22.3 实践与探索面积问题 教学设计2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 《面积问题》 教学目标 1.通过面积问题中的数量关系，能列出一元二次方程，并根据具体问题检验方程解的合 理性. 2.进一步熟悉列方程解用题的步骤，发展模型观念，在解决实际问题中感受数学与生活 的紧密联系，体会一元二次方程在实际中的应用，建立应用意识. 教学重难点 教学重点： 通过面积问题中的数量关系，能列出一元二次方程，进一步熟悉列方程解用题的步骤，并根据具体问题检验方程解的合理性. 教学难点： 对复杂图形进行合理的平移割补转化，准确找出问题中等量关系并解决问题. 教学过程 一、创设情境，导入新课 1. 回顾列一元一次方程、二元一次方程组、分式方程解决实际问题的一般步骤： 第一步，审题； 第二步，设未知数； 第三步，列方程或方程组； 第四步，解方程或方程组； 第五步，检验方程的解是否符合题意； 第六步，写出答案并作答. 列方程解应用题的关键是:　　 分析已知量，未知量寻找等量关系. 请同学们快速答出下列图形的面积公式， 矩形面积:S=ab. 平行四边形面积:S=ah. 观察、思考，看你有什么发现呢? 等底等高的平行四边形、矩形面积相等. 2.观察校园中带有小路的花园，提出问题：如何计算花园中实际可种植区域的面积呢? 设计意图：（运用所学，完成知识系统构建，发现学生学习的最近发展区）引导学生观 察图形，思考问题，激发学生的求知欲和探索精神. 二、自主探究，初步感知 问题1 学校生物小组有一块长32m,宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行 于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540㎡,小道的宽应是多少? 分析：矩形面积= ，设小道宽为x m， 则小道的面积= ， 等量关系：矩形面积-小道面积=种植面积 可列方程 ： . 学生自主思考如何表示种植面积。还有没有其他解法? 学生通过图形的平移等方法，尝试找出剩余面积与矩形边长和小路宽度的关系. 请学生分享自己的方法和思路并分享. 三、合作探究，深入理解 问题一 1. 学校生物小组有一块长32m,宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行 于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540㎡,小道的宽应是多少? 师生活动：组织学生进行小组合作探究，运用几何直观和数学建模的方法分析图形，设 未知数，列出方程.问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作图，探索如果设想把小道平移到两边，小道所占面积是否保持不变?在这样的设想下，所列方程是否符合题目要求?处理问题是否方便些? 不难发现小道的占地面积与位置无关. 小组代表展示探究成果，讲解分析过程和列方程的思路. 分析解题步骤：第一步，审题；第二步，设未知数；第三步，列方程或方程组；第四步， 解方程或方程组；第五步，检验方程的解是否符合题意；第六步，写出答案并作答.大家看看自己的步骤规范吗?请核对并修改. 解：设小道的宽为x m,根据题意，列方程得 （32-x）(20-x)=540 整理得：x2-52x+100=0 解得，x1=2，x2=50 经检验，小路宽不可能大于试验田的边长，所以50m不符合题意舍去，故小道宽为2m. 答：小道宽为2m. 分析:如果学校生物小组只是准备纵向开辟一条平行于纵向边等宽的小道.要使种植面 积为560平方米,小道的宽应是多少米? 解:设小道的宽为x,据题意，列方程可得32×20-20x=560或20(32-x)=560 所列方程 是我们学过的什么方程呢?是一元一次方程.为什么我们今天所列方程是一元二次方程呢? 因为，距形面积=底×高，当底和高两个量中有一个量变化，即一个量是含有未知数 x的 一次式时，所列方程是一元一次方程；当底和高都是变量，即两个量都是含有未知数x的一次式时，相乘出现二次项，所列方程是一元二次方程. 变式一： 如图，在长为 22m，宽为17m的矩形地面上修建同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的 部分种植草坪，要使草坪的面积为300㎡，求道路的宽.（列出方程即可） 观察发现道路仍是纵横方向，平移小道到矩形两边，同学们，你能列出方程吗? 解:设小道的宽为x米，根据题意列方程得， （22-x）(17-x)=300（解答过程略） 四、 拓展应用，提升能力 变式二：为响应县委县政府提出的建设“红色武乡，绿色家园”号召，山西武乡某单位 准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地建成一个矩形花园，为方便管理和通行。要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道.剩余的地方种植花草（如图所示）。要是种植花草的面积为532㎡，那么小道进出口的宽度为多少米呢？(注意，所有的小道宽度相等，每段均为平行四边形).（列出方程即可） 分析：设小道宽为x米， 由题可知(30-2x)(20一x)=532 同学们思考，当横向小道弯折多次，或者变成等宽S道时，你会计算吗? 师生总结：弯折多次或变成S道，可看成多个平行四边形拼接，面积和等宽的横向小道 相等，这样我们就可以化斜为直，变不规则图形为规则图形进行计算. 方法总结： 1、面积问题的等量关系是面积公式. 2、不规则图形应割补成规则图形，找出各部分面积之间的关系.再运用规则图形的面积 公式列出方程. 特别强调在现实生活中要遵循实际，不能随意拆移。我们只能利用图纸或示意图进行计 算.鼓励学生运用所学方法，独立思考或小组合作解决问题，培养学生的创新思维和问题解决能力. 问题二 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m长的篱笆围成.当矩形的AB长为多少米，时生态园的面积为 40m²? 解:设矩形生态园AB长为x m,可以得出 AD长为(）m,由题意得 x(()=40, 化简,得x2-18x+80=0, 解得x1=10,x2=8.（经检验，符合题意） 答:当生态园AB长为10m或8 m时,矩形生态园面积为40m2. 变式：如图,一农户要建一个矩形牛舍,牛舍的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用 25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门.当所围矩形 牛舍的长、宽分别为多少时,牛舍面积为80 m2? 解:设矩形牛舍垂直于住房墙的一边的长为x m,可以得出 平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m,由题意得x(25-2x+1)=80, 化简,得x2-13x+40=0, 解得x1=5,x2=8. 当x=5时,26-2x=16(m)>12 m(舍去); 当x=8时,26-2x=10(m)<12 m. 答:当所围矩形牛舍的长为10m、宽为8 m时,牛舍面积为80m2. 师生总结： 如果问题中标有字母，明确指出求哪边时，直接设元；若本题中，在未求值之前，长、宽是不确定的，所设未知数必须要明确是垂直于墙的一边还是平行于墙的一边，特别注意平行于墙的一边要与墙的长度进行比较，从而对所求方程的解进行取舍，一般情况平行于墙的一边不能超过墙的长度. 大家思考，本题中除住房墙外，矩形牛舍另外三边的长怎么计算呢？除住房墙外，矩形牛舍另外三边的长：篱笆长+门宽. 五、课堂小结，反思提升 引导学生回顾本节课的学习过程，总结解决小路问题、篱笆问题的方法和步骤. 强调数学建模、几何直观等核心素养在解决问题中的重要作用. 让学生分享自己在学习过程中的收获和体会，以及遇到的问题和解决方法. 板书： 六、布置作业，延伸学习 必做:作业练习第一题、第二题 选做:作业练习第三题（详见作业设计） 布置课后作业，要求学生完成面积问题相关的练习题，巩固拓展所学知识. 鼓励学生在生活中寻找类似的数学问题，运用所学知识进行分析和解决，培养学生的应用意识和实践能力. 五、教学反思 教师：在教学过程中，要密切关注学生的学习情况，根据学生的反馈及时调整教学方法和策略.注重培养学生的自主学习能力和合作精神，引导学生积极参与课堂讨论和探究活动.同时，要结合新课标理念，不断提升学生的数学核心素养，为学生的未来发展奠定坚实的基础. 学生：学习情况分析评估（自评+组评5分钟） 任务内容： 1.本节课你对自己学习最满意的地方是什么？ 2. 回顾本次学习过程中的难点，找出两个问题. 3. 分析自己在解决问题时的表现，给自己提出两点建议. (任务目标：1.识别学习中的困难点.2.提高解题技巧和策略.) 学科网（北京）股份有限公司 $$