2.2 第1课时 基本不等式（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦基本不等式（√ab ≤ (a+b)/2）及变形应用，通过课前自主预习落实定义、变形等基础，课堂按直接求最值、比较大小、证明不等式梯度进阶，构建从概念到应用的完整学习支架。 其亮点是梯度进阶式教学，结合“一正二定三相等”关键点，通过负数求最值等实例培养数学思维，思维建模总结方法助学生用数学语言表达。学生提升推理能力，教师教学更系统高效。

2.2 基本不等式 基本不等式 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0)，掌握基本不等式的变形及应用. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.基本不等式 (1)如果a>0，b>0，则_____，当且仅当______时，等号成立. 其中_____叫做正数a，b的算术平均数，___叫做正数a，b的几何平均数. (2)基本不等式表明：两个正数的算术平均数_______它们的几何平均数. 2.常用变形 (1)ab≤，a，b∈R，当且仅当a=b时，等号成立. (2)a+b≥2 ，a，b都是正数，当且仅当a=b时，等号成立. ≤ a=b 不小于 |微|点|助|解| (1)基本不等式≥中，要求a，b都是正实数. (2)基本不等式成立的条件是a>0，b>0，而重要不等式中的a，b是实数.事实上，当a>0，b>0时，我们分别用代替重要不等式中的a，b，即得a+b≥2 ，变形可得≥ . (3)基本不等式中的a，b的取值既可以是某个具体的正数，也可以是一个代数式，但是代数式的结果应为正数. 3.用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若xy=P(积P为定值)，则当x=y=时，和x+y有最小值为_______. (2)设x，y为正实数，若x+y=S(和S为定值)，则当x=y=时，积xy有最 大值为_____. 2 4.三个关键点：一正、二定、三相等 (1)一正：各项必须为正； (2)二定：各项之和或各项之积为定值； (3)三相等：必须验证取等号成立时的条件是否具备. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若a>0，b>0且a≠b，则a+b>2 . (　 ) (2)6和8的几何平均数为2. (　 ) (3)对任意a，b∈R，a2+b2≥2ab，a+b≥2 均成立. (　 ) (4)若a≠0，则a+≥2 =2. (　 ) 基础落实训练 √ × × × 2.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是 (　 ) A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 √ 解析：当a2+1=2a，即(a-1)2=0，即a=1时，等号成立. 3.设a>b>0，则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.a-b<0 B.0<<1 C.< D.ab>a+b √ 解析：∵a>b>0，由基本不等式知<一定成立. 4.(多选)当a，b∈R时，下列不等关系不成立的是 (　 ) A.≥ B.a-b≥2 C.a2+b2≥2ab D.a2-b2≥2ab √ √ √ 解析：根据≥ab，≥成立的条件判断，知A、B、D错误，只有C正确. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　直接利用基本不等式求最值 [例1]　(1)已知实数x<0，求x+的最大值. 解：因为x<0，所以-x>0， 所以x+=-≤-2=-2. 当且仅当-x=-，即x=-1时等号成立， 所以x+的最大值为-2. (2)若+=2(x>0，y>0)，求xy的最小值. 解：因为x>0，y>0，所以+≥2， 当且仅当=+=2(x>0，y>0)， 即x=1，y=1时取等号，所以2≤2，xy≥1，故xy的最小值是1. |思|维|建|模| (1)求“和”式的最小值，一般运用变形a+b≥2，这时必须确保“积”是定值(a>0，b>0). (2)求“积”式的最大值，一般运用变式ab≤，这时必须确保“和”是定值(a>0，b>0). (3)注意检验等号成立的条件是否满足，若不满足，则不可直接运用基本不等式.　 针对训练 1.已知x>0，则x-4+的最小值为(　 ) A.-2 B.0 C.1 D.2 √ 解析：∵x>0，∴x+-4≥2-4=0，当且仅当x=，即x=2时，等号成立. 2.已知a>0，b>0，且ab=9a+b，则ab的最小值为_________.  36 解析：因为a>0，b>0，所以ab=9a+b≥2=6， 即ab≥6，解得ab≥36， 当且仅当9a=b，即a=2，b=18时，等号成立. 题型(二)　利用基本不等式比较大小 [例2]　设0<a<b，则下列不等式正确的是 (　 ) A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b √ 解析：法一　∵0<a<b，∴a<<b，排除A、C两项. 又-a=(-)>0，即>a，排除D项，故选B. 法二　取a=2，b=8，则=4，=5，所以a<<<b. 故选B. [例3]　已知m=a+(a>2)，n=2-b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是_______.  m>n 解析：因为a>2，所以a-2>0，又因为m=a+=(a-2)++2， 所以m≥2+2=4，当且仅当a-2=，即a=3时，等号成立.由b≠0，得b2≠0，所以2-b2<2，n=2-b2<2<4，综上可知m>n. |思|维|建|模| 利用基本不等式比较大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0. 针对训练 3.设0<a<b，且a+b=1，在下列四个数中最大的是 (　 ) A. B.b C.2ab D.a2+b2 √ 解析：∵ab<，∴ab<，∴2ab<.∵>>0，∴>，∴a2+b2>.∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a) >0，∴b>a2+b2，∴b最大. 4.已知a，b，c是两两不等的实数，则a2+b2+c2与ab+bc+ac的大小关系是____________________.  a2+b2+c2>ab+bc+ac 解析：∵a，b，c互不相等，∴a2+b2>2ab，b2+c2>2bc，a2+c2>2ac.∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac)，即a2+b2+c2>ab+bc+ac. 题型(三)　利用基本不等式证明不等式 [例4]　已知a，b，c是互不相等的正数，且a+b+c=1. 求证：++>9. 证明：∵a，b，c是互不相等的正数，且a+b+c=1， ∴++=++=3++++++=3+++>3+2+2+2=3+2+2+2=9. ∴++>9. [变式拓展] 本例条件不变，求证：>8. 证明：∵a，b，c是互不相等的正数，且a+b+c=1，∴-1=>0， -1=>0，-1=>0， ∴=··>=8. ∴>8. |思|维|建|模| 利用基本不等式证明不等式的两种题型及解题思路 无附加条件 观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用基本不等式的条件 有附加条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形.另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到 针对训练 5.已知a>0，b>0，求证：+≥a+b. 证明：∵a>0，b>0，∴+b≥2=2a，+a≥2=2b， ∴+b++a≥2a+2b，∴+≥a+b，当且仅当a=b时，等号成立. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.(多选)下列条件可使+≥2成立的有(　 ) A.ab>0 B.ab<0 C.a>0，b>0 D.a<0，b<0 √ √ √ 解析：根据基本不等式的条件，a，b同号，则>0，>0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.设t=a+2b，s=a+b2+1，则t与s的大小关系是 (　 ) A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s<t √ 解析：∵b2+1≥2b(当且仅当b=1时等号成立)，∴a+2b≤a+b2+1.∴t≤s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.下列不等式正确的是 (　 ) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 √ 解析：若a<0，则a+≥4不成立，故A错误；若a=1，b=1，则a2+b2<4ab，故B错误；若a=4，b=16，则<，故C错误；由基本不等式可知D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(多选)设a，b∈R，且a≠b， a+b=2，则必有 (　 ) A.ab>1 B.ab<1 C.<1 D.>1 √ √ 解析：由基本不等式可得ab≤， a≠b，所以ab<1， 又1== <=(a2+b2)，所以(a2+b2)>1，所以 ab<1<(a2+b2) ，所以A不符合题意，B正确，C不符合题意，D正确，故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.如果0<a<b<1，P=，Q=，M=，那么P，Q，M的大小顺序是(　 ) A.P>Q>M B.M>P>Q C.Q>M>P D.M>Q>P √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵a>0，b>0，∴≥ ，当且仅当a=b时，等号成立，又∵0<a<b，∴取不到等号，∴>，即P>Q.又()2- =a+b-=，0<a<b<1，∴a+b>0，4-a-b>0，∴()2->0，∴>，即M>P.综上，M>P>Q. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.两个工厂生产同一种产品，其产量分别为a，b(0<a<b).为便于调控生产，分别将=1，==中x(x>0)的值记为A，G，H并进行分析.则A，G，H的大小关系为(　 ) A.H<G<A B.G<H<A C.A<G<H D.A<H<G √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由=1得x-a=b-x，解得x=，即A=；由=得x2-ax=ab-ax，解得x=，即G=；由=得bx-ab=ab-ax，解得x=，即H=≤=.又≥，∴≤≤，当且仅当a=b时，等号成立.∴H<G<A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(多选)设a>0，b>0，则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.a+b+≥2 B.≤ C.≥ D.(a+b)≥4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为a>0，b>0，所以a+b+≥2 +≥2，当且仅当a=b且2=，即a=b=时，等号成立，故A一定成立.由作差比较法，-=≥0，可知≤，故B一定成立.因为a+b≥2 >0，所以≤=，当且仅当a=b时，等号成立，故C不一定成立.因为(a+b)·=2++≥4，当且仅当a=b时，等号成立，故D一定成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)下列不等式：①a2+1>2a；②≥2；③≤2； ④x2+≥1.其中正确的个数是______.  2 解析：由基本不等式可知②④正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是________.   x=5 解析：当x>2时，+(x-2)≥2=6，等号成立的条件是 =x-2，即(x-2)2=9，解得x=5(x=-1舍去). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)比较大小：_____2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)  ≥ 解析：由题意，得≥1，==+≥2，当且仅当=，即x=0时，等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是______ (写出所有正确命题的序号).①ab≤1；②+≤；③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤+≥2.  ①③⑤ 解析：因为a>0，b>0，所以a+b=2≥2，所以ab≤1，故①正确；左边平方可得(+)2=a+b+2≤2+2=4，所以+≤2，故②错误；因为a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab，由①知ab≤1，所以a2+b2≥4-2=2，故③正确；a3+b3=(a+b)·(a2-ab+b2)=2×[(a+b)2-3ab]=8-6ab≥8-6=2，故④错误；+==≥2，故⑤正确.故本题正确答案为①③⑤. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)已知a，b，c都是非负实数，试比较++与(a+b+c)的大小. 解：由≤，得≥(a+b).同理得≥(b+c)，≥(a+c).所以++≥[(a+b)+ (b+c)+(c+a)]=(a+b+c).故++≥(a+b+c)，当且仅当a=b=c时，等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a+b+c>++. 证明：∵a>0，b>0，c>0，∴≥≥≥. ∴++≥++，即a+b+c≥++.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，∴a+b+c>++. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知a>b>c，你能比较出4与·(a-c)的大小吗? 解：(a-c)≥4，理由如下： 因为a-c=(a-b)+(b-c)，所以[(a-b)+(b-c)]=2++， 又a>b>c，所以a-b>0，b-c>0，所以+≥2，当且仅当=， 即b-c=a-b时，等号成立. 则2++≥4.故(a-c)≥4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明： (1)a2+b2+c2≥；(5分) 证明：由a+b+c=1，得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1， 又由基本不等式可知当a，b，c均为正数时，2ab≤a2+b2，2ac≤a2+c2，2bc≤b2+c2，当且仅当a=b=c=时，上述不等式等号均成立， 所以a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3a2+3b2+3c2，即3(a2+b2+c2)≥1， 所以a2+b2+c2≥，当且仅当a=b=c=时，等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)++≥1.(5分) 证明：因为a，b，c均为正数，所以+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，当且仅当a=b=c=时，不等式等号均成立， 则+++b+c+a≥2a+2b+2c，即++≥a+b+c=1， 当且仅当a=b=c=时，等号成立.所以++≥1. 本课结束 $$