3.1.2 第1课时 函数的表示法（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数的表示法，系统梳理了解析法、列表法、图象法的概念及优缺点，通过“逐点清”模块搭建从概念辨析到实际应用的学习支架，衔接函数概念与图象、解析式求法，帮助学生逐步深化理解。 其特色在于以生活情境培养数学眼光，通过“思维建模”总结求解析式的四种方法发展数学思维，多样化题型助力数学语言表达。学生能提升应用能力，教师可借助清晰结构与分层训练提高教学效率。

函数的表示法 3.1.2 函数的表示法 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　函数的三种表示法 逐点清(二)　函数的图象 逐点清(三)　函数的解析式 4 课时检测 逐点清(一)　函数的三种表示法 01 三种常用的函数表示方法 多维理解 解析式 表格 图象 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)所有函数都能用三种表示法表示. (　 ) (2)能用列表法表示的函数一定能用图象法表示. (　 ) (3)若函数f(x)是反比例函数，则f(1)=1. (　 ) (4)函数能用图象法表示的前提是函数的变化规律清晰. (　 ) 微点练明 × √ × √ 2.已知函数y与x成反比，且当x=2时，y=1，则y关于x的函数关系式为 (　 ) A.y= B.y=- C.y= D.y=- √ 解析：设y=，由题意知1=，即k=2.∴y=. 3.已知函数f(x)由下表给出，则f(3)=_____.  3 解析：∵当2<x≤4时，f(x)=3，∴f(3)=3. x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 4.中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1，2，3，4，5，6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示法表示函数y=f(x)吗? 解：因为函数的定义域是数集{1，2，3，4，5，6}，所以用解析法可将函数表示为f(x)=6x，x∈{1，2，3，4，5，6}. 用列表法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 用图象法可将函数表示为 逐点清(二)　函数的图象 02 作函数y=f(x)图象的方法 (1)若y=f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍. (2)若y=f(x)不是所学过的函数之一，则要按： ①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y=f(x)的图象. 多维理解 1.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是___________，值域是_________.  微点练明 [-3，3]　 [-2，2] 解析：结合题图，知函数f(x)的定义域为[-3，3]，值域为[-2，2]. 2.画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域： (1)y=3x； 解：一次函数y=3x的图象如图1所示，定义域为R，值域为R. (2)y=-4x+5； 解：一次函数y=-4x+5的图象如图2所示，定义域为R，值域为R. (3)y=x2-6x+7. 解：二次函数y=x2-6x+7的图象如图3所示，定义域为R，值域为[-2，+∞). (4)y=-，x∈[-3，0)∪(0，1].   解：作出函数y=-，x∈[-3，0)∪(0，1]的图象，如图4所示，由图象可知值域为(-∞，-4]∪. 逐点清(三)　函数的解析式 03 [典例]　求下列函数的解析式： (1)(换元法或配凑法)已知f(+1)=x-2，求f(x)； 解：法一：换元法　令t=+1，则t≥1，x=(t-1)2. 代入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3，所以f(x)=x2-4x+3(x≥1). 法二：配凑法　由已知得f(+1)=x+2+1-4-4+3=(+1)2-4(+1)+3. 因为+1≥1，所以f(x)=x2-4x+3(x≥1). (2)(待定系数法)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))=4x+8，求f(x)； 解：设f(x)=ax+b(a≠0)，则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. 因为f(f(x))=4x+8，所以a2x+ab+b=4x+8， 即解得或 所以f(x)=2x+或f(x)=-2x-8. (3)(方程组法)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x，求f(x). 解：由题意，在f(x)-2f(-x)=1+2x中，以-x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x. 联立解得f(x)=x-1. |思|维|建|模|　求函数解析式的4种常用方法 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围 配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得到f(x)的表达式 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法 方程组法 已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) 根据下列条件，求f(x)的解析式. (1)已知f(x)满足f(x+1)=x2+4x+1； 针对训练 解：令t=x+1，则x=t-1. 故f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1=t2+2t-2. 所以f(x)=x2+2x-2. (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9； 解：设f(x)=kx+b(k≠0)， 因为3f(x+1)-f(x)=2x+9， 所以3k(x+1)+3b-kx-b=2x+9. 即2kx+3k+2b=2x+9. 所以解得所以f(x)=x+3. (3)已知f(x)满足2f+f(x)=x(x≠0). 解：因为2f+f(x)=x(x≠0)　①， 所以2f(x)+f=　②. 2×②-①，得3f(x)=-x， 所以f(x)=-(x≠0). 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.函数y=f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是 (　 ) A.R B.(-∞，1)∪(1，+∞) C.(-∞，0)∪(0，+∞) D.(-1，0) √ 解析：由题图知x≠0，即x∈(-∞，0)∪(0，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示，函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，则f(g(2))的值为 (　 ) A.3 B.0 C.1 D.2 √ x 1 2 3 f(x) 2 3 0 解析：由题图可知g(2)=1，由题表可知f(1)=2，故f(g(2))=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知函数f(x)是一次函数，且f(x-1)=4x+3，则f(x)的解析式为 (　 ) A.f(x)=4x-1 B.f(x)=4x+7 C.f(x)=4x+1 D.f(x)=4x+3 √ 解析：设一次函数的解析式为f(x)=ax+b(a≠0)，由f(x-1)=4x+3，可得f(x-1)=a(x-1)+b=ax-a+b=4x+3.所以解得所以函数的解析式为f(x)=4x+7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知f(-1)=-x，则函数f(x)的表达式为(　 ) A.f(x)=x2+2x+1(x≥0) B.f(x)=x2+2x+1(x≥-1) C.f(x)=-x2-2x-1(x≥0) D.f(x)=-x2-2x-1(x≥-1) √ 解析：令t=-1(t≥-1)，则x=(t+1)2.所以f(t)=-(t+1)2=-t2-2t-1(t≥-1). 所以f(x)=-x2-2x-1(x≥-1).故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是 (　 ) 解析：由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(多选)若函数f(1-2x)=(x≠0)，则(　 ) A.f=15 B.f(2)=- C.f(x)=-1(x≠0) D.f=-1(x≠0且x≠1) √ √ 解析：令1-2x=t(t≠1)，则x=.所以f(t)==-1.则f(x)=-1(x≠1)，故C错误；f=15，故A正确；f(2)=3，故B错误；f=-1=-1(x≠0且x≠1)，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.函数y=的大致图象是(　 ) 解析：法一　y=的定义域为{x|x≠-1}，排除C、D；当x=0时，y=0，排除B. 法二　y==1-，由函数的平移性质可知A正确. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知函数y=f(x)的图象如图所示. 则(1)f(-2)=________；(2)若f(x)=0， 则x=________.  3 -3 解析：(1)由题图，知f(x)过点(-2，3)，故可得f(-2)=3. (2)由题图可知，f(x)过点(-3，0)，故可得x=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为______kg.  19 解析：设一次函数解析式为y=ax+b(a≠0)，代入点(30，330)与点(40，630)，得解得即y=30x-570，若要免费，则y≤0，所以x≤19. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)下表表示函数y=f(x)，则f(x)>x的整数解的集合是____________.  {1，2，3，5} 解析：当0<x<5时，f(x)>x的整数解为{1，2，3}；当5≤x<10时，f(x)>x的整数解为{5}.当10≤x<15时，f(x)>x的整数解为⌀.当15≤x<20时，f(x)>x的整数解为⌀.综上所述，f(x)>x的整数解的集合是{1，2，3，5}. x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x<20 y=f(x) 4 6 8 10 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知函数f(x)=x2-4x在[0，m]上的值域为[-4，0]，则实数m的取值范围是_________.  [2，4] 解析：函数f(x)=x2-4x的部分图象及在[0，m]上的图象如图所示.f(0)=0，f(2)=-4，f(4)=0，当x>4时，f(x)>0；当0<x<4时，-4≤f(x)<0，所以为使函数f(x)=x2-4x在[0，m]上的值域为[-4，0]，实数m的取值范围是[2，4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知函数p=f(m)的图象如图所示.求： (1)函数p=f(m)的定义域；(4分) 解：观察函数p=f(m)的图象，可以看出图象上所有点的 横坐标的取值范围是[-3，0]或[1，4]，由题图知定义域为[-3，0]∪[1，4]. (2)函数p=f(m)的值域；(3分) 解：由题图知值域为[-2，2]. (3)p取何值时，有唯一的m值与之对应.(3分) 解：由题图知，当p∈(0，2]时，只有唯一的m值与之对应. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x+3)-f(x-2)=2x+21，求f(x)的解析式；(5分) 解：设f(x)=ax+b(a≠0)，则2f(x+3)-f(x-2)=2[a(x+3)+b]-[a(x-2)+b]=2ax+ 6a+2b-ax+2a-b=ax+8a+b=2x+21. 所以a=2，b=5.所以f(x)=2x+5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)=1，f(x-1)-f(x)=4x，求f(x)的解析式.(5分) 解：由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由f(0)=1，得c=1. 因为f(x-1)-f(x)=4x，所以a(x-1)2+b(x-1)+c-(ax2+bx+c)=4x， 整理得-2ax+a-b=4x，即a=-2，b=-2.所以f(x)=-2x2-2x+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)画出下列函数的大致图象： (1)y=；(5分) 解：因为y==2-，所以可先作出函数y=-的大致图象，把所得图象向左平移1个单位长度，得到y=-的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度，就得到了函数y=的图象，如图①所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)y=|x2-1|.(5分) 解：先作出函数y=x2-1的大致图象，保留它在x轴上及其上方的部分，再把它在x轴下方的部分翻折到x轴上方，所得到的图象就是函数y=|x2-1|的图象， 如图②所示. 本课结束 $$