2.1.3 方程组的解集（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦方程组的解集，系统讲解二元一次、三元一次及二元二次方程组的概念与解法，通过“逐点理清”模式，从概念辨析（多维理解）到解法步骤（表格归纳）再到即时练习（微点练明），构建递进式学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于结构化教学与核心素养结合，用表格明晰消元步骤培养运算能力（数学思维），借“百鸡问题”“鸡兔同笼”等情境发展应用意识（数学语言），强调解集集合表示强化符号意识（数学眼光）。学生能循序渐进掌握知识，教师可直接依托资料实施教学，提升课堂效率。

2.1.3 方程组的解集 [教学方式:基本概念课 —逐点理清式教学] 课时目标 理解二元一次方程组的概念;掌握二元一次方程组的解法、三元一次方程组的解法及二元二次方程组的解法. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　二元一次方程组的解集 逐点清(二)　三元一次方程组的解集 逐点清(三)　二元二次方程组的解集 4 课时检测 逐点清(一) 二元一次方程组的解集 01 多维理解 1.方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，每个方程的解集的_____称为这个方程组的解集. 2.二元一次方程组 方程组含有___个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是____，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组. 例如都是二元一次方程组. 交集 两 1 3.用代入消元法解二元一次方程组的步骤 变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为y=ax+b(或x=ay+b)(a，b是常数，a≠0)的形式 代入 把y=ax+b(或x=ay+b)代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值 回代 把求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数 写解集 用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式 1.方程组的解集为(　 ) A.{(2，1)} B.∅ C.{1，2} D.{(1，2)} 微点练明 解析:∵∴ ∴方程组的解集为{(1，2)}. √ 2.若关于x，y的方程组的解集为，则m-n=(　 ) A.4 B.-4 C.6 D.-6 √ 解析:∵关于x，y的方程组的解集为，∴解得 ∴m-n=-6. 3.选择合适的方法解下列方程组: (1) 解:由①，得y=2x-3，　 ③ 把③代入②，得3x+4(2x-3)=10，解得x=2. 把x=2代入③，得y=1. 所以原方程组的解为 即方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}. (2) 解:①×2，得2x+4y=6， ③ ③+②，得5x=10，解得x=2. 把x=2代入①，得2+2y=3，解得y=. 所以原方程组的解为 即方程组的解集为. 逐点清(二) 三元一次方程组的解集 02 多维理解 1.三元一次方程组 三元一次 方程 含有___个未知数，并且所含未知数的项的次数都是___， 这样的方程叫做三元一次方程 三元一次 方程组 共含有___个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组 1 三 三 2.解三元一次方程组的一般步骤 消元 把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，利用代入消元法或加减消元法，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组 求解 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值 回代 将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一元一次方程 求解 解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值 写解集 把方程组的解用集合表示出来 1.已知则x∶y∶z=(　 ) A.(-1)∶13∶5 B.1∶(-17)∶(-5) C.1∶5∶13 D.1∶17∶5 √ 微点练明 解析:因为两式相加得5x+z=0，则z=-5x，则y= -13x，所以x∶y∶z=x∶(-13x)∶(-5x)=1∶(-13)∶(-5)=(-1)∶13∶5. 2.若则xyz=(　 ) A.2 B. C.± D.3 解析:由方程组①÷②得=，z=2x，代入③得x=±，z=±. 再代入①得y=±，即原方程组的解为或 故xyz=±. √ 3.已知方程组的解也是方程3x+my+2z=0的解，则m的值为 _____.  解析:由原方程组可得(x-y)+(y-z)=5，即x-z=5，则解得把x=3代入x-y=2得，y=1.故原方程组的解是 代入3x+my+2z=0，得9+m-4=0，解得m=-5. -5 4.公元5世纪末，中国数学家张丘建提出了“百鸡问题”:今有鸡翁一，值钱五;鸡母一，值钱三;鸡雏三，值钱一.凡百钱买鸡百只.问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何. 解:设鸡翁、鸡母、鸡雏各x，y，z(x，y，z∈N+)只，则 消去z可得4y=100-7x>0，解得x≤14，且x能被4整除，故x可能的取值为4，8，12，所以方程组的解集为. 逐点清(三) 二元二次方程组的解集 03 多维理解 1.二元二次方程组 (1)二元二次方程:含有___个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为___，像这样的方程叫做二元二次方程. (2)二元二次方程组:方程组中含有____个未知数，含有未知数的项的最高次数为___，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元二次方程组. 两 2 两 2 |微|点|助|解| (1)二元二次方程组有两种类型:一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成;二是由两个二元二次方程组成，我们主要学习第一种类型. (2)解二元二次方程组的思路是消元和降次. 2.解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤 变形 把二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，即y=ax+b(或x=ay+b) 代入 把y=ax+b(或x=ay+b)代入二元二次方程 求解 解消元后的方程 回代 把求得的未知数的值代入y=ax+b(或x=ay+b)，求出另一个未知数的值 写解集 写出原方程组的解集 1.方程组的解集是(　 ) A.(5，4) B.(5，-4) C.{(-5，4)} D.{(5，-4)} 微点练明 √ 解析:因为x2-y2=9=(x+y)(x-y)，将x+y=1代入，得x-y=9.所以x+y+ x-y=2x=10，解得x=5.代入x+y=1得y=-4.所以方程组 的解集为{(5，-4)}. 2.求下列方程组的解集: (1) 解: 由①得y=2x　③. 把③代入②得x2-(2x)2+3=0， 解得x=1或x=-1.把x=1代入③得y=2， 把x=-1代入③得y=-2. 因此，原方程组的解集为{(1，2)，(-1，-2)}. (2) 解: 由①得y=7-x　③. 把③代入②，整理得x2-7x+12=0，即(x-3)(x-4)=0，解得x=3或x=4. 把x=3代入③得y=4，把x=4代入③得y=3. 所以原方程组的解集为{(3，4)，(4，3)}. (3) 解: 由①得y=x+1　③. 把③代入②，整理得x2-2x+1=0，即(x-1)2=0，解得x=1. 把x=1代入③得y=2. 所以原方程组的解集为{(1，2)}. 04 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.(多选)对于二元一次方程组的解用集合表示正确的是(　 ) A.{(-1，1)} B.{-1，1} C.(-1，1) D. √ 解析:方程组的解集为有序实数对，列举法表示为{(-1，1)}， 描述法表示为或{(x，y)|(-1，1)}.故选A、D. 14 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.已知一个二元一次方程组的解是则这个方程组可以是(　 ) A. B. C. D. √ 解析:A.x+y=-3，2x-y=0，故该选项符合题意;B.x-2y=-1-(-4)=3， 故该选项不符合题意;C.y-x=-2-(-1)=-1，故该选项不符合题意; D.2x-y=-1×2-(-2)=0，故该选项不符合题意. 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.已知是二元一次方程组的解，则a-b的值为(　 ) A.1 B.-1 C.2 D.3 √ 14 解析:把代入原方程组得 解得所以a-b=-1.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.小明求得方程组的解为由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数●和■，则这两个数分别为(　 ) A.-2和2 B.-2和4 C.2和-4 D.2和-2 解析:将y=4代入方程4x+y=12得4x+4=12，解得x=2.将代入方程3x-2y=■中，∴■=3×2-2×4=6-8=-2，即这两个数为2和-2.故选D. √ 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.方程组的解集为(　 ) A. B. C. D. √ 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:将①代入②③消去z， 得解得 把x=2，y=3代入①，得z=5. 所以原方程组的解为 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.如果方程组的解中的x与y的值相等，那么a的值是(　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:∵x与y的值相等，∴3x+7x=10，解得x=y=1.把x=y=1代入2ax+ (a-1)y=5，得2a+a-1=5，解得a=2. √ 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.若方程组有唯一解，则m的值为(　 ) A. B.- C.± D.0 √ 14 解析:由②得，y=x+m，　 ③ 把③代入①，得x2+(x+m)2-1=0. 整理，得2x2+2mx+m2-1=0. ④ ∵方程组有唯一解，∴方程④有唯一解. ∴Δ=4m2-8(m2-1)=-4m2+8=0，∴m=±，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有木，不知长短， 引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何?”大致意思是:“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺?”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是 (　 ) A. B. C. D. 14 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.若购买甲商品3件，乙商品2件，丙商品1件，共需140元;购买甲商品1件，乙商品2件，丙商品3件，共需100元，那么购买甲商品1件，乙商品1件，丙商品1件，共需 (　 ) A.50元 B.60元 C.70元 D.80元 解析:设购买一件甲商品需x元，一件乙商品需y元，一件丙商品需z元， 根据题意得①+②得4x+4y+4z=240，即x+y+z=60，∴共需60元. 14 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(多选)鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学趣题，出自《孙子算经》.原文为:今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?小雪自己解决完此题后，又饶有兴趣地为同学编制了四道题目，其中可以求得鸡兔只数的题目是 (　 ) A.今有雉兔同笼，上有三十头，下有五十二足，问雉兔各几何? B.今有雉兔同笼，上有三十头，下有八十一足，问雉兔各几何? C.今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十足，问雉兔各几何? D.今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十二足，问雉兔各几何? 14 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:设笼中有x只雉，y只兔.对于A，解得不符合题意;对于B，此方程组无整数解，不符合题意;对于C，解得符合题意;对于D，解得符合题意. 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.如图，大长方形ABCD中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为 (　 ) A.143 B.99 C.44 D.53 解析:设小长方形的长为x，宽为y，观察图形可得解得小长方形的面积为5×2=10，大长方形的面积为AB×BC=(3y+x)(x+4y)=11×13=143，所以空白部分面积为143-9×10=53. 14 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(5分)“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”(图①所示)，是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”(图②所示).观察图①、图②，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系.在新“幻方”(图③所示)中，a，b的值分别为_______.  解析:根据题意得，新“幻方”每行、每列及对角线的和相等， ∴解得 14 -3，0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)解方程组: (1)(5分) 解:由①得:(x-1)(y-1)=0，即x=1或y=1. 当x=1时，4y2=-2无解. 当y=1时，3x2=-3无解， ∴原方程组无解. 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)(5分) 解:由①得:(3x-4y)(x+y)-(3x-4y)=0， (3x-4y)(x+y-1)=0，即3x-4y=0或x+y-1=0. 由得或 由得或 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 14.(10分)今年学校举行足球联赛，共赛17轮(即每队均需参赛17场)，记分办法是:胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分.在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数是多少? 14 解:设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意，得把③代入①②，得 解得z=(k∈N+). 又∵z为正整数，∴当k=1时，z=7;当k=2时，z=5;当k=16时，z=1. 综上所述，小虎足球队所负场数是1或5或7，共3种情况. 本课结束 $$