2.3 第1课时 初中知识衔接：一元二次函数与方程（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的衔接，系统梳理一元二次方程解法、根与系数关系、二次函数解析式及图象性质，通过“逐点清”模块衔接初中知识，从方程解法到函数图象逐步递进，搭建初中到高中的知识支架。 其亮点是采用“多维理解+微点练明”模式，如配方法步骤拆解、根与系数关系判别式分析，培养数学思维。练习题附解析，引导学生用数学语言规范表达，提升运算能力。学生能夯实基础，教师可直接用于课堂，提高教学效率。

二次函数与一元二次方程、 不等式 2.3 初中知识衔接：一元二次函数与方程 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　解一元二次方程 逐点清(二)　一元二次方程根与 系数的关系 逐点清(三)　一元二次函数与图象 4 课时检测 逐点清(一)　解一元二次方程 01 一元二次方程的解法 多维理解 配方法 解法步骤：(1)化二次项系数为1； (2)移项：把常数项移到方程的右边，二次项和一次项移到方程的左边； (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方的形式； (4)解方程：若方程右边是非负数，通过直接开平方法求方程的根 公式法 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，x= 因式分 解法 一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A·B=0的形式，则可将原方程化为两个一次方程，即A=0或B=0，从而得方程的两根 续表 1.若多项式x2+kx-24可以因式分解为(x-3)(x+8)，则实数k的值为 (　 ) A.5 B.-5 C.11 D.-11 √ 微点练明 解析：由题意得x2+kx-24=(x-3)(x+8)=x2+5x-24. 2.关于x的方程x2-4x+7=0的根是 (　 ) A.x1=2+，x2=2- B.x1=-2+，x2=-2- C.无实数根 D.x1=2+，x2=2- √ 3.下列有两个不相等的实数根的方程是 (　 ) A.x2+1=0　　　　　　 B.x2-2x+1=0 C.x2+2x+4=0 D.x2-x-3=0 √ 4.按指定的方法解方程： (1)(x+9)2-25=0(直接开平方法)； 解：方程变形得(x+9)2=25，开方得x+9=5或x+9=-5，解得x1=-4，x2=-14. (2)x2-6x-16=0(配方法)； 解：方程变形得x2-6x=16，配方得x2-6x+9=25，即(x-3)2=25， 开方得x-3=5或x-3=-5，解得x1=8，x2=-2. (3)3x(x-1)=2(x-1)(因式分解法)； 解：方程变形得3x(x-1)-2(x-1)=0，因式分解得(3x-2)(x-1)=0，解得x1=，x2=1. (4)2x2-7x+2=0(公式法). 解：由题意，知a=2，b=-7，c=2. ∵Δ=49-16=33，∴x=. 逐点清(二)　一元二次方程根 与系数的关系 02 如果关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1+x2= ______，x1x2=_____. 多维理解 - |微|点|助|解| 求一元二次方程的根需注意 (1)首先要把方程变成一般形式. (2)注意方程有实根的前提条件是Δ=b2-4ac≥0. (3)注意a，b，c应包含各自的符号. (4)注意一元二次方程如果有根，应有两个，需要注意方程的根与方程的解的区别. 1.关于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是 (　 ) A.两个不等的实数根 　B.两个相等的实数根 C.没有实数根 　D.无法确定 √ 微点练明 解析：∵x2+x+1=0，∴Δ=12-4×1×1=-3<0，∴该方程无实数根. 2.若关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根，则k的取值范围是 (　 ) A. 　B. C. 　D. √ 解析：∵关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根，∴k≠0且Δ=(-1)2-4k≥0，解得k≤且k≠0. 3.已知方程x2-4x+1=0的两根为x1和x2，则+=________.  14 解析：方程x2-4x+1=0的两根为x1和x2，则x1+x2=4，x1x2=1，则+=(x1+x2)2-2x1x2=16-2=14. (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1-x2)2+m2=21，求m的值. 解：根据题意，得x1+x2=-(2m+1)，x1x2=m2-2. ∵(x1-x2)2+m2=21， ∴(x1+x2)2-4x1x2+m2=(2m+1)2-4(m2-2)+m2=21. 整理得m2+4m-12=0，解得m1=2，m2=-6. ∵m≥-，∴m的值为2. 4.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； 解：根据题意，得Δ=(2m+1)2-4(m2-2)≥0， 解得m≥-，∴m的最小整数值为-2. 逐点清(三) 一元二次函数与图象 03 1.二次函数的解析式 (1)一般式：__________________； (2)顶点式：__________________，其中顶点为(h，k)； (3)交点式：__________________，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标. 多维理解 y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 2.二次函数的图象和性质 二次函数一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 _______________ x=- 顶点坐标 ___________________ 增减性 当x>-时，y随x的增大而____； 当x<-时，y随x的增大而_____ 当x>-时，y随x的增大而____； 当x<-时，y随x的增大而_____ 最值 当x=-时，y取到最小值 当x=-时，y取到最大值 增大 减小 减小 增大 续表 1.函数y=-(x-1)2+4的图象的顶点坐标是 (　 ) A.(-1，4) 　　B.(-1，-4) C.(1，-4) 　　D.(1，4) √ 微点练明 解析：由y=-(x-1)2+4得函数图象的顶点坐标为(1，4). 2.对于二次函数y=2(x-3)2-5的图象，下列说法正确的是 (　 ) A.图象与y轴交点的坐标是(0，-5) B.该函数图象的对称轴是直线x=-3 C.当x<-6时，y随x的增大而增大 D.顶点坐标为(3，-5) √ 解析：令x=0，则y=2(0-3)2-5=13，∴抛物线与y轴的交点坐标是(0，13)，∴A错误；∵y=2(x-3)2-5，∴a=2>0，开口向上，顶点(3，-5)，对称轴是直线x=3，当x>3时，y随x的增大而增大，∴B、C错误，D正确.故选D. 3.二次函数y=x2-12x+27的对称轴是_________.  x=6 解析：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=-，故二次函数y=x2-12x+27图象的对称轴为x=-=6. 4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图 所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的 解为________.  -2和4 解析：法一　结合二次函数图象的对称性可知，方程的另一个根为-2. 法二　由题图可知，4是方程的一个根，所以-42+2×4+m=0，解得m=8，由-x2+2x+8=0得(x+2)(x-4)=0，所以方程的根为-2和4. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.一元二次方程2x2+px+q=0的两根为-1和2，那么二次三项式2x2+px+q可分解为 (　 ) A.(x+1)(x-2) B.(2x+1)(x-2) C.2(x-1)(x+2) D.2(x+1)(x-2) 16 √ 解析：∵一元二次方程2x2+px+q=0的两根为-1和2，∴2(x+1)(x-2)=0，∴2x2+px+q可分解为2(x+1)(x-2).故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.从-1，0，3，5，7五个数中任意选取一个数，记为m，则使二次函数y=mx2+6x+2与x轴有交点时的m的值有 (　 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16 √ 解析：因为是二次函数，所以m≠0.又因为二次函数图象与x轴有交点，故Δ=36-8m≥0，即m≤，且m≠0.所以满足要求的m的值有2个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.不解方程，判断关于x的方程2x2-(2m+1)x+(m2+1)=0的解集情况是 (　 ) A.⌀ B.非空集 C.单元素集合 D.二元集 16 √ 解析：由判别式Δ=(2m+1)2-8(m2+1)=-4m2+4m-7=-(2m-1)2-6<0得方程的解集为空集.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.若非零实数a，b，c满足9a-3b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为 (　 ) A.3 B.-3 C.0 D.无法确定 16 √ 解析：把x=-3代入方程ax2+bx+c=0，得9a-3b+c=0，即方程一定有一个根为x=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.若关于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 16 √ 解析：若满足题意，则需m≠0，且Δ=(2m+1)2-4m2=4m2+4m+1-4m2 =4m+1>0，解得m>-，且m≠0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知α，β是方程x2-2x-4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为 (　 ) A.-1 B.2 C.22 D.30 16 √ 解析：∵α是方程x2-2x-4=0的实根，∴α2-2α-4=0，即α2=2α+4，∴α3=2α2+4α=2(2α+4)+4α=8α+8，∴原式=8α+8+8β+6=8(α+β)+14，∵α，β是方程x2-2x-4=0的两实根，∴α+β=2，∴原式=8×2+14=30，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(多选)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B的坐标为(-1，0)，则下面结论正确的是 (　 ) A.2a+b=0 B.4a-2b+c<0 C.b2-4ac>0 D.当y<0时，x<-1或x>4 16 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为x=1，所以x=-=1，即2a+b=0，故A正确；当x=-2时，y=4a-2b+c<0，故B正确；该函数图象与x轴有两个交点，则b2-4ac>0，故C正确；因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为x=1，点B的坐标为(-1，0)，所以点A的坐标为(3，0).所以当y<0时，x<-1或x>3，故D错误. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 (　 ) A.a=c B.a=b C.b=c D.a=b=c 16 √ 解析：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=0.又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化简得(a-c)2=0，所以a=c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.设A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=3(x+1)2+4m(m为常数)上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为 (　 ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 16 √ 解析：∵抛物线y=3(x+1)2+4m(m为常数)的开口向上，对称轴为直线x=-1，而点C(2，y3)离直线x=-1的距离最远，点A(-2，y1)离直线x=-1最近，∴y1<y2<y3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)若把多项式x2+mx+14分解因式后含有因式x+7，则m=_____.  16 9 解析：设x2+mx+14=(x+7)(x+n)，即x2+mx+14=(x+7)(x+n)=x2+(7+n)x +7n，所以7n=14，7+n=m，所以m=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知二次函数y=x2+(2a+1)x+a2-1的顶点在x轴上，则a=_____.  16 - 解析：由题意可知Δ=(2a+1)2-4a2+4=0，解得a=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是____，m=_____.  16 5　 15 解析：将x=1代入原方程，得3×12-18×1+m=0，解得m=15. 由根与系数的关系可得方程的另一根为=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1，则关于x的方程x2+mx=3的解为________.  16 -1和3 解析：由题意可知-=1，解得m=-2， 所以方程x2-2x=3的解为-1和3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(5分)当a-1≤x≤a时，二次函数y=x2-4x+3的最小值为8，则a的值为________.  16 -1或6 解析：当y=8时，有x2-4x+3=8，解得x1=-1，x2=5. ∵当a-1≤x≤a时，函数有最小值8， ∴a-1=5或a=-1，∴a=6或a=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知关于x的方程(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)求k的取值范围；(6分) 16 解：由题知，⇒ ∴k<且k≠1，故k的取值范围为(-∞，1)∪. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.(4分) 16 解：若x1+x2=0，即-=0，k=. 由(1)可知，这样的k不存在. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-3，0)，B(1，0)，与y轴相交于点C. (1)求抛物线的函数表达式；(3分) 16 解：由题意得解得 故抛物线的表达式为y=x2+2x-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以点A，C，P为顶点的三角形是直角三角形?若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.(7分) 16 解：存在.对于y=x2+2x-3，令x=0，则y=-3，即点C(0，-3)，抛物线的对称轴为直线x=-1， 设点P(-1，m)，由勾股定理得AC2=32+32=18，AP2=22+m2，PC2=1+(m+3)2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当AC是斜边时，则18=AP2+PC2=22+m2+1+(m+3)2，解得m=；当AP是斜边时，则18+1+(m+3)2=22+m2，解得m=-4； 当PC是斜边时，则18+22+m2=1+(m+3)2，解得m=2.即点P的坐标为或或(-1，-4)或(-1，2). 16 本课结束 $$