1.3 第2课时 集合运算的综合问题（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦集合运算综合问题，涵盖交并补混合运算、参数求解及新定义问题，通过高考真题例题导入，衔接基础集合概念与综合应用，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合Venn图、数轴等直观工具培养数学眼光，通过分类讨论参数问题发展数学思维，将新定义运算转化为交并补运算强化数学语言。例如例2用Venn图分析补集关系，例3分类讨论空集情况。助力学生提升逻辑推理与建模能力，教师可直接用于习题讲评，提高教学效率。

集合运算的综合问题 (教学方式: 拓展融通课—习题讲评式教学) 第2课时 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　集合的交、并、补混合运算 题型(二) 由集合运算求参数 题型(三)　集合中的新定义问题 4 课时检测 题型(一)　集合的交、并、 补混合运算 01 [例1]　(2024·全国甲卷)已知集合A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}， 则∁A(A∩B)=(　　) A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} √ [解析]　由题意得B={1，4，9，16，25，81}，则A∩B={1，4，9}，所以∁A(A∩B)={2，3，5}.故选D. [例2]　设全集U={x∈N*|x≤9},若∁U(A∪B)={1,3},A∩(∁UB)={2,4},则集合B= (　 ) A.{4,5,6,7,8,9} B.{2,4,5,6,7,8,9} C.{5,6,7,8} D.{5,6,7,8,9} √ 解析：因为全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},由∁U(A∪B)={1,3},得A∪B={2,4,5,6,7,8,9}.又A∩(∁UB)={2,4},所以B={5,6,7,8,9}. |思|维|建|模| 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. (2)如果所给集合是无限实数集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 1.(2023·全国乙卷)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6}, N ={0,1,6},则M∪∁U N = (　 ) A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8} D.U √ 针对训练 解析: 由题意知, ∁U N ={2,4,8},所以M∪ ∁U N ={0,2,4,6,8}.故选A. 2.(多选)已知集合A中含有6个元素,全集U=A∪B中共有12个元素, (∁UA)∪(∁UB)中有m个元素,已知m≥8,则集合B中元素个数可能为 (　 ) A.2 B.6 C.8 D.12 √ √ 解析: 因为(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)中有m个元素,所以A∩B中有12-m个元素.设集合B中元素个数为x,又集合A中含有6个元素,则x+6-(12-m)=12,即m=18-x.因为m≥8,所以x≤10.又U=A∪B中共有12个元素,所以x≥6,则6≤x≤10. 3.(2023·全国甲卷)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则∁U(M∪N)= (　 ) A.{x|x=3k,k∈Z} 　B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} 　D.∅ √ 解析: 法一: M={…,-2,1,4,7,10,…}, N ={…,-1,2,5,8,11,…},所以M∪N ={…,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,…},所以∁U(M∪N)={…,-3,0, 3,6,9,…},其元素都是3的倍数,即∁U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z},故选A. 法二: 集合M∪N表示被3除余1或2的整数集,则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集,故选A. 题型(二) 由集合运算求参数 02 [例3]　已知集合A={x|0≤x≤1},B={x|1-a<x<2a},若(∁RA)∪B=R,求实数a的取值范围. 解：因为A={x|0≤x≤1},所以∁RA={x|x<0或x>1},又因为B={x|1-a<x<2a}且(∁RA)∪B=R,所以解得a>1, 故实数a的取值范围为{a|a>1}. 1.若本例条件“(∁RA)∪B=R”变为“A∪B=A”,其他条件不变,求实数a的取值范围. 变式拓展 解: 因为A∪B=A,则B⊆A.若B=∅,则2a≤1-a,解得a≤. 若B≠∅,则解得<a≤. 综上所述,实数a的取值范围为. 2.若本例条件变为已知集合A={x|2a-3<x<a+1},B={x|0<x≤1}.若A∩B=∅,求实数a的取值范围. 解: 由题意知A∩B=∅,当A=∅时,2a-3≥a+1,解得a≥4. 当A≠∅时,或 解得2≤a<4或a≤-1. 综上所述,实数a的取值范围为{a|a≤-1或a≥2}. |思|维|建|模| 解集合中参数问题的注意点及常用方法 注意点 ①不能忽视集合为∅的情形; ②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论 常用方法 对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答 4.设集合A={0,2,4},B={x|x2-mx+n=0},若A∪B={0,1,2,3,4},则m+n的值是 (　 ) A.1 B.3 C.5 D.7 √ 针对训练 解析: 因为集合A={0,2,4},B={x|x2-mx+n=0},A∪B={0,1,2,3,4},则B={1,3},所以1,3是方程x2-mx+n=0的两根,所以因此m+n=4+3=7. 5.已知集合A={x|x<a},B={x|x≥1},若(∁RB)∪A=A,则实数a的取值范围为 (　 ) A.{a|a≥1} B.{a|a>1} C.{a|a≤1} D.{a|a<1} √ 解析: 因为B={x|x≥1},所以∁RB={x|x<1},因为(∁RB)∪A=A, 所以(∁RB)⊆A,所以a≥1. 题型(三)　集合中的新定义问题 03 [例4]　设集合A={-1,0,1},B={0,1,2,3},定义A·B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A·B中元素的个数是 (　 ) A.7 B.10 C.25 D.52 √ 解析：因为A={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}.由x∈A∩B,可知x可取0,1;由y∈A∪B,可知y可取-1,0,1,2,3.所以元素(x,y)的所有结果如下表所示: y x -1 0 1 2 3 0 (0,-1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) 1 (1,-1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) 所以A·B中的元素共有10个.故选B. |思|维|建|模| 解决新定义问题的策略技巧 (1)紧扣“新”定义: 分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题的关键所在. (2)把握“新”性质: 集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质. (3)遵守“新”法则: 准确把握新定义的运算法则,将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可. 针对训练 6.(多选)对任意A,B⊆R,记A B={x|x∈A∪B,x∉A∩B},并称A B为集合A,B的对称差.例如: 若A={1,2,3},B={2,3,4},则A B={1,4}.下列命题中,为真命题的是(　 ) A.若A,B⊆R且A B=B,则A=∅ B.若A,B⊆R且A B=∅,则A=B C.若A,B⊆R且A B⊆A,则A⊆B D.存在A,B⊆R,使得A B≠∁RA ∁R B √ √ 解析: 因为A B=B,所以B={x|x∈A∪B,x∉A∩B},所以A⊆B,且B中的元素不能出现在A∩B中,因此A=∅,即A正确;因为A B=∅, 所以∅={x|x∈A∪B,x∉A∩B},即A∪B与A∩B是相同的,所以A=B,B正确;因为A B⊆A,所以{x|x∈A∪B,x∉A∩B}⊆A,所以B⊆A,即C错误; 由于∁RA ∁RB={x|x∈∁RA∪∁RB,x∉∁RA∩∁RB}={x|x∈∁R(A∩B), x∉∁R(A∪B)}={x|x∈A∪B,x∉A∩B},而A B={x|x∈A∪B,x∉A∩B},故A B=∁RA ∁RB,即D错误. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.(2023·全国甲卷)设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={2，5}，则N∪∁UM= (　 ) A.{2，3，5} B.{1，3，4} C.{1，2，4，5} D.{2，3，4，5} √ 解析：由题意知，∁UM={2，3，5}，又N={2，5}，所以N∪∁UM= {2，3，5}，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析：由题意知集合M一定含有元素a1，a2，并且不含元素a3，故M={a1，a2}或M={a1，a2，a4}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知(∁RA)∩B=∅，则下列选项中一定成立的是 (　 ) A.A∩B=A B.A∩B=B C.A∪B=B D.A∪B=R √ 解析：作出Venn图如图所示，则B⊆A，所以A∩B=B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 4.如图中的阴影部分，可用集合符号表示为 (　 ) A.(∁UA)∩(∁UB) B.(∁UA)∪(∁UB) C.(∁UB)∩A D.(∁UA)∩B 解析：题图中阴影部分是集合A与集合B的补集的交集，即题图中的阴影部分可以用A∩(∁UB)来表示，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 5.(多选)定义集合运算A B={z|z=(x+y)×(x-y)，x∈A，y∈B}，设集合A={2，}，集合B={1，}，则(　 ) A.A B中有四个元素 B.A B有7个真子集 C.3∈A B D.A B中的元素之和为13 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：x可取2，，y可取1，，则z可取(2+1)×(2-1)=3，(2+) ×(2-)=2，(+1)×(-1)=4，(+)×(-)=3;由集合元素的互异性可知A B中有3个元素，故A错误;A B={2，3，4}，则A B的真子集有23-1=7个，故B正确;3∈A B，故C正确;A B中所有元素之和为2+3+4=9，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 6.定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A∩B，y∈A∪B}.若集合A={1，2，3}，B={0，1，2}，则∁(A*B)A= (　 ) A.{0} B.{0，4} C.{0，6} D.{0，4，6} 解析：因为A={1，2，3}，B={0，1，2}，所以A∩B={1，2}，A∪B ={0，1，2，3}，所以当x∈A∩B，y∈A∪B时，z=0，1，2，3，4，6，所以A*B={0，1，2，3，4，6}，所以∁(A*B)A={0，4，6}.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 7.已知全集U={1，2，3，4}，且∁U(A∪B)={4}，B={1，2}，则A∩(∁UB)等于 (　 ) A.{3} B.{4} C.{3，4} D.∅ 解析：因为全集U={1，2，3，4}，且∁U(A∪B)={4}，所以A∪B={1，2，3}，又B={1，2}，所以∁UB={3，4}，A={3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以A∩(∁UB)={3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 8.设全集U=R，集合A={x|x≤1或x≥3}，集合B={x|k<x<k+1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠∅，则 (　 ) A.k<0或k>3 B.2<k<3 C.0<k<3 D.-1<k<3 解析：∵A={x|x≤1或x≥3}，∴∁UA={x|1<x<3}.若B∩(∁UA)= ∅，则k+1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩(∁UA)≠∅，则0<k<3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 √ 9.我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示有限集合A中元素的个数.例如，A={a，b，c}，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)=card(A)+ card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C).某校初一四班学生46人寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的有 (　 ) A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设集合A={参加足球队的学生}，集合B={参加排球队的学生}，集合C={参加游泳队的学生}，则card(A)=25，card(B)=22，card(C)=24， card(A∩B)=12，card(B∩C)=8，card(A∩C)=9.设三项都参加的有x人，即card(A∩B∩C)=x，card(A∪B∪C)=46，所以由card(A∪B∪C)= card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+ card(A∩B∩C)，得46=25+22+24-12-8-9+x，解得x=4，故三项都参加的有4人. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)设全集U=R，A={x|x>0}，B={x|x>1}，则A∪(∁UB)=______. R  解析：∵U=R，B={x|x>1}，∴∁UB={x|x≤1}.又∵A={x|x>0}，∴A∪(∁UB)={x|x>0}∪{x|x≤1}=R. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)对于任意两集合A，B，定义A-B={x|x∈A且x∉B}，A*B=(A-B) ∪(B-A)，记A={y|y≥0}，B={x|-3≤x≤3}，则A*B=________________.  {x|-3≤x<0或x>3} 解析：A-B={x|x>3}，B-A={x|-3≤x<0}，所以A*B={x|-3≤x<0或x>3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，x∉B}叫作集合A与B的差集，记为A-B，A-B可用图中的阴影部分来表示. (1)若A={1，3，5，9}，B={3，5，7}，求集合A-B和B-A;(3分) 解：由A={1，3，5，9}，B={3，5，7}可知A-B={1，9}，B-A={7}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)集合A={x|x2-5x+6≤0}，集合B={x|2m-3≤x≤2m+3}，若A-B=∅，求实数m的取值范围.(7分) 解：由x2-5x+6≤0，可得2≤x≤3， 所以A=[2，3]，由A-B=∅可知A⊆B， 所以解得0≤m≤， 所以实数m的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)已知全集U=R，集合A={x|x2+3x+b-1=0}，集合B={x|(x-4) (x2-x-2)=0}. (1)若b=-9，且集合C满足：A∩C≠∅，C∪B=B，求出所有这样的集合C;(6分) 解：当b=-9时，A={x|x2+3x-10=0}={2，-5}， B={x|(x-4)(x2-x-2)=0}={4，2，-1}. 因为C∪B=B，所以C⊆B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 因为A∩C≠∅，所以C≠∅. 因为A∩B={2}，所以2∈C， 故C={2}，{2，-1}，{2，4}或{2，4，-1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)集合A，B是否能满足(∁UB)∩A=∅，若能，求实数b的取值范围;若不能，请说明理由.(9分) 解：因为(∁UB)∩A=∅，所以A⊆B， 若A=∅，则满足A⊆B，此时Δ=9-4(b-1)<0， 解得b>. 若-1∈A，则(-1)2-3+b-1=0，解得b=3， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以x2+3x+2=0，解得x=-1或x=-2，故A={-1，-2}，不满足A⊆B，舍去; 若2∈A，则22+6+b-1=0，解得b=-9， 所以x2+3x-10=0，解得x=-5或x=2，所以A={-5，2}，不满足A⊆B，舍去; 若4∈A，则42+12+b-1=0，解得b=-27，所以x2+3x-28=0，解得x=-7或 x=4，不满足A⊆B，舍去.综上，实数b的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)给定数集A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，a-b∈A，则称集合A为闭集合. (1)判断集合A1={-4，-2，0，2，4}，B={x|x=3k，k∈Z}是否为闭集合，并给出证明;(4分) 解：因为4∈A1，2∈A1，4+2=6∉A1，所以A1不是闭集合.任取x，y∈B，设x=3m，y=3n，m，n∈Z，则x+y=3m+3n=3(m+n)且m+n∈Z，所以x+y∈B，同理，x-y∈B，故B为闭集合. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若集合C，D为闭集合，则C∪D是否一定为闭集合?请说明理由;(5分) 解：结论：不一定. 不妨令C={x|x=2k，k∈Z}，D={x|x=3k，k∈Z}，则由(1)可知， D为闭集合，同理可证C为闭集合.因为2，3∈C∪D，2+3=5∉C∪D，因此，C∪D不一定是闭集合.所以若集合C，D为闭集合，则C∪D不一定为闭集合. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)若集合C，D为闭集合，且C R，D R，证明：(C∪D) R.(6分) 解：证明：不妨假设C∪D=R，则由C R，可得存在a∈R且a∉C，故a∈D.同理，存在b∈R且b∉D，故b∈C.因为a+b∈R=C∪D，所以a+b∈C或a+b∈D.若a+b∈C，则由C为闭集合且b∈C，得a=(a+b)-b∈C，与a∉C矛盾.若a+b∈D，则由D为闭集合且a∈D，得b=(a+b)-a∈D，与b∉D矛盾， 综上，C∪D=R不成立，故(C∪D) R. 本课结束 $$