22.3实践与探索（教学课件）数学华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决实际问题，通过矩形试验田开辟小道的情景导入，引导学生审题找等量关系，结合总面积减小道面积、平移后种植面积等多种解法，搭建从方程解法到实际应用的学习支架。 其亮点在于以真实情境（如药品降价、折叠盒子）培养数学眼光，通过多解法探究（面积问题两种思路）和函数图像分析发展数学思维，步骤归纳“审设列解验答”强化数学语言表达。学生能提升问题解决能力，教师可直接使用分层例题与反馈题，提高教学效率。

华东师大版·九年级上册 22.3实践与探索 第22章 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握建立一元二次方程模型解决实际问题的方法. 能从实际问题中找寻数量关系，并列出一元二次方程. 通过探究列一元二次方程的过程，提高灵活处理问题的能力. 情景引入 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 这是一个实际应用题，回想之前的学习经历，解决实际问题，我们一般先做什么呢？ 审题，分析题意 阅读题目，你能得到哪些关键信息呢？ 思考探究1 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 问题1 请用适当的方式将关键信息表示出来。 用相同的量表示 思考探究1 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 问题中没有明确小道在试验田中的位置，不难发现小道的占地面积与位置无关，如图，设小道宽为x m，则两条小道的面积分别为32x m2和20x m2，其中重叠部分小正方形的面积为x2 m2，根据题意，可列方程 分析 思考探究1 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 完整解答过程 【解】 设小道的宽为x m，根据题意得 整理，得 解得 因为试验田最长边为32，因此x2 = 50不符合题意，应舍去，经检验x1 = 2符合题意. 答：小道的宽应为2 m. 思考探究1 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 问题2 你还有其他解决方法吗？ 还可以将两条小道分别平移到两边，如图所示 思考探究1 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 问题3 请完成此方法的完整解答过程，并与第一种方法进行比较。 【解】 设小道的宽为x m，根据题意得 整理，得 解得 答：小道的宽应为2 m. 思考探究1 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 问题3 请完成此方法的完整解答过程，并与第一种方法进行比较。 两种方法都可以解决此问题，从操作上比较，方法二较方便些，通过平移的方式，将种植部分看成一个矩形整体。 思考探究2 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 问题1 设每次降价的百分率为x，请完成下表。 降价幅度（倍） 降价后的零售价（元） 第一次降价 第二次降价 问题2 根据上表，写出完整的解答过程。 1－x (1－x)2 56(1－x) 56(1－x)2 思考探究2 某药品经过两次降价，每瓶零售价 由56元降为31.5元.已知两次降价的百分 率相同，求每次降价的百分率. 降价幅度（倍） 降价后的零售价（元） 第一次降价 1－x 56(1－x) 第二次降价 (1－x)2 56(1－x)2 问题2 根据上表，写出完整的解答过程。 【解】 设每次降价的百分率为x，根据题意得 解得 答：每次降价的百分率为25%. 因为降价的百分率不可能大于1，所以x2 = 1.75不符合题意.经检验，x1 = 0.25 = 25%符合题意. 思考探究3 小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图所示. (1)如果要求长方体的底面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为多少？ (2)如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎样的变化？折叠成的长方体侧面积又会发生怎样的变化？ 折叠成的长方体底面积(cm2) 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形边长(cm) 折叠成的长方体侧面积(cm2) 思考探究3 小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图所示. (1)如果要求长方体的底面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为多少？ 【解】 设剪去的正方形边长为x cm. 解得 答：每次降价的百分率为0.5 cm. 因为原正方形的边长为10 cm，所以x2 = 9.5不符合题意.经检验，x1 = 0. 5 符合题意. (1)根据题意得 思考探究3 小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图所示. (2)如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎样的变化？折叠成的长方体侧面积又会发生怎样的变化？ 折叠成的长方体底面积(cm2) 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形边长(cm) 折叠成的长方体侧面积(cm2) 折叠成的长方体底面积 折叠成的长方体侧面积 思考探究3 思考：折叠成的长方体侧面积会不会有最大的情况？根据表格数据，以剪去的正方形的边长为自变量，折叠的长方体侧面积为它的函数，在平面直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感受是否一致. 折叠成的长方体底面积(cm2) 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形边长(cm) 折叠成的长方体侧面积(cm2) 折叠成的长方体侧面积 最大 思考探究4 某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率为多少？ 分析 翻一番，即为原产值的2倍，若设原产值为1个单位，那么两年后的产值就是2个单位. 【解】 设平均年增长率为x，根据题意得 解得 答：平均年增长率为41.4%. 思考探究4 如果调整计划，两年后的产值为原产值的1.5倍、1.2倍……，那么两年中的平均年增长率应调整为多少？ 分析 若设原产值为1个单位，那么两年后的产值分别为1.5个单位、1.2个单位. 【解】 设平均年增长率为x，根据题意得 解得平均年增长率分别为22.5%、9.5%. 思考探究4 又如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后产值翻一番？ 分析 若设原产值为1个单位，那么两年后的产值为2个单位. 设第一年的增长率为x，那么第二年的增长率为2x. 【解】 设第一年的增长率为x ，根据题意得 解得 答：第一年的增长率为28.1%时，可以实现两年后产值翻一番. 思考探究 结合上述问题，归纳总结利用一元二次方程解决实际问题的步骤。 审 设 列 解 阅读题目，明确条件和问题，找等量关系 根据问题设未知数 根据等量关系，列出一元二次方程 解一元二次方程 验 答 根据实际问题的背景，验证解的合理性 根据所求的解，给出问题的最终答案 典例分析 如图，一个大矩形中有5个形状大小完全相同的小矩形，每个小矩形的宽都为1，若图中阴影部分的面积都为2，求小矩形的长. 【解】 设小矩形的长为x，根据题意得 解题的关键： 一元二次方程解决几何问题，关键是要对图形进行分析，寻找等量关系，可通过平移等方式，如这道题中通过平移可知大矩形的长为小矩形的两个长加一个宽，宽为小矩形两个宽加一个长。 方法技巧 整理，得 解得 答：小矩形的长为 典例分析 交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安行”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，9月份售出300个，11月份售出507个，且从9月份到11月份增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率. 【解】 设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意得 解得 答：该品牌头盔销售量的月增长率为30% 运用一元二次方程解决增长率（或下降率）公式 若初始量为A，经过n年后变为B，平均增长率（或下降率）为r，则可列方程： 当堂反馈 1. 某市2021年森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大“绿水青山就是金山银山”号召，2023年该市的绿化面积比2021年提高了4.2万亩.求2021年至2023年该市的绿化面积的平均增长率. 【解】 设该市的绿化面积的平均增长率为x，根据题意得 解得 答：该市的绿化面积的平均增长率为10% 当堂反馈 2. 某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？ 【解】 设参加比赛的球队有x支，根据题意得 解得 答：参加比赛的球队有7支 当堂反馈 3. 合力超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，超市采取了降价措施.经过一段时间后，发现该商品每件的销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.为尽快减少库存，且保证每天的利润为1200元，每件商品应降价多少元？ 【解】 设每件商品应降价x元，根据题意得 解得 答：每件商品应降价20元 因为要尽快减少库存，所以x = 20 课堂小结 学完这节课，你有哪些收获与体会？ 知识 运用 感悟 应用一元二次方程解决实际问题 几何面积问题、增长率问题等 ？ 布置作业 习题22.3 第1题、第2题 感谢聆听! $$