2.2.4 第1课时 均值不等式（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦均值不等式及其应用，通过课前预习（算术与几何平均值、常用变形）、微点易错（a,b>0条件辨析）、基础训练巩固基础，再分直接求最值、比较大小、证明不等式题型研究，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于题型研究式教学，每个题型配套例题解析、思维建模（如求最值总结“和定积最大”）及针对训练，微点易错培养数学眼光，证明题训练数学思维与语言表达，助力学生掌握方法，教师可高效开展分层教学。

2.2.4 均值不等式及其应用 均值不等式 第1课时 [教学方式:深化学习课 —题型研究式教学] 课时目标 1.掌握均值不等式≤(a>0，b>0)，掌握均值不等式的变形及应用. 2.能熟练运用均值不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式. 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数_____称为a，b的算术平均值;数 称为a， b的几何平均值. 2.均值不等式 如果a，b都是正数，那么，当且仅当_____时，等号成立 . ≥ a=b 3.常用变形 (1)≥ab，a，b∈R，当且仅当a=b时，等号成立. (2)a+b≥2，a，b都是正数，当且仅当a=b时，等号成立. 4.结论 (1)当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值; (2)当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. |微|点|助|解| (1)均值不等式≥中，要求a，b都是正实数，否则，若a<0，b<0，如a=-2，b=-4，则会出现≥的错误结论.若a，b中有一个小于0，如a=2，b=-4，则无意义. (2)均值不等式成立的条件是a>0，b>0，而重要不等式中的a，b是实数.事实上，当a>0，b>0时，我们分别用代替重要不等式中的a，b，即得a+b≥2，变形可得≥. (3)均值不等式中的a，b的取值既可以是某个具体的正数，也可以是一个代数式，但是代数式的结果应为正数. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若a>0，b>0且a≠b，则a+b>2.(　 ) (2)6和8的几何平均数为2.(　 ) (3)对任意a，b∈R，a2+b2≥2ab，a+b≥2 均成立.(　 ) (4)若a≠0，则a+≥2 =2.(　 ) 基础落实训练 √ × × × 2.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是 (　 ) A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 解析:当a2+1=2a，即(a-1)2=0，即a=1时，等号成立. √ 3.设a>b>0，则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.a-b<0 B.0<<1 C.< D.ab>a+b √ 解析:∵a>b>0，由均值不等式知<一定成立. 4.(多选)当a，b∈R时，下列不等关系不成立的是 (　 ) A.≥ B.a-b≥2 C.a2+b2≥2ab D.a2-b2≥2ab √ 解析:根据≥ab，≥成立的条件判断，知A、B、D错误，只有C正确. √ √ CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　直接利用均值不等式求最值 题型(二)　利用均值不等式比较大小 题型(三)　利用均值不等式证明不等式 4 课时检测 题型(一)　直接利用均值不等式求最值 01 [例1]　(1)已知实数x<0，求x+的最大值. 解:因为x<0，所以-x>0，所以x+=-≤-2=-2. 当且仅当-x=-，即x=-1时等号成立，所以x-的最大值为-2. (2)若+=2(x>0，y>0)，求xy的最小值. 解:因为x>0，y>0，所以+≥2，当且仅当=，且+=2(x>0，y>0)即x=1，y=1时取等号，所以2≤2，xy≥1，故xy的最小值是1. |思|维|建|模| (1)求“和”式的最小值，一般运用变形a+b≥2，这时必须确保“积”是定值(a>0，b>0). (2)求“积”式的最大值，一般运用变式ab≤，这时必须确保“和”是定值(a>0，b>0). (3)注意检验等号成立的条件是否满足，若不满足，则不可直接运用均值不等式.　 1.已知x>0，则x-4+的最小值为(　　) A.-2 B.0 C.1 D.2 针对训练 解析:∵x>0，∴x+-4≥2-4=0，当且仅当x=，即x=2时，等号成立. √ 2.已知a>0，b>0，且ab=9a+b，则ab的最小值为_____.  解析:因为a>0，b>0，所以ab=9a+b≥2=6，即ab≥6，解得ab≥36，当且仅当9a=b，即a=2，b=18时，等号成立. 36 题型(二)　利用均值不等式比较大小 02 [例2]　(1)设0<a<b，则下列不等式正确的是 (　 ) A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b [解析]　法一　∵0<a<b，∴a<<b，排除A、C两项. 又-a=(-)>0，即>a，排除D项，故选B. 法二　取a=2，b=8，则=4，=5， 所以a<<<b. 故选B. √ (2)已知m=a+(a>2)，n=2-b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是 _______.  [解析]　因为a>2，所以a-2>0， 又因为m=a+=(a-2)++2，所以m≥2+2=4，当且仅当a-2=，即a=3时，等号成立.由b≠0，得b2≠0，所以2-b2<2， n=2-b2<4，综上可知m>n. m>n |思|维|建|模| 利用均值不等式比较大小的注意事项 (1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. 3.设0<a<b，且a+b=1，在下列四个数中最大的是 (　 ) A. B.b C.2ab D.a2+b2 √ 针对训练 解析:∵ab<，∴ab<，∴2ab<. ∵>>0，∴>，∴a2+b2>. ∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0，∴b>a2+b2，∴b最大. 4.已知a，b，c是两两不等的实数，则a2+b2+c2与ab+bc+ac的大小关系是 ___________________. 解析:∵a，b，c互不相等，∴a2+b2>2ab，b2+c2>2bc，a2+c2>2ac.∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac)，即a2+b2+c2>ab+bc+ac. a2+b2+c2>ab+bc+ac 题型(三)　利用均值不等式证明不等式 03 [例3]　已知a，b，c是互不相等的正数，且a+b+c=1. 求证:++>9. [证明]　∵a，b，c是互不相等的正数，且a+b+c=1， ∴++=++=3++++++ =3+++>3+2+2+2=3+2+2+2=9. ∴++>9. [变式拓展] 本例条件不变，求证:>8. 证明:∵a，b，c是互不相等的正数，且a+b+c=1， ∴-1=>0，-1=>0，-1=>0， ∴=··>=8. ∴>8. |思|维|建|模| 利用均值不等式证明不等式的两种题型及解题思路 无附加条件 观察要证不等式的结构特征,若不能直接使用均值不等式,则要结合左、右两边的结构特征,进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等,使之满足使用均值不等式的条件 有附加条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系,条件的巧妙代换是一种较为重要的变形.另外,解题过程中要时刻注意等号能否取到 5.已知x>0，y>0，求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3. 针对训练 证明:∵x，y都是正数，∴x+y≥2>0， x2+y2≥2>0，x3+y3≥2>0. ∴(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥2·2·2=8x3y3， 即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3， 当且仅当x=y时，等号成立. 04 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.(多选)下列条件可使+≥2成立的有(　 ) A.ab>0 B.ab<0 C.a>0，b>0 D.a<0，b<0 √ 解析:根据均值不等式的条件，a，b同号，则>0，>0. 14 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.设t=a+2b，s=a+b2+1，则t与s的大小关系是 (　 ) A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s<t √ 解析:∵b2+1≥2b(当且仅当b=1时等号成立)，∴a+2b≤a+b2+1.∴t≤s. 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.下列不等式正确的是 (　 ) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 √ 14 解析:若a<0，则a+≥4不成立，故A错误;若a=1，b=1，则a2+b2<4ab，故B错误;若a=4，b=16，则<，故C错误;由均值不等式可知D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.(多选)设a，b∈R，且a≠b， a+b=2，则必有 (　 ) A.ab>1 B.ab<1 C.<1 D.>1 解析:由均值不等式可得ab≤， a≠b，所以ab<1， 又1==<=(a2+b2)，所以(a2+b2)>1， 所以 ab<1<(a2+b2) ，所以A不符合题意，B正确，C不符合题意，D正确，故选B、D. √ 14 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.设M=，N=n3++6，对于任意的n>0，M，N的大小关系为(　 ) A.M≥N B.M>N C.M≤N D.不能确定 √ 解析:M-N=-n3--6=n3+++3n-n3--6=3-6，∵n>0，∴n+≥2=2，当且仅当n=1时，等号成立，∴3-6≥0，∴M≥N. 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.两个工厂生产同一种产品，其产量分别为a，b(0<a<b).为便于调控生产，分别将=1，==中x(x>0)的值记为A，G，H并进行分析.则A，G，H的大小关系为(　 ) A.H<G<A B.G<H<A C.A<G<H D.A<H<G 解析:由=1得x-a=b-x，解得x=，即A=;由=得x2-ax=ab-ax，解得x=，即G=;由=得bx-ab=ab-ax，解得x=， 即H=≤=.又≥，∴≤≤，当且仅当a=b时， 等号成立.∴H<G<A. √ 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(多选)设a>0，b>0，则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.a+b+≥2 B.≤ C.≥ D.(a+b)≥4 √ 14 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:因为a>0，b>0，所以a+b+≥2+≥2，当且仅当a=b且2=，即a=b=时，等号成立，故A一定成立.由做差比较法，-=≥0，可知≤，故B一定成立.因为a+b≥2>0， 所以≤=，当且仅当a=b时，等号成立，故C不一定成立.因为(a+b)·=2++≥4，当且仅当a=b时，等号成立，故D一定成立. 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)下列不等式:①a2+1>2a;②≥2;③≤2;④x2+≥1.其中正确的个数是____.  解析:由均值不等式可知②④正确. 14 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是_____.   解析:当x>2时，+(x-2)≥2=6，等号成立的条件是 =x-2，即(x-2)2=9，解得x=5(x=-1舍去). 14 x=5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)已知a>b>c，则与的大小关系为 _____________________.  解析:因为a>b>c，所以a-b>0，b-c>0， 所以=≥，当且仅当a-b=b-c时，等号成立. 14 ≤ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)已知a，b，c都是非负实数，试比较++与(a+b+c)的大小. 解:由≤，得≥(a+b). 同理得≥(b+c)，≥(a+c). 所以++≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)]=(a+b+c). 故++≥(a+b+c)，当且仅当a=b=c时， 等号成立. 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证:a+b+c>++. 证明:∵a>0，b>0，c>0，∴≥≥≥.∴++≥++， 即a+b+c≥++.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，∴a+b+c>++. 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)已知a，b，c为正数，求证:++≥3. 证明:左边=+-1++-1++-1=++-3. ∵a，b，c为正数，∴+≥2，当且仅当a=b时，等号成立; +≥2，当且仅当a=c时，等号成立; +≥2，当且仅当b=c时，等号成立. 从而++≥6，当且仅当a=b=c时，等号成立. ∴++-3≥3， 即++≥3. 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 14.(15分)均值不等式≥(a>0，b>0)可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为 ≥≥≥(a>0，b>0). (1)证明不等式≥;(6分) 14 证明:由题意可知，a>0，b>0，则>0，>0. ∴·=+++≥1+2=2，当且仅当a=b时，等号成立. ∴≥. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)上面给出的均值不等式链是二元形式，其中≥(a>0，b>0)指的是两个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，并尝试用分析法证明猜想.(9分) 14 证明:要证 ≥(a1>0，a2>0，a3>0)， 只要证≥. 即证3+3+3≥(a1+a2+a3)2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 ∵(a1+a2+a3)2=+++2a1a2+2a2a3+2a1a3， 又2a1a2≤+，2a2a3≤+，2a1a3≤+，当且仅当a1=a2=a3时，等号成立， ∴+++2a1a2+2a2a3+2a1a3≤+++2(++)=3(++)， 即3+3+3≥(a1+a2+a3)2，当且仅当a1=a2=a3时，等号成立. ∴ ≥(a1>0，a2>0，a3>0). 即可得证. 14 本课结束 $$