3.2.2 双曲线的简单几何性质 分层训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 层级(一)　“四基”落实练 1．双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于(　　) A.　　B． C．2 D．4 解析：选D　双曲线x2－my2＝1的实轴长为2，虚轴长为2，由双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，可得2＝4，解得m＝4. 2．(多选)对于方程－y2＝1和－y2＝λ(λ>0且λ≠1)所表示的双曲线，下列结论正确的是(　　) A．有相同的顶点 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 解析：选CD　对于方程－y2＝1，a＝2，b＝1，c＝；对于方程－y2＝λ，a′＝2，b′＝，c′＝·，显然a′，b′，c′分别是a，b，c的倍，因此有相同的离心率和渐近线．故选C、D. 3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为(　　) A. B．2 C. D．2 解析：选D　∵e＝＝＝，∴＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0. ∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝＝2. 4．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝(a>0，b>0)的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选A　由双曲线－＝，即－＝1与椭圆＋＝1的焦点相同，可得a2－b2＝a2＋b2，即a2＝3b2，所以＝，可得＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x. 5．若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　) A．2 B． C. D． 解析：选A　由题意可知圆的圆心为(2,0)，半径为2.因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2，所以＝，所以＝3.故离心率e＝＝2.故选A. 6．焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________. 解析：由－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±x.设双曲线方程为－y2＝λ(λ<0)，所以－＝1.所以－λ－2λ＝36，所以λ＝－12.故双曲线方程为－＝1. 答案：－＝1 7．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·＝________. 解析：由渐近线方程可知双曲线为等轴双曲线，所以b2＝2，所以双曲线方程为－＝1，代入点P的坐标可得y＝1.由c＝2可知，F1(－2,0)，F2(2,0)．所以·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝0. 答案：0 8．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点P是双曲线C上任意一点，且|PF1|＝10，求|PF2|. 解：(1)由题意知，2a＝6，＝，解得a＝3，c＝5， 故b＝＝4. 所以双曲线C的标准方程为－＝1. (2)因为a＋c＝8，|PF1|＝10＞8，所以点P可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支上． ①若点P在双曲线的左支上， 则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，所以|PF2|＝|PF1|＋6＝16; ②若点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝6，所以|PF2|＝|PF1|－6＝4. 综上，|PF2|＝16或|PF2|＝4. 层级(二)　“能力”提升练 1.(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点可为线段AB中点的是(　　) A.(1,1) B.(－1,2) C.(1,3) D.(－1，－4) 解析：选D　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得x－x＝，即(x1－x2)(x1＋x2)＝，化简得＝9，即·＝kAB·＝9，因此kAB＝9·. 由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x， 可得－3<9·<3，即－<<⇒>3或<－3.结合选项知选D. 2．(多选)已知双曲线C过点(3，)，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的方程为－y2＝1 B．双曲线C的离心率为 C．曲线y＝ex－2－1经过双曲线C的一个焦点 D．直线x－y－1＝0与双曲线C有两个公共点 解析：选AC　因为渐近线方程为y＝±x，所以可设双曲线方程为－＝λ，将(3，)代入，得λ＝，所以双曲线方程为－y2＝1，选项A正确；该双曲线的离心率为＝≠，选项B不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y＝ex－2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C正确；把x＝y＋1代入双曲线方程，得y2－2y＋2＝0，解得y1＝y2＝，故直线x－y－1＝0与双曲线C只有一个公共点，选项D不正确． 3．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为双曲线C的右焦点，过F的直线与双曲线C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|等于(　　) A. B．3 C．2 D．4 解析：选B　法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝± x．设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又因为△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝. 在Rt△OMN中， |MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.故选B. 法二：因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)， 由得 所以M，所以|OM|＝ ＝， 所以|MN|＝|OM|＝3，故选B. 4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________． 解析：双曲线－＝1的右焦点为F(c,0)，左、右顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，易求得B，C，则kA1B＝，kA2C＝.又A1B与A2C垂直， 则有kA1B·kA2C＝－1，即·＝－1. 解得a2＝b2，即a＝b，∴渐近线的斜率k＝±＝±1. 答案：±1 5．是否存在同时满足下列条件的双曲线？若存在，求出其方程；若不存在，请说明理由． ①渐近线方程为x±2y＝0； ②点A(5,0)到双曲线上的动点P的距离的最小值为. 解：假设存在同时满足给定的两个条件的双曲线．设P(x，y)． ①若双曲线的焦点在x轴上， ∵渐近线方程为x±2y＝0， ∴可设其方程为－＝1(b>0)． 则|AP|＝＝(|x|≥2b)． 若2b≤4，即b≤2，则当x＝4时， |AP|取得最小值，为＝，此方程无解； 若2b>4，即b>2，则当x＝2b时， |AP|取得最小值，为|2b－5|＝， 解得b＝， 此时存在双曲线，方程为－＝1. ②若双曲线的焦点在y轴上，则可设其方程为－＝1(b>0，x∈R)， 于是|AP|＝. ∵x∈R，∴当x＝4时，|AP|取得最小值，为＝， ∴b2＝1，双曲线的标准方程是y2－＝1. 综合①②知，存在双曲线，其方程为－＝1或y2－＝1. 6．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲线C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|. (1)求双曲线C的离心率； (2)若动点B在第一象限，求证：∠BFA＝2∠BAF. 解：(1)当|BF|＝|AF|，且BF⊥AF时， 有c＋a＝＝，所以a＝c－a， 解得e＝2. (2)证明：由(1)知双曲线方程为－＝1， 设B(x，y)(x＞a，y＞0)，易知渐近线方程为y＝±x，所以∠BAF∈， ∠BFA∈，当x>a，x≠2a时， 则kAB＝，kBF＝. 设∠BAF＝θ，则tan θ＝， tan 2θ＝＝＝ ＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA. 因为2∠BAF∈， 所以∠BFA＝2∠BAF. 当x＝2a时， 由(1)可得∠BFA＝，∠BAF＝， 故∠BFA＝2∠BAF. 综上，∠BFA＝2∠BAF. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2 双曲线的简单几何性质 层级(一)　“四基”落实练 1．双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于(　　) A.　　B． C．2 D．4 2．(多选)对于方程－y2＝1和－y2＝λ(λ>0且λ≠1)所表示的双曲线，下列结论正确的是(　　) A．有相同的顶点 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到双曲线C的渐近线的距离为(　　) A. B．2 C. D．2 4．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝(a>0，b>0)的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 5．若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　) A．2 B． C. D． 6．焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________. 7．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·＝________. 8．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设点P是双曲线C上任意一点，且|PF1|＝10，求|PF2|. 层级(二)　“能力”提升练 1.(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点可为线段AB中点的是(　　) A.(1,1) B.(－1,2) C.(1,3) D.(－1，－4) 2．(多选)已知双曲线C过点(3，)，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的方程为－y2＝1 B．双曲线C的离心率为 C．曲线y＝ex－2－1经过双曲线C的一个焦点 D．直线x－y－1＝0与双曲线C有两个公共点 3．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为双曲线C的右焦点，过F的直线与双曲线C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|等于(　　) A. B．3 C．2 D．4 4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________． 5．是否存在同时满足下列条件的双曲线？若存在，求出其方程；若不存在，请说明理由． ①渐近线方程为x±2y＝0； ②点A(5,0)到双曲线上的动点P的距离的最小值为. 6．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在双曲线C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|. (1)求双曲线C的离心率； (2)若动点B在第一象限，求证：∠BFA＝2∠BAF. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$