2.2 第2课时 基本不等式的应用（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦基本不等式的应用，通过拓展融通课的习题讲评式教学，从已学基本不等式出发，以配凑法、常数代换法为例题搭建学习支架，帮助学生逐步掌握求最值、解决实际问题及综合应用的技巧。 其亮点在于通过思维建模总结方法步骤，如常数代换法四步流程，培养学生数学思维。结合矩形围栏面积等实际问题，引导学生用数学眼光观察现实，规范的解析步骤助力数学语言表达。采用习题讲评式教学，学生能巩固技巧提升应用能力，教师可系统开展教学提高效率。

基本不等式的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过配凑、变形等利用基本不等式求最值. 2.要灵活应用不等式解决问题，能够利用基本不等式解决实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　利用基本不等式求最值 题型(二)　利用基本不等式解决 实际问题 题型(三)　基本不等式的综合应用 4 课时检测 题型(一)　利用基本不等式求最值 01 方法1　配凑法 [例1]　(1)若x<，则3x+1+有(　 ) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 解析：因为x<，所以3x-2<0，所以3x-2++3=- +3≤-2+3=-3，当且仅当2-3x=，即x=-时，取等号. √ (2)已知0<x<，则x的最大值为__________.  解析：因为0<x<，所以1-2x2>0，所以x=· ≤·=，当且仅当2x2=1-2x2，即x=时等号成立. |思|维|建|模| 配凑法的运用技巧 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、配系数、凑常数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式，如凑成x+(a>0)、+的形式等，然后利用基本不等式求解最值.拆项、添项时应注意检验利用基本不等式的条件. 方法2　常数代换法求最值 [例2]　已知x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值为(　 ) A.4 B.4 C.6 D.2+3 √ 解析：因为x>0，y>0，且2x+y=1，所以=+== ++3≥2+3=2+3，当且仅当=，即x=，y=-1时取等号. |思|维|建|模| 常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值. (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. (4)利用基本不等式求解最值. 针对训练 1.已知m>0，n>0，+n=4，则m+的最小值为(　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 √ 解析：由题意得m+==≥ =4，当且仅当mn=，即m=1，n=3时等号成立. 2.已知x>0，求2-3x-的最大值. 解：因为x>0，故2-3x-=2-≤2-2=2-4，当且仅当3x=，即x=时，等号成立，故2-3x-的最大值为2-4. 3.已知x<，求 4x-2+的最大值. 解：因为x<，所以5-4x>0. 所以4x-2+=-+3≤-2+3=1， 当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立. 故当x=1时，4x-2+的最大值为1. 题型(二)　利用基本不等式 解决实际问题 02 [例3]　小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度. 解：设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x+y) m. 法一　由已知xy=16，由≥，可知x+y≥2=8，所以2(x+y)≥16， 当且仅当x=y=4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 法二　由已知xy=16，得y=. 所以2(x+y)=2≥2×2=16. 当且仅当x=y=4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. [变式拓展] 如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大? 解：由已知得2(x+y)=12，故x+y=6，面积为xy， 由≤==3，或=≤=3，可得xy≤9， 当且仅当x=y=3时，等号成立. 因此，当游乐园是边长为3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2. |思|维|建|模| 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值，利用基本不等式求最值； (3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论. 针对训练 4.某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层? 解：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为=. ∴每平方米的平均综合费用为560+48x+=560+48. 当x+取最小值时，y有最小值.∵x≥10，∴x+≥2=30. 当且仅当x=，即x=15时，上式等号成立. ∴当x=15时，y有最小值2 000元. 因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少. 题型(三)　基本不等式的 综合应用 03 [例4]　(1)已知4x+(x>0， a>0)在x=3时取得最小值，求a的值. 解：∵x>0，a>0， ∴4x+≥2=4. 当且仅当4x=，即4x2=a时4x+取得最小值， 又∵x=3，∴a=4×32=36. (2)若不等式9x+≥a+1(常数a>0)对一切正实数x成立，求a的取值范围. 解：常数a>0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，则a+1≤，又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立. 故必有6a≥a+1，解得a≥. 所以a的取值范围为. |思|维|建|模| 含参数不等式的求解策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围. (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化. 针对训练 5.已知正实数a，b满足+=m，若的最小值为4，则实数m的取值范围是(　 ) A.{2} B.{m|m≥2} C.{m|0<m≤2} D.{m|m>0} √ 解析：因为a，b为正实数，=ab++2≥2 +2=4，当且仅当ab=，即ab=1时等号成立，此时有b=，又因为+=m，所以a+=m，由基本不等式可知a+≥2(当且仅当a=1时等号成立)，所以m≥2. 6.已知a>0，b>0，若+≥恒成立，求m的取值范围. 解：根据题意，a>0，b>0，+≥恒成立等价于(a+3b)≥m恒成立.所以(a+3b)=3+++3=6++≥6+2=12， 当且仅当=，即a=3b时等号成立， 所以m≤12.故m的取值范围是{m|m≤12}. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.下列各式最小值为2的是 (　 ) A.y=t+(t>1) B.y=+ C.y=t+(t>1) D.y=t++1(t>0) √ 解析：对于A，y=t+≥2，当且仅当t=1时，等号成立； 对于B，y=+ ≥2，当且仅当t=1时，等号成立； 对于C，y=t+=t-1++1≥3；对于D，y=t++1≥3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.若(x>1)在x=t处取得最小值，则t等于(　 ) A.1+ B.2 C.3 D.4 √ 解析：=x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x-1=，即x=2时，等号成立，故t=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若x∈R，则3x2+的最小值是(　 ) A.3-3 B.3 C.6 D.6-3 √ 解析：3(x2+1)+-3≥2-3=2-3=6-3，当且仅当x2=-1时，等号成立，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知a>0，b>0，a+b=+，则+的最小值为(　 ) A.4 B.2 C.8 D.16 √ 解析：由a+b=+=，得ab=1，则+≥2=2，当且仅当=时，等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知正实数a，b满足a+b=2，则+的最大值为(　 ) A.2 B.4 C.4 D.16 √ 解析：因为(+)2=(a+1)+(b+1)+2·≤(a+1) +(b+1)+(a+1)+(b+1)=2(a+b+2)=8，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以+的最大值为2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于2，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为(　 ) A. B.1 C.2 D.6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设该直角三角形的斜边为c=2，直角边为a，b，则a2+b2= c2=8.因为2ab≤a2+b2，所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2)，即(a+b)2≤16，当且仅当a=b，且a2+b2=8，即a=b=2时，等号成立.因为a>0，b>0，所以a+b≤4，所以a+b的最大值为4.该直角三角形周长为a+b+c≤4+2.故这个直角三角形周长取最大值4+2时，a=b=2，此时三角形的面积为×2×2=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(多选)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，≥ ，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a=b=c时等号成立”.利用上面结论，则下列不等式成立的是(　 ) A.若x>0，则x2+≥3 B.若0<x<1，则x2(1-x)≤ C.若x>0，则2x+≥3 D.若0<x<1，则x(1-x)2≤ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为x>0，x2+=x2++≥3=3，当且仅当x2=时，即当x=1时，等号成立，A正确；因为0<x<1，则x2(1-x)=x·x·(2-2x)≤ ·=，当且仅当x=2-2x，即x=时，等号成立，B错误；因为x>0，则2x+=x+x+≥3=3，当且仅当x=时，即当x=1时，等号成立，C正确；因为0<x<1，则x(1-x)2=·2x(1-x)(1-x)≤· =，当且仅当2x=1-x，即x=时，等号成立，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)已知0<x<1，则x(1-x)的最大值为_____，此时x=______.  解析：因为0<x<1，所以1-x>0，所以x(1-x)≤==，当且仅当x=1-x，即x=时，等号成立，即当x=时，x(1-x)取得最大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)矩形的长为a，宽为b，且面积为64，则矩形周长的最小值为_______.  32 解析：由题意，矩形的长为a，宽为b，且面积为64，即ab=64，所以矩形的周长为2a+2b=2a+≥2=32，当且仅当a=8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦——秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=5，c=3，则此三角形面积的最大值为_______.  3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为a+b=5，c=3，所以p===4， 故S==2 =2=2，因为ab≤=，当且仅当a=b=时，等号成立，故S=2≤2× =3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知正数x，y满足(x-2)(y-1)=2，若不等式x+2y>m恒成立，则实数m的取值范围是________.  {m|m<8} 解析：因为x>0，y>0，则(x-2)(y-1)=xy-(x+2y)+2=2，所以x+2y=xy，所以+=1.所以x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8， 当且仅当=时，即x=4，y=2时，等号成立. 又x+2y>m恒成立，所以m<8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界.若a，b为正实数，且a+b=1，则--的上确界为________.  - 解析：因为a，b为正实数，且a+b=1，所以+=·(a+b)= +≥+2=，当且仅当b=2a，即a=，b=时，等号成立，因此有--≤-，即--的上确界为-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知x>0，y>0，+=1. (1)求xy的最小值；(4分) 解：因为+=1.所以xy=8y+2x. 又x>0，y>0，所以由基本不等式得xy=8y+2x≥2=8， 当且仅当即当x=16，y=4时，等号成立，解不等式得xy≥64，所以当且仅当x=16，y=4时，xy有最小值64. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求+的最小值.(6分) 解：因为x>0，y>0，+=1，所以有x=>0，且y-2>0， 所以+=+=+，由基本不等式得+=+ ≥2=1，当且仅当即x=16，y=4时，等号成立，所以当且仅当x=16，y=4时，+有最小值1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”.在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s=v2+v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米.现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式；(4分) 解： T===++. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大?(6分) 解：经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小. ∵T=++≥2+=， 当且仅当=，即v=20时取等号. ∴当v=20米/秒时，经过观测点A的车流量最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知正实数x，y满足x+y=4. (1)是否存在正实数x，y，使得xy=5?若存在，求出x，y的值；若不存在，请说明理由.(3分) 解：不存在.因为正实数x，y满足x+y=4， 所以4=x+y≥2，所以xy≤4. 故不存在正实数x，y，使得xy=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求证：+≥，并说明等号成立的条件.(7分) 解：证明：由x+y=4，得x+1+y+2=7.又因为x，y都是正实数， 所以+=[(x+1)+(y+2)]·=≥ =，当且仅当=时，等号成立， 又因为x+y=4，所以当且仅当x=，y=时，等号成立. 本课结束 $$