4.2.2 第1课时 指数函数的图象和性质（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦指数函数的图象和性质，课前通过表格对比0<a<1与a>1的性质差异及基础训练自主落实，课堂以梯度进阶式教学衔接，构建从概念理解到应用的学习支架。 其亮点在于结合数学眼光的几何直观与数学思维的推理能力，通过图象辨析（如例1用x=1特殊点比较底数）、换元法求值域（如例5）等题型分类及思维建模，帮助学生深化理解，教师可高效开展分层教学。

2.2.4 指数函数的图象和性质 指数函数的图象和性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 掌握指数函数的图象和性质，学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 指数函数的图象与性质 项目 0<a<1 a>1 图象 定义域 R 值域 __________ 过定点 _______，即x=_____时，y=____ (0，+∞) (0，1) 0 1 函数值的变化 当x>0时，________； 当x<0时，________ 当x<0时，______； 当x>0时，_____ 单调性 _______ _______ 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y=ax与y=的图象关于y轴对称 续表 0<y<1 y>1 0<y<1 y>1 减函数 增函数 |微|点|助|解| (1)当底数a大小不确定时，必须分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的图象和性质. (2)指数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都在x轴上方. (3)指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的大致图象. (4)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)将函数y=3x的图象向右平移2个单位长度得到y=3x-2的图象. (　 ) (2)函数y=ax(a>0，且a≠1)的最小值为0. (　 ) (3)指数函数y=ax(a>0，且a≠1)在R上单调递增. (　 ) (4)指数函数y=ax(a>0，且a≠1)不具备奇偶性. (　 ) 基础落实训练 √ × × √ 2.函数y=3-x的图象是 (　 ) √ 3.若函数y=ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是 __________.  (1，+∞) 解析：结合指数函数的性质可知，若y=ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则a>1. 4.已知函数y=2+ax-2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点，则定点的坐标为________.  (2，3) 5.函数f(x)=2x+3的值域为_________.  (3，+∞) 解析：因为2x>0，所以2x+3>3，即函数f(x)=2x+3的值域为(3，+∞). 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　指数函数的图象 [例1]　如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是 (　 ) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c √ 解析：作直线x=1，由下到上分别与指数函数②，①，④，③相交(图略)，所以b<a<1<d<c. √ [例2]　若b<-1，则函数y=ax+b(a>1)的图象必定不经过 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：y=ax+b的图象是由指数函数y=ax(a>1)向下平移|b|个单位长度得到，且b<-1.如图，故选B. |思|维|建|模|　处理函数图象问题的策略 抓住特殊点 指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点 巧用图象变换 函数图象的平移变换(左右平移、上下平移) 利用函数的性质 利用函数奇偶性与单调性的图象特点判断 针对训练 1.函数y=ax，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是 (　 ) √ 解析：由题意知a>0且a≠1，则函数y=x+a单调递增.当0<a<1时，y=ax单调递减，直线y=x+a在y轴上的截距大于0且小于1；当a>1时，y=ax单调递增，直线y=x+a在y轴上的截距大于1.只有D符合. 2.(多选)函数y=ax-(a>0，且a≠1)的图象可能是(　 ) 解析：当a>1时，∈(0，1)，因此x=0时，0<y=1-<1，且y=ax-在R上单调递增，故C符合，A、B不符合；当0<a<1时，>1，因此x=0时，y<0，且y=ax-在R上单调递减，故D符合.故选CD. √ √ 题型(二)　指数函数图象的应用 [例3]　若函数f(x)=2ax+m-n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(-1，4)，则m+n等于 (　 ) A.3 B.1 C.-1 D.-2 √ 解析：由已知，得m-1=0，2·am-1-n=4，解得m=1，n=-2.所以m+n=-1. [例4]　要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为 (　 ) A.(-∞，-1] B.(-∞，-1) C.(-∞，-3] D.[-3，+∞) √ 解析：由已知，得3+t≤0，解得t≤-3. |思|维|建|模| 与指数函数相关的图象问题的解题策略 根据函数图象特征，确定指数型函数y=ax+b+c(a>0，且a≠1)中的参数，可借助图象的升、降确定a的范围，利用函数图象与y轴的交点，确定c的范围，也可利用图象的平移变化确定c的范围. 针对训练 3.已知函数f(x)=+b，且函数图象不经过第一象限，则b的取值范围是(　 ) A.(-∞，-1) B.(-∞，-1] C.(-∞，-2] D.(-∞，-2) √ 解析：由已知，得f(0)=2+b≤0，解得b≤-2.故选C. 4.已知直线y=2a与函数y=|2x-2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围. 解：画出函数y=|2x-2|的图象如图所示.要使直线y=2a与该图象有两个公共点，则有0<2a<2，即0<a<1，故实数a的取值范围为(0，1). 题型(三)　指数型函数的定义域、值域 [例5]　求下列函数的定义域和值域： (1)y=； 解：由已知得x应满足x-1≠0， ∴x≠1.∴定义域为(-∞，1)∪(1，+∞). ∵≠0，∴≠1. ∴y=的值域为(0，1)∪(1，+∞). (2)y=； 解：定义域为R. ∵|x|≥0，∴y==≥=1. ∴此函数的值域为[1，+∞). (3)y=. 解：由题意知1-≥0，∴≤1=. ∴x≥0.故定义域为[0，+∞). ∵x≥0，∴≤1.∵>0，∴0<≤1. ∴0≤1-<1.∴0≤y<1.∴此函数的值域为[0，1). |思|维|建|模| 函数y=af(x)定义域、值域的求法 (1)定义域的求法： 函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同. (2)值域的求法： ①换元，令t=f(x)； ②求t=f(x)的定义域x∈D； ③求t=f(x)的值域t∈M； ④利用y=at的单调性求y=at，t∈M的值域. [提醒]　求定义域时注意使函数式有意义的条件，而求值域时注意整体性. 针对训练 5.函数y=的值域为________.  (0，2] 解析：函数的定义域为R，x2-2x=(x-1)2-1≥-1，∴≤=2， 又∵>0，∴函数的值域为(0，2]. 6.求函数y=的定义域、值域. 解：函数的定义域为R. ∵y===1-， 又∵3x>0，∴1+3x>1，∴0<<1， ∴-1<-<0，∴0<1-<1， ∴函数的值域为(0，1). 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.函数y=1-3x(y≥0)的定义域是 (　 ) A.[0，+∞) B.(-∞，0] C.[1，+∞) D.(-∞，+∞) √ 解析：因为1-3x≥0，即3x≤1，所以x≤0，即x∈(-∞，0]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.函数y=的图象是(　 ) 解析：当x=0时，y=2，且函数单调递增，故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若函数y=2x在区间[2，a]上的最大值比最小值大4，则a= (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析：∵y=2x在R上是增函数，∴y=2x在[2，a]上单调递增.∴y=2x的最小值为4，最大值为2a.故2a-4=4，即a=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于(　 ) A.原点对称 B.x轴对称 C.y轴对称 D.直线y=-x对称 √ 解析：设点(x，y)为函数f(x)=πx的图象上任意一点，则点(-x，y)为g(x)=π-x =的图象上的点.因为点(x，y)与点(-x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于y轴对称. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.函数f(x)=(a>0，且a≠1)的图象如图所示， 其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　 ) A.a>1，b<0 B.a>1，b>0 C.0<a<1，b>0 D.0<a<1，b<0 √ 解析：由于f(x)的图象单调递减，所以0<a<1.又0<f(0)<1，所以0<a-b <1=a0.即-b>0，b<0.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)= ax+b的图象是 (　 ) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<-1，所以函数g(x)=ax+b是减函数，排除选项C、D；又因为函数g(x)的图象过点(0，1+b)(1+b<0)，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(　 ) A.(-∞，0) B.(0，+∞) C.(-∞，1) D.(0，1) √ 解析：函数f(x)=的图象如图，显然函数f(x)在R上单调递减，∵f(x+1)<f(2x)，∴x+1>2x，解得x<1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)函数y=的定义域为__________.  {x|x≠±1} 解析：由x2-1≠0，得x≠±1. 即函数y=的定义域为{x|x≠±1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)函数f(x)=2·ax-1+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点_______.  (1，3) 解析：令x-1=0，得x=1.又f(1)=2×1+1=3， 所以f(x)的图象恒过定点(1，3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)若0<a<1，b<-1，则函数f(x)=ax+b的图象一定不经过第______象限.  一 解析：函数y=ax的图象过点(0，1)，向下平移|b|个单位长度，因为b<-1，所以函数f(x)=ax+b的图象一定不经过第一象限. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知实数a，b满足等式=，给出下列五个关系式： ①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a=b.其中，不可能成立的有_______个.  2 解析：作y=与y=的图象(图略).当a=b=0时，==1； 当a<b<0时，可以使=；当a>b>0时，也可以使=.故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)画出函数y=|2x-1|的函数图象，根据图象写出函数的定义域、值域、单调区间和最值. 解：函数的图象如图所示，由图象可知，函数的定义域为R；值域为[0，+∞)；在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；有最小值为0，无最大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)求下列函数的定义域和值域： (1)y=；(3分) 解：要使函数式有意义，则1-3x≥0，即3x≤1=30. 因为函数y=3x在R上是增函数，所以x≤0. 故函数y=的定义域为(-∞，0]. 因为x≤0，所以0<3x≤1.所以0≤1-3x<1. 所以∈[0，1).即函数y=的值域为[0，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)y=；(3分) 解：要使函数式有意义，则-|x|≥0，解得x=0. 所以函数y=的定义域为{x|x=0}. 因为x=0，所以==1.即函数y=的值域为{y|y=1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)y=.(4分) 解：定义域为R. 因为x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4，所以≤=16. 又>0，所以函数y=的值域为(0，16]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值. 解：①当0<a<1时，函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上单调递减， 所以最大值f(x)max=f(1)=a1=a，最小值f(x)min=f(2)=a2， 所以a-a2=，解得a=或a=0(舍去)； ②当a>1时，函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上单调递增， 所以最大值f(x)max=f(2)=a2，最小值f(x)min=f(1)=a1=a， 所以a2-a=，解得a=或a=0(舍去).综上所述，a=或a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知函数f(x)=ax+b(a>0，且a≠1). (1)若f(x)的图象如图所示，求a，b的值；(4分) 解：由题图知f(x)的图象过点(2，0)，(0，-2)， 所以又a>0，且a≠1，所以a=，b=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)在(1)中，若|f(x)|=m有且仅有一个实数根，求m的取值范围.(6分) 解：由(1)知f(x)=()x-3， 则画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示， 要使|f(x)|=m有且仅有一个实数根，则m=0或m≥3. 故m的取值范围为[3，+∞)∪{0}. 本课结束 $$