3.3.1 从函数观点看一元二次方程（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦“从函数观点看一元二次方程”，通过二次函数零点概念切入，衔接一元二次方程解法，以“逐点理清”结构搭建学习支架，帮助学生建立函数图象、方程根与零点的内在联系。 其亮点在于以“数学眼光”结合函数图象直观分析零点存在性，“数学思维”通过判别式、根与系数关系推理参数范围，“数学语言”规范解题步骤。采用“逐点理清+微点练明”模式，如零点个数判断、参数范围典例，助力学生深化理解，也为教师提供清晰教学路径。

3.3 从函数观点看一元二次方程 和一元二次不等式 3.3.1 从函数观点看一元二次方程 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及个数. 2.了解函数的零点与方程根的关系.通过函数图象理解二次函数的概念. 3.能利用二次函数的图象和性质解决与二次函数零点有关的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　一元二次函数的零点 逐点清(二)　一元二次函数图象、 方程的根与函数零点之间的关系 逐点清(三)　由二次函数的零点求 参数的范围 4 课时检测 逐点清(一)　一元二次函数的零点 01 多维理解 一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值取零时_____________的值,即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的__________,也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的______. 自变量x 横坐标 零点 1.二次函数y=2x2+x-1的零点是 (　 ) A.,-1 B.-,1 C.,(1,0) D.,(-1,0) 微点练明 √ 解析：二次函数y=2x2+x-1的零点就是2x2+x-1=0的解,解得x=或x=-1. 2.二次函数y=2x2+bx-3(b∈R)的零点个数是 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.4 √ 解析：因为Δ=b2+24>0,所以二次函数y=2x2+bx-3(b∈R)有2个零点. 3.若函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,则其另一个零点为____.  -3 解析：法一:因为函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,将(1,0)代入得a+2a+3=0,解得a=-1.所以y=-x2-2x+3.令-x2-2x+3=0,解得x1=1,x2=-3,所以函数的另一个零点为-3. 法二:由函数y=ax2+2ax+3(a≠0)的一个零点为1,可得方程ax2+2ax+3=0(a≠0)的一个根为1,根据根与系数的关系可得x1+x2=-=-2,所以另一个根为-3.故函数的另一个零点为-3. 4.若函数y=x2+ax+1有两个不同的零点,则实数a的取值范围为____________________.  (-∞,-2)∪(2,+∞) 解析：因为函数y=x2+ax+1有两个不同的零点,所以方程x2+ax+1=0有两个不同的实数根.所以Δ=a2-4>0,解得a<-2或a>2. 逐点清(二)　一元二次函数图象、 方程的根与函数零点之间的关系 02 多维理解 当a>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根、二次函数y=ax2+bx+c的图象、二次函数y=ax2+bx+c的零点之间的关系如下: 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 方程ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根x1,2= 有两个相等的 实数根x1=x2=_____ 没有 实数根 - 续表 二次函数y=ax2+bx+c的图象 二次函数y=ax2+bx+c的零点 有两个零点 ______________ 有一个零点 __________ 无零点 x=- x1,2= |微|点|助|解| 　 求一元二次方程的根需注意 (1)首先要把方程变成一般形式. (2)注意方程有实根的前提条件是Δ=b2-4ac≥0. (3)注意a,b,c应包含各自的符号. (4)注意一元二次方程如果有根,应有两个,需要注意方程的根与方程的解的区别. 微点练明 √ 1.关于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是 (　 ) A.两个不等的实数根 B.两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 解析：∵x2+x+1=0,∴Δ=12-4×1×1=-3<0,∴该方程无实数根. 2.已知方程x2-4x+1=0的两根为x1和x2,则=_____.  14 解析：方程x2-4x+1=0的两根为x1和x2,则x1+x2=4,x1x2=1,则= (x1+x2)2-2x1x2=16-2=14. 3.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值; 解：根据题意,得Δ=(2m+1)2-4(m2-2)≥0, 解得m≥-,∴m的最小整数值为-2. (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值. 解：根据题意,得x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-2.∵(x1-x2)2+m2=21, ∴(x1+x2)2-4x1x2+m2 =(2m+1)2-4(m2-2)+m2=21. 整理得m2+4m-12=0,解得m1=2,m2=-6. ∵m≥-,∴m的值为2. 逐点清(三)　由二次函数的零点 求参数的范围 03 [典例]　函数y=x2-5x+1-m的两个零点均大于2,则实数m的取值范围是 (　 ) A. B.(-∞,5) C. D. √ 解析：设函数的两个零点分别为x1,x2,因为函数y=x2-5x+1-m的两个零点均大于2,所以方程x2-5x+1-m=0有两个不相等的根且两根均大于2,则x1-2>0,x2-2>0, 所以即 解得-<m<-5,所以实数m的取值范围是. |思|维|建|模| 由二次函数的零点分布求参数范围的问题, 一般要结合对应一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系,列出不等式组进行求解,或者结合二次函数图象,得出开口方向、 对称轴、 判别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数),列出不等式组进行求解.函数有两个零点说明函数图象与x轴有两个交点. 针对训练 已知方程ax2+2x+1=0至少有一个负根,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(0,1] B.(-∞,1) C.(-∞,1] D.(-∞,0)∪(0,1] √ 解析：当a>0时,由Δ=4-4a≥0,解得0<a≤1,x1+x2=-<0,x1x2=>0,此时方程有两个负数根,符合题意;当a=0时,方程的根为x=-,符合题意;当a<0时,Δ=4-4a>0,x1+x2=->0,x1x2=<0,此时方程有一个正数根和一个负数根,符合题意.所以实数a的取值范围是(-∞,1]. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.一元二次方程2x2+px+q=0的两根为-1和2，那么二次三项式2x2+px+q可分解为 (　 ) A.(x+1)(x-2) B.(2x+1)(x-2) C.2(x-1)(x+2) D.2(x+1)(x-2) 解析：∵一元二次方程2x2+px+q=0的两根为-1和2，∴2(x+1)(x-2)=0，∴2x2+px+q可分解为2(x+1)(x-2). 故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.从-1，0，3，5，7五个数中任意选取一个数，记为m，则使二次函数y=mx2+6x+2与x轴有交点时的m的值有 (　 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：因为是二次函数，所以m≠0.又因为二次函数图象与x轴有交点，故Δ=36-8m≥0，即m≤，且m≠0.所以满足要求的m的值有2个. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.不解方程，判断关于x的方程2x2-(2m+1)x+(m2+1)=0的解集情况是 (　 ) A.∅ B.非空集 C.单元素集合 D.二元集 解析：由判别式Δ=(2m+1)2-8(m2+1)=-4m2+4m-7=-(2m-1)2-6<0得方程的解集为空集.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.若非零实数a，b，c满足9a-3b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx +c=0有一个根为 (　 ) A.3 B.-3 C.0 D.无法确定 解析：把x=-3代入方程ax2+bx+c=0，得9a-3b+c=0，即方程一定有一个根为x=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.若函数y=x2-4x+2m没有零点，则m的取值范围为 (　 ) A.(-∞，4) B.(2，+∞) C.(6，+∞) D.(-∞，8) 解析：由题意知，Δ=16-8m<0，解得m>2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 6.已知α，β是方程x2-2x-4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为 (　 ) A.-1 B.2 C.22 D.30 解析：∵α是方程x2-2x-4=0的实根，∴α2-2α-4=0，即α2=2α+4，∴α3=2α2+4α=2(2α+4)+4α=8α+8，∴原式=8α+8+8β+6=8(α+β)+14，∵α，β是方程x2-2x-4=0的两实根，∴α+β=2，∴原式=8×2+14=30，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.(多选)关于函数y=mx2-4x-m+5的零点，以下说法正确的是 (　 ) A.当m=0时，该函数只有一个零点 B.当m=1时，该函数只有一个零点 C.当m=-1时，该函数没有零点 D.当m=2时，该函数有两个零点 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：当m=0时，函数y=-4x+5，令-4x+5=0，解得x=，此时方程只有一个实数根，即函数只有一个零点，A正确;当m=1时，函数y=x2-4x+4，令x2-4x+4=0，因为Δ=(-4)2-4×1×4=0，所以方程有两个相等的实数根，即函数只有一个零点，B正确;当m=-1时，函数y=-x2-4x+6，令-x2-4x+ 6=0，因为Δ=(-4)2-4×(-1)×6>0，所以方程有两个不相等的实数根，即函数有两个零点，C错误;当m=2时，函数y=2x2-4x+3，令2x2-4x+3=0，因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0，所以方程无实数根，即函数无零点，D错误.故选A、B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 8.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 (　 ) A.a=c B.a=b C.b=c D.a=b=c 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=0.又a+b+c=0，即b=-a-c， 代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化简得(a-c)2=0，所以a=c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)设x1，x2是函数y=5x2-3x-2的两个零点，则+的值为______. 解析：因为x1，x2是函数y=5x2-3x-2的两个零点，则x1，x2是方程5x2-3x-2=0的两个实数根，所以x1+x2=，x1x2=-.所以+===-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)若函数y=2x2-3x-7的两个零点为a，b，则a2+b2=______.  解析：因为函数y=2x2-3x-7，所以根据根与系数的关系可知，两个零点a，b满足a+b=，ab=-.所以a2+b2=(a+b)2-2ab=-2×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1，则关于x的方程x2+mx=3的解为_______.  解析：由题意可知-=1，解得m=-2，所以方程x2-2x=3的解为-1和3. -1和3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是__________.  解析：∵二次函数的解析式是y=x2-3x+m(m为常数)， ∴该抛物线的对称轴是直线x=. 又∵二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，∴根据抛物线的对称性知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2，0)，∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是x1=1，x2=2. x1=1，x2=2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)若函数y=(1-k)x2-2x-1有两个不相等的零点，则实数k的取值范围是________________.  解析：函数y=(1-k)x2-2x-1有两个不相等的零点，即一元二次方程 (1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则解得k<2且k≠1. (-∞，1)∪(1，2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)(1)已知函数y=x2+ax+1，若不等式y≥0对一切x∈(0，1]恒成立，求实数a的最小值;(5分) 解：函数y=x2+ax+1≥0对一切x∈(0，1]恒成立，即-a≤x+对一切x∈(0，1]恒成立，设y=x+，x∈(0，1]，则y=x+≥2(当且仅当x=1时，等号成立)，所以-a≤2，即a≥-2.所以a的最小值为-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若函数y=x2+ax+1的一个零点比1大，另一个零点比1小，求实数a的取值范围.(5分) 解：若函数y=x2+ax+1的一个零点比1大，另一个零点比1小，由二次函数的图象可知，当x=1时，y=2+a<0，即a<-2.故实数a的取值范围为(-∞，-2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)若二次函数y=x2+(p-2)x-21的图象与x轴的交点为A(α，0)，B(β，0)，与y轴的交点为C. (1)若α2+β2=51，求p的值;(5分) 解：由题意，令x2+(p-2)x-21=0，Δ=(p-2)2+84>0， ∴方程有两个不同的实根，易知α，β为方程x2+(p-2)x-21=0的两个实根，则∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=51， ∴(2-p)2+42=51，解得p=-1或p=5.即p的值为-1或5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若△ABC的面积为105，求p的值.(5分) 解：由题意知C(0，-21)，则S△ABC =|α-β|×21=105， ∴|α-β|=10，∴(α+β)2-4αβ=100， ∴(2-p)2+84=100，解得p=-2或p=6.即p的值为-2或6. 本课结束 $$