1.2.3 第1课时 充分条件与必要条件、充要条件（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦充分条件、必要条件及充要条件核心内容，从命题“若p则q”切入，关联判定定理、性质定理与数学定义，通过“逐点清”结构搭建逻辑关系学习支架，帮助学生理清推出方向与条件关系脉络。 其亮点在于“多维理解”表格对比推出关系与条件关系，“微点助解”用“有之必成立”等通俗语言阐释逻辑内涵，结合数学思维（推理意识）与数学语言（符号表达）设计分层训练，学生能深化逻辑理解，教师可借助典例与检测提升教学效率。

1.2.3 充分条件、必要条件 充分条件与必要条件、充要条件 第1课时 [教学方式:基本概念课 —逐点理清式教学] 课时目标 1.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系. 2.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　充分条件与必要条件 逐点清(二)　充要条件 逐点清(三)　充分、必要条件的探求 4 课时检测 逐点清(一)　充分条件与必要条件 01 多维理解   “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p___q p q 条件关系 p是q的_____条件，q是p的_____条件 p不是q的_____条件，q不是p的_____条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的_________; 性质定理给出了相应数学结论成立的_________ ⇒ 充分 必要 充分 必要 充分条件 必要条件 |微|点|助|解| (1)对于命题“若p，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看“⇒”的推出方向，“箭尾”是“箭头”的充分条件，“箭头”是“箭尾”的必要条件. (2)若p⇒q，则p是q的充分条件.所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.“有之必成立，无之未必不成立”. (3)若p⇒q，则q是p的必要条件.所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可.“有之未必成立，无之必不成立”. (4)p是q的充分条件反映了p⇒q，而q是p的必要条件同样反映了p⇒q，这说明p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一逻辑关系，只是说法不同. (5)如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作p q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.(　 ) (2)若p是q的充分条件，则p是唯一的.(　 ) (3)若q不是p的必要条件，则“p q”成立.(　 ) (4)“x>0”是“x>1”的充分条件.(　 ) 微点练明 × × √ × 2.从符号“⇒”“ ”“⇔”中选择适当的一个填空: (1)x2>1___x>1;  (2)a，b都是偶数___a+b是偶数;  (3)x2=1___|x|=1;  (4)n是偶数___n是4的倍数.  ⇒ ⇔ 3.下列是“四边形是矩形”的充分条件是 (　 ) A.四边形的对角线相等 B.四边形的两组对边分别相等 C.四边形有两个内角都为直角 D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补 √ 解析:四边形的对角线相等且平分才是矩形，故A错误;四边形的两组对边分别相等为平行四边形，故B错误;四边形有三个内角为直角才是矩形，故C错误;四边形两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角互补，又有一组对角互补，故相邻两角相等，又相邻两角之和为180°，故相邻两角均为直角，故该平行四边形是矩形，故D正确. 4.(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是 (　 ) A.若x<1，则x<2 B.若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C.若|x|≠1，则x≠1 D.若ab>0，则a>0，b>0 √ 解析:由x<1，可以推出x<2，所以选项A符合题意;由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意;由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意;由ab>0，不一定能推出a>0，b>0，比如a=b=-1，所以选项D不符合题意. √ √ 5.(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是 (　 ) A.若x，y是偶数，则x+y是偶数 B.若a<2，则方程x2-2x+a=0有实根 C.若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D.若ab=0，则a=0　 √ 解析:A:x+y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意;B:当方程x2-2x+a=0有实根时，则有(-2)2-4a≥0⇒a≤1，显然能推出a<2，符合题意;C:因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意;D:显然由a=0可以推出ab=0，符合题意. √ √ 逐点清(二)　充要条件 02 多维理解 (1)如果p⇒q且q p，则称p是q的____________条件. (2)如果p q且q⇒p，则称p是q的___________条件. (3)如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的_________条件(简称为_____条件)，记作_____，此时，也读作“p与q等价”“p当且仅当q”. 充分不必要 必要不充分 充分必要 充要 p⇔q |微|点|助|解| 1.条件p与结论q的关系与充分、必要条件 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，但q p p是q的充分不必要条件 q⇒p，但p q p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p，即p⇔q p与q互为充要条件 p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件 2.从集合的角度看充分、必要条件 如果把p研究的范围看成集合A，把q研究的范围看成集合B，则可得下表: 关系 A B B A A=B A⊈B且B⊈A 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的 (　 ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 √ 微点练明 解析:解x2-2x+1=0得x=1，所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件. 2.(多选)对任意实数a，b，c，下列命题正确的是 (　 ) A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件 B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C.“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件 D.“a<5”是“a<3”的必要不充分条件 解析: 由ac=bc，得ac-bc=0，即c(a-b)=0，故c=0或a=b，所以a=b是ac=bc的充分不必要条件，所以A不正确;因为a+5是无理数，5是有理数，所以a是无理数，若a是无理数，则a+5是无理数，故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，所以B正确;若0>a>b，则a2<b2，所以“a>b”不是“a2>b2”的充分条件，所以C不正确;a<5推不出a<3，若a<3，则a<5，故“a<5”是“a<3”的必要不充分条件，所以D正确. √ √ 3.已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的_____条件.  解析:a>0且b>0⇒a+b>0且ab>0，a+b>0且ab>0⇒a>0且b>0. 充要 逐点清(三) 充分、必要条件的探求 03 [典例]　(1)使“x≤-或x≥3”成立的一个充分不必要条件是(　 ) A.x<0 　　　B.x≥0 C.x∈{-1， 3， 5} 　　　D.x≤-或x≥3 [解析]　对于A，x<0不能推出x≥3或x≤-，反之也不能，是其既不充分也不必要条件; 对于B，x≥0不能推出x≥3或x≤-，反之也不能，是其既不充分也不必要条件; 对于C，x∈{-1，3，5}可以推出x≥3或x≤-，反之不能，是其充分不必要条件; 对于D，x≤-或x≥3，是其充要条件. √ (2)设a，b∈R，则“ab+1=a+b”的充要条件是 (　 ) A.a，b都为1 　　　B.a，b都不为1 C.a，b中至少有一个为1 　　　D.a，b都不为0 [解析]　由ab+1=a+b，可得(a-1)(b-1)=0，解得a=1或b=1， 故“ab+1=a+b”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”.故选C. √ |思|维|建|模| 1.探求充分、必要条件的方法 (1)寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p，从集合的角度看，是找q的子集; (2)寻求q的必要条件p，即求以q为条件可推出的结论p，从集合的角度看，是找能包含q的集合. 2.探求充要条件的方法 (1)先由结论寻找使之成立的条件，再由条件来推证结论成立，即保证必要性和充分性都成立. (2)变换命题为其等价命题，使每一步都可逆，直接得到使结论成立的充要条件. 1.“a<0，b<0”的一个必要条件为 (　 ) A.a+b<0 B.a+b>0 C.>1 D.<-1 针对训练 √ 解析:对于A，因为a<0，b<0，所以a+b<0，即a+b<0是“a<0，b<0”的必要条件，A正确;对于B，当a<0，b<0时，a+b>0不可能成立，B不正确;对于C，当a<0，b<0时，>1不一定成立，如a=-1，b=-2满足条件，而<1，C不正确;对于D，当a<0，b<0时，必有>0成立，即不能推出<-1，D不正确.故选A. 2.(多选)使0<x<3成立的一个充分条件是 (　 ) A.2<x≤3 B.0≤x<1 C.0<x≤2 D.1<x<2 √ 解析: 从集合观点看，求0<x<3成立的一个充分条件，就是从A、B、C、D中选出集合{x|0<x<3}的子集.由于{x|0<x≤2}⊆{x|0<x<3}，{x|1<x<2}⊆{x|0<x<3}，故选C、D. √ 04 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.若集合A={1， a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B”的 (　 ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 √ 解析:∵A={1， a}，B={1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a=2或a=3，即a=3⇒A⊆B，∴“a=3”是“A⊆B”的充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的 (　 ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.无法判断 √ 解析:“好人”是“有好报”的充分条件，反之未必成立，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.(多选)下列选项中，可以是x2<4的一个必要条件的是 (　 ) A.-2<x<2 B.-2≤x≤2 C.0<x<2 D.-2<x<0 √ 解析:∵x2<4，∴-2<x<2，∴A、B是x2<4的必要条件. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:若a2=b2，则当a=-b≠0时，有a2+b2=2a2，2ab=-2a2，即a2+b2≠2ab，所以由a2=b2 a2+b2=2ab;若a2+b2=2ab，则有a2+b2-2ab=0，即(a-b)2=0，所以a=b，则有a2=b2，即a2+b2=2ab⇒a2=b2.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是 (　 ) A.p:a是无理数，q:a2是无理数 B.p:四边形为等腰梯形，q:四边形对角线相等 C.p:x>2，q:x≥1 D.p:a>b，q:ac2>bc2 √ 解析:A中，a=是无理数，a2=2是有理数，所以p不是q的充分条件;B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件;C中，x>2⇒x≥1，所以p是q的充分条件;D中，当c=0时，ac2=bc2，所以p不是q的充分条件. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要条件是 (　 ) A.ab=0 B.ab<0 C.ab≥0 D.ab≤0 解析:|a+b|=|a|+|b|⇔(a+b)2=(|a|+|b|)2⇔a2+2ab+b2=a2+2|ab|+b2⇔ab=|ab|⇔ab≥0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则 (　 ) A.p是q的既不充分也不必要条件 B.p是s的充分条件 C.r是q的必要不充分条件 D.s是q的充要条件 √ 解析:由已知得p⇒r⇒s⇒q，q⇒r⇒s.∴p是q的充分条件;p是s的充分条件;r是q的充要条件;s是q的充要条件.故选B、D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.使不等式0<<1 成立的一个充分不必要条件可以是(　 ) A.0<x< B.x>1 C.x>2 D.x>0 解析:由0<<1⇒⇒x>1(其成立的充分不必要条件需为{x|x>1}的真子集)，所以结合选项知，使不等式0<<1成立的一个充分不必要条件可以是x>2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)“x2=2x”是“x=0”的_____条件，“x=0”是“x2=2x”的_____条件(用“充分”“必要”填空).  解析:由于x=0⇒x2=2x，所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件，“x=0”是“x2=2x”的充分条件. 必要 充分 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈(A∪B)的 _____条件.  解析:由x∈B，显然可得x∈(A∪B);反之，由于A⊆B，则(A∪B)=B， 所以由x∈(A∪B)可得x∈B，故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件. 充要 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件? (1)对角线相等的菱形; 解:菱形的对角线垂直，它的对角线相等时，一定是正方形，是充分条件. (2)对角线互相垂直的矩形; 解:矩形的对角线相等，它的对角线垂直时，一定是正方形，是充分条件. (3)对角线相等的平行四边形; 解:对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，不是充分条件. (4)有一个角是直角的菱形. 解:菱形的四边相等，有一个角是直角，则四个内角都是直角，它是正方形，是充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)设A={a+b||a2-2b2|=1，a，b∈Z}，现有以下三个条件: 甲:x∈A且y∈A;乙:xy∈A;丙:∈A. 求证:甲分别是乙和丙的充分条件. 证明:设x=a+b，y=c+d，则|a2-2b2|=1，a，b∈Z，|c2-2d2|=1，c，d∈Z， 则xy=(a+b)(c+d)=(ac+2bd)+(bc+ad)，显然ac+2bd，bc+ad∈Z. 因为(ac+2bd)2-2(bc+ad)2=(a2-2b2)(c2-2d2)，a，b，c，d∈Z， 所以|(ac+2bd)2-2(bc+ad)2|=|(a2-2b2)(c2-2d2)|=1，a，b，c，d∈Z， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 所以xy∈A.所以甲是乙的充分条件. 因为===-， 且|a2-2b2|=1，a，b∈Z， 所以若a2-2b2=1，则=a-b∈A;若a2-2b2=-1，则=-a+b∈A. 所以甲是丙的充分条件. 综上，甲分别是乙和丙的充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的什么条件?并说明理由. 解:“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件. 理由如下: 当a，b，c∈R，a≠0时，若a-b+c=0，则-1满足一元二次方程ax2+bx+c=0，即“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”， 故“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充分条件. 若一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1，则a-b+c=0， 故“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的必要条件. 综上所述，“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件. 本课结束 $$