2.2.4 第2课时 均值不等式的应用（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦均值不等式的应用，通过复习基本定理导入，以配凑法、常数代换法为例，搭建从基础变形到复杂问题的学习支架，衔接求最值、实际问题及综合运用的知识点。 其亮点是“题型-方法-建模-应用”闭环设计，结合围栏设计、建筑费用等实例培养数学眼光，思维建模步骤化（如常数代换四步法）提升数学思维，分层检测助学生用数学语言表达。学生能掌握方法解决问题，教师可高效开展教学。

均值不等式的应用 第2课时 [教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学] 课时目标 1.进一步熟练掌握均值不等式，能够通过配凑、变形等利用均值不等式求最值. 2.要灵活应用不等式解决问题，能够利用均值不等式解决实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　利用均值不等式求最值的方法 题型(二)　利用均值不等式解决 实际问题 题型(三)　均值不等式的综合运用 4 课时检测 题型(一)　利用均值不等式求 最值的方法 01 方法1　配凑法 [例1]　(1)若x<，则3x+1+有(　　) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 解析:因为x<，所以3x-2<0，所以3x-2++3 =-+3≤-2+3=-3， 当且仅当2-3x=，即x=-时，取等号. √ (2)已知0<x<，则x的最大值为_____.  解析:因为0<x<，所以1-2x2>0， 所以x=·≤·=， 当且仅当2x2=1-2x2，即x=时等号成立. |思|维|建|模| 配凑法的运用技巧 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式，如凑成x+(a>0)、+的形式等，然后利用均值不等式求解最值.拆项、添项时应注意检验利用均值不等式的条件. 方法2　常数代换法求最值 [例2]　已知x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值为(　　) A.4 　　　　　B.4 C.6 　　　　　D.2+3 √ 解析:因为x>0，y>0，且2x+y=1， 所以=+==++3≥2+3=2+3， 当且仅当=，即x=，y=-1时取等号. |思|维|建|模| 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值. (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. (4)利用均值不等式求解最值. 针对训练 1.已知m，n∈(0，+∞)，+n=4，则m+的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:由题意得m+==≥=4，当且仅当mn=，即m=1，n=3时等号成立. √ 2.已知x<，求 4x-2+的最大值. 解:因为x<，所以5-4x>0. 所以4x-2+=-+3≤-2+3=1，当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立. 故当x=1时，4x-2+的最大值为1. 3.已知x>1，求的最小值. 解:因为x>1，所以x-1>0，所以== x-1++3≥2+3=2+3，当且仅当x-1=， 即x=+1时取等号，所以的最小值为3+2. 题型(二)　利用均值不等式解决实际问题 02 [例3]　小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度. [解]　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x+y) m. 法一　由已知xy=16，由≥，可知x+y≥2=8， 所以2(x+y)≥16，当且仅当x=y=4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省， 所需围栏的长度为16 m. 法二　由已知xy=16，得y=. 所以2(x+y)=2≥2×2=16. 当且仅当x=y=4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. [变式拓展] 如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大? 解:由已知得2(x+y)=12，故x+y=6，面积为xy， 由≤==3，或=≤=3，可得xy≤9， 当且仅当x=y=3时，等号成立. 因此，当游乐园是边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2. |思|维|建|模| 利用均值不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义; (2)构造定值，利用均值不等式求最值; (3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意; (4)结论.　　 4.某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=. 针对训练 解:设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为=. ∴每平方米的平均综合费用 y=560+48x+=560+48. 当x+取最小值时，y有最小值. ∵x≥10，∴x+≥2=30. 当且仅当x=，即x=15时，上式等号成立. ∴当x=15时，y有最小值2 000元. 因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少. 题型(三)　均值不等式的综合运用 03 [例4]　(1)已知x>1时，不等式2x+m+>0恒成立，则实数m的取值范围是(　 ) A.{m|m<-8} B.{m|m>-8} C.{m|m<-6} D.{m|m>-6} [解析]　不等式2x+m+>0化为2(x-1)+>-m-2， ∵x>1，∴2(x-1)+≥2×=4，当且仅当x=2时，等号成立. ∵不等式2x+m+>0对一切x∈{x|x>1}恒成立，∴-m-2<4，解得m>-6. √ (2)已知4x+(x>0， a>0)在x=3时取得最小值，则a=_____.  [解析]　∵x>0，a>0，∴y=4x+≥2=4. 当且仅当4x=，即4x2=a时y取得最小值， 又∵x=3，∴a=4×32=36. 36 |思|维|建|模| 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用均值不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围. (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.　 5.已知正实数a，b满足+=m，若·的最小值为4，则实数m的取值范围是(　 ) A.{2} B.{m|m≥2} C.{m|0<m≤2} D.{m|m>0} 针对训练 √ 解析:因为a，b为正实数，=ab++2≥2+2=4，当且仅当ab=， 即ab=1时等号成立，此时有b=，又因为+=m，所以a+=m， 由均值不等式可知a+≥2(当且仅当a=1时等号成立)，所以m≥2. 6.已知a>0，b>0，若+≥恒成立，则m的取值范围是__________.  解析:根据题意，a>0，b>0，+≥恒成立等价于(a+3b)≥m恒成立.所以(a+3b)=3+++3=6++≥6+2=12，当且仅当=，即a=3b时等号成立，所以m≤12. {m|m≤12} 04 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.下列各式中最小值为2的是 (　 ) A.y=t+(t>1) B.y=+ C.y=t+(t>1) D.y=t++1(t>0) √ 解析:对于A，y=t+≥2，当且仅当t=1时，等号成立;对于B，y=+≥2，当且仅当t=1时，等号成立;对于C，y=t+ =t-1++1≥3;对于D，y=t++1≥3. 15 14 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.已知(x>1)在x=t时取得最小值，则t等于(　 ) A.1+ B.2 C.3 D.4 √ 解析:=x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x-1=， 即x=2时，等号成立. 15 14 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.3x2+的最小值是(　 ) A.3-3 B.3 C.6 D.6-3 √ 15 14 16 解析:3(x2+1)+-3≥2-3=2-3=6-3， 当且仅当x2=-1时，等号成立，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.已知a>0，b>0，a+b=+，则+的最小值为(　 ) A.4 B.2 C.8 D.16 解析:由a+b=+=，得ab=1，则+≥2=2，当且仅当=时， 等号成立. √ 15 14 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.已知正实数a，b满足a+b=2，则+的最大值为(　 ) A.2 B.4 C.4 D.16 √ 解析:因为(+)2=(a+1)+(b+1)+2·≤(a+1)+(b+1) +(a+1)+(b+1)=2(a+b+2)=8，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以+的最大值为2. 15 14 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于2，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为(　 ) A. B.1 C.2 D.6 解析:设该直角三角形的斜边为c=2，直角边为a，b，则a2+b2=c2=8.因为2ab≤a2+b2，所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2)，即(a+b)2≤16，当且仅当a=b，且a2+b2=8，即a=b=2时，等号成立.因为a>0，b>0，所以a+b≤4，所以a+b的最大值为4.该直角三角形周长为a+b+c≤4+2.故这个直角三角形周长取最大值4+2时，a=b=2，此时三角形的面积为×2×2=2. √ 15 14 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(5分)已知0<x<1，则x(1-x)的最大值为____，此时x=____.  15 14 解析:因为0<x<1，所以1-x>0，所以x(1-x)≤==，当且仅当x=1-x，即x=时，等号成立，即当x=时，x(1-x)取得最大值. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)若矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为____.  解析:由题意，矩形的长为a，宽为b，且面积为64，即ab=64，所以矩形的周长为2a+2b=2a+≥2=32，当且仅当a=8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32. 15 14 16 32 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)已知x>0，y>0，且x+2y=4，则(1+x)(1+2y)的最大值为_____.  解析:(1+x)(1+2y)≤==9，当且仅当1+x=1+2y， 即x=2，y=1时，等号成立. 15 14 16 9 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)已知正数x，y满足(x-2)(y-1)=2，若不等式x+2y>m恒成立，则实数m的取值范围是_________.  解析:因为x>0，y>0，则(x-2)(y-1)=xy-(x+2y)+2=2，所以x+2y=xy， 所以+=1. 所以x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8， 当且仅当=时，即x=4，y=2时，等号成立. 又x+2y>m恒成立，所以m<8. 15 14 16 {m|m<8} 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界.若a，b为正实数，且a+b=1，则--的上确界为_________.  解析:因为a，b为正实数，且a+b=1，所以+=×(a+b)=+≥+2=，当且仅当b=2a，即a=，b=时，等号成立，因此有--≤-，即--的上确界为-. 15 14 16 - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(5分)在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1=+，则这两个数分别为_______.  解析:设+=1，a，b∈N+， ∴a+b=(a+b)·1=(a+b)=1+9++≥10+2=10+2×3=16， 当且仅当=，即b=3a时，等号成立. 又+=1，∴+=1，∴a=4，b=12. 这两个数分别是4，12. 15 14 16 4，12 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(5分)若a>0，b>0，且a2+=1，则a的最大值为______.  解析:∵a>0，b>0，a2+=1， ∴a== = ≤ = =， 当且仅当正数a，b满足a2=且a2+=1，即a=，b=时，等号成立. ∴a的最大值为. 15 14 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 14.(10分)如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”.在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式:s=v2+v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米.现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”. (1)试写出经过观测点A的每辆车之间 的时间间隔T与速度v的函数关系式;(3分) 14 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式;(3分) 14 15 解:T===++. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大?(7分) 14 15 解:经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小. ∵T=++≥2+=， 当且仅当=，即v=20时取等号. ∴当v=20米/秒时，经过观测点A的车流量最大. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 15.(10分)设a，b为正实数，且+=2. (1)求a2+b2的最小值;(5分) 14 15 解:∵a，b为正实数，且+=2≥2，当且仅当a=b时，等号成立， 即ab≥，当且仅当a=b时，等号成立. ∵a2+b2≥2ab≥2×=1，当且仅当a=b时，等号成立，∴a2+b2的最小值为1. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若(a-b)2≥4(ab)3，求ab的值.(5分) 14 15 解:∵+=2，∴a+b=2ab.∵(a-b)2≥4(ab)3， ∴(a+b)2-4ab≥4(ab)3，即(2ab)2-4ab≥4(ab)3， 即(ab)2-2ab+1≤0，(ab-1)2≤0. ∵a，b为正实数，∴ab=1. 16 ≥ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 16.(10分)志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE=CE，AB>AD，矩形的周长为8 cm. (1)设AB=x cm，试用x表示出图中DE的长度， 并求出x的取值范围.(4分) 14 15 解:由题意可得AD=4-x，且x>4-x>0，可得2<x<4.又AE=CE=x-DE， 在直角三角形ADE中，可得AE2=AD2+DE2， 即(x-DE)2=(4-x)2+DE2，化简可得DE=4-(2<x<4). 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽?(6分) 14 15 解:S△ADE=AD·DE=(4-x)=2≤2 =12-8， 当且仅当x=2，4-x=4-2， 即队徽的长和宽分别为2，4-2时，△ADE的面积最大. 16 阶段质量评价 A卷——基本知能盘查 阶段质量评价 B卷——高考能力达标 本课结束 $$