第三章 专题微课 函数性质的综合应用（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数单调性、奇偶性、对称性的综合应用，通过建构知识体系梳理性质及应用，以题型分类（比较大小、解不等式等）搭建从基础到综合的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理等核心素养，渗透数形结合等思想，思维建模总结解题策略（如比较大小转化到同一单调区间），例题结合图像与推理培养数学眼光和思维，助力学生提升解题能力，教师可优化教学流程。

专题微课　函数性质的综合应用 建构知识体系 1.浸润的核心素养 奇偶性、单调性、对称性是函数最重要的三个性质，通过学习，学生利用函数图象去研究函数的性质，学会用抽象的符号语言描述函数的单调性、奇偶性及最大(小)值，发展学生的数学抽象、逻辑推理等学科素养. 融通学科素养 2.渗透的数学思想 (1)在解决与函数性质有关的问题时，常利用函数的图象来解决，即利用数形结合的思想方法，将问题化难为易、化抽象为具体. (2)如果涉及到的函数中含有参数或解题结果不能确定，需要应用分类讨论的思想方法，把整个问题划分为几个部分逐一解决，最后合并为一种结果. (3)函数、方程与不等式密切相关，相互转化，在解决函数的定义域、值域或与其有关的问题时，一般把函数问题转化为不等式、方程等来解决，即应用转化与化归、函数与方程的思想方法. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　利用函数单调性与 奇偶性比较大小 题型(二)　利用函数奇偶性与 单调性解不等式 题型(三)　函数奇偶性、单调性与 对称性的综合 4 题型(四)　函数的新定义问题 5 课时检测 题型(一)　利用函数单调性与奇偶性比较大小 01 [例1]　定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0，则当n∈N*时，有 (　 ) A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) C.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n) √ 解析：∵对任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0，∴若x2-x1>0，则f(x2)-f(x1)>0，即若x2>x1，则f(x2)>f(x1)， 若x2-x1<0，则f(x2)-f(x1)<0，即若x2<x1，则f(x2)<f(x1)，∴函数在(-∞，0]上单调递增. ∵f(x)在R上是偶函数，∴函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，f(-n)=f(n). ∵n∈N*，∴n+1>n>n-1≥0，∴f(n+1)<f(n)<f(n-1)， 即f(n+1)<f(-n)<f(n-1)，故选B. |思|维|建|模| 利用函数单调性与奇偶性比较大小的求解策略 (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小. (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 针对训练 1.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(-2)，b=g(1)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为 (　 ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a √ 解析：法一　易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数，∴a=g(-2)=g(2)，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)=0.∴g(x)在(0，+∞)上单调递增.∴g(1)<g(2)<g(3)，即b<a<c. 法二　(特殊化)取f(x)=x，则g(x)=x2为偶函数且在(0，+∞)上单调递增，a=g(-2)=4，b=g(1)=1，c=g(3)=9，从而可得b<a<c. 2.已知偶函数f(x)在(-∞，-2]上单调递增，则下列关系式成立的是 (　 ) A.f<f(-3)<f(4) B.f(-3)<f<f(4) C.f(4)<f(-3)<f D.f(4)<f<f(-3) √ 解析：法一　∵f(x)为偶函数，∴f(-4)=f(4).又f(x)在(-∞，-2]上单调递增，∴f(-4)<f<f(-3)，即f(4)<f<f(-3). 法二　∵f(x)为偶函数，且在(-∞，-2]上单调递增，∴f(x)在[2，+∞)上单调递减，其图象关于y轴对称.又4>>|-3|，∴f(4)<f<f(-3). 题型(二)　利用函数奇偶性与单调性解不等式 02 [例2]　已知函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)=-1，则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是 (　 ) A.[-2，2] 　　　B.[-1，1] C.[0，4] 　　　D.[1，3] √ 解析：∵函数f(x)为奇函数，f(1)=-1，∴f(-1)=1.又函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递减，-1≤f(x-2)≤1，∴f(1)≤f(x-2)≤f(-1).∴-1≤x-2≤1.解得1≤x≤3.故选D. [例3]　设函数y=f(x+1)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数，在区间(-∞，0)上单调递减，且图象过点(1，0)，则不等式(x-1)f(x)≤0的解集为_________________.  {x|x≤0或1<x≤2} 解析：作出f(x)的大致图象如图所示.不等式(x-1)f(x)≤0可化为或由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1<x≤2}. |思|维|建|模| 利用函数奇偶性与单调性解不等式的策略 (1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； (2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”，转化为简单不等式(组)求解. [提醒]　列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域. 针对训练 3.已知函数f(x)是定义在区间[-a-1，2a]上的偶函数，且在区间[0，2a]上单调递增，则不等式f(x-1)<f(a)的解集为 (　 ) A.[-1，3] B.(0，2) C.(0，1)∪(2，3] D.[-1，0)∪(1，2) √ 解析：因为函数f(x)是定义在区间[-a-1，2a]上的偶函数，所以-a-1+2a =0，解得a=1，故f(x-1)<f(a)可化为f(|x-1|)<f(1)，因为f(x)在区间[0，2]上单调递增，所以|x-1|<1，解得0<x<2. 4.已知奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，且f(2)=0，则不等式(x+1)f(x+1) >0的解集为__________________.  (-∞，-3)∪(1，+∞) 解析：∵f(x)是奇函数且在(-∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，+∞)上单调递增，又f(2)=0，∴f(-2)=0，当x+1>0，即x>-1时，由(x+1)f(x+1)>0， 可得f(x+1)>0，即x+1>2，解得x>1； 当x+1<0，即x<-1时，由(x+1)f(x+1)>0，可得f(x+1)<0，即x+1<-2， 解得x<-3. 综上，不等式(x+1)f(x+1)>0的解集为(-∞，-3)∪(1，+∞). 题型(三)　函数奇偶性、单调性与对称性的综合 03 (1)①若函数y=f(x)关于直线x=a对称，则f(a-x)=f(a+x)；②若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)，则函数关于点(a，0)对称. (2)两个函数图象的对称 ①函数y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称； ②函数y=f(x)与y=-f(x)关于x轴对称； ③函数y=f(x)与y=-f(-x)关于原点对称. [例4]　已知定义域为R的函数f(x)在[1，+∞)上单调递增，且f(x+1)为偶函数，若f(3)=1，则不等式f(2x+1)<1的解集为 (　 ) A.(-1，1) B.(-1，+∞) C.(-∞，1) D.(-∞，-1)∪(1，+∞) √ 解析：∵f(x+1)是偶函数，∴f(1-x)=f(1+x).故f(x)的图象关于直线x=1对称.又f(x)在[1，+∞)上单调递增，∴f(x)在(-∞，1)上单调递减.∵f(3)=1，∴f(-1)=f(3)=1.∴f(2x+1)<1⇔-1<2x+1<3.解得-1<x<1.故选A. |思|维|建|模| 解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法 图象法 根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论 性质法 根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题 针对训练 5.若函数y=f(x)在(0，2)上单调递增，函数y=f(x+2)是偶函数，则下列结论正确的是 (　 ) A.f(1)<f<f　 B.f<f(1)<f C.f<f<f(1) D.f<f(1)<f √ 解析：∵y=f(x+2)是偶函数，∴f(2-x)=f(2+x).故y=f(x)的图象关于直线x=2对称.∴f=f，f=f.又f(x)在(0，2)上单调递增，<1<，∴f<f(1)<f，即f<f(1)<f. 题型(四)　函数的新定义问题 04 [例5]　定义函数f(x)=x-[x]为实数x的小数部分，[x]为不超过x的最大整数，则下列结论正确的是 (　 ) A.f(x)的最小值为0，最大值为1 B.f(x)在R上为增函数 C.f(x)是奇函数 D.f(x)满足f(x+1)=f(x) √ 解析：由题意得∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x<k+1，此时f(x)=x-[x]=x-k.当k+1≤x+1<k+2时，f(x+1)=x+1-[x+1]=x-k，所以f(x+1)=f(x)，故D正确；f(x)的大致图象如图所示： 由图可知f(x)的值域为[0，1)，在R上不具有单调性，不是奇函数，故A、B、C错误. |思|维|建|模|　解决函数“新定义”问题的策略 (1)理解新函数的定义：深刻理解题目中新函数的定义，新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系. (2)学会转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式. (3)代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题. 6.(多选)若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(-x) =0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，则称函数f(x)为“理想函数”.下列函数中的“理想函数”有(　 ) A.f(x)= 　　B.f(x)=x2 C.f(x)= 　　D.f(x)=- √ √ 解析：①要求函数f(x)为奇函数，②要求函数f(x)为减函数.A中的函数是奇函数但在整个定义域上不是减函数，B中的函数是偶函数而且也不是减函数，C和D中的函数既是奇函数又是减函数. 课时检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.下列函数，既是奇函数又是增函数的为 (　 ) A.y=x+1 B.y=-x3 C.y= D.y=x|x| √ 解析：A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除；只有D符合题意，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上的解析式为f(x)=x+1，则下列大小关系正确的是 (　 ) A.f(1)>f(2) B.f(1)>f(-2) C.f(-1)>f(-2) D.f(-1)<f(2) √ 解析：∵当x≥0时，f(x)=x+1单调递增，∴f(1)<f(2)，又∵f(x)为偶函数，∴f(1)=f(-1)，f(2)=f(-2)，∴f(-1)<f(2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x+1)+f(1)≥0的解集是 (　 ) A.(-∞，1) B.(-1，+∞) C.[-1，+∞) D.(-∞，1] √ 解析：因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x+1)+f(1)≥0等价于f(2x+1)≥f(-1).又当x≥0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上为增函数.所以f(2x+1)≥f(-1)等价于2x+1≥-1，解得x≥-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞)上单调递减，若f(a)≥f(-2)，则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞，-2] B.[2，+∞) C.(-∞，-2]∪[2，+∞) D.[-2，2] √ 解析：由f(a)≥f(-2)得f(|a|)≥f(2)，∴|a|≤2，∴-2≤a≤2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)已知函数f(x)是奇函数，在(0，+∞)上单调递减，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[-3，4]，则在区间[-b，-a]上 (　 ) A.有最大值4 B.有最小值-4 C.有最大值3 D.有最小值-3 √ √ 解析：法一　根据题意作出y=f(x)的简图，由图知，选BC. 法二　当x∈[-b，-a]时，-x∈[a，b]，由题意得f(b)≤ f(-x)≤f(a)，即-3≤-f(x)≤4，所以-4≤f(x)≤3，即在区间[-b，-a]上f(x)min=-4，f(x)max=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(多选)1837年，德国数学家狄利克雷(P.G.Dirichlet，1805—1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：D(x)=(Q表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是(　 ) A.D(x)是偶函数 B.∀x∈R，D(D(x))=1 C.对于任意的有理数t，都有D(x+t)=D(x) D.不存在三个点A(x1，D(x1))，B(x2，D(x2))，C(x3，D(x3))，使△ABC为正三角形 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由D(x)定义知，定义域关于原点对称，若x∈Q，则-x∈Q，若x∈∁RQ，则-x∈∁RQ，即有D(-x)=D(x)，故D(x)是偶函数，A正确；由解析式知，∀x∈R，D(x)=1或D(x)=0，即D(D(x))=1，B正确；任意的有理数t，当x∈Q时，x+t∈Q即D(x+t)=D(x)，当x∈∁RQ时，x+t∈∁RQ即D(x+t)=D(x)，C正确；若存在△ABC为正三角形，则其高为1，边长为，所以当A，B(0，1)，C时成立，存在满足题意的三个点，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)已知偶函数f(x)在(0，+∞)上的最小值为2 024，则f(x)在(-∞，0)上的最小值为________.  2 024 解析：因为偶函数的图象关于y轴对称，所以f(x)在对称区间内的最值相等.又当x∈(0，+∞)时，f(x)min=2 024，故当x∈(-∞，0)时，f(x)min=2 024. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)=f(4-x)，当-2≤x<0时，f(x)=，则f等于______.  2 解析：∵f(x)=f(4-x)，∴f(x)的图象关于直线x=2对称.∴f=f.又函数f(x)为奇函数，∴f=-f=-(-2)=2，即f=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知函数f(x)是偶函数，且其在(0，+∞)上单调递增.请你写出一个符合以上条件的函数____________________.  f(x)=|x|(答案不唯一) 解析：因为函数f(x)=|x|的定义域为R，且f(-x)=|x|=f(x)，所以函数f(x)= |x|为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，所以函数f(x)=|x|满足题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)小明在研究函数f(x)=x+时，发现f(x)具有其中一个性质：如果常数k>0，那么函数f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，+∞)上单调递增.请你根据以上信息和所学知识解决问题：若函数g(x)=x+的定义域为，值域为，则实数a的值是 ______________.  18+12或 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：当a-1≤0，即a≤1时，g(x)=x+在上单调递增，故当x= 时，g(x)min=g=+2(a-1)=，解得a=，满足题设；当a-1>0，即a>1时，若≥，即a≥时，函数g(x)在上单调递减，在(，+∞)上单调递增，故g(x)min=g()=+=，可得a=18+12或a=18-12(舍去)；若<，即1<a<时，函数在上单调递增，g(x)min=g=+2(a-1)=，解得a=，不满足题设. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知函数y=f(x)为奇函数，g(x)=，若f(x)与g(x)图象仅有四个交点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则y1+y2+y3+y4= _____.  0 解析：函数g(x)=的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，又g(-x)==-=-g(x)，所以函数g(x)是定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)的奇函数，所以g(x)的图象关于原点对称，又函数y=f(x)为奇函数，即f(x)的图象也关于原点对称，所以它们的四个交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)分为两组关于原点中心对称，所以y1+y2+y3+y4=2×0+2×0=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a+b≠0时，都有>0. (1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(5分) 解：因为a>b，所以a-b>0. 由题意得>0，所以f(a)+f(-b)>0. 又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-b)=-f(b)， 所以f(a)-f(b)>0，即f(a)>f(b). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0，求实数m的取值范围.(5分) 解：由(1)知f(x)为R上的增函数，因为f(1+m)+f(3-2m)≥0， 所以f(1+m)≥-f(3-2m)， 即f(1+m)≥f(2m-3).所以1+m≥2m-3，即m≤4. 所以实数m的取值范围为(-∞，4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)已知定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的函数f(x)满足：①∀x，y∈(-∞，0)∪(0，+∞)，f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f(2)=1. (1)判断函数f(x)的奇偶性；(4分) 解：函数f(x)的定义域关于原点对称. 令y=1，则f(x)=f(x)+f(1)，∴f(1)=0. 令x=y=-1，则f(1)=f(-1)+f(-1)，得f(-1)=0. 令y=-1，则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，∴函数f(x)为偶函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)判断函数f(x)在(0，+∞)上的单调性；(4分) 解：任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2，则有>1. ∵当x>1时，f(x)>0，∴f>0. 而f(x2)=f=f(x1)+f>f(x1)， ∴函数f(x)在(0，+∞)上单调递增. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)求函数f(x)在区间[-4，0)∪(0，4]上的最大值；(3分) 解：∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)，且f(2)=1，∴f(4)=2. 又由(1)(2)知函数f(x)是偶函数且在(0，4]上单调递增， ∴函数f(x)在区间[-4，0)∪(0，4]上的最大值为f(4)=f(-4)=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (4)求不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集.(4分) 解：∵f(3x-2)+f(x)=f[x(3x-2)]，4=2+2=f(4)+f(4)=f(16)， ∴原不等式等价于f[x(3x-2)]≥f(16)，又函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，∴原不等式又等价于 即x(3x-2)≥16或x(3x-2)≤-16，解得x≤-2或x≥， ∴不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)由于函数y=x+(k>0)的图象形状如勾，因此我们称形如“y=x+(k>0)”的函数为“对勾函数”，该函数有如下性质：在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增. (1)已知函数f(x)=2x+-6，x∈[1，4]，利用题干性质，求函数f(x)的单调区间和值域；(8分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：函数f(x)=2x+-6，x∈[1，4]，令2x-1=t∈[1，7]，则y=t+-5， 由对勾函数性质知，函数y=t+-5在[1，2]上单调递减，在[2，7]上单调递增，而t=2x-1在[1，7]上单调递增，又当t∈[1，2]时，x∈，当t∈[2，7]时，x∈，因此f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)min=f=-1，f(1)=0，f(4)=，所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是，值域是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若对于∀x∈[1，+∞)，都有g(x)=≥m恒成立，求m的取值范围.(7分) 解：当x∈[1，+∞)时，g(x)==(x+1)++2， 令x+1=u∈[2，+∞)，显然函数y=u++2在[2，+∞)上单调递增， 则当u=2时，ymin=5，于是当x=1时，g(x)取得最小值5， 因为对∀x∈[1，+∞)，都有g(x)≥m恒成立，则m≤5， 所以m的取值范围是(-∞，5]. 本课结束 $$