2.2 第1课时 充分、必要、充要条件（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦充分条件、必要条件、充要条件核心内容，从“若p则q”命题真假切入，通过推出关系衔接条件关系，结合判定定理、性质定理及数学定义搭建学习支架，帮助学生构建从命题到条件的知识脉络。 其亮点在于采用多维对比表格、微点解析及生活实例（如“好人有好报”“读书破万卷”），以数学眼光观察现实，通过集合方法与逻辑推理培养数学思维，题型分层且含证明题，助力学生深化理解，教师使用可提升教学效率。

2.2 充分条件、必要条件、 充要条件 充分、必要、充要条件 (教学方式:基本概念课—逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系. 2.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系. 3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　充分条件与必要条件 逐点清(二)　充要条件 逐点清(三)　充分、必要条件的探求 4 课时检测 逐点清(一) 充分条件与必要条件 01 多维理解   “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题 推出关系 P___q P____q 条件关系 p是q的_____条件,q是p的______条件 p不是q的_____条件,q不是p的_____条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的___________;性质定理给出了相应数学结论成立的__________ ⇒ 充分 必要 充分 必要 充分条件 必要条件 |微|点|助|解| 　 若p⇒q的几种解析 (1)若p,则q形式的命题是真命题; (2)由条件p可以得到结论q; (3)p是q的充分条件或q的充分条件是p; (4)q是p的必要条件或p的必要条件是q; (5)一旦q不成立,p一定也不成立,q成立对于p成立是必要的; (6)充分、必要条件不唯一. 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.(　 ) (2)若p是q的充分条件,则p是唯一的.(　 ) (3)若q不是p的必要条件,则“p q”成立.(　 ) (4)“x>0”是“x>1”的充分条件.(　 ) 微点练明 × × √ × 2.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是 (　 ) A.若x<1,则x<2 B.若两个三角形的三边对应成比例,则这两个三角形相似 C.若|x|≠1,则x≠1 D.若ab>0,则a>0,b>0 √ √ √ 解析：由x<1,可以推出x<2,所以选项A符合题意;由两个三角形的三边对应成比例,可以推出这两个三角形相似,所以选项B符合题意;由|x|≠1,可以推出x≠1,所以选项C符合题意;由ab>0,不一定能推出a>0,b>0,比如a=b=-1,所以选项D不符合题意. 3.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是 (　 ) A.若x,y是偶数,则x+y是偶数 B.若a<2,则方程x2-2x+a=0有实根 C.若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形 D.若ab=0,则a=0 √ √ √ 解析： A:x+y是偶数不一定能推出x,y是偶数,因为x,y可以是奇数,不符合题意;B:当方程x2-2x+a=0有实根时,则有(-2)2-4a≥0⇒a≤1,显然能推出a<2,符合题意;C:因为菱形对角线互相垂直,所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直,符合题意;D:显然由a=0可以推出ab=0,符合题意. (2)p:x+1=0,q:(x+1)(x-2)=0. 4.分析下列各项中p与q的关系. (1)p:α为锐角,q:α=45°; 解：由于q⇒p,p q,故p是q的必要条件,q是p的充分条件. 解：由于p⇒q,q p,故p是q的充分条件,q是p的必要条件. 逐点清(二)　充要条件 02 多维理解 一般地,如果______,且______,那么称p是q的充分且必要条件,简称为p是q的充要条件,也称q的充要条件是p.如果p是q的充要条件,就记作_______,称为“p与q等价”,或“p等价于q”. p⇒q q⇒p p⇔q |微|点|助|解| 　 条件p与结论q的关系与充分、必要条件 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q,但q p p是q的充分且不必要条件 q⇒p,但p q p是q的必要且不充分条件 p⇒q且q⇒p,即p⇔q p与q互为充要条件 p q,且q p p是q的既不充分又不必要条件 微点练明 √ 1.(2023·北京高考)若xy≠0,则“x+y=0”是“=-2”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：因为xy≠0,且=-2,所以x2+y2=-2xy,即(x+y)2=0,所以x+y=0.所以“x+y=0”是“=-2”的充要条件. 2.(多选)对任意实数a,b,c,下列命题正确的是 (　 ) A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件 B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C.“a>b”是“a2>b2”的充分且不必要条件 D.“a<5”是“a<3”的必要且不充分条件 √ √ 解析：由ac=bc,得ac-bc=0,即c(a-b)=0,故c=0或a=b,所以a=b是ac=bc的充分且不必要条件,所以A不正确;因为a+5是无理数,5是有理数,所以a是无理数,若a是无理数,则a+5是无理数,故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,所以B正确;若0>a>b,则a2<b2,所以“a>b”不是“a2>b2”的充分条件,所以C不正确;a<5推不出a<3,若a<3,则a<5,故“a<5”是“a<3”的必要且不充分条件,所以D正确. 3.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的　　　条件.  充要 解析：a>0且b>0⇒a+b>0且ab>0,a+b>0且ab>0⇒a>0且b>0. 逐点清(三)　充分、必要条件的探求 03 [例1]　使“x≤-或x≥3”成立的一个充分且不必要条件是(　 ) A.x<0 　　 B.x≥0 C.x∈{-1, 3, 5} 　　 D.x≤-或x≥3 √ 解析：对于A,x<0不能推出x≥3或x≤-,反之也不能,是其既不充分又不必要条件; 对于B,x≥0不能推出x≥3或x≤-,反之也不能,是其既不充分又不必要条件; 对于C,x∈{-1,3,5}可以推出x≥3或x≤-,反之不能,是其充分且不必要条件; 对于D,x≤-或x≥3,是其充要条件. [例2]　设a,b∈R,则“ab+1=a+b”的充要条件是 (　 ) A.a,b都为1 　　　 B.a,b都不为1 C.a,b中至少有一个为1 　　　 D.a,b都不为0 √ 解析：由ab+1=a+b,可得(a-1)(b-1)=0,解得a=1或b=1,故“ab+1=a+b”的充要条件是“a,b中至少有一个为1”.故选C. |思|维|建|模| 1.探求充分、必要条件的方法 (1)寻求q的充分条件p,即求使q成立的条件p,从集合的角度看,是找q的子集; (2)寻求q的必要条件p,即求以q为条件可推出的结论p,从集合的角度看,是找能包含q的集合. 2.探求充要条件的方法 (1)先由结论寻找使之成立的条件,再由条件来推证结论成立,即保证必要性和充分性都成立. (2)变换命题为其等价命题,使每一步都可逆,直接得到使结论成立的充要条件. 针对训练 1.“a<0,b<0”的一个必要条件为 (　 ) A.a+b<0 B.a+b>0 C.>1 D.<-1 √ 解析：对于A,因为a<0,b<0,所以a+b<0,即a+b<0是“a<0,b<0”的必要条件,A正确;对于B,当a<0,b<0时,a+b>0不可能成立,B不正确;对于C,当a<0,b<0时,>1不一定成立,如a=-1,b=-2满足条件,而<1,C不正确;对于D,当a<0,b<0时,必有>0成立,即不能推出<-1,D不正确.故选A. 2.(多选)使0<x<3成立的一个充分条件是 (　 ) A.2<x≤3 B.0≤x<1 C.0<x≤2 D.1<x<2 √ √ 解析：从集合观点看,求0<x<3成立的一个充分条件,就是从A、B、C、D中选出集合{x|0<x<3}的子集.由于{x|0<x≤2}⊆{x|0<x<3}, {x|1<x<2}⊆{x|0<x<3},故选C、D. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若集合A={1， a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B”的 (　 ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 √ 解析：∵A={1， a}，B={1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a=2或a=3，即a=3⇒A⊆B，∴“a=3”是“A⊆B”的充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的 (　 ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分又不必要条件 D.无法判断 √ 解析：“好人”是“有好报”的充分条件，反之未必成立，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.(多选)下列选项中，可以是x2<4的一个必要条件的是 (　 ) A.-2<x<2 B.-2≤x≤2 C.0<x<2 D.-2<x<0 √ √ 解析：∵x2<4，∴-2<x<2，∴A、B是x2<4的必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.充要条件 C.必要且不充分条件 D.既不充分又不必要条件 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要且不充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5.使不等式0<<1 成立的一个充分且不必要条件可以是(　 ) A.0<x< B.x>1 C.x>2 D.x>0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由0<<1⇒⇒x>1(其成立的充分且不必要条件需为{x|x>1}的真子集)，所以结合选项知，使不等式0<<1成立的一个充分且不必要条件可以是x>2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ √ 6.(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是 (　 ) A.p：a是无理数，q：a2是无理数 B.p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 C.p：x>2，q：x≥1 D.p：a>b，q：ac2>bc2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：A中，a=是无理数，a2=2是有理数，所以p不是q的充分条件;B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件;C中，x>2⇒x≥1，所以p是q的充分条件;D中，当c=0时，ac2=bc2，所以p不是q的充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 7.等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要条件是 (　 ) A.ab=0 B.ab<0 C.ab≥0 D.ab≤0 解析：|a+b|=|a|+|b|⇔(a+b)2=(|a|+|b|)2⇔a2+2ab+b2=a2+2|ab|+b2⇔ab =|ab|⇔ab≥0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 8.(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则 (　 ) A.p是q的既不充分又不必要条件 B.p是s的充分条件 C.r是q的必要且不充分条件 D.s是q的充要条件 √ 解析：由已知得p⇒r⇒s⇒q，q⇒r⇒s.∴p是q的充分条件;p是s的充分条件;r是q的充要条件;s是q的充要条件.故选B、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)“x2=2x”是“x=0”的______条件，“x=0”是“x2=2x”的______条件. (用“充分”“必要”填空)  必要 充分 解析：由于x=0⇒x2=2x，所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件，“x=0”是“x2=2x”的充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈(A∪B)的______条件.  充要 解析：由x∈B，显然可得x∈(A∪B);反之，由于A⊆B，则A∪B=B，所以由x∈(A∪B)可得x∈B，故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)设命题p：k>5，b<5，命题q：一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的______条件;q是p的______条件.(用“充分”“必要”填空)  充分 必要 解析：当k>5，b<5时，函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所 示，此时一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴， 交x轴于正半轴，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)用充分条件或必要条件的语言表述下面的定理. (1)在一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行;(2分) 解：在一个平面内，“两条直线垂直于同一条直线”是“这两条直线平行”的充分条件，但不是必要条件(如平行四边形两边平行，但不一定与邻边垂直). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若a>b，c<0，则ac<bc;(2分) 解：“a>b，c<0”是“ac<bc”的充分条件，但不是必要条件(如a=3，b=5，c=1，满足ac<bc条件，但推不出a>b，c<0)﹒ (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3分) 解：“四边形的一组对边平行且相等”是“四边形为平行四边形”的充分条件，也是必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (4)如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，那么x1+x2= -.(3分) 解：“x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根”是“x1+x2=-”的充分条件，但不是必要条件(). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)设A={a+b||a2-2b2|=1，a，b∈Z}，现有以下三个条件： 甲：x∈A且y∈A;乙：xy∈A;丙：∈A. 求证：甲分别是乙和丙的充分条件. 证明：设x=a+b，y=c+d，则|a2-2b2|=1，a，b∈Z，|c2-2d2|=1，c，d∈Z， 则xy=(a+b)(c+d)=(ac+2bd)+(bc+ad)，显然ac+2bd，bc+ad∈Z， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 因为(ac+2bd)2-2(bc+ad)2=(a2-2b2)(c2-2d2)，a，b，c，d∈Z， 所以|(ac+2bd)2-2(bc+ad)2|=|(a2-2b2)(c2-2d2)|=1，a，b，c，d∈Z， 所以xy∈A. 所以甲是乙的充分条件. 因为===-·， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 且|a2-2b2|=1，a，b∈Z， 所以若a2-2b2=1，则=a-b∈A;若a2-2b2=-1，则=-a+b∈A. 所以甲是丙的充分条件. 综上，甲分别是乙和丙的充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的什么条件?并说明理由. 解：“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件.理由如下： 当a，b，c∈R，a≠0时，若a-b+c=0，则-1满足一元二次方程ax2+bx+c=0， 即“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 故“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充分条件. 若一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1，则a-b+c=0， 故“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的必要条件. 综上所述，“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件. 本课结束 $$