2x+1>0的解集为 (　 ) A. B. C.∅ D.R √ 解析：因为Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0,所以不等式3x2-2x+1>0的解集为R. 3.不等式3+5x-2x2≤0的解集为 (　 ) A.∪(3,+∞) 　　　B. C. 　　　D.R √ 解析：3+5x-2x2≤0⇒2x2-5x-3≥0⇒(x-3)(2x+1)≥0⇒x≥3或x≤-. 4.若关于x的不等式-x2+4x>2mx的解集为{x|0<x<2},则实数m的值为 (　 ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 √ 解析：根据题意x=0和x=2是方程-x2+4x=2mx的实数根,所以-4+8=4m,解得m=1.故选B. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　不含参数的一元二次不等式的解法 [例1]　解下列不等式: (1)-2x2+x-6<0; 图1 解：原不等式可化为2x2-x+6>0. 因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0, 所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上, 与x轴无交点(如图1所示). 观察图象可得,原不等式的解集为R. (2)-x2+6x-9≥0; 图2 解：原不等式可化为x2-6x+9≤0,即(x-3)2≤0, 函数y=(x-3)2的图象如图2所示, 根据图象可得,原不等式的解集为{3}. (3)x2-2x-3>0. 图3 解：方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1,x2=3. 函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线, 与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0),如图3所示. 观察图象可得不等式的解集为{x|x<-1或x>3}. 　|思|维|建|模| 解一元二次不等式的一般方法和步骤 针对训练 1.不等式-2x2+x+3<0的解集是 (　 ) A.{x|x<-1} B. C. D. √ 解析：不等式-2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0,因为Δ=(-1)2-4×2×(-3)= 25>0,所以方程2x2-x-3=0的两根为x1=-1,x2=,又二次函数y=2x2-x-3的图象开口向上,所以不等式-2x2+x+3<0的解集是,故选D. 解：原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2-3x+2>0,即(x-1)(x-2)>0,解得x>2或x<1. 不等式②可化为x2-3x-10≤0, 即(x-5)(x+2)≤0,解得-2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|-2≤x<1或2<x≤5}. 2.解不等式-2<x2-3x≤10. 解：原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0. ①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1. ②当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0, 解得x≥或x≤-1. 题型(二)　含参数的一元二次不等式的解法 [例2]　解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(x∈R). ③当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0. 当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤; 当=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意; 当<-1,即-2<a<0时,解得≤x≤-1. 综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1}; 当a>0时,不等式的解集为; 当-2<a<0时,不等式的解集为; 当a=-2时,不等式的解集为{-1}; 当a<-2时,不等式的解集为. |思|维|建|模|　解含参数的一元二次不等式的步骤 讨论二次项系数 二次项系数若含有参数,应讨论是小于0,还是大于0,若小于0,则将不等式转化为二次项系数为正的形式 判断方程根的个数 判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的关系 写出解集 确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式 [提醒]　对应方程的根优先考虑用因式分解确定,分解不开时再求判别式Δ,用求根公式计算 针对训练 解：原不等式可化为[x-(a+1)][x-2(a-1)]>0, 讨论a+1与2(a-1)的大小. 3.解关于x的不等式x2-(3a-1)x+(2a2-2)>0. ①当a+1>2(a-1),即a<3时,不等式的解为x>a+1或x<2(a-1). ②当a+1=2(a-1),即a=3时,不等式的解为x≠4. ③当a+1<2(a-1),即a>3时,不等式的解为x>2(a-1)或x<a+1. 综上,当a<3时,不等式的解集为{x|x>a+1或x<2(a-1)}, 当a=3时,不等式的解集为{x|x≠4}, 当a>3时,不等式的解集为{x|x>2(a-1)或x<a+1}. 题型(三)　三个“二次”之间的关系 解：由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可知=-5,=6. [例3]　已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集. 由a<0知c<0,=-, 故不等式cx2+bx+a<0,即x2+x+>0, 即x2-x+>0,解得x<或x>,所以不等式cx2+bx+a<0的解集为. 变式拓展 解：由根与系数的关系知=-5,=6且a<0. ∴c<0,=-,故不等式cx2-bx+a>0,即x2-x+<0, 即x2+x+<0,解得-<x<-, 故不等式cx2-bx+a>0的解集为. 若本例中条件不变,求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集. 　|思|维|建|模| 应用三个“二次”之间的关系解题的思想 一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系,即给出了一元二次不等式的解集,则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换. 针对训练 4.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4},则下列说法正确的是 (　 ) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集为{x|x>-12} C.不等式cx2-bx+a<0的解集为 D.a+b+c>0 √ √ 解析：因为不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4},所以a>0,A正确;方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-3,x2=4,由根与系数的关系得 即b=-a,c=-12a,bx+c>0等价于-ax-12a>0,所以x<-12, B错误;不等式cx2-bx+a<0等价于-12ax2+ax+a<0,即12x2-x-1>0,解得x<-或x>,C正确;因为b=-a,c=-12a,所以a+b+c=-12a<0,D错误. 5.若关于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集为{x|0<x<n},则实数n的值为_____.  2 解析：∵关于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集为{x|0<x<n},∴x=0是方程(x+1)(x-3)=m的解,∴m=-3.∴原不等式为(x+1)(x-3)<-3,即x2-2x<0,解得0<x<2.故不等式的解集为{x|0<x<2},∴n=2. 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式 ax2+bx+c>0的解集是 (　 ) A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1} C.{x|-2≤x≤1} D.{x|x≤-2或x≥1} √ 解析：由二次函数图象知ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N={x|x2-x-6≥0}，则M∩N= (　 ) A.{-2，-1，0，1} B.{0，1，2} C.{-2} D.{2} √ 解析：因为N={x|x2-x-6≥0}={x|x≥3或x≤-2}，所以M∩N={-2}， 故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 3.不等式4+3x-x2<0的解集为 (　 ) A.{x|-1<x<4} B.{x|x>4或x<-1} C.{x|x>1或x<-4} D.{x|-4<x<1} √ 解析：不等式4+3x-x2<0可化为x2-3x-4>0，即(x+1)(x-4)>0，解得x>4或x<-1. 故不等式的解集为{x|x>4或x<-1}. 故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 4.设m+n>0，则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　 ) A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m<x<n} 解析：方程(m-x)(n+x)=0的两根为m，-n，因为m+n>0，所以m>-n， 结合函数y=(m-x)·(n+x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|-n<x<m}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 5.若不等式ax2+5x-2>0的解集是，则a的值为 (　 ) A.- B.2 C.-2 D. 解析：因为不等式ax2+5x-2>0的解集为，所以，2为方程ax2+5x-2=0的两根，所以根据根与系数的关系可得×2=-，所以a=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 6.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2-x1=15，则a= (　 ) A. B. C. D. 解析：由条件知x1，x2为方程x2-2ax-8a2=0的两根，则x1+x2=2a，x1x2=-8a2，故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152， 解得a=，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 7.若关于x的不等式x2-(m+3)x+3m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为 (　 ) A.(6，7] B.[-1，0) C.[-1，0)∪(6，7] D.[-1，7] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 解析：不等式x2-(m+3)x+3m<0，即(x-3)·(x-m)<0.当m>3时，不等式解集为(3，m)，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故6<m≤7;当m=3时，不等式解集为∅，此时不符合题意;当m<3时，不等式解集为(m，3)，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故-1≤m<0.故实数m的取值范围为[-1，0)∪(6，7]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 16 8.已知函数y=x2+ax+b(a，b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式 x2+ax+b<c的解集为{x|m<x<m+4}，则实数c的值为 (　 ) A.9 B.8 C.6 D.4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 解析：∵函数y=x2+ax+b(a，b∈R)的最小值为0，∴=0.∴b=. ∴函数y=x2+ax+b=x2+ax+=，其图象的对称轴为x=-. ∵不等式x2+ax+b<c的解集为{x|m<x<m+4}，∴方程x2+ax+-c=0的根为m，m+4.∴m+m+4=-a，解得m=.∴m+=-2.又∵m2+am+-c=0，∴c=m2+am+==4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 √ 9.(多选)已知函数y=ax2+bx-3，则下列结论正确的是 (　 ) A.关于x的不等式ax2+bx-3<0的解集可以是{x|x>3} B.关于x的不等式ax2+bx-3>0的解集可以是∅ C.函数y=ax2+bx-3的图象与x轴正半轴可以有两个交点 D.“关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a>0” √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 解析：若不等式ax2+bx-3<0的解集是{x|x>3}，则a=0且3b-3=0，得b=1，而当a=0，b=1时，不等式ax2+bx-3<0，即x-3<0，得x<3，与x>3矛盾，故A错误.取a=-1，b=0，此时不等式-x2-3>0的解集为∅，故B正确.函数y=ax2+bx-3的图象与x轴正半轴可以有两个交点，即ax2+bx-3=0可以有2个正根，取a=-1，b=4，则由y=-x2+4x-3=0，得x=1或3，故C正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 若关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根，则得a>0.若a>0，则Δ=b2+12a>0，故关于x的方程ax2+bx-3=0有两个不等的实根x1，x2，且x1x2=-<0，即关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根.因此“关于x的方程ax2+bx-3=0有一个正根和一个负根”的充要条件是“a>0”，故D正确.故选B、C、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 10.(5分)不等式x2-4x+4>0的解集是　 　　.  {x|x≠2} 解析：原不等式可化为(x-2)2>0，所以x≠2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 11.(5分)若0<a<1，则不等式(a-x)>0的解集是_______________.  解析：原不等式等价于(x-a)<0，由0<a<1，得a<， 所以a<x<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 12.(5分)关于x的不等式ax-b<0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是____________.  {x|-1<x<3} 解析：因为关于x的不等式ax-b<0的解集是{x|x>1}，所以不等式ax<b的解集是{x|x>1}，所以a=b<0，所以不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)·(x-3)<0，解得-1<x<3，所以该不等式的解集是{x|-1<x<3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 13.(5分)已知集合A={-5，-1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________________________. (x+4)(x-6)>0(答案不唯一) 解析：因为不等式(x+4)(x-6)>0的解集为{x|x>6或x<-4}，解集中只有-5在集合A中，所以符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 14.(10分)解下列不等式： (1)2+3x-2x2>0;(4分) 解：原不等式可化为2x2-3x-2<0， 所以(2x+1)(x-2)<0，解得-<x<2， 故原不等式的解集是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (2)x(3-x)≤x(x+2)-1;(3分) 解：原不等式可化为2x2-x-1≥0， 所以(2x+1)(x-1)≥0，解得x≤-或x≥1， 故原不等式的解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (3)x2-2x+3>0.(3分) 解：因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0， 所以原不等式的解集是R. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 15.(10分)解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R). 解：原不等式可化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a，x2=-a. ①当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②当a=0时，原不等式化为x2<0，解集为∅; ③当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 综上，当a>0时，不等式的解集为{x|-a<x<2a}; 当a=0时，不等式的解集为∅; 当a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 16.(10分)已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为. (1)求a，c的值;(4分) 解：由题意知，不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为和， 由根与系数的关系，得 解得a=-6，c=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 解：由a=-6，c=-1知不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0， 即3x2-4x+1≤0，解得≤x≤1， 所以不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0的解集为. (2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.(6分) 本课结束 $$