1.1.1 第1课时 集合的概念（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦集合的概念，系统讲解元素与集合的含义、关系、特性（确定性、互异性、无序性）及常见数集。通过“直角坐标系中横纵坐标相等的点”等实例导入，从现实对象抽象数学概念，为后续集合表示方法等内容搭建学习支架。 其亮点是采用“逐点理清式”教学，结合表格对比、微点助解和分层练习。如用表格明晰集合与元素关系，通过“含参数集合元素个数”问题培养数学思维，规范“∈”“∉”符号使用强化数学语言。学生能夯实基础，教师可高效开展教学。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1　 集　合 1.1.1 集合及其表示方法 集合的概念 第1课时 [教学方式:基本概念课— 逐点理清式教学] 课时目标 1.准确理解集合与元素的含义及集合与元素的属于关系. 2.在具体情境中，了解空集的含义，理解有限集与无限集. 3.能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单问题. 4.熟记常用数集的表示符号，通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　元素与集合 逐点清(二)　集合与元素的特点 逐点清(三)　几种常见的数集 4 课时检测 逐点清(一)　元素与集合 01 1.集合与元素的概念 多维理解 集合 把一些能够_____的、_____的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，集合通常用英文大写字母 _____________表示 元素 组成集合的 都是这个集合的元素，元素通常用英文小写字母_____________表示 确定 不同 A，B，C，… 每个对象 a，b，c，… |微|点|助|解| 　　集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号等等，都可以看作对象.比如数、点、图形、多项式、方程、函数、人等等. 2.元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A的元素 ______ a属于A 不属于 a不是集合A的元素 ______ a不属于A a∈A a∉A |微|点|助|解| (1)元素和集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的. (2)由元素的确定性可知，对于任何a与A，a∈A或a∉A这两种情况必有一种且只有一种成立. 3.空集 把_____任何元素的集合称为空集，记作___. 不含 ∅ 1.(多选)考察下列每组对象，能组成集合的是 (　 ) A.中国各地最美的乡村 B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D.数学必修第一册课本中的所有难题 微点练明 解析:A、D中“最美”“难题”标准不明确，不符合确定性;B、C中的元素标准明确，均可构成集合，故选BC. √ √ 2.设不等式3-2x<0的解集为M，下列关系正确的是 (　 ) A.0∈M，2∈M　 B.0∉M，2∈M C.0∈M，2∉M D.0∉M，2∉M √ 解析:本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3-2x<0的解即可.当x=0时，3-2x=3>0，所以0∉M;当x=2时，3-2x=-1<0，所以2∈M. 3.集合中“元素”的英文单词“element”中的字母构成的集合中元素的个数为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析:由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“e”“l”“m”“n”“t” 5个元素. 4.用符号“∈”和“∉”填空: (1)设集合A是正整数的集合，则0____A，____A;  解析:正整数是不包含0的自然数，如1，2，3，…，所以0∉A，∉A. (2)设集合B是小于的所有实数的集合，则2___B，3B.  解析:因为2=<，所以2∈B;因为3=>，所以3∉B. ∉ ∉ ∈ ∉ 逐点清(二)　集合与元素的特点 02 多维理解 1.集合的元素特点 确定性 集合的元素必须是______的 互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是_____的 无序性 集合中的元素可以任意______ 确定 不同 排列 |微|点|助|解| 元素特性的主要作用 (1)确定性的主要作用是判断一组对象能否组成集合，只有这组对象具有确定性时才能组成集合. (2)无序性的主要作用是方便定义集合相等.当两个集合相等时，其元素相同，但不一定依次对应相等. (3)互异性的主要作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数(字母)时，一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性. 2.两个集合相等 给定两个集合A和B，如果组成它们的元素_________，就称这两个集合相等，记作_____. 3.集合分类 集合可以根据它含有的元素个数分为两类:含有有限个元素的集合称为_______，含有无限个元素的集合称为_______. 完全相同 A=B 有限集 无限集 1.设集合A为“周长为4 cm的正方形”，集合B为“面积为4 cm2的长方形”，则下列说法正确的是 (　 ) A.A，B都是有限集 B.A，B都是无限集 C.A是无限集，B是有限集 D.A是有限集，B是无限集 √ 微点练明 解析:集合A是周长为4 cm的正方形，可以解得边长为1 cm，这样的正方形只有1个，所以为有限集.集合B是面积为4 cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个，所以为无限集. 2.由a2，2-a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是 (　 ) A.1 B.-2 C.-1 D.2 解析:由题意知a2≠4，2-a≠4，a2≠2-a，解得a≠±2，且a≠1，结合选项知C正确. √ 3.方程x2+2x-8=0和方程x2+x-12=0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析:由题意，方程x2+2x-8=0的两根为2，-4，方程x2+x-12=0的两根为-4，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素. 4.设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中的元素个数为_____.  解析:由题意A中的元素分别为我，和，的，祖，国，共5个元素，故A中的元素个数为5. 5 5.已知集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P=Q，则a=_____.  解析:由题意得a2=4，即a=±2. ±2 逐点清(三)　几种常见的数集 03 1.常见的数集 2.N与N+的区别 N+是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N+多一个元素0，它们都是无限集. 多维理解 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ____ N+或N* ____ ____ ____ N Z Q R 1.(多选)下列结论正确的是 (　 ) A.∈Q B.∈Q C.0∈N+ D.-5∈Z 微点练明 解析:根据常见数集的表示可知，∈Q，∉Q，0∉N+，-5∈Z . √ √ 2.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.π是有理数 B.自然数集N中最小的元素是0 C.在整数集Z中，若a∈Z，则-a∈Z D.一个集合中不可以有两个相同的元素 解析: π是无理数，不是有理数，故A错误;因为自然数集中最小的元素是0，所以B正确;若a∈Z，则-a也是整数，即-a∈Z，故C正确;同一集合中的元素是互不相同的，故D正确. √ √ √ 3.用符号“∈”或“∉”填空: (1)____N; (2)-2____R;  (3)32 ____ N; (4)0 ____ ∅.  ∉ ∈ ∉ ∈ 4.集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________.  解析:∵x∈N，∈N， ∴0≤x≤2且x∈N.当x=0时，==2∈N; 当x=1时，==3∈N; 当x=2时，==6∈N. 综上，集合A中的元素为0，1，2. 0，1，2 04 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.(多选)下列各组对象能构成集合的是 (　 ) A.倒数等于它本身的数 B.某班视力较好的同学 C.所有有理数 D.小于π的正整数 √ 解析:根据集合的概念，可知集合中元素具有确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“视力较好”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合.故选A、C、D. √ √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.(多选)若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是 (　 ) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 √ 解析:由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等. √ √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.(多选)下列集合为有限集的是 (　 ) A.由小于8的正奇数组成的集合 B.由大于5且小于20的实数组成的集合 C.由小于0的自然数组成的集合 D.由自然数中3的倍数组成的集合 √ 解析:对于A，因为小于8的正奇数为1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集.对于B，因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集.对于C，因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0个元素，所以其组成的集合是有限集.对于D，因为自然数中是3的倍数的数有无数个，所以其组成的集合是无限集. √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.集合A中有三个元素2，3，4，集合B中有三个元素 2，4，6，若x∈A且x∉B，则x等于 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析:集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意. √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是 (　 ) A.P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|-|构成的集合 B.P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合 C.P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合 D.P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2=1的解集 √ 解析:由于A中P、Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中P、Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.(多选)下列四个语句正确的是 (　 ) A.集合N+中最小的数是1 B.若-a∉N，则a∈N C.若a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2 D.x2+1=2x的解集中含有1个元素 √ √ 解析:对于A，因为N+是正整数集，最小的正整数是1，所以A正确;对于B，取a=，则-∉N，∉N，所以B错误;对于C，当a=b=0时，a+b取得最小值0，而不是2，所以C错误;对于D，解集中只含有元素1，所以D正确. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.已知集合M是方程x2-x+m=0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是 (　 ) A.1∈M B.0∈M C.-1∈M D.-2∈M √ 解析:由2∈M知2为方程x2-x+m=0的一个解，所以22-2+m=0，解得m=-2.所以方程为x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=2.故方程的另一根为-1，所以 -1∈M. 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.已知a，b是非零实数，代数式++的值组成的集合是M，则下列判断正确的是(　 ) A.0∈M B.-1∈M C.3∉M D.1∈M 解析:当a，b全为正数时，代数式的值是3;当a，b全是负数时，代数式的值是-1;当a，b是一正一负时，代数式的值是-1.综上可知B正确. √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.由实数x，-x，|x|，，-所组成的集合中，含有元素的个数最多为(　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:∵=|x|，-=-|x|，故当x=0时，这几个实数均为0; 当x>0时，它们分别是x，-x，x，x，-x; 当x<0时，它们分别是x，-x，-x，-x，x. 最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个.故选A. √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.设数集M同时满足条件:①M中不含元素-1，0，1，②若a∈M，则∈M.则下列结论正确的是(　 ) A.集合M中至多有2个元素 B.集合M中至多有3个元素 C.集合M中至少有4个元素 D.集合M中有无穷多个元素 解析:由a=x∈M，得∈M.所以=-∈M.所以=∈M，即=x∈M.若x=，则x2=-1无解.因为x≠-1，0，1，所以x，，- 互不相等，此时集合M中含4个元素.所以集合M中至少有4个元素. √ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)设集合D是满足方程y=x2的有序数对(x，y)的集合，则 -1____D，(-1，1)___D.  解析:因为集合D中的元素是有序数对(x，y)，而-1是数，所以-1∉D，(-1，1)∈D. ∉ ∈ 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(5分)已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2+ax+b=0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a=____，b=____.  解析:因为集合A与集合B相等，且1∈A，2∈A，所以1∈B，2∈B，即1，2是方程x2+ax+b=0的两个实数根.所以所以 -3 2 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(5分)已知集合P中元素x满足x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a=____.  解析:∵x∈N，2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴结合数轴知a=6. 6 15 14 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 14 14.(10分)已知集合A含有两个元素m，m2-3m，其中m∈R. (1)实数m不能取哪些数?(5分) 解:根据题意，可得m≠m2-3m，解得m≠0且m≠4，因此，实数m不能取0和4. (2)若4∈A，求实数m的值.(5分) 解:由(1)的结论，可知m≠4，若4∈A，则m2-3m=4，解得m=-1(m=4不符合题意)，因此，实数m的值是-1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 14 15.(10分)设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件: ①1∉S;②若a∈S，则∈S. (1)求证:若a∈S，则1-∈S;(5分) 15 解:证明:因为1∉S，a∈S， 所以1-a≠0，且∈S， 可得==1-∈S， 故若a∈S，则1-∈S. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 14 (2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素.(5分) 15 解:由2∈S，得=-1∈S; 由-1∈S，得=∈S; 而当∈S时，=2∈S，…，因此当2∈S时，集合S中必含有-1， 两个元素. 本课结束 $$