2.3 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的综合问题（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦全称量词命题与存在量词命题的综合问题，通过梯度进阶式教学，从命题真假判断切入，结合实例（如例1的自然数次命题、实数范围命题）搭建思维支架，连接基础概念与不等式恒成立、能成立等综合应用。 其亮点在于以“思维建模”总结方法（如真假判断的反例法、参数范围转化法），结合数学思维（逻辑推理，如例2通过命题否定求参数）和数学语言（符号规范，如命题否定书写）。题型分层与课时检测（如多选、解答题）助力学生提升综合解题能力，教师可直接用于深化教学，提高效率。

全称量词命题与存在量词命题的综合问题(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 进一步学习全称量词命题与存在量词命题,会判断命题的真假及初步了解不等式恒(能)成立问题. CONTENTS 目录 1 2 题型(一)　全称量词命题和存在 量词命题的真假判断 题型(二)　全称量词命题与存在 量词命题的应用 课时检测 3 题型(一)　全称量词命题和存在 量词命题的真假判断 01 [例1]　 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假. (1)∀x∈N, 2x+1是奇数; 解：是全称量词命题.因为∀x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题. (2)存在一个x∈R,使=0; 解：是存在量词命题.因为不存在x∈R,使=0成立,所以该命题是假命题. (3)对任意实数a,|a|>0; 解：是全称量词命题.因为|0|=0,所以|a|>0不都成立,因此,该命题是假命题. (4)有一个角α,使sin α=. 解：是存在量词命题.因为当α=30°时,sin α=,所以该命题是真命题. |思|维|建|模| 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x,使得p(x)不成立即可,这就是通常所说的“举出一个反例”. (2)要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x使p(x)成立即可;否则,这个存在量词命题就是假命题. 针对训练 √ 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R,|x+1|>1;命题q：∃x>0,x3=x,则 (　　) A.p和q都是真命题 B. p和q都是真命题 C.p和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题 解析：对于p,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题, p是真命题.对于q,取x=1,则有x3=13=1=x,故 q是真命题, q是假命题.综上, p和q都是真命题. 解： p:存在能被2整除的数不是偶数,因为所有能被2整除的数都是偶数为真命题,所以 p为假命题. 2.对下列含有量词的命题作否定,并判断其真假. (1)p:∃x∈∁RQ,x2∈Q; 解： p:∀x∈∁RQ,x2∉Q,当x=∈∁RQ,则x2=2∈Q,所以 p为假命题. (2)p:所有能被2整除的数都是偶数; 解： p:对于任意的x∈R,都有2x>0,因为函数2x>0,所以 p为真命题. (3)p:存在x∈R,使得2x≤0; (4)p:∃x∈Z+,∈N. 解： p:∀x∈Z+,∉N,因为=3-,且x∈Z+,所以x+1>1, 所以0<<1,所以3-∉N,即∉N,所以 p为真命题. 题型(二)　全称量词命题与存 在量词命题的应用 02 [例2]　命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,求实数a的取值范围. 解：命题“存在x>1,使得2x+a<3”是假命题,所以此命题的否定“任意x>1,使得2x+a≥3”是真命题,因为对任意x>1,都有2x+a>2+a,所以2+a≥3,所以a≥1.故a的取值范围是{a|a≥1}. 变式训练 若把本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围. 解：由题意知“存在x>1,使得x<”是真命题,故有>1,解得a<1.故a的取值范围是{a|a<1}. 　|思|维|建|模| 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如x2≥0),确定参数的取值范围. (2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来处理,可借助根的判别式等知识解决. 3.已知命题p:“∀x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,则实数m的取值范围是___________.  {m|m≤5} 解析：∀x≥3,使得2x-1≥m成立,只需m≤2×3-1=5. 4.已知命题p:∀x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},且 p是假命题,求实数a的取值范围. 解：因为 p是假命题,所以 p是真命题, 又∀x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}, 所以{x|-3≤x≤2}⊆{x|a-4≤x≤a+5}, 则解得-3≤a≤1.即实数a的取值范围是{a|-3≤a≤1}. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.命题p：存在一个实数，它的绝对值不是正数.则下列结论正确的是 (　 ) A. p：任意实数，它的绝对值是正数， p为假命题 B. p：任意实数，它的绝对值不是正数， p为假命题 C. p：存在一个实数，它的绝对值是正数， p为真命题 D. p：存在一个实数，它的绝对值是负数， p为真命题 √ 解析：因为命题p“存在一个实数，它的绝对值不是正数”为存在量词命题，其否定 p为“任意实数，它的绝对值是正数”，因为|0|=0，所以 p为假命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是 (　 ) A.实数都大于0 　B.有些菱形是正方形 C.三角形内角和为180° 　D.有小于1的自然数 √ 解析：实数都大于0，是全称量词命题，但不是真命题，所以A选项错误;有些菱形是正方形，是真命题，但不是全称量词命题，所以B选项错误;三角形内角和为180°，是真命题，也是全称量词命题，所以C选项正确;有小于1的自然数，是真命题，但不是全称量词命题，所以D选项错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2+1≠0”的叙述，正确的是 (　 ) A. p：∃x∈R，x2+1=0 B. p：∀x∈R，x2+1=0 C.p是真命题， p是假命题 D.p是假命题， p是真命题 √ √ 解析：命题p：“∀x∈R，x2+1≠0”的否定是“∃x∈R，x2+1=0”.所以p是真命题， p是假命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.(多选)下列命题是假命题的为 (　 ) A.存在x∈Z，1<4x<3 B.存在x∈Z，5x+1=0 C.任意x∈R，x2-1=0 D.任意x∈R，x2+x+2>0 √ √ 解析：选项A中，<x<且x∈Z，不成立;选项B中，x=-，与x∈Z矛盾;选项C中，x≠±1时，x2-1≠0;选项D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5.已知命题p：“∃x∈R，使得x2-2x+m=0成立”是真命题，则实数m的取值范围是(　 ) A.{m|m<3} B.{m|m>3} C.{m|m≤3} D.{m|m≥3} 解析：∃x∈R，使得x2-2x+m=0成立⇔Δ=12-4m≥0，∴m≤3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 6.已知非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是 (　 ) A.∀x∈M，x∉P B.∀x∈P，x∈M C.∃x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2∉P D.∃x∈M，x∉P 解析：因为M⊆P等价于∀x∈M，x∈P，又“M⊆P”是假命题，所以其否定为∃x∈M，x∉P.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 7.有四张卡片，它们的一面为数字，另一面写着英文字母.现在它们平放在桌面上，只能看到向上面的情况如图.对于命题p：所有大写字母的背面都写着奇数，要验证p的真假，至少要翻开的是 (　 ) A.①④ B.①② C.①③ D.①③④ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：根据命题p：所有大写字母的背面都写着奇数，因为①的向上面为大写字母，④的背面可能是大写字母，所以要验证p的真假，至少要翻开的是①④. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)命题“已知y=|x|-1，∀x∈R都有m≤y”是真命题，则实数m的取值范围是___________.  {m|m≤-1} 解析：由已知y=|x|-1，得y≥-1，要使∀x∈R，都有m≤y成立，只需m≤-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)能够说明“∀x∈N*，2x≥x2”是假命题的一个x值为　　　　.  3 解析：∵x∈N*，将x代入1，2，3，…可知，当x=3时，23<32， ∴说明“∀x∈N*，2x≥x2”是假命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求m的取值范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x∈R，x2+2x+m>0”是真命题，求m的取值范围.你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致?_____.(填“是”“否”中的一个)  是 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+m>0”，而命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2+2x+m>0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(10分)写出下列命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：不论m取何实数，方程x2+mx-1=0必有实根;(5分) 解： p：存在一个实数m，使方程x2+mx-1=0没有实数根. ∵该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立，∴ p为假命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)p：∀x，y∈R，x2+y2+2x-4y+5=0.(5分) 解： p：∃x，y∈R，x2+y2+2x-4y+5≠0. ∵x2+y2+2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2，当x=0，y=0时，x2+y2+2x-4y+5≠0成立，∴ p为真命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知命题“∀x∈R，ax2+2x+1≠0”为假命题，求实数a的取值范围. 解：题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，ax2+2x+1=0”为真命题，即关于x的方程ax2+2x+1=0有实数根. 所以a=0或即a=0或a≤1且a≠0，所以a≤1. 故实数a的取值范围是{a|a≤1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知集合A={x|-3≤x≤10}，B={x|2m+1≤x≤3m-2}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围;(5分) 解：由命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，可知B⊆A，又B≠∅， 所以解得3≤m≤4. 故m的取值范围是{m|3≤m≤4}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围.(5分) 解：因为B≠∅，所以2m+1≤3m-2，得m≥3. 因为命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题， 所以A∩B≠∅， 所以-3≤2m+1≤10或-3≤3m-2≤10， 得-2≤m≤. 综上，m的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x2-a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+4=0，若命题 p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围. 解：若命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x2-a≥0为真命题，则a≤x2在x∈{x|1≤x≤2}时恒成立， ∴a≤1. 若命题q：∃x∈R，x2+2ax+4=0为真命题， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则Δ=(2a)2-16≥0，解得a≤-2或a≥2. ∵命题 p和命题q都是真命题， ∴解得a≥2. 故a的取值范围是{a|a≥2}. 本课结束 $$