1.3 第2课时 集合运算的综合问题（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦集合交、并、补混合运算、参数求解及新定义问题，通过习题讲评式教学衔接基础运算，以例题为支架结合Venn图、数轴工具，构建“例题解析-思维建模-针对训练”的学习脉络。 其特色是融合高考真题与分层训练，思维建模总结解题技巧培养数学思维，新定义问题发展创新意识。采用习题讲评闭环设计，学生提升综合解题能力，教师可直接用结构化内容高效教学。

集合运算的综合问题 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步理解集合的交集、并集、补集，能根据集合的运算结果判断两个集合的关系，能利用交集、并集、补集的运算性质解决一些简单的应用问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　集合的交、并、补混合运算 题型(二)　由集合的运算求参数 题型(三)　集合中新定义问题 4 课时检测 题型(一)　集合的交、并、 补混合运算 01 [例1]　(2023·天津高考)已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，2，4}，则(∁UB)∪A= (　 ) A.{1，3，5} B.{1，3} C.{1，2，4} D.{1，2，4，5} √ 解析：法一　因为U={1，2，3，4，5}，B={1，2，4}，所以∁UB={3，5}，又A={1，3}，所以(∁UB)∪A={1，3，5}.故选A. 法二　因为A={1，3}，且A⊆(∁UB)∪A，所以集合(∁UB)∪A中必含有元素1，3，所以排除选项C、D；观察选项A、B，因为5∉B，所以5∈∁UB，即5∈(∁UB)∪A，故选A. √ [例2]　设全集U={x∈N*|x≤9}，若∁U(A∪B)={1，3}，A∩(∁UB)={2，4}，则集合B= (　 ) A.{4，5，6，7，8，9} B.{2，4，5，6，7，8，9} C.{5，6，7，8} D.{5，6，7，8，9} 解析：因为全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由∁U(A∪B)= {1，3}，得A∪B={2，4，5，6，7，8，9}.又A∩(∁UB)={2，4}，所以B={5，6，7，8，9}. |思|维|建|模|　解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. (2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 针对训练 1.(多选)已知集合A中含有6个元素，全集U=A∪B中共有12个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有m个元素，已知m≥8，则集合B中元素个数可能为 (　 ) A.2 B.6 C.8 D.12 √ √ 解析：选BC　因为(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)中有m个元素，所以A∩B中有12-m个元素.设集合B中元素个数为x，又集合A中含有6个元素，则x+6-(12-m)=12，即m=18-x.因为m≥8，所以x≤10.又U=A∪B中共有12个元素，所以x≥6，则6≤x≤10. 2.已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B={x|-1<x≤3}，P= ，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP). 解：将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示. 因为U=R，A={x|-4≤x<2}，B={x|-1<x≤3}，所以A∩B={x|-1<x<2}，∁UB={x|x≤-1或x>3}.又P=， 所以(∁UB)∪P=.又∁UP=， 所以(A∩B)∩(∁UP)={x|-1<x<2}∩={x|0<x<2}. 题型(二)　由集合的运算求参数 02 [例3]　已知集合A={x|0≤x≤1}，B={x|1-a<x<2a}.若(∁RA)∪B=R，求实数a的取值范围. 解：因为A={x|0≤x≤1}，所以∁RA={x|x<0或x>1}，又因为B={x|1-a <x<2a}且(∁RA)∪B=R，所以解得a>1， 故实数a的取值范围为{a|a>1}. [变式拓展] 1.若本例条件“(∁RA)∪B=R”变为“A∪B=A”，其他条件不变，求实数a的取值范围. 解：因为A∪B=A，所以B⊆A.若B=⌀，则2a≤1-a，解得a≤. 若B≠⌀，则解得<a≤. 综上所述，实数a的取值范围为. 2.若本例条件变为已知集合A={x|2a-3<x<a+1}，B={x|0<x≤1}.若A∩B=⌀，求实数a的取值范围. 解：由题意知A∩B=⌀， 当A=⌀时，2a-3≥a+1，解得a≥4. 当A≠⌀时，或 解得2≤a<4或a≤-1. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤-1或a≥2}. |思|维|建|模|　解集合中参数问题的注意点及常用方法 注意点 (1)不能忽视集合为⌀的情形； (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论 常用方法 对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答 针对训练 3.设集合A={0，2，4}，B={x|x2-mx+n=0}，若A∪B={0，1，2，3，4}，则m+n的值是 (　 ) A.1 B.3 C.5 D.7 √ 解析：因为集合A={0，2，4}，B={x|x2-mx+n=0}，A∪B={0，1，2，3，4}，则B={1，3}，所以1，3是方程x2-mx+n=0的两根，所以因此m+n=4+3=7. 4.已知全集U=R，集合A={x|x<-1}，B={x|2a<x<a+3}，且B⊆∁RA，则a 的取值范围为____________.  解析：由题意得∁RA={x|x≥-1}， ①若B=⌀，则a+3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA； ②若B≠⌀，则由B⊆∁RA，得2a≥-1且2a<a+3， 即-≤a<3.综上可得，a≥-. 题型(三)　集合中新定义问题 03 [例4]　设集合A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，定义A·B={(x，y)|x∈ A∩B，y∈A∪B}，则A·B中元素的个数是 (　 ) A.7 B.10 C.25 D.52 √ 解析：因为A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，所以A∩B={0，1}，A∪B={-1，0，1，2，3}.由x∈A∩B，可知x可取0，1；由y∈A∪B，可知y可取-1，0，1，2，3.所以元素(x，y)的所有结果如下表所示： 所以A·B中的元素共有10个.故选B. 　y x　 -1 0 1 2 3 0 (0，-1) (0，0) (0，1) (0，2) (0，3) 1 (1，-1) (1，0) (1，1) (1，2) (1，3) |思|维|建|模|　解决新定义问题的策略技巧 (1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在. (2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从题目中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质. (3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可. 针对训练 5.集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用card(A)表示有限集合中元素的个数，例如：A={a，b，c}，则card(A)=3.若对于任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)=card(A) +card(B)-card(A∩B).某校举办运动会，高一(1)班参加田赛的学生有14人，参加径赛的学生有9人，两项都参加的有5人，那么高一(1)班参加本次运动会的人数共有 (　 ) A.28 B.23 C.18 D.16 √ 解析：设参加田赛的学生组成集合A，则card(A)=14，参加径赛的学生组成集合B，则card(B)=9，由题意得card(A∩B)=5，所以card(A∪B) =card(A)+card(B)-card(A∩B)=14+9-5=18，所以高一(1)班参加本次运动会的人数共有18. 6.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”.对于集合A={-1，2}，B={x|ax2=2，a≥0}，若这两个集合构成 “鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为______________.  解析：当a=0时，B=⌀，此时B⊆A，即两个集合构成“鲸吞”.当a>0时，B=，此时两个集合不能构成“鲸吞”，则两个集合构成“蚕食”，所以=2或=1，解得a=或a=2.当a=时，B={-2，2}，两个集合构成“蚕食”；当a=2时，B={-1，1}，两个集合构成“蚕食”，综上可得，a的取值集合为. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.(2023·全国乙卷)设全集U={0，1，2，4，6，8}，集合M={0，4，6}，N={0，1，6}，则M∪∁UN= (　 ) A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8} C.{1，2，4，6，8} D.U √ 解析：由题意知，∁UN={2，4，8}，所以M∪∁UN={0，2，4，6，8}.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析：由题意知集合M一定含有元素a1，a2，并且不含元素a3，故M={a1，a2}或M={a1，a2，a4}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知集合A={x|x<a}，B={x|x≥1}，若(∁RB)∪A=A，则实数a的取值范围为 (　 ) A.{a|a≥1} B.{a|a>1} C.{a|a≤1} D.{a|a<1} √ 解析：因为B={x|x≥1}，所以∁RB={x|x<1}，因为(∁RB)∪A=A，所以(∁RB)⊆A，所以a≥1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知(∁RA)∩B=⌀，则下列选项一定成立的是 (　 ) A.A∩B=A 　B.A∩B=B C.A∪B=B 　D.A∪B=R √ 解析：作出Venn图如图所示，则B⊆A，所以A∩B=B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x= 3k+2，k∈Z}，则∁U(M∪N)= (　 ) A.{x|x=3k，k∈Z} 　B.{x|x=3k-1，k∈Z} C.{x|x=3k-2，k∈Z} 　D.⌀ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：法一　M={…，-2，1，4，7，10，…}，N={…，-1，2，5，8，11，…}，所以M∪N={…，-2，-1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U(M∪N)={…，-3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U(M∪N)={x|x=3k，k∈Z}，故选A. 法二　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A∩B，y∈A∪B}.若集合A={1，2，3}，B={0，1，2}，则∁(A*B)A= (　 ) A.{0} B.{0，4} C.{0，6} D.{0，4，6} √ 解析：因为A={1，2，3}，B={0，1，2}，所以A∩B={1，2}，A∪B= {0，1，2，3}，所以当x∈A∩B，y∈A∪B时，z=0，1，2，3，4，6，所以A*B={0，1，2，3，4，6}，所以∁(A*B)A={0，4，6}.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.设全集U=R，集合A={x|x≤1或x≥3}，集合B={x|k<x<k+1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠⌀，则 (　 ) A.k<0或k>3 B.2<k<3 C.0<k<3 D.-1<k<3 √ 解析：∵A={x|x≤1或x≥3}，∴∁UA={x|1<x<3}.若B∩(∁UA)=⌀，则k+1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩(∁UA)≠⌀，则0<k<3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示有限集合A中元素的个数.例如，A={a，b，c}，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)= card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+ card(A∩B∩C).某校初一四班学生46人参加寒假体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，则三项都参加的有(教材阅读与思考改编) (　 ) A.2人 B.3人 C.4人 D.5人 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设集合A={参加足球队的学生}，集合B={参加排球队的学生}，集合C={参加游泳队的学生}，则card(A)=25，card(B)=22，card(C)=24，card(A∩B)=12，card(B∩C)=8，card(A∩C)=9. 设三项都参加的有x人，即card(A∩B∩C)=x，又card(A∪B∪C)=46，所以由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)，得46=25+22+24-12-8-9+x， 解得x=4，故三项都参加的有4人. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)设全集U=R，A={x|x>0}，B={x|x>1}，则A∪(∁UB)=_______.  R 解析：∵U=R，B={x|x>1}，∴∁UB={x|x≤1}. 又∵A={x|x>0}，∴A∪(∁UB)={x|x>0}∪{x|x≤1}=R. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)对于任意两集合A，B，定义A-B={x|x∈A且x∉B}，A*B=(A-B)∪(B-A)，记A={y|y≥0}，B={x|-3≤x≤3}，则A*B=_______________.  {x|-3≤x<0或x>3} 解析：A-B={x|x>3}，B-A={x|-3≤x<0}， 所以A*B={x|-3≤x<0或x>3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(10分)已知全集U={x|-10≤x≤10}，A={x|-1≤x≤10}，B={x|-5≤x<5}. (1)求∁UA；(3分) 解：由U={x|-10≤x≤10}，A={x|-1≤x≤10}，得∁UA={x|-10≤x<-1}. (2)求(∁UB)∩A；(3分) 解：因为U={x|-10≤x≤10}，B={x|-5≤x<5}， 所以∁UB={x|-10≤x<-5或5≤x≤10}， 所以(∁UB)∩A={x|5≤x≤10}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)求∁U(A∪B).(4分) 解：因为A∪B={x|-5≤x≤10}， 所以∁U(A∪B)={x|-10≤x<-5}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知集合A={x|1<x<3}，集合B={x|2<x<5}. (1)求A∩B与(∁RA)∪B；(4分) 解：由集合A={x|1<x<3}，B={x|2<x<5}， 可得A∩B={x|2<x<3}. 又由∁RA={x|x≤1或x≥3}， 得(∁RA)∪B={x|x≤1或x>2}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)设集合P={x|a<x<a+2}，若P⊆(A∪B)，求实数a的取值范围.(6分) 解：由集合A={x|1<x<3}，B={x|2<x<5}，可得A∪B={x|1<x<5}. 由集合P={x|a<x<a+2}且P⊆(A∪B)， 可得解得1≤a≤3. 故实数a的取值范围为{a|1≤a≤3}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知全集U=R，集合A={x|x2+3x+b-1=0}，集合B={x|(x-4)(x2-x-2)=0}. (1)若b=-9，且集合C满足A∩C≠⌀，C∪B=B，求出所有这样的集合C；(5分) 解：当b=-9时，A={x|x2+3x-10=0}={2，-5}， B={x|(x-4)(x2-x-2)=0}={4，2，-1}. 因为C∪B=B，所以C⊆B.因为A∩C≠⌀，所以C≠⌀. 因为A∩B={2}，所以2∈C， 故这样的集合C有{2}，{2，-1}，{2，4}，{2，4，-1}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)集合A，B是否能满足(∁UB)∩A=⌀?若能，求出实数b的取值范围；若不能，请说明理由.(5分) 解：因为(∁UB)∩A=⌀，所以A⊆B， 若A=⌀，则满足A⊆B，此时Δ=9-4(b-1)<0，解得b>. 若-1∈A，则(-1)2-3+b-1=0，解得b=3， 所以x2+3x+2=0，解得x=-1或x=-2， 故A={-1，-2}，不满足A⊆B，舍去； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 若2∈A，则22+6+b-1=0，解得b=-9， 所以x2+3x-10=0，解得x=-5或x=2， 所以A={-5，2}，不满足A⊆B，舍去； 若4∈A，则42+12+b-1=0，解得b=-27， 所以x2+3x-28=0，解得x=-7或x=4，不满足A⊆B，舍去. 综上，集合A，B能满足(∁UB)∩A=⌀，此时实数b的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)给定数集A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，a-b∈A，则称集合A为闭集合. (1)判断集合A1={-4，-2，0，2，4}，B={x|x=3k，k∈Z}是否为闭集合，并给出证明；(5分) 解： A不是，B是.证明如下： 因为4∈A1，2∈A1，4+2=6∉A1，所以A1不是闭集合.任取x，y∈B，设x=3m，y=3n，m，n∈Z，则x+y=3m+3n=3(m+n)且m+n∈Z，所以x+y∈B，同理，x-y∈B，故B为闭集合. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若集合C，D为闭集合，则C∪D是否一定为闭集合?请说明理由；(5分) 解：结论：不一定.理由如下： 不妨令C={x|x=2k，k∈Z}，D={x|x=3k，k∈Z}， 则由(1)可知， D为闭集合，同理可证C为闭集合. 因为2，3∈C∪D，2+3=5∉C∪D， 因此，C∪D不一定是闭集合.所以若集合C，D为闭集合， 则C∪D不一定为闭集合. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)若集合C，D为闭集合，且C⫋R，D⫋R，证明：(C∪D)⫋R.(5分) 解：证明：不妨假设C∪D=R，则由C⫋R，可得存在a∈R且a∉C， 故a∈D.同理，存在b∈R且b∉D，故b∈C. 因为a+b∈R=C∪D，所以a+b∈C或a+b∈D. 若a+b∈C，则由C为闭集合且b∈C，得a=(a+b)-b∈C，与a∉C矛盾. 若a+b∈D，则由D为闭集合且a∈D，得b=(a+b)-a∈D，与b∉D矛盾. 综上，C∪D=R不成立，故(C∪D)⫋R. ⫋ ⫋ ⫋ ⫋ ⫋ 本课结束 $$