2.3 第3课时 一元二次不等式的应用（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的应用，涵盖分式不等式解法、恒成立问题及实际应用三大题型。通过习题讲评式教学，先衔接一元二次不等式基础，引导学生将分式不等式移项通分转化为整式不等式，再用分类讨论、判别式法解决恒成立问题，最后从实际情境抽象模型，搭建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于融合数学思维与应用意识，以电动车利润、绿化面积等实例，引导学生用数学眼光观察现实世界中的数量关系。解题过程强调逻辑推理，如分式不等式等价转化步骤、恒成立问题分类讨论，培养数学思维。思维建模总结方法规律，帮助学生用数学语言表达解题思路。题型分层设计，教师使用可高效落实核心素养，学生能提升解题能力与应用意识。

一元二次不等式的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第3课时 课时目标 1.掌握与一元二次不等式相关的不等式解法(分式不等式的解法). 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决. 3.会用判别式法、分离参数法、数形结合法等方法解决不等式恒成立问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　简单分式不等式的解法 题型(二)　一元二次不等式恒成立问题 题型(三)　一元二次不等式的实际应用 4 课时检测 题型(一)　简单分式不等式 的解法 01 [例1]　解下列不等式： (1)<0； 解：<0⇔(x-3)(x+2)<0⇔-2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|-2<x<3}. (2)≤1. 解：∵≤1，∴-1≤0，∴≤0，即≥0. 此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0， 解得x<或x≥4， ∴原不等式的解集为. |思|维|建|模|　分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. 针对训练 1.解下列不等式： (1)≥0； 解：不等式≥0可转化成不等式组解这个不等式组，可得x≤-1或x>3. 即知原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}. (2)<3. 解：不等式<3可改写为-3<0，即<0. 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0，解得-1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}. 题型(二)　一元二次不等式 恒成立问题 02 [例2]　对∀x∈R，不等式mx2-mx-1<0，求m的取值范围. 解：若m=0，显然-1<0恒成立； 若m≠0，则解得-4<m<0. 综上，m的取值范围为{m|-4<m≤0}. [变式拓展] 1.在本例中，是否存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2-mx-1>0?若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：不存在.理由如下： 显然当m=0时不等式不成立； 当m≠0时，由题意可得解得m∈⌀， 所以不存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2-mx-1>0. 2.在本例中，把条件“∀x∈R”改为“x∈{x|2≤x≤3}”，其余不变，求m的取值范围. 解：由不等式mx2-mx-1<0得m(x2-x)<1， 因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2-x>0， 所以m(x2-x)<1可化为m<， 因为x2-x=-≤6，所以≥，所以m<. 故实数m的取值范围为. |思|维|建|模| (1)当未说明不等式为一元二次不等式时，有 ①不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 (2)一元二次不等式 ax2+bx+c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立，等价于当m≤ x≤n时，函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴的上方，而非等价于 针对训练 2.若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立，则实数k的取值范围是___________.  {k|-3<k≤1} 解析：当k=1时，-1<0恒成立； 当k≠1时，由题意得 解得-3<k<1，因此实数k的取值范围是{k|-3<k≤1}. 3.当1≤x≤2时，不等式x2+mx+4<0恒成立，求实数m的取值范围. 解：令y=x2+mx+4，∵y<0在1≤x≤2上恒成立，∴y=0的根一个小于1，另一个大于2.如图，可得解得m<-5， ∴实数m的取值范围是{m|m<-5}. 题型(三)　一元二次不等式的 实际应用 03 [例3]　某电动车生产企业，上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； 解：由题意，得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0<x<1)， 整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1). (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内? 解：要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 当且仅当即解得0<x<， 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足. |思|维|建|模| 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x，用x来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系列不等式. 针对训练 4.如图所示，某学校要在长为8 m，宽为6 m的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种植花卉，花卉带的宽度相同，均为x m，中间种植草坪. (1)若中间草坪的面积为矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度x是多少? 解：由题意，中间草坪的长为8-2x>0，宽为6-2x>0，且x>0，中间草坪的面积为(8-2x)(6-2x)，矩形土地的面积为6×8=48. 因为中间草坪的面积为矩形土地面积的一半， 所以解得x=1. 所以若中间草坪的面积为矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度x是1. (2)为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少? 解：因为草坪的面积大于矩形土地面积的一半， 所以解得0<x<1. 所以花卉带的宽度x的取值范围是(0，1). 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.(多选)与不等式≥0同解的不等式是(　 ) A.(x-3)(2-x)≥0 B.0<x-2≤1 C.≤0 D.(x-3)(2-x)>0 √ √ 解析：不等式≥0可化为≤0，∴解得2<x≤3，∴0<x-2≤1.故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.不等式<0的解集为(　 ) A.{x|-1<x<2或2<x<3} B.{x|1<x<3} C.{x|2<x<3} D.{x|-1<x<2} √ 解析：原不等式⇔所以-1<x<3且x≠2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀，则实数a的取值范围是 (　 ) A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4} C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4} √ 解析：当a=0时，满足条件； 当a≠0时，由得0<a≤4，所以0≤a≤4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知命题“∃x∈R，使2x2+(a-1)x+≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　 ) A.{a|a<-1} B.{a|-1<a<3} C.{a|a>-3} D.{a|-3<a<1} √ 解析：原命题是假命题，则其否定是真命题，即∀x∈R，2x2+(a-1)x +>0恒成立，故判别式(a-1)2-4<0，解得-1<a<3.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解，则实数a的取值范围为 (　 ) A.{a|-1≤a≤4} 　B.{a|-1<a<4} C.{a|a≥4或a≤-1} 　D.{a|-4≤a≤1} √ 解析：由题意知，原不等式可化为-(x-2)2+4≥a2-3a在R上有解， ∴a2-3a≤4，即(a-4)(a+1)≤0，解得-1≤a≤4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.(多选)若“∃x∈R，ax2+ax+1≤0”为假命题，则a的值可能为 (　 ) A.-1 B.0 C.2 D.4 √ √ 解析：“∃x∈R，ax2+ax+1≤0”为假命题，则“∀x∈R，ax2+ax+1>0”为真命题，当a=0时，1>0，符合题意，当a≠0时，解得0<a<4，∴0≤a<4，故a的值可能为0，2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足 (　 ) A.6≤x≤7 B.5≤x≤7 C.5≤x≤6 D.4≤x≤6 √ 解析：设提价后杂志的定价为x元，则提价后的销售量为10-×0.1万本，因为销售的总收入不低于42万元，列不等式为x≥42，即(x-6)(x-7)≤0，即6≤x≤7，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)已知关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_____________.  {a|-2≤a≤6} 解析：由题意Δ=a2-4(a+3)≤0，解得-2≤a≤6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1=t+10(0<t≤30，t∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2=-t+35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的取值范围为___________________.  {t|10≤t≤15，t∈N} 解析：z=(t+10)(-t+35)，依题意有(t+10)·(-t+35)≥500，解得10≤t≤15，t∈N，所以t的取值范围为{t|10≤t≤15，t∈N}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>4}，则实数a=_______.  4 解析：由题意知，不等式的解集为{x|x<-1或x>4}，故(x-a)(x+1)>0⇔ (x+1)(x-4)>0，故a=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份增长x%，八月份销售额比七月份增长x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是______.  20 解析：由题意，得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000，化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0，解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去)， 所以x≥20，即x的最小值为20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)对于1≤x≤3，mx2-mx-1<-m+5恒成立，求m的取值范围. 解：当1≤x≤3时，mx2-mx-1<-m+5恒成立， 即当1≤x≤3时，m(x2-x+1)-6<0恒成立. ∵x2-x+1=+>0，∴m<.∵当1≤x≤3时，=，x=3时，其最小值为，∴只需m<即可. 故m的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.[注：收益=实际用电量×(实际电价-成本价)] (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的关系式；(5分) 解：设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知用电量增至+a，电力部门的收益为y=(x-0.3)(0.55≤x≤0.75). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?(5分) 解：依题意有(x-0.3)≥[a×(0.8-0.3)](1+20%)，且0.55≤x≤0.75，整理得 解得0.6≤x≤0.75.故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)不等式x2+8y2≥λy(x+y)对于任意的x，y∈R恒成立，求实数λ的取值范围. 解：因为x2+8y2≥λy(x+y)对于任意的x，y∈R恒成立， 所以x2+8y2-λy(x+y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，即x2-λyx+(8-λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ=λ2y2+4(λ-8)y2=y2(λ2+4λ-32)≤0，所以(λ+8)(λ-4)≤0，解得-8≤λ≤4. 故实数λ的取值范围是{λ|-8≤λ≤4}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知集合{x∈R|x2-(k+2)x-3k+1≥0}={x|x≤-1或x≥5}. (1)求实数k的值；(3分) 解：由题意可知，-1和5是方程x2-(k+2)x-3k+1=0的两个根，所以由根与系数的关系得解得k=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知t<2，若不等式x2-(k+2)x-3k-m2+4m+15≥0在t≤x≤4上恒成立，求实数m的取值范围.(7分) 解：由(1)知，k=2，原不等式可化为x2-4x+9-m2+4m≥0， 所以x2-4x≥m2-4m-9在t≤x≤4(t<2)上恒成立，令y=x2-4x=(x-2)2-4， 因为t≤x≤4(t<2)，所以ymin=-4，所以不等式恒成立等价于m2-4m-9≤-4， 即m2-4m-5≤0，解得-1≤m≤5， 故实数m的取值范围为{m|-1≤m≤5}. 本课结束 $$