2.1 第1课时 不等关系与不等式（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“不等关系与不等式”第一课时，核心内容包括用不等式(组)表示不等关系、作差法比较实数大小及重要不等式a²+b²≥2ab。通过工人成绩估计、投资方案等实际问题导入，衔接文字与符号语言转换，以作差法为工具过渡到大小比较，最终抽象出重要不等式，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实际问题为载体，如矩形菜园面积、租车方案比较，培养数学建模意识（数学眼光）。作差法步骤清晰，分类讨论（如比较1/(1+x)与1+x）培养逻辑推理（数学思维），符号语言与不等式组表示提升数学表达能力（数学语言）。学生能深化知识理解，教师可高效开展概念教学与能力训练。

第二章 一元二次函数、 方程和不等式 等式性质与不等式性质 2.1 不等关系与不等式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.在具体问题中建立不等关系，要注意区分“不等关系”“相等关系”与“不等式”等概念. 2.理解实数比较大小的依据，重点掌握作差法比较实数大小. 3.能通过比较大小在实际生活中的应用培养数学建模的意识. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　用不等式(组)表示 不等关系 逐点清(二)　实数(式)的比较大小 逐点清(三)　重要不等式a2+b2≥2ab 4 课时检测 逐点清(一)　用不等式(组) 表示不等关系 01 1.不等关系与不等式 多维理解 不等关系 不等关系常用不等式来表示 不等式 用______ (>，<，≥，≤，≠)表示不等关系的式子叫做不等式 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、至少、不低于 小于或等于、至多、不多于、不超过 符号语言 ___ ___  ___ ___ 2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换 不等号 >  < ≥ ≤ |微|点|助|解| (1)不等关系强调的是关系，可用“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示.而不等式则是表示两者不等关系的式子，如“a>b”“a<b”“a≠b” “a≥b”“a≤b”.要特别注意“≥”和“≤”两个符号的含义：不等式a≥b读作“a大于或等于b”，其含义是指“a>b或a=b”，等价于“a不小于b”，即a>b或a=b中有一个正确，则a≥b正确；不等式a≤b读作“a小于或等于b”，其含义是指“a<b或a=b”，等价于“a不大于b”，即a<b或a=b中有一个正确，则a≤b正确. (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一. 1.某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩x超过85分，技能操作成绩y不低于90分，答辩面试成绩z高于95分，用不等式组表示为 (　 ) A. B. C. D. √ 微点练明 解析：x超过85分表示为x>85，y不低于90分表示为y≥90，z高于95分，表示为z>95，故选C. 2.某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万元；方案B为第一年投资80万元，以后每年投资20万元.下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的不等关系是 (　 ) A.80+20n≥300 B.80+20n≤300 C.80+20(n-1)≤300 D.80+20(n-1)≥300 √ 解析：经过n年后，方案B的投入为80+20(n-1) 万元，则“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为80+20(n-1) ≥300. 3.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于96 m2，靠墙的一边长为x m，则用不等式(组) 表示其中的不等关系是____________________.  解析：因为矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18.这时菜园的另一条边长为=m，因此菜园的面积S=x.依题意有S≥96，即x≥96.故该题中的不等关系可用不等式组表示为 逐点清(二)　实数(式)的 比较大小 02 1.文字叙述 (1)如果a-b是正数，那么a____b； (2)如果a-b等于0，那么a____b； (3)如果a-b是负数，那么a____b.反过来也对. 2.符号表示 (1)a____b⇔a-b>0； (2)a____b⇔a-b=0； (3)a____b⇔a-b<0. 多维理解 > = < > = < 3.用作差法比较两个数(式)大小的步骤 作差法是比较两个数(式)大小的基本方法，一般步骤： ①作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差； ②变形：对差进行变形，变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等； ③确定差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号. ④下结论：写出两个数(式)的大小关系. 1.设M=2a2+5a+4，N=(a+1)(a+3)，则M与N的大小关系为 (　 ) A.M>N B.M=N C.M<N D.无法确定 √ 微点练明 解析：因为M-N=2a2+5a+4-(a+1)·(a+3)=a2+a+1=+>0，所以M>N. 2.若a=+，b=-，c=+，则(　 ) A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.b>c>a √ 解析：因为a-c=-+==>0，所以a>c.因为c-b= -+=，又(2+)2-(2)2=4-9=->0，且2+>0，2>0，所以2+>2，所以c-b>0，所以c>b.故a>c>b. 3.已知a，b都是正实数，比较+与a+b的大小. 解：+-(a+b)==，因为a>0，b>0， 所以a+b>0，ab>0.当a=b时，+-(a+b)=0，即+=a+b. 当a≠b时，+-(a+b)>0，即+>a+b.所以+≥a+b. 4.设a>b>0，M=，N=，比较M，N的大小. 解：法一：作差法　M-N=-= ==，因为a>b>0，所以a+b>0，a-b>0，2ab>0，a2+b2>0，所以>0，所以>.所以M>N. 法二：作商法　因为a>b>0，所以>0，>0，2ab>0，所以====1+>1，所以>.所以M>N. 逐点清(三)　重要不等式 a2+b2≥2ab 03 一般地，∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.变形形式：(1)ab≤，当且仅当a=b时，等号成立； (2)≥，当且仅当a=b时，等号成立. |微|点|助|解| (1)重要不等式的实质是实数平方的非负性，不等式中a，b的取值既可以是某个具体的数，也可以是一个代数式； (2)当且仅当的含义：①当a=b时等号成立，即a=b⇒a2+b2=2ab；②仅当a=b时等号成立，即a2+b2=2ab⇒a=b. [典例]　已知a>0，b>0，证明a3+b3≥ab2+a2b. 证明：a3+b3-(ab2+a2b)=(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b)=(a+b)(a2-2ab+b2). ∵a>0，b>0，且a2+b2≥2ab， ∴a+b>0，a2+b2-2ab≥0， ∴a3+b3-(ab2+a2b)≥0， 故a3+b3≥ab2+a2b. |思|维|建|模| 比较两个数(式)的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过逻辑推理得到差的符号，从而判定两个数(式)的大小关系，也可以由a+(a>0)构建重要不等式的形式，通过逻辑推理进行证明. 已知a>0，求证：a+≥2. 针对训练 证明：法一　∵a>0，∴a+=()2+≥2·=2.当且仅当a=1时，等号成立. 法二　∵a+-2=()2+-2=≥0，∴a+≥2. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 2 1.下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为 (　 ) A.a+b<0 B.a+b>0 C.a+b≤0 D.a+b≥0 16 √ 解析：a与b的和是非正数，即a+b≤0. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 2 3 4 2.铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为 (　 ) A.a+b+c>130 B.a+b+c<130 C.a+b+c≥130 D.a+b+c≤130 16 √ 解析：根据乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm可知，a+b+c≤130. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 3.若x∈R，y∈R，则 (　 ) A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1 C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1 16 √ 解析：由重要不等式x2+y2≥2xy，得x2+y2>2xy-1. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 4.(多选)下列关于不等关系的说法正确的是 (　 ) A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h(单位：米)满足h≤4.5 B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为a-b>0 C.不等式x≥2的含义是指x不小于2 D.若a<b或a=b之中有一个正确，则a≤b正确 16 √ √ √ 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”，不超过用“≤”表示，故A正确；因为“非负数”即为“不是负数”，所以a-b≥0，故B错误；因为不等式x≥2表示x>2或x=2，即x不小于2，故C正确；因为不等式a≤b表示a<b或a=b，故若a<b或a=b中有一个正确，则a≤b一定正确，故D正确. 16 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 5.设M=2a(a-2)，N=(a+1)(a-3)，则 (　 ) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 16 √ 解析：因为M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=2a2-4a-(a2-2a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+ 2>0恒成立，所以M>N. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 6.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是 (　 ) A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200 16 √ 解析：依题意，请工人满足的关系式是50x+40y≤2 000，即5x+4y≤200. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 7.若x>0，y>0，M=，N=+，则M，N的大小关系是(　 ) A.M=N B.M<N C.M≤N D.M>N 16 √ 解析：∵x>0，y>0，∴1+x+y>1+x>0，1+x+y>1+y>0，∴<<，故M==+<+=N， 即M<N. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 8.某营救小组有48人，需要乘船过河去执行营救任务，现从甲、乙两种型号的船中选择一种.甲型号的船比乙型号的船少5艘.若只选择甲型号的，每艘船载4人，则船不够；每艘船载5人，则有船没有载满.若只选择乙型号的，每艘船载3人，则船不够；每艘船载4人，则有多余的船.甲型号的船有 (　 ) A.9艘 B.10艘 C.11艘 D.12艘 16 √ 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 解析：设甲船有x艘，则乙船有(x+5)艘， 由题意可得 解得9.6<x<11， 又因为x为正整数，所以x=10. 即甲型号的船有10艘. 16 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 9.(多选)下列不等式，其中恒成立的不等式为 (　 ) A.a2+3>2a(a∈R) 　B.x2+y2>xy C.a2+b2>2(a-b-1) 　D.8xy≤4x2+8y2 16 √ √ 解析：∵a2+3-2a=(a-1)2+2>0，∴a2+3>2a，A正确；x2+y2-xy= +y2≥0，B错误；a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，C错误；4x2+8y2=(2x)2+(2y)2≥2·2x·2y=8xy，D正确. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 10.(多选)19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一，可以推出实数理论中的六大基本定理，那么在证明有理数的不完备性时，经常会用到以下两个式子，已知正有理数p，满足p2<2，q=p-，则下列说法正确的是(　 ) A.p<q B.p>q C.q< D.q> 16 √ √ 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为p-q=p-p+=，而p2<2，p>0， 所以<0，即p<q，故A正确，B错误； 因为q=p-=>0，q2-()2==<0， 所以q2<()2，即q<，故C正确，D错误. 16 11 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知x<1，则x2+2与3x的大小关系为_________.  16 x2+2>3x 解析：x2+2-3x=(x-1)(x-2).当x<1时，x-1<0，x-2<0，所以(x-1)(x-2)>0，即x2+2-3x>0，所以x2+2>3x. 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)某校在冬季长跑活动中，要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能小于2.设获得一等奖的学生有x人，获得二等奖的学生有 y人，则x，y满足的不等关系为________________________.  16 解析：由题意得化简得 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)请根据矩形图表信息，补齐不等式：+≥ __________________.  16 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 解析：由勾股定理知，AB==，AC=，BC=， 如题图中的△ABC，根据三角形的两边之和大于第三边，知AB≤AC+BC，当且仅当A，B，C三点共线时，等号成立， 所以+≥. 16 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 14.(5分)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务?设以后平均每天至少需要加工x个，求解此问题需要构建的不等关系式为___________.  16 72+12x>408 解析：因为该车工3天后的12天里，平均每天需加工x个零件，共加工12x个零件，15天里共加工(3×24+12x)个零件，则72+12x>408. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)某单位计划组织员工参观花博会需租车前往.甲租车公司：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”.乙租车公司：“你们属团体票，按原价的8折优惠”.这两家租车公司的单人全票价、车型都是一样的，试根据该单位参观的人数，选择一下租车公司. 16 解：设该单位员工有n人(n∈N*)，全票价为x(x>0)元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1=x+x·(n-1)=x+xn，y2=nx.因为y1-y2=x+xn-xn= x-nx=x，且已知x>0，所以当n=5时，y1=y2；当n>5时，y1<y2；当n<5时，y1>y2.因此，当单位去参观的人数为5时，两家租车公司收费相同；多于5人时，选甲租车公司更优惠；少于5人时，选乙租车公司更优惠. 11 1 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)已知x∈R且x≠-1，比较与1-x的大小. 16 解：∵-(1-x)==，当x=0时，=0，∴=1-x；当1+x<0，即x<-1时，<0，∴<1-x；当1+x>0且x≠0，即-1<x<0或x>0时，>0，∴>1-x.综上，当x<-1时，<1-x；当x=0时，=1-x；当-1<x<0或x>0时，>1-x. 11 本课结束 $$