2.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的联系及解法，通过“课前预知教材”自主落实定义、零点等基础概念，再以“课堂题点研究”分题型进阶，搭建从基础到应用的学习支架。 其亮点是梯度进阶式教学，结合函数图象分析方程根与不等式解集（数学眼光），分类讨论含参数问题（数学思维），规范解集集合表示（数学语言）。通过思维建模步骤、变式拓展及分层检测，助学生深化理解，教师可提升教学效率。

二次函数与一元二次方程、不等式 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及个数，了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.一元二次不等式的概念 (1)一元二次不等式的定义及一般形式 (2)二次函数的零点 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使____________的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 定义 只含有一个_______，并且未知数的最高次数是____的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 未知数 ax2+bx+c=0 2 2.一元二次函数与方程、不等式的解的关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+ bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 _______________ R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 ___________ _____ _____ {x|x<x1，或x>x2} {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 续表 |微|点|助|解| (1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集； (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. (3)从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 ①函数的角度：一元二次不等式ax2+bx+c>0表示二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围. ②方程的角度：一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)mx2+5x+3<0是一元二次不等式. (　 ) (2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则必有a>0. (　 ) (3)函数y=ax2+bx+c的零点就是函数图象与x轴的交点. (　 ) (4)若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<x1或x>x2}(x1<x2)，则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2. (　 ) (5)若方程ax2+bx+c=0没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R. (　 ) 基础落实训练 × √ × √ × 2.不等式2x2-x-1>0的解集是 (　 ) A. B.{x|x<1或x>2} C.{x|x>1} D. √ 解析：原不等式可化为(2x+1)(x-1)>0，所以x<-或x>1，故选A. 3.若不等式ax2+5x+c>0的解集为{x|2<x<3}，则a，c的值分别为_______，______.  -1　 -6 解析：由题意知，方程ax2+5x+c=0的两根为x1=2，x2=3，由根与系数的关系得x1+x2=2+3=-，x1x2=2×3=，解得a=-1，c=-6. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　不含参数的一元二次不等式的解法 [例1]　解下列不等式： (1)-2x2+x-6<0； 解：原不等式可化为2x2-x+6>0. 因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0， 所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上， 与x轴无交点(如图1所示). 观察图象可得，原不等式的解集为R. 图1 (2)-x2+6x-9≥0； 解：原不等式可化为x2-6x+9≤0， 即(x-3)2≤0， 函数y=(x-3)2的图象如图2所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{3}. 图2 (3)x2-2x-3>0. 解：方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1，x2=3. 函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线， 与x轴有两个交点(-1，0)和(3，0)，如图3所示. 观察图象可得不等式的解集为{x|x<-1或x>3}. 图3 |思|维|建|模| 解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)计算对应方程的判别式，判断方程根的情况. (3)求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根. (4)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 针对训练 1.不等式-2x2+x+3<0的解集是 (　 ) A.{x|x<-1} 　　B. C. 　　D. √ 解析：不等式-2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0，因为Δ=(-1)2-4×2×(-3)=25>0，所以方程2x2-x-3=0的两根为x1=-1，x2=，又二次函数y=2x2-x-3的图象开口向上，所以不等式-2x2+x+3<0的解集是，故选D. 2. 解不等式：-2<x2-3x≤10. 解：原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2-3x+2>0，即(x-1)(x-2)>0，解得x>2或x<1.不等式②可化为x2-3x-10≤0，即(x-5)(x+2)≤0，解得-2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|-2≤x<1或2<x≤5}. 题型(二)　含参数的一元二次不等式的解法 [例2]　解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax. 解：原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0. ①当a=0时，原不等式化为x+1≤0，解得x≤-1. ②当a>0时，原不等式化为(x+1)≥0， 解得x≥或x≤-1. ③当a<0时，原不等式化为(x+1)≤0. 当>-1，即a<-2时，解得-1≤x≤； 当=-1，即a=-2时，解得x=-1满足题意； 当<-1，即-2<a<0时，解得≤x≤-1. 综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤-1}； 当a>0时，不等式的解集为； 当-2<a<0时，不等式的解集为； 当a=-2时，不等式的解集为{-1}； 当a<-2时，不等式的解集为. |思|维|建|模|　解含参数的一元二次不等式的步骤 讨论二次项系数 二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式 判断方程根的个数 判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系 写出解集 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 针对训练 3.解关于x的不等式x2-(3a-1)x+(2a2-2)>0. 解：原不等式可化为[x-(a+1)][x-2(a-1)]>0， 讨论a+1与2(a-1)的大小. ①当a+1>2(a-1)，即a<3时，不等式的解为x>a+1或x<2(a-1). ②当a+1=2(a-1)，即a=3时，不等式的解为x≠4. ③当a+1<2(a-1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a-1)或x<a+1. 综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a+1或x<2(a-1)}，当a=3时，不等式的解集为{x|x≠4}，当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a-1)或x<a+1}. 题型(三)　三个“二次”之间的关系 [例3]　已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集. 解：由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系可知=-5，=6. 由a<0知c<0，=-，故不等式cx2+bx+a<0，即x2+x+>0，即x2-x+>0，解得x<或x>，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为. [变式拓展] 1.若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集. 解：由根与系数的关系知=-5，=6且a<0. ∴c<0，=-，故不等式cx2-bx+a>0，即x2-x+<0， 即x2+x+<0，解得-<x<-， 故不等式cx2-bx+a>0的解集为. 2.若将本例中的条件“关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是”，则不等 式cx2+bx+a<0的解集为________________.  解析：法一　由ax2+bx+c≥0的解集为知a<0.又 ×2=<0，则c>0.又-，2为方程ax2+bx+c=0的两个根，∴-=，∴=-.又=-，∴b=-a，c=-a，∴不等式cx2+bx+a<0变为x2+x +a<0，即2ax2+5ax-3a>0.又∵a<0，∴2x2+5x-3<0， 故不等式cx2+bx+a<0的解集为. 法二　由已知得a<0且+2=-×2=，∴c>0， 设方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1，x2， 则x1+x2=-，x1·x2=， 其中==-，-===-，∴x1=-3，x2=. ∴不等式cx2+bx+a<0的解集为. |思|维|建|模| 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号. (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式. (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 针对训练 4.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4}，则下列说法正确的是 (　 ) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集为{x|x>-12} C.不等式cx2-bx+a<0的解集为 D.a+b+c>0 √ √ 解析：因为不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4}，所以a>0，A正确；方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-3，x2=4，由根与系数的关系得即b=-a，c=-12a，bx+c>0等价于-ax-12a>0，所以x< -12，B错误；不等式cx2-bx+a<0等价于-12ax2+ax+a<0，即12x2-x-1>0，解得x<-或x>，C正确；因为b=-a，c=-12a，所以a+b+c=-12a<0，D错误. 5.若关于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集为{x|0<x<n}，则实数n的值为______.  2 解析：∵关于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集为{x|0<x<n}，∴x=0是方程(x+1)(x-3)=m的解，∴m=-3.∴原不等式为(x+1)(x-3)<-3，即x2-2x<0，解得0<x<2.故不等式的解集为{x|0<x<2}，∴n=2. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是 (　 ) A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1} C.{x|-2≤x≤1} D.{x|x≤-2或x≥1} 16 √ 解析：由二次函数图象知ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N={x|x2-x-6≥0}，则M∩N= (　 ) A.{-2，-1，0，1} B.{0，1，2} C.{-2} D.{2} 16 √ 解析：因为N={x|x2-x-6≥0}={x|x≥3或x≤-2}，所以M∩N={-2}，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.不等式4+3x-x2<0的解集为 (　 ) A.{x|-1<x<4} B.{x|x>4或x<-1} C.{x|x>1或x<-4} D.{x|-4<x<1} 16 √ 解析：不等式4+3x-x2<0可化为x2-3x-4>0，即(x+1)(x-4)>0，解得x>4或x<-1. 故不等式的解集为{x|x>4或x<-1}. 故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.设m+n>0，则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　 ) A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m<x<n} 16 √ 解析：方程(m-x)(n+x)=0的两根为m，-n，因为m+n>0，所以m>-n，结合函数y=(m-x)(n+x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|-n<x<m}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.若不等式ax2+5x-2>0的解集是，则a的值为 (　 ) A.- B.2 C.-2 D. 16 √ 解析：因为不等式ax2+5x-2>0的解集为，所以，2为方程ax2+5x-2=0的两根，所以根据根与系数的关系可得×2=-，所以a=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是 (　 ) A. B.R C. D.⌀ 16 √ 解析：因为Δ=a2+4m>0，所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}，且x2-x1=15，则a= (　 ) A. B. C. D. 16 √ 解析：由条件知x1，x2为方程x2-2ax-8a2=0的两根，则x1+x2=2a，x1x2=-8a2，故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152，解得a=，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在R上定义运算“☉”：a☉b=ab+2a+b，则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为 (　 ) A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2} 16 √ 解析：根据给出的定义得，x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1)，又x☉(x-2)<0，则(x+2)(x-1)<0，故不等式的解集是{x|-2<x<1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)不等式x2-4x+4>0的解集是__________.  16 {x|x≠2} 解析：原不等式可化为(x-2)2>0，所以x≠2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)若0<a<1，则不等式(a-x)>0的解集是_____________.  16 解析：原不等式等价于(x-a)<0， 由0<a<1，得a<，所以a<x<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)关于x的不等式ax-b<0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是___________.  16 {x|-1<x<3} 解析：因为关于x的不等式ax-b<0的解集是{x|x>1}，所以不等式ax<b的解集是{x|x>1}，所以a=b<0，所以不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)<0，解得-1<x<3，所以该不等式的解集是{x|-1<x<3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)关于x的不等式(mx-1)(x-2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________.  16 {m|m<0} 解析：∵不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为， ∴方程(mx-1)(x-2) =0的两个实数根为和2，且解得m<0， ∴m的取值范围是{m|m<0}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)已知集合A={-5，-1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________________________.  16 (x+4)(x-6)>0(答案不唯一) 解析：因为不等式(x+4)(x-6)>0的解集为{x|x>6或x<-4}，解集中只有-5在集合A中，所以符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)解下列不等式： (1)2+3x-2x2>0；(3分) 16 解：原不等式可化为2x2-3x-2<0， 所以(2x+1)(x-2)<0，解得-<x<2， 故原不等式的解集是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)x(3-x)≤x(x+2)-1；(3分) 16 解：原不等式可化为2x2-x-1≥0， 所以(2x+1)(x-1)≥0，解得x≤-或x≥1， 故原不等式的解集为. (3)x2-2x+3>0.(4分) 解：因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0，所以原不等式的解集是R. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R). 16 解：原不等式可化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a，x2=-a. ①当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|-a<x<2a}； ②当a=0时，原不等式化为x2<0，解集为⌀； ③当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上，当a>0时，不等式的解集为{x|-a<x<2a}；当a=0时，不等式的解集为⌀；当a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为. (1)求a，c的值；(5分) 16 解：由题意知，不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为和， 由根与系数的关系，得 解得a=-6，c=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.(5分) 16 解：由a=-6，c=-1知不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0， 即3x2-4x+1≤0，解得≤x≤1， 所以不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0的解集为. 本课结束 $$