3.2.2 双曲线的简单几何性质（九个重难点突破）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

3.2.2双曲线的简单几何性质 一、由标准方程研究几何性质 六、直线与双曲线的位置关系 二、由几何性质求标准方程 七、直线与双曲线的弦长问题 三、求双曲线的离心率 八、中点弦与点差法 四、求离心率的取值范围 九、双曲线的综合问题 五、双曲线的渐近线 知识点一、双曲线的几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质： (1)方程形式为；(2)渐近线方程为,它们互相垂直；(3)离心率 重难点一 由标准方程研究几何性质 【例1】（多选）已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的实轴长为2 D．双曲线的右焦点到渐近线的距离为 【例2】双曲线的实轴长与虚轴长的比为2，则该双曲线的离心率为 ． 【变式1-1】（多选）已知双曲线，则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为2 B．双曲线C的焦点坐标为 C．双曲线C的渐近线方程为 D．双曲线C的离心率为 【变式1-2】（多选）已知双曲线C的方程为：，则下列结论正确的是（    ） A．实轴长为6 B．渐近线方程为 C．顶点坐标为， D．焦距为 【变式1-3】双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角是 . 重难点二 由几何性质求标准方程 【例3】与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【例4】若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为 ． 【变式2-1】已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知双曲线的渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则双曲线的方程是 ． 【变式2-3】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)渐近线方程为，实轴长为2且焦点在x轴上； (2)顶点为，，渐近线方程为； (3)渐近线方程为，且经过点． 重难点三 求双曲线的离心率 【例5】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l经过，且与C交于两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例6】如图，已知过双曲线右焦点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点.若，则双曲线的离心率为 .    【变式3-1】已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为. 若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且.若，则双曲线的离心率为    【变式3-3】已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为 . 重难点四 求离心率的取值范围 【例7】已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[ ，2] 【例8】已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 【变式4-2】若双曲线的同一支上存在两点A，B，使得（O为原点）为等边三角形，则称双曲线为“优美双曲线”，已知双曲线C是“优美双曲线”，则C的离心率的取值范围是 ． 【变式4-3】已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 重难点五 双曲线的渐近线 【例9】若曲线，存在两条渐近线且其夹角的余弦值为，则（     ）. A． B． C． D．不存在 【例10】已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知双曲线（）的一条渐近线与直线平行，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】设圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为 ． 【变式5-3】已知双曲线的左焦点为，点为坐标原点，点为双曲线渐近线上一点且满足，过作轴的垂线交渐近线于点，已知，则该渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 知识点二、直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点； ②当,即时, 判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点． 重难点六 直线与双曲线的位置关系 【例11】（多选）已知直线，双曲线，则（    ） A．当时，与只有一个交点 B．当时，与只有一个交点 C．当时，与的左支有两个交点 D．当时，与的左支有两个交点 【例12】设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-1】讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【变式6-2】已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【变式6-3】已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围. 知识点三、弦长问题 设直线交双曲线于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 重难点七 直线与双曲线的弦长问题 【例13】已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 【例14】已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合. (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长. 【变式7-1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于. (1)求双曲线的标准方程． (2)过双曲线：的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 【变式7-2】已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求的值． 【变式7-3】已知双曲线C的渐近线为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长． 知识点四、中点弦问题 （1）根与系数关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知是双曲线上的两个不同的点，是线段的中点， 则由，得， 变形得，即 重难点八 中点弦与点差法 【例15】已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（    ） A． B． C． D． 【例16】双曲线的方程是．求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程． 【变式8-1】已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积. 【变式8-2】已知双曲线的离心率为，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)经过点的直线交双曲线于、两点，且为的中点，求的方程． 【变式8-3】如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为 . 重难点九 双曲线的综合问题 【例17】（多选）设F为双曲线的焦点，O为坐标原点，若圆心为，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（    ）. A．C的离心率为 B． C． D． 【例18】已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 【变式9-1】已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 【变式9-2】已知平面内一动点到点的距离与点到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)在直线上有一点，过点的直线与曲线相交于两点.设，证明：只与有关. 【变式9-3】已知双曲线的离心率为，且的右焦点到渐近线的距离为. (1)求的标准方程； (2)过点作直线与的右支相交于两点，为原点，证明：为锐角. 一、单选题 1．已知双曲线的离心率为，则的值为（    ） A．18 B． C．27 D． 2．已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的离心率为的一条渐近线截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 4．设双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若的面积为3，则（    ） A．2 B．3 C． D． 5．已知是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，直线分别交椭圆于两点，若直线过椭圆的焦点，则线段的长度为（    ） A． B．3 C． D． 6．已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 8．若是双曲线上一点，分别为的左、右焦点，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的虚轴长为 B．若，则的面积为2 C．的最小值是 D．双曲线的焦点到其渐近线的距离是2 三、填空题 9．已知双曲线的两条渐近线均与圆：相切，双曲线左焦点为，则该双曲线的渐近线方程为 . 10．已知双曲线一条渐近线方程为，且过点则双曲线的标准方程是 . 11．设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则 . 四、解答题 12．已知动点P到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点P的轨迹为曲线，求曲线的方程 13．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点M（）， (1)求双曲线C的标准方程 (2)已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值. 14．已知双曲线的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点，且与双曲线C交于E，F两点． (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AE与AF的斜率之积为定值． 15．平面内点到点与到直线的距离之比为3. (1)求点的轨迹的方程; (2)为的左右顶点，过的直线与交于（异于）两点，与交点为，求证：点在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2双曲线的简单几何性质 一、由标准方程研究几何性质 六、直线与双曲线的位置关系 二、由几何性质求标准方程 七、直线与双曲线的弦长问题 三、求双曲线的离心率 八、中点弦与点差法 四、求离心率的取值范围 九、双曲线的综合问题 五、双曲线的渐近线 知识点一、双曲线的几何性质 标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 性质 焦点 焦距 范围 ,或 或 对称性 关于坐标轴、原点对称 顶点 轴长 实轴长2a,虚轴长2b 离心率 渐近线 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质： (1)方程形式为；(2)渐近线方程为,它们互相垂直；(3)离心率 重难点一 由标准方程研究几何性质 【例1】（多选）已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的实轴长为2 D．双曲线的右焦点到渐近线的距离为 【答案】ABD 【详解】由双曲线的方程可得，，，， 所以，，，离心率， A正确； 因为渐近线方程为， B正确； 实轴长，C错误； 因为右焦点为，不妨取渐近线，即， 所以点到渐近线的距离， D正确. 故选：ABD. 【例2】双曲线的实轴长与虚轴长的比为2，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】由题意可知，故，所以离心率为. 故答案为：. 【变式1-1】（多选）已知双曲线，则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线C的实轴长为2 B．双曲线C的焦点坐标为 C．双曲线C的渐近线方程为 D．双曲线C的离心率为 【答案】AD 【详解】因为双曲线方程，所以， 对于A：实轴长为，故A正确； 对于B：因为，所以焦点坐标，故B错误； 对于C：因为，所以渐近线方程，故C错误； 对于D：因为，所以离心率，故D正确； 故选：AD. 【变式1-2】（多选）已知双曲线C的方程为：，则下列结论正确的是（    ） A．实轴长为6 B．渐近线方程为 C．顶点坐标为， D．焦距为 【答案】AB 【详解】由双曲线方程为：，焦点在轴，所以， 所以实轴长为，故A正确； 渐近线方程为，故B正确； 顶点坐标为，，故C错误； 焦距为，故D错误. 故选：AB. 【变式1-3】双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角是 . 【答案】 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以双曲线为等轴双曲线，渐近线方程为. 因为与的夹角为， 所以双曲线的两条渐近线的夹角是. 故答案为： 重难点二 由几何性质求标准方程 【例3】与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误.   故选：C. 【例4】若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由若双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线标准方程可设为：， 由虚轴长为，可知，再由渐近线方程为，可知， 所以双曲线标准方程为：. 故答案为：. 【变式2-1】已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线顶点在轴上，可设其方程为， 顶点坐标为，渐近线方程为，即， ，解得：，双曲线方程为：. 故选：A. 【变式2-2】已知双曲线的渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则双曲线的方程是 ． 【答案】或 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 则解得，则双曲线的方程为； 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 则解得双曲线的方程为． 综上，双曲线的方程是或． 故答案为：或 【变式2-3】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)渐近线方程为，实轴长为2且焦点在x轴上； (2)顶点为，，渐近线方程为； (3)渐近线方程为，且经过点． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为双曲线的焦点在x轴上， 所以设双曲线方程为：， 因为双曲线渐近线方程为， 所以，又， 所以 ， 所以双曲线方程为： （2）由题意知：双曲线的焦点在y轴上， 所以设双曲线方程为：， 因为双曲线的顶点为，， 所以a=6， 又因为双曲线的渐近线方程为， 所以，焦点， 所以双曲线的方程为： （3）因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为：， 又因为双曲线经过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为：. 重难点三 求双曲线的离心率 【例5】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l经过，且与C交于两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上． 设，则，，． 在中，，得， 则，. 在中，， 即，得． 所以双曲线C的离心率为. 故选：D. 【例6】如图，已知过双曲线右焦点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点.若，则双曲线的离心率为 .    【答案】 【详解】设，， 因为，所以， 又，所以，则， 因为，所以 又，所以，所以， 则，则 故答案为: 【变式3-1】已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为. 若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的半焦距为，则右焦点的坐标为，， 双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在渐近线上，则， 所以，因为，所以，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 【变式3-2】如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且.若，则双曲线的离心率为    【答案】 【详解】延长与双曲线交于另一点，连接.    因为，所以根据对称性可得四边形是平行四边形， 则. 设，则. 根据双曲线的定义可得，则， 所以. 在中，根据余弦定理可得，得. 在中，由，得， 则双曲线的离心率为. 故答案为： 【变式3-3】已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为 . 【答案】 【详解】不妨设点在第一象限，连接，则， 故，， 设，因为，所以为的中点， ，故.， 将代入中，故，则. 故答案为：.    重难点四 求离心率的取值范围 【例7】已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[ ，2] 【答案】A 【详解】由题意得，渐近线, 将代入得坐标为,所以, 因为轴，所以, 由已知可得, 两边同时除以得, 所以，即， 解得,所以， 而双曲线的离心率， 故选：A. 【例8】已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，，由，则， 显然，则整理可得，由， 则， 解得，由双曲线的定义可知：， 则，整理可得， 化简可得，由，且， 则，可得或， 解得或，所以，解得. 故选：C. 【变式4-1】如图，在中，已知，其内切圆与AC边相切于点D，且，延长BA到E，使，连接CE，设以E，C为焦点且经过点A的椭圆的离心率为，以E，C为焦点且经过点A的双曲线的离心率为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图以的中点为原点直角坐标系，设分别是与圆的切点，由圆的切线性质得， 设，所以，， 在中，， 以为焦点经过点的双曲线的离心率为， 以为焦点经过点的椭圆的离心率为， 则， 在中，设，所以，， 由余弦定理可得， 所以，所以，得， 由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据圆锥曲线的定义结合条件表示出，然后根据余弦定理结合条件求出参数的取值范围是解出此题的关键. 【变式4-2】若双曲线的同一支上存在两点A，B，使得（O为原点）为等边三角形，则称双曲线为“优美双曲线”，已知双曲线C是“优美双曲线”，则C的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为双曲线C是“优美双曲线”， 则双曲线的同一支上存在两点A，B，使得为等边三角形， 又双曲线的对称性可得， 所以， 所以离心率， 所以C的离心率的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-3】已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】圆，双曲线的渐近线为， 圆与双曲线的渐近线有公共点， 圆心到渐近线的距离， ，，即， ． 故答案为：． 重难点五 双曲线的渐近线 【例9】若曲线，存在两条渐近线且其夹角的余弦值为，则（     ）. A． B． C． D．不存在 【答案】C 【详解】解：因为曲线，存在两条渐近线， 所以此曲线为双曲线， 所以， 所以两条渐近线的斜率分别为， 设两渐近线的倾斜角分别为， 则有， 又因为两渐近线夹角的余弦值为， 所以， 所以， 所以， 即， 即， 平方，整理得， 即， 解得或(舍). 所以， 因为， 所以. 故选：C. 【例10】已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为坐标原点，则，从而. 设的左焦点为，连接，由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得，解得. 由，得，解得， 所以. 故选：B. 【变式5-1】已知双曲线（）的一条渐近线与直线平行，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 直线的斜率为，所以，解得， 所以双曲线的方程为． 故选：C． 【变式5-2】设圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【详解】根据题意知,圆的圆心为,半径为.因为圆与渐近线相切,则圆心到渐近线的距离等于半径.设渐近线方程为,化为一般形式,则, 再由离心率公式得到, 故答案为: 【变式5-3】已知双曲线的左焦点为，点为坐标原点，点为双曲线渐近线上一点且满足，过作轴的垂线交渐近线于点，已知，则该渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故点在的垂直平分线上， 则点的横坐标为，且过作轴的垂线交渐近线于点， 故设点， 不妨设均在上，则， ，， ，即，， ，故渐近线方程为. 故选：D. 知识点二、直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点； ②当,即时, 判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点． 重难点六 直线与双曲线的位置关系 【例11】（多选）已知直线，双曲线，则（    ） A．当时，与只有一个交点 B．当时，与只有一个交点 C．当时，与的左支有两个交点 D．当时，与的左支有两个交点 【答案】ABD 【详解】由题意直线过定点，即双曲线的左焦点. 当时，与的渐近线平行，与只有一个交点， 当时，与的左支和右支各有一个交点， 当时，与的左支有两个交点. 故选：ABD. 【例12】设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题可设双曲线C的方程为（）， 将点代入上式得：， 故双曲线C的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意， 综上，这样的直线共有3条. 故选：D. 【变式6-1】讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【答案】答案见解析 【详解】联立方程组，整理得， 当时，即时，具体为：当时，；当时，；此时直线与双曲线有一个交点； 当时，即时，可得， 由，即，可得且，此时直线与双曲线有两个交点； 由，即，可得，此时直线与双曲线只有一个交点； 由，即，可得或，此时直线与双曲线没有交点； 综上可得： 当时，直线与双曲线有两个公共点； 当或时，直线与双曲线有一个公共点； 当时，直线与双曲线没有公共点. 【变式6-2】已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【答案】 【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． 当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； 当即时，由，无实数解， 综上所述：符合题意的取值为， 故答案为：. 【变式6-3】已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）双曲线的中心在原点,焦点在轴上,设双曲线的方程为 由,可得, 由双曲线过点,可得, 解得, 则双曲线的标准方程为; （2）联立直线与双曲线方程， 化简得，则， 假设, 则，解得. 知识点三、弦长问题 设直线交双曲线于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 重难点七 直线与双曲线的弦长问题 【例13】已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，且，     ， 所以双曲线的离心率． （2）由（1）知双曲线方程为， 将即代入，得，    不妨设， 所以． 【例14】已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合. (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）拋物线的焦点坐标为，则双曲线的半焦距，由，得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，直线的方程为，设，， 由，得，显然， 则，，， 因此， 所以的周长为.    【变式7-1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于. (1)求双曲线的标准方程． (2)过双曲线：的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）依题意，双曲线的半焦距，实半轴长，则虚半轴长， 所以双曲线的标准方程为. （2）依题意，直线的方程为，即，设 由消去并整理得，解得， 所以. 【变式7-2】已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）记的半焦距为，由题得的离心率，① 由对称性不妨设的顶点为，渐近线方程为，则，② 又，③ 联立①②③解得，，， 所以的方程为． （2）设， 由得， 所以， 解得，且， 所以，， 所以． 又点到直线的距离， 所以的面积， 解得或，符合式， 所以或． 【变式7-3】已知双曲线C的渐近线为，且过点． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由双曲线渐近线方程为，可设双曲线方程为：， 又双曲线过点， 双曲线的方程为： （2）设，，联立，化为． ∵直线与双曲线C相交于A，B两点，∴，化为． ∴，（*） ∵，∴．∴， 又，，∴， 把（*）代入上式得，化为．满足．∴． 由弦长公式可得 知识点四、中点弦问题 （1）根与系数关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知是双曲线上的两个不同的点，是线段的中点， 则由，得， 变形得，即 重难点八 中点弦与点差法 【例15】已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的中点， 所以， 易知， 由点差法可得 ， 若，此时， 与双曲线联立， 即与双曲线只有一个交点，故A错误； 若，则此时， 与双曲线联立 ， 即与双曲线有两个交点，故B正确； 若，则此时， 与双曲线联立， 即与双曲线有一个交点，故C错误； 若，则此时， 与双曲线联立，显然无解， 即与双曲线没有交点，故D错误； 故选：B 【例16】双曲线的方程是．求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程． 【答案】 【详解】设直线与双曲线交于,、,两点， 点为的中点，则，． 由，， 两式相减得，即 ， 的方程为，即． 把此方程代入双曲线方程，整理得， 满足， 即所求直线的方程为． 【变式8-1】已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，所以， 故到渐近线的距离， 所以，又，所以， 故的方程为. （2）设点，因为是弦的中点，则 由于，所以两式相减得， 所以，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立消去并整理，得， 所以，且， 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积为.    【变式8-2】已知双曲线的离心率为，且经过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)经过点的直线交双曲线于、两点，且为的中点，求的方程． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）由，得，即， ∴， 设双曲线的方程为或， 把代入两个方程，得或， 解得（第二个方程无解）， ∴双曲线的标准方程为； （2）设，， ∵，都在双曲线上，∴，， 两式作差可得：，即， ∵为的中点，∴，， 可得， ∴直线的方程为，即， 联立，得， ，符合题意． ∴直线的方程为．    【变式8-3】如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【详解】如图，取的中点，连接，则， 所以，设直线的倾斜角为，则， 所以， 所以直线的斜率为.设，则. 由，得到.， 所以，所以，则. 故答案为： 重难点九 双曲线的综合问题 【例17】（多选）设F为双曲线的焦点，O为坐标原点，若圆心为，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（    ）. A．C的离心率为 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于，因为，则， 所以C的离心率为，故正确； 对于，设，， 联立，消去x可得， 则，解得； 则，， 则，， 所以，故错误； 对于，由基本不等式链得， 当且仅当时取等号，故正确； 对于，F为右焦点，， 又，， ，故正确. 故选：ACD. 【点睛】利用韦达定理解题的基本规律： （1）设直线方程（本题中可直接写出圆的方程），设交点坐标为，； （2）联立直线（曲线）与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为（或）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【例18】已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点． (1)求双曲线C的方程； (2)求证：直线、的斜率之积为定值； (3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c． 由题意知． 故， 因此． （2）由题意知．设直线， 与双曲线方程联立得． 设、，则， 故直线、的斜率之积为 ． （3）由题意知，得． 设，则． 即． 由于，上式即，解得． 利用(*)式，得， 因此存在定点满足题目要求． 【变式9-1】已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由双曲线经过点， 则有，解得， 即双曲线的标准方程为，则， 所以离心率， 故的离心率为； （2）由（1）知的右焦点为，直线， 设，，由点N关于x轴的对称点为点P，则， 联立，得， 由题可知，即， 且， 则， 则直线的直线方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则必在轴上， 令，得 当，且时， ， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的一般解法 （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点，或以曲线上的点为参数，设点，利用点在曲线＝0上，即消参. （2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，再加以证明. 【变式9-2】已知平面内一动点到点的距离与点到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)在直线上有一点，过点的直线与曲线相交于两点.设，证明：只与有关. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，依题意得，，两边取平方，， 整理得，，即曲线的方程为：. （2）    如图设点，因点既在直线上，又在直线上， 故得：，解得，. 由消去可得，， 因，故点的直线与曲线相交于两点，设， 则，则， 由图知， ， 故只与有关. 【变式9-3】已知双曲线的离心率为，且的右焦点到渐近线的距离为. (1)求的标准方程； (2)过点作直线与的右支相交于两点，为原点，证明：为锐角. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，则， 易知的渐近线方程为， 由对称性知焦点到两条渐近线的距离相同，即， 又， 则双曲线方程为：； （2）由上知，不妨设的方程为及， 显然，异号， 则，， 联立，整理得， 则， 易知， 而异号，则， 所以，即， 即为锐角，得证. 一、单选题 1．已知双曲线的离心率为，则的值为（    ） A．18 B． C．27 D． 【答案】A 【详解】由题可得实半轴长，所以半焦距， 所以． 故选：A． 2．已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 3．已知双曲线的离心率为的一条渐近线截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得， 所以双曲线的一条渐近线为， 则圆心到渐近线的距离， 所以弦长为. 故选：D. 4．设双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，且，若的面积为3，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线C：, 可得，∴. ∵, ∴. 假设在双曲线右支上， 则两边平方得， ∴， 又∵ 的面积为 3， ∴，即. 故选：A. 5．已知是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，直线分别交椭圆于两点，若直线过椭圆的焦点，则线段的长度为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由是椭圆与双曲线的公共顶点，得， 不妨设直线过椭圆的右焦点， 设点，则直线的斜率分别为，， 又因为，可得， 设点，则直线的斜率分别为， 又因为，所以， 因为，所以， 所以直线关于轴对称，所以直线轴， 又因为直线过椭圆右焦点，所以，代入椭圆方程得， 所以. 故选：B 6．已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由为双曲线渐近线上一点，， 又，设，则，由， 即，解得 又在中，为斜边中线，因此， 在中，由余弦定理可求得，则为锐角， 则，即其中一条渐近线的斜率， 因此双曲线的渐近线的方程为. 故选:C． 二、多选题 7．双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 【答案】BCD 【详解】对于A，C的焦点和顶点分别为， 从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A错误； 对于B，双曲线C的离心率为，故B正确； 对于C，显然异于，不妨设， 注意到都在双曲线上面，且， 所以直线与的斜率之积为，故C正确； 对于D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，， 而点到直线的距离是，故D正确. 故选：BCD. 8．若是双曲线上一点，分别为的左、右焦点，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的虚轴长为 B．若，则的面积为2 C．的最小值是 D．双曲线的焦点到其渐近线的距离是2 【答案】BC 【详解】由双曲线，得双曲线， 设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为. 选项A：得，故双曲线的虚轴长为，故A错误. 选项B：得，则，，得， 故的面积为，故B正确. 选项C：易知，故C正确. 选项D：易得双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为， 所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 9．已知双曲线的两条渐近线均与圆：相切，双曲线左焦点为，则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】设双曲线的一条渐近线方程为 因为双曲线的渐近线与圆相切 所以圆心到渐近线距离为a ，结合得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故答案为：. 10．已知双曲线一条渐近线方程为，且过点则双曲线的标准方程是 . 【答案】 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 11．设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则 . 【答案】2 【详解】不妨取点在第一象限，如下图所示：    根据双曲线定义可得，且； 由离心率为可得，可得，即； 设，则； 由的面积为可得， 解得； 利用余弦定理可得， 即，整理可得， 即，所以，解得. 故答案为：2 四、解答题 12．已知动点P到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点P的轨迹为曲线，求曲线的方程 【答案】 【详解】设动点，则，点P到直线的距离， 由题意知，即， 化简得，即曲线的方程为． 13．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点M（）， (1)求双曲线C的标准方程 (2)已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设双曲线的方程为, 代入,,得,解得, 所以双曲线的方程为． （2）由,得, 设,,,, 则中点坐标为,, 由韦达定理可得, 所以, 所以中点坐标为, 因为点在圆上， 所以,解得． 14．已知双曲线的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点，且与双曲线C交于E，F两点． (1)求双曲线C的方程； (2)证明：直线AE与AF的斜率之积为定值． 【答案】(1) (2)证明见详解 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为6，所以， 因为双曲线的离心率为，所以，解得， 由，得，则C的方程为． （2）    设，，因为直线过定点，显然直线l不垂直于轴，则设直线， 联立方程组，消去x得， 由，得， 则，， 因为A为双曲线C的左顶点，所以， 直线AE的斜率，直线AF的斜率， 所以 ， 即直线AE与AF的斜率之积为定值． 【点睛】关键点点睛：第二问的关键在于设出直线l的方程，然后直曲联立，利用韦达定理，代入的表达式，化简即可得到定值. 15．平面内点到点与到直线的距离之比为3. (1)求点的轨迹的方程; (2)为的左右顶点，过的直线与交于（异于）两点，与交点为，求证：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设是所求轨迹上的任意一点， 因为点到点与到直线的距离之比为，可得 ， 整理得:，所以轨迹的方程为. （2）由（1）知，设直线，且， 联立方程组 ，整理得， 则，可得.，所以， 且， ① 又由和 ， 两式相除得:， ② 由①式可得，带入②式， 解得 ，所以点在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$