2.2 第2课时 充分、必要、充要条件的综合（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦充分、必要、充要条件的综合应用，从基础定义出发，通过判定条件、求参数范围、充要性证明三类题型梯度进阶，结合定义法、集合法等思维建模方法搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是采用梯度进阶式教学，整合题型与方法总结，通过方程实根、集合关系等实例培养学生数学思维和推理能力，思维建模表格与课时检测助力规范数学语言表达，既提升学生逻辑素养，又为教师提供系统教学资源。

充分、必要、充要条件的综合 (教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1.本节重点关注判定充分、必要条件问题及利用已知关系探求参数的取值范围问题. 2.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明,解题关键是分清命题的条件与结论,分清充分性和必要性这两个问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　充分、必要条件的判定 题型(二)　利用充分、必要条件求参数 题型(三)　充要条件的证明 4 课时检测 题型(一) 充分、必要条件的判定 01 [例1]　下列各题中,p是q的什么条件(充分且不必要条件、必要且不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件)? (1)p:四边形对角线互相平分,q:四边形是矩形; 解： 因为四边形对角线互相平分 四边形是矩形, 四边形是矩形⇒四边形对角线互相平分,所以p是q的必要且不充分条件. 解：若方程x2+x-m=0有实根,则Δ=1+4m≥0,解得m≥-. 因为m>0⇒m≥-,而m≥- m>0,所以p是q的充分且不必要条件. (2)p:x=1或x=2,q:x-1=; 解：解方程x-1=,可得x=1或x=2,所以p是q的充要条件. (3)p:m>0,q:方程x2+x-m=0有实根. 　|思|维|建|模| 判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法 定义法 直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假 集合法 利用集合的包含关系判断 传递法 充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn;充要条件也有传递性 1.若x,y∈R,则“x=y”是“x2+y2≤2xy”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 针对训练 解析：当x=y时,x2+y2=2x2=2x·x=2xy,所以x2+y2≤2xy成立.又当x2+y2≤2xy时,即x2+y2-2xy=(x-y)2≤0,得到x=y,所以x2+y2≤2xy可以推出x=y,所以“x=y”是“x2+y2≤2xy”的充要条件,故选C. 2.已知集合M,P,则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的 (　 ) A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 解析：由x∈M或x∈P得x∈(M∪P),又(M∩P)⊆(M∪P),∴x∈M或x∈P不能推出x∈(M∩P),x∈(M∩P)能推出x∈M或x∈P.则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要且不充分条件. 3.“x<0”是“|x|=-x”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 解析：因为|x|=-x⇔x≤0,由“x<0”可得“x≤0”,即“x<0”是“|x|=-x”的充分条件;而由“x≤0”显然不能得到“x<0”,即“x<0”不是“|x|=-x”的必要条件.所以“x<0”是“|x|=-x”的充分且不必要条件. 题型(二)　利用充分、必要 条件求参数 02 从集合的角度看充分、必要条件 如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表： 关系 A B B A A=B A⊈B且B⊈A 图示 结论 p是q的充分且不必要条件 p是q的必要且不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分又不必要条件 [例2]　已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要且不充分条件,则实数m的取值范围为　　　　.   [解]　设p代表的集合为A={x|-2≤x≤10},q代表的集合为 B={x|1-m≤x≤1+m}, 因为p是q的必要且不充分条件,所以B A, 故有或解得m≤3. 又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 变式训练 1.若本例中“p是q的必要且不充分条件”改为“p是q的充分且不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解：设p代表的集合为A,q代表的集合为B, 因为p是q的充分且不必要条件,所以A B. 所以或解得m≥9, 即实数m的取值范围是{m|m≥9}. 2.若本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 解：若p是q的充要条件,则此方程组无解,故不存在实数m,使得p是q的充要条件. |思|维|建|模|　求参数值(范围)的一般步骤 化简 化简集合,明确题干中的充分条件和必要条件 转化 根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系,将问题转化为集合间的关系问题 列式 利用集合间的关系,建立关于参数的不等式或不等式组.注意等号成立的条件 获解 解不等式,得参数范围 4.已知P={x|a-4<x<a+4}, Q ={x|1<x<3},“若x∈P”是“x∈Q”的必要条件,则实数a的取值范围是_____________.  {a|-1≤a≤5} 解析：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,所以Q ⊆P. 所以即所以-1≤a≤5. 题型(三)　充要条件的证明 03 [例3]　 求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明：充分性:(由ac<0推证方程有一正根和一负根) 因为ac<0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0, 所以方程一定有两个不等实根. 设两根为x1,x2,则x1x2=<0,所以方程的两根异号. 即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根. 必要性:(由方程有一正根和一负根推证ac<0) 因为方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,设为x1,x2, 则由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0. 综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 　|思|维|建|模| 1.充要条件的证明思路 一般地,证明“p成立的充要条件为q” 充分性 把q当作已知条件,结合命题的前提条件,推出p 必要性 把p当作已知条件,结合命题的前提条件,推出q 2.证明充要条件的关键 要分清哪个是条件,哪个是结论,由“条件⇒结论”是证明充分性,由“结论⇒条件”是证明必要性. 在以下说法中,充分性和必要性分别是: (1)p是q的充要条件,p⇒q是充分性,q⇒p是必要性; (2)A成立的充要条件是B:B⇒A是充分性,A⇒B是必要性. 针对训练 5.求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 证明:①充分性:如果b=0,那么y=kx(k≠0), 当x=0时,y=0,函数图象过原点. ②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点, 所以当x=0时,y=0,得0=k·0+b,所以b=0. 综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.“n是3的倍数”是“n是6的倍数”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 解析：若“n是3的倍数”，当n=3时，不满足“n是6的倍数”，故不满足充分性;若满足“n是6的倍数”，则必是3的倍数，故满足必要性. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.“1<x<5”是“2<x<4”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 解析：设A={x|1<x<5}，B={x|2<x<4}， 由于B A，所以“1<x<5”是“2<x<4”的必要且不充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.设集合A={1，a2，-2}，B={2，4}，则“A∩B={4}”是“a=2”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 解析：因为A∩B={4}，所以4∈A，即a2=4，解得a=2或a=-2，充分性不满足.当a=2时，A={1，4，-2}，因此有A∩B={4}，必要性满足，因此是必要且不充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 4.“x为整数”是“2x+1为整数”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：由x为整数能推出2x+1为整数，故“x为整数”是“2x+1为整数”的充分条件，由2x+1为整数不能推出x为整数，故“x为整数”是“2x+1为整数”的不必要条件，综上所述，“x为整数”是“2x+1为整数”的充分且不必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 5.集合A={x|-1<x<1}，B={x|-a<x-b<a}.若“a=1”是“A∩B≠ ∅”的充分条件，则实数b的取值范围是 (　 ) A.{b|-2≤b<0} B.{b|0<b≤2} C.{b|-2<b<2} D.{b|-2≤b≤2} 解析：因为B={x|-a<x-b<a}={x|b-a<x<b+a}.又“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以-1≤b-1<1或-1<b+1≤1，即-2<b<2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ √ 6.(多选)下列命题中是真命题的是 (　 ) A.x>2且y>3是x+y>5的充要条件 B.x>1是x>0的充分且不必要条件 C.Δ=b2-4ac=0是ax2+bx+c=0(a≠0)有实数解的充要条件 D.三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：当x=1，y=6时，满足x+y>5，但不满足x>2且y>3，故x>2且y>3不是x+y>5的充要条件，A错误;因为x>1⇒x>0，但x>0 x>1，故x>1是x>0的充分且不必要条件，B正确;ax2+bx+c=0(a≠0)有实数解，则要满足Δ=b2-4ac≥0，故C错误;三角形的三边满足勾股定理，则这个三角形是直角三角形，反之，若一个三角形是直角三角形，则三边满足勾股定理，故三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 √ 7.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么 (　 ) A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C.丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件 D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙 丙，如图所示，综上，有丙⇒甲，但甲 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)已知命题p：4-x≤6，q：x≥a-1，若p是q的充要条件，则实数a=______.  -1 解析：由题意得p：x≥-2，q：x≥a-1，因为p是q的充要条件，所以a-1=-2，即a=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)已知p：4x-m<0，q：1≤3-x≤4，若p是q的一个必要且不充分条件，则实数m的取值范围为___________.  {m|m≥8} 解析：由4x-m<0，得x<;由1≤3-x≤4，得-1≤x≤2. ∵p是q的一个必要且不充分条件，∴>2，∴m>8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)设n∈N*，一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=______.  3或4 解析：由判别式Δ=16-4n≥0，n∈N*，得1≤n≤4. 逐个分析，当n=1， 2时，方程没有整数解;而当n=3时，方程有正整数解1，3;当n=4时，方程有正整数解2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知2a-b=3,写出使得“m>-a2+b+1对任意的实数a,b恒成立”的一个充分且不必要条件为____________________________(用含m的式子表示)  答案不唯一，满足m>-1均可) 解析：2a-b=3,则b=2a-3,所以-a2+b+1=-a2+2a-3+1=-a2+2a-2=-(a-1)2-1,所以a=1时,-a2+b+1取得最大值为-1,因此m>-a2+b+1对任意的实数a,b恒成立的充要条件是m>-1,在此范围内任取一数均可. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)若集合A={x|x>-2}，B={x|x≤b，b∈R}，试写出： (1)A∪B=R的充要条件;(3分) 解：若A∪B=R，则b≥-2，故A∪B=R的充要条件是b≥-2. (2)A∪B=R的一个必要且不充分条件;(3分) 解：由(1)知A∪B=R的充要条件是b≥-2， 所以A∪B=R的一个必要且不充分条件可以是b≥-3.(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)A∪B=R的一个充分且不必要条件.(4分) 解：由(1)知A∪B=R的充要条件是b≥-2， 所以A∪B=R的一个充分且不必要条件可以是b≥-1.(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 证明：①必要性：由<，得-<0， 即<0，又由x>y，得y-x<0，所以xy>0. ②充分性：由xy>0及x>y，得>，即<. 综上所述，<的充要条件是xy>0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知p：-1<x<3，若-a<x-1<a是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围. 解：由-a<x-1<a，得1-a<x<1+a， 依题意，得{x|-1<x<3}⊆{x|1-a<x<1+a}， 所以解得a≥2. 故使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知全集U=R，集合A=， B={x|a-1<x<a+1，a∈R}. (1)当a=2时，求(∁UA)∩(∁UB);(4分) 解：因为A=={x|2<x≤5}， 当a=2时，B={x|1<x<3}， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为全集U=R，则∁UA={x|x≤2或x>5}， ∁UB={x|x≤1或x≥3}， 因此，(∁UA)∩(∁UB)={x|x≤1或x>5}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围.(6分) 解：易知集合B={x|a-1<x<a+1，a∈R}为非空集合， 因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B A， 所以解得3≤a≤4. 因此，实数a的取值范围是{a|3≤a≤4}. 本课结束 $$