1.5 第2课时 全称量词与存在量词的综合问题（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦全称量词与存在量词的综合问题，通过实例导入，结合习题讲评式教学，搭建从真假判断到参数应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于通过思维建模总结判断方法，结合高考真题和变式训练，培养学生数学思维的推理能力与数学语言的表达能力。题型分层且解析详细，助力学生提升逻辑推理，也为教师提供高效教学资源。

全称量词与存在量词的综合问题 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.能够根据数学实例，正确理解含有一个量词的命题与它们的否定在真假上的关系，能正确地判断含有一个量词的命题的真假. 2.能根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数的值或范围. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　全称量词命题与存在量词 命题的真假判断 题型(二)　全称量词命题与存在量词 命题的应用 课时检测 题型(一)　全称量词命题与存在 量词命题的真假判断 01 [例1]　 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. (1)∀x∈N，2x+1是奇数； 解：是全称量词命题.因为∀x∈N，2x+1都是奇数，所以该命题是真命题. (2)存在一个x∈R，使=0； 解：是存在量词命题.因为不存在x∈R，使=0成立， 所以该命题是假命题. (3)对任意实数a，|a|>0； 解：是全称量词命题.因为|0|=0，所以|a|>0不都成立，因此，该命题是假命题. (4)有一个角α，使sin α=. 解：是存在量词命题.因为当α=30°时，sin α=， 所以该命题是真命题. |思|维|建|模| 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可，这就是通常所说的“举出一个反例”. (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 针对训练 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则 (　 ) A.p和q都是真命题 B. p和q都是真命题 C.p和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题 √ 解析：法一　对于p，由|x+1|>1，得x2+2x>0，解得x>0或x<-2，显然∀x∈R，|x+1|>1不恒成立， 所以命题p为假命题， p为真命题.对于q，由x3=x，解得x=0或x=1或x=-1，所以∃x>0使得x3=x，所以q是真命题. 法二　对于p，取x=-1，则有|x+1|=0<1，故p是假命题，􀱑p是真命题.对于q，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题， q是假命题. 综上， p和q都是真命题. 2.对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假. (1)p：∃x∈∁RQ，x2∈Q； 解： p：∀x∈∁RQ，x2∉Q，当x=∈∁RQ，则x2=2∈Q， 所以 p为假命题. (2)p：所有能被2整除的数都是偶数； 解： p：存在能被2整除的数不是偶数，因为所有能被2整除的数都是偶数为真命题，所以 p为假命题. (3)p：存在x∈R，使得2x≤0； 解： p：对于任意的x∈R，都有2x>0，因为2x>0，所以 p为真命题. (4)p：∃x∈N*，∈N. 解： p：∀x∈N*，∉N，因为=3-，且x∈N*，所以x+1≥2，所以0<≤，所以3-∉N，即∉N，所以 p为真命题. 题型(二)　全称量词命题与存在 量词命题的应用 02 [例2]　(1)已知命题p：∀1≤x≤2，x2-a≥0，若命题 p为真命题，求实数a的取值范围； 解：对于任意1≤x≤2，不等式x2-a≥0⇔a≤x2恒成立，而(x2)min=1，则a≤1， 即命题p：a≤1，则命题　 p：a>1，所以实数a的取值范围是{a|a>1}. (2)已知命题“∀x∈R，ax2+2x+1≠0”为假命题，求实数a的取值范围. 解：因为原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题，即命题“∃x∈R，ax2+2x+1=0”为真命题， 则关于x的方程ax2+2x+1=0有实根. 所以a=0或 解得a=0或a≤1且a≠0，所以a≤1. 所以实数a的取值范围为{a|a≤1}. [变式拓展] 1.本例(1)中的条件变为“∀1≤x≤2，ax+1>0是真命题”，求实数a的取值范围. 解：因为∀1≤x≤2，ax+1>0，所以解得a>-.故a的取值范围为. 2.本例(1)增加条件“命题q：∃x∈R，x2+2ax+2a+a2=0”，若命题p 和 q均为真命题，求实数a的取值范围. 解：由∃x∈R，x2+2ax+2a+a2=0，得Δ=4a2-4(2a+a2)=-8a≥0，解得a≤0，即命题q：a≤0，则命题 q：a>0，由例题知命题p：a≤1， 由命题p和 q均为真命题，得0<a≤1，所以实数a的取值范围是{a|0<a≤1}. 3.本例(2)中的条件“ax2+2x+1≠0”改为“2x≠-x2+a”，求实数a的取值范围. 解：因为命题“∀x∈R，2x≠-x2+a”是假命题， 所以此命题的否定“∃x∈R，2x=-x2+a”是真命题， 即x2+2x-a=0有实根，所以Δ=4+4a≥0，则a≥-1， 所以实数a的取值范围是{a|a≥-1}. |思|维|建|模| 依据含量词命题的真假求参数取值范围的策略 (1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意. (2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围. (3)注意p与􀱑p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化. 针对训练 3.已知命题p：“∀x≥3，使得2x-1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是____________.  {m|m≤5} 解析：∀x≥3，使得2x-1≥m成立，只需m≤2×3-1=5. 4.已知命题p：∀x∈{x|-3≤x≤2}，都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}，且 p是假命题，求实数a的取值范围. 解：因为 p是假命题，所以p是真命题， 又∀x∈{x|-3≤x≤2}，都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}， 所以{x|-3≤x≤2}⊆{x|a-4≤x≤a+5}， 则解得-3≤a≤1. 即实数a的取值范围是{a|-3≤a≤1}. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知命题p：∃x∈R，x+2>x2，命题q：∀x∈R，x2>0，则 (　 ) A.命题p，q都是真命题 B.命题p是真命题，q是假命题 C.命题p是假命题，q是真命题 D.命题p，q都是假命题 √ 解析：当x=0时，x+2=2，x2=0，故命题p为真命题，当x=0时，x2=0，故命题q为假命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是 (　 ) A.∀a，b∈R，a2+b2<0 B.菱形的两条对角线相等 C.∃x0∈R，=x0 D.一次函数的图象是直线 √ 解析：∀a，b∈R，a2+b2<0为全称量词命题，但是a2+b2≥0，故是假命题，故A错误；是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误；是存在量词命题，故C错误；既是全称量词命题也是真命题，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.能说明全称量词命题“∀x∈R，x(x2-3x+2)=0”为假命题的例子是 (　 ) A.x=0 B.x=1 C.x=2 D.x=3 √ 解析：因为x(x2-3x+2)=0，即x(x-2)·(x-1)=0，解得x=0或x=1或x=2，所以当x≠0且x≠1且x≠2时，均能说明全称量词命题“∀x∈R，x(x2-3x+ 2)=0”为假命题，故符合题意的为D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.如果命题 p与 q至少有一个为真命题，那么(　 ) A.p，q均为真命题 B.p，q均为假命题 C.p，q中至少有一个为真命题 D.p，q中至多有一个为真命题 √ 解析：因为命题 p与 q至少有一个为真命题，所以 p与 q可能恰有一个为真命题或者两个都为真命题.当 p与 q恰有一个为真命题时，p，q其中一个是真命题，另一个是假命题；当 p与 q都为真命题时，p，q均为假命题，所以p，q中至多有一个为真命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知命题p：“∃x∈R，使得x2-2x+m=0成立”是真命题，则实数m的取值范围是(　 ) A.{m|m<3} B.{m|m>3} C.{m|m≤3} D.{m|m≥3} √ 解析：∃x∈R，使得x2-2x+m=0成立⇔Δ=12-4m≥0，∴m≤3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.下列命题为真命题的是 (　 ) A.对每一个无理数x，x2也是无理数 B.存在一个实数x，使x2+2x+4=0 C.有些整数只有两个正因数 D.所有的素数都是奇数 √ 解析：若x=，则x2=2是有理数，故A错误；因为x2+2x+4=(x+1)2+3 ≥3，所以存在一个实数x，使x2+2x+4=0是假命题，故B错误；因为2=1×2，所以有些整数只有两个正因数，故C正确；2是素数，但2不是奇数，故D错误.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若命题“∀x∈R，ax2+1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为 (　 ) A.{a|a>0}　 B.{a|a≥0}　 C.{a|a≤0}　 D.{a|a≤1} √ 解析：依题意命题“∀x∈R，ax2+1≥0”为真命题，当a=0时，1≥0成立，当a>0时，ax2+1≥0成立，当a<0时，函数y=ax2+1开口向下，ax2+1≥0不恒成立.综上所述，a≥0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(多选)命题“∀-1≤x≤3，x2-m≤0”是真命题的一个充分不必要条件是 (　 ) A.m≥9 B.m≥11 C.m≥10 D.m≤10 √ 解析：因为∀-1≤x≤3，x2-m≤0，所以m≥x2，则m≥(x2)max=9，所以当m≥9时，∀-1≤x≤3，x2-m≤0恒成立.要求使“∀-1≤x≤3，x2-m≤0”是真命题的一个充分不必要条件，则m的值要大于9，故m≥10，m≥11 均可.故选BC. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)命题“已知y=|x|-1，∀x∈R都有m≤y”是真命题，则实数m的取值范围是____________.  {m|m≤-1} 解析：由已知y=|x|-1，得y≥-1，要使∀x∈R，都有m≤y成立，只需m≤-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)能够说明“∀x∈N*，2x≥x2”是假命题的一个x值为______.  3 解析：∵x∈N*，将x代入1，2，3，…可知，当x=3时，23<32，∴说明“∀x∈N*，2x≥x2”是假命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2-ab+b=0”是真命题的一组有序实数对(a，b)为______________________.  (2，4)(答案不唯一) 解析：由a2-ab+b=0，得ab-b=a2，即b(a-1)=a2，则b=，令a=2，得b=4，故有序数对(2，4)能够说明“存在不相等的实数a，b，使得a2-ab+b=0”是真命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求m的取值范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x∈R，x2+2x+m>0”是真命题，求m的取值范围.你认为，两位同学题中m的取值范围是否一致?_______.(填“是”“否”中的一个)  是 解析：因为命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+ m>0”，而命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2+2x+m>0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)写出下列命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：不论m取何实数，方程x2+mx-1=0必有实根；(5分) 解： p：存在一个实数m，使方程x2+mx-1=0没有实数根. ∵该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立， ∴ p为假命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)p：∀x，y∈R，x2+y2+2x-4y+5=0.(5分) 解： p：∃x，y∈R，x2+y2+2x-4y+5≠0. ∵x2+y2+2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2， 当x=0，y=0时，x2+y2+2x-4y+5≠0成立， ∴ p为真命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知集合A={x|-3≤x≤10}，B={x|2m+1≤x≤3m-2}，且B≠⌀. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；(5分) 解：由命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，可知B⊆A，又B≠⌀， 所以 解得3≤m≤4.故m的取值范围是{m|3≤m≤4}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围.(5分) 解：因为B≠⌀，所以2m+1≤3m-2，得m≥3. 因为命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠⌀， 所以-3≤2m+1≤10或-3≤3m-2≤10，得-2≤m≤. 综上，m的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x2-a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+4=0，若命题􀱑p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围. 解：若命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x2-a≥0为真命题，则a≤x2在x∈{x|1≤x≤2}时恒成立，∴a≤1.若命题q：∃x∈R，x2+2ax+4=0为真命题，则Δ=(2a)2-16≥0，解得a≤-2或a≥2. ∵命题 p和命题q都是真命题，∴解得a≥2. 故a的取值范围是{a|a≥2}. 本课结束 $$