1.1.1 第2课时 集合的表示方法（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦集合的表示方法，系统讲解列举法、描述法、区间及其表示，结合集合与方程的综合应用，通过“逐点清”模块，以定义阐释、微点助解、实例练习为支架，衔接集合基本概念，引导学生逐步掌握知识脉络。 其亮点在于采用“逐点理清式”教学，通过微点助解强调列举法元素互异性、描述法代表元素等细节，结合方程解集、点集表示等实例，培养数学眼光的抽象能力、数学思维的推理能力（如含参数方程分类讨论）及数学语言的表达能力（特征性质描述集合），助力学生夯实基础，教师可高效开展系统教学。

集合的表示方法 第2课时 [教学方式:基本概念课—逐点理清式教学] 课时目标 1.掌握集合的表示方法——列举法和描述法，会用这两种方法描述简单的集合问题. 2.会用集合中元素的共同特征描述一些集合，如数集、解集和一些基本图形构成的集合. 3.理解区间的含义，能正确使用“区间”的符号表示一些集合. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　列举法 逐点清(二)　描述法 逐点清(三)　区间及其表示 4 课时检测 5 逐点清(四)　集合与方程的综合问题 逐点清(一)　列举法 01 列举法的定义及一般形式 多维理解 定义 把集合中的元素__________出来(相邻元素之间用_____分隔)，并写在_______内，以此来表示集合的方法称为列举法 一般形式 {a1，a2，a3，…，an} 一一列举 逗号 大括号 |微|点|助|解| (1)集合中的元素间用“，”隔开，元素不重复，一般不考虑元素的顺序. (2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{}”括起来即可;元素个数较多时，若元素能够按照一定的规律排列，可用列举法，但必须把元素的规律显示清楚，然后加省略号. 1.下列命题正确的是 (　 ) A.0与{0}表示同一个集合 B.由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} C.方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1，1，2} D.集合{x|4<x<5}可以用列举法表示 微点练明 解析:由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，所以A错误;根据集合中元素的无序性，知B正确;根据集合元素的互异性，知C错误;由于该集合为无限集，且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以D错误. √ 2.已知集合P={1，2}，Q={2，3}，若M={x|x∈P，x∉Q}，则M= (　 ) A.{1} B.{2} C.{1，3} D.{1，2，3} √ 解析:因为集合P={1，2}，Q={2，3}，则M={x|x∈P，x∉Q}={1}. 3.用列举法表示下列集合: (1)不大于10的非负偶数组成的集合; 解:因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}. (2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合; 解:方程x2=2x的解是x=0或x=2，所以方程的解组成的集合为{0，2}. (3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合; 解:将x=0代入y=2x+1，得y=1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}. (4)由所有正整数构成的集合. 解:正整数有1，2，3，…，故所求集合为{1，2，3，…}. 逐点清(二)　描述法 02 多维理解 一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为________.这种表示集合的方法，称为_________描述法，简称为描述法. {x|p(x)} 特征性质 |微|点|助|解| 1.描述法表示集合的注意点 (1)描述法表示集合要关注竖线“|”左边元素的形式，是数，是点或有序实数组大不相同. (2)所有描述内容都要写在花括号内，如写法{x|x=2k-1}，k∈Z，不符合要求，应写为{x|x=2k-1，k∈Z}. 2.两步认识描述法表示的集合 (1)一看代表元素:例如{x|P(x)}表示数集，{(x，y)|y=P(x)}表示点集. (2)二看条件:即看代表元素满足什么条件(公共特征). 1.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是 (　 ) A.{x|-3<x<11，x∈Z} B.{x|-3<x<11} C.{x|-3<x<11，x=2k} D.{x|-3<x<11，x=2k，k∈Z} √ 微点练明 2.(多选)集合{1，3，5，7，9}用描述法可表示为 (　 ) A.{x|x是不大于9的非负奇数} B.{x|x=2k+1，k∈N，且k≤4} C.{x|x≤9，x∈N+} D.{x|0≤x≤9，x∈Z} √ 解析:对A，{x|x是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1，3，5，7，9}，故A正确;对B，{x|x=2k+1，k∈N，且k≤4}表示的集合是{1，3，5，7，9}，故B正确;对C，{x|x≤9，x∈N+}表示的集合是{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故C错误;对D，{x|0≤x≤9，x∈Z}表示的集合是{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D错误. √ 3.用描述法表示下列集合: (1)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合; 解:函数y=-2x2+x的图象上的所有点组成的集合可表示为 {(x，y)|y=-2x2+x}. (2)不等式2x-3<5的解组成的集合; 解:不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为{x|2x-3<5}，即{x|x<4}. (3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合; 解:题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为. (4)3和4的所有正的公倍数构成的集合. 解:3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x=12n，n∈N+}. 逐点清(三)　区间及其表示 03 1.区间的概念(a，b为实数，且a<b) 多维理解 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 _______ {x|a<x<b} 开区间 _______ {x|a≤x<b} 半开半闭区间 _______ {x|a<x≤b} 半开半闭区间 ______ [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 _________ ________ ________ _________ ________ (-∞，+∞) [a，+∞) (a，+∞) (-∞，a] (-∞，a) |微|点|助|解| 对区间概念的理解 (1)区间的左端点必小于右端点; (2)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开; (3)用数轴表示区间时，要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示，不属于这个区间端点的实数用空心点表示; (4)包含端点用闭区间，不包含端点用开区间，以“+∞”或“-∞”为区间的一个端点时，这一端必须是小括号. 1.不等式x-2≥0的所有解组成的集合表示成区间是 (　 ) A.(2，+∞) B.[2，+∞) C.(-∞，2) D.(-∞，2] 微点练明 解析:不等式x-2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为 [2，+∞). √ 2.不等式0<2x-1≤3的解集用区间可表示为 (　 ) A. B.(0，2] C. D. 解析:由0<2x-1≤3，解得<x≤2，用区间表示为.故选D. √ 3.若[0，3a-1]为一确定区间，则a的取值范围是___________.  解析:根据区间表示数集的方法原则可知，3a-1>0，解得a>.所以a的取值范围是. 4.已知△ABC的两边长AB=2，BC=3，则第三边AC的长的取值范围用区间表示为_______.  解析:因为△ABC的两边长AB=2，BC=3，所以BC-AB<AC<AB+BC，即1<AC<5. (1，5) 逐点清(四)　 集合与方程的综合问题 04 [典例]　已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0，a∈R}.若A中只有一个元素，求a的值. [解]　当a=0时，原方程变为2x+1=0，即x=-，符合题意;当a≠0时，由Δ=0，得a=1，此时x=-1. 所以若A中只有一个元素，则a的值为0或1. [变式拓展] 1.将本例中“只有一个”改为“有两个”，a的取值情况是什么. 解:若A中有两个元素，即关于x的方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，所以a≠0且Δ=4-4a>0，即a<1且a≠0，故a的取值范围为{a|a<1且a≠0}. 2.若将本例中“只有”改为“至多有”，求a的取值范围. 解:当a≠0时，若A中至多含有一个元素， 则方程ax2+2x+1=0有两个相等的实根或没有实根. 由Δ=4-4a≤0，得a≥1. 当a=0时，由例题知方程有唯一解. 所以若A中至多有一个元素，a的取值范围为{a|a≥1或a=0}. 3.把本例中“只有”改为“至少有”，求a的取值范围. 解:A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素.当a≠0时，由Δ≥0，得a≤1且a≠0;当a=0时，由例题解析可知方程有唯一解.综上，a≤1.故a的取值范围为{a|a≤1}. |思|维|建|模| 集合与方程的综合问题的解题步骤 (1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根. (2)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论. (3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性. 05 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.如果A={x|x>-1}，那么 (　 ) A.-2∈A B.{0}∈A C.-3∈A D.0∈A √ 解析:∵0>-1，∴0∈A，故选D. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.集合{x|-2≤x<4}用区间表示为 (　　) A.[-2，4] B.(-2，4) C.(-2，4] D.[-2，4) √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.把集合{x|x2-4x-5=0}用列举法表示为 (　 ) A.{x=-1，x=5} B.{x|x=-1或x=5} C.{x2-4x-5=0} D.{-1，5} √ 解析:根据题意，解x2-4x-5=0可得x=-1或x=5，用列举法表示为{-1，5}. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.已知集合A={1，2，3，4}，集合B={y|y=3x-2，x∈A}表示正确的是　 (　 ) A.B={3，6，9，12} B.B={1，2，3，4} C.B={1，4，7，10} D.B={-2，1，4，7} 解析:x∈A表示x的取值有1，2，3，4，对应的y值分别为1，4，7，10. √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.(多选)已知集合A={x∈N|x<6}，则下列关系式成立的是 (　 ) A.0∈A B.1.5∉A C.-1∉A D.6∈A √ 解析:∵A={x∈N|x<6}={0，1，2，3，4，5}， ∴6∉A，故D不成立，其余都成立. √ √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.下列叙述正确的是 (　 ) A.方程x2+2x+1=0的根构成的集合为{-1，-1} B.{x∈R|x2+2=0}==∅ C.集合M={(x，y)|x+y=5，xy=6}表示的集合是{2，3} D.集合{1，3，5}与集合{3，5，1}是不同的集合 √ R 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:对于A，方程x2+2x+1=0的根构成的集合为{-1}，故A错误;对于B，当x∈R时，方程x2+2=0无解，不等式组无解，故{x∈R|x2+2=0}==∅，故B正确;对于C，由⇒或故M={(x，y)|x+y=5，xy=6}= {(2，3)，(3，2)}，故C错误;对于D，由集合中的元素满足无序性可知{1，3，5}={3，5，1}，故D错误. R 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.第一象限的点组成的集合可以表示为 (　 ) A.{(x，y)|xy>0} B.{(x，y)|xy≥0} C.{(x，y)|x>0且y>0} D.{(x，y)|x>0或y>0} √ 解析:第一象限的点的坐标满足x>0且y>0，用描述法可表示为{(x，y)|x>0且y>0}，故选C. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(多选)已知集合A={x|x=2m-1，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是 (　 ) A.x1·x2∈A B.x2·x3∈B C.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A 解析:集合A表示奇数集，B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，故A、B、C正确，D错误. √ √ √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.已知集合A={a2，0，-1}，B={a，b，0}，若A=B，则(ab)2 025的值为 (　 ) A.0 B.-1 C.1 D.±1 解析:根据集合中元素的互异性可知a≠0，b≠0， 因为A=B，所以-1=a或-1=b， 当a=-1时，b=a2=1， 此时(ab)2 025=(-1)2 025=-1; 当b=-1时，则a2=a，因为a≠0，所以a=1，此时(ab)2 025=(-1)2 025=-1. 综上可知，(ab)2 025=-1. √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.设集合A={-1，0，1}，B={(x，y)|x∈A，y∈A}，则B中所含元素的个数为 (　 ) A.3 B.6 C.9 D.12 解析:易得集合B中的元素为(-1，-1)，(-1，0)，(-1，1)，(0，-1)， (0，0)，(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1)，共9个元素.故选C. √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)已知区间(4p-1，2p+1)，则p的取值范围为________.  解析:由题意得4p-1<2p+1，解得p<1，即p的取值范围为(-∞，1). (-∞，1) 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(5分)已知集合A=，写出一个满足A中有8个元素的m的值______________.  解析:m的值可以是6，满足|m|≤9.要∈Z，所以x=1，-1，2，-2，3，-3，6，-6.所以集合A中有8个元素. 6(答案不唯一) 15 14 Z Z 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(5分)已知集合A={x|ax2+x+1=0}，若A中只有一个元素，则a=_____;若A中有两个元素，则a的取值范围是_________________.  解析:若A中只有一个元素，则当a=0时，方程有一个根;当a≠0时，Δ=1-4a=0，即a=，此时满足A中只有一个元素.故a=0或a=. 若A中有两个元素，即方程有两个不相等实根，此时应满足即a<且a≠0. 0或 　 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 14.(10分)用适当的方法表示下列集合. (1)不大于10的非负奇数集;(3分) 14 解:由不大于10，即小于或等于10，非负是大于或等于0，所以不大于10的非负奇数集，用列举法可表示为{1，3，5，7，9}. (2)A={x|x=|x|，x∈Z且x<5};(3分) 解:由集合A={x|x=|x|，x∈Z且x<5}，则满足x≥0且x∈Z且x<5，所以x=0，1，2，3，4，所以集合A可表示为{0，1，2，3，4}. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.(4分) 14 解:由平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，所以与坐标轴的距离相等的点组成的集合可表示为{(x，y)||x|=|y|}. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 15.(10分)已知集合A= { x∈N}，B={ ∈Nx∈N }，试问集合A与B有几个相同的元素?并写出由这些相同元素组成的集合. 14 15 解:对于集合A，B，因为x∈N，∈N，所以当x=1时，=1;当x=7时，=3;当x=9时，=9.所以A={1，7，9}，B={1，3，9}. 所以集合A与B有2个相同的元素，故集合A，B的相同元素组成的集合为{1，9}. N 本课结束 $$