第二单元 线和角（知识清单）数学青岛版四年级上册

第二单元 线和角 单元知识清单讲义 知识点一：线段、直线、射线的认识及特征 线段 定义：直线上两点间的一段叫做线段，这两个点叫做线段的端点。 特征：有两个端点，不能向两端无限延伸，可以度量长度。比如黑板的边、书本的边都可以近似看作线段。 直线 定义：把线段向两端无限延长，就得到一条直线。 特征：没有端点，可以向两端无限延伸，无法度量长度 。在实际生活中，可近似看作直线的例子较少，但像笔直的铁轨（向远方延伸）可帮助我们理解直线的概念。 射线 定义：把线段的一端无限延长，就得到一条射线。 特征：只有一个端点，只能向一端无限延伸，无法度量长度。生活中的手电筒光线、汽车大灯射出的光等都可以近似看作射线。 知识点二：数图形（线段、直线、射线） 数线段：在一条直线上有若干个点时，数线段的方法是先确定一个端点，然后依次与其他点组合形成线段，最后将所有线段数量相加。例如，直线上有、、三个点，以为端点的线段有、，以为端点的线段有，共条线段。 数射线：因为每个点都可以向左右两个方向引出射线，所以在一条直线上有个点时，射线的数量是条。 数直线：过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。 知识点三：角的概念及表示方法 角的概念：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 角的表示方法： 用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，如，表示以为顶点，、为边的角。 用一个大写字母表示，当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点字母表示，如 。 用数字或希腊字母表示，在角内靠近顶点处标上数字或希腊字母，如、 。 知识点四：数图形（数角） 数角时，先确定一个角的边，然后依次与其他边组合形成角。例如，由条射线（）组成的图形中，角的数量为 。 知识点五：角的大小比较 直观比较法：通过观察，直接判断角的大小，开口大的角大，开口小的角小。 重叠比较法：把两个角的顶点和一条边重合，看另一条边的位置。另一条边在外边的角大，另一条边在里边的角小 。 度量比较法：用量角器量出角的度数，根据度数比较大小，度数大的角大，度数小的角小 。 知识点六：角的度量 度量单位：角的度量单位是度，用符号“”表示。把半圆平均分成等份，每一份所对的角的大小是度，记作 。 量角器的使用方法：把量角器的中心与角的顶点重合，刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数 。 知识点七：用量角器画角 步骤： 先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，刻度线和射线重合。 在量角器上找到要画的角的度数的刻度线，在上面点一个点。 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，就得到了要画的角。 知识点八：用三角尺画角 一副三角尺有两个，一个三角尺的三个角的度数分别是、、，另一个三角尺的三个角的度数分别是、、 。 可以直接用三角尺画出的角有、、、，还可以通过两角相加或相减画出其他一些特殊度数的角，如， 。 知识点九：平角、周角的认识及特征 平角：一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角，平角等于 ，平角的两边在同一条直线上，但平角不是直线。 周角：一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角，周角等于 ，周角的两边重合，但周角不是射线。 知识点十：角度的计算 已知几个角的度数关系，求其中一个角的度数。例如，已知和组成一个直角，，那么 。 角的和差计算，如已知，，求与组成的角（两角不重叠）的度数为 。 题型一：线段、直线、射线的特征辨析 【例1】把序号填在相应的横线上。 直线：    线段：    射线： 答案： ④ ①⑥ ② 分析：此题考查直线、线段和射线的区别。直线没有端点，可以向两端无限延长；线段有两个端点，长度有限；射线只有一个端点，可以向一端无限延长；直线、线段、射线都是直直的。 详解：①⑥有两个端点，是线段； ②有一个端点，是射线； ④没有端点，是直线； ③⑤是曲线。 所以④是直线；①⑥是线段；②是射线。 【练1】聪聪画了一条长8cm的( )，把它向两端无限延长，得到一条( )。 答案： 线段 直线 分析：根据题意可知，线段是有2个端点，可以量出长度。直线没有端点，两端可以无限延伸，不能测量出长度。 详解：聪聪画了一条长8cm的线段，把它向两端无限延长，得到一条直线。 题型二：数线段、直线、射线的数量 【例2】如图，图中有线段 条，射线 条。 答案： 3 7 分析：线段有两个端点有固定长度；射线有一个端点，向另一端无限延长，据此填空即可。 详解：线段：AB、BC、AC，一共3条； 射线：以A、B、C三个点为端点都可以向左或向右无限延伸，一共有6条射线，以C为端点可以向右上角无限延伸，则一共有7条射线。 图中有线段3条，射线7条。 【练2】下图中有( )条直线、( )条射线、( )线段。 答案： 1 6 3 分析：直线没有端点，可以向两湍无限延伸，所以图中只有1条直线；射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，所以图中每一个点都可以看作是射线的一个端点，从一个端点向左、向右分别得到两条射线，图中共3个端点，一共有3×2＝6（条）射线；线段有两个端点，任意两点之间的一段都可以看作是一条线段，所以图中的线段有AB、BC、AC，一共3条（如图）；据此解答。 详解：根据分析可知： 图中有1条直线、6条射线、3条线段。 题型三：角的概念与表示方法 【例3】从一点引出的两条( )所组成的图形叫作角。角通常用符号“( )”来表示，如图，记作“( )”，读作“( )”。 答案： 射线 ∠ ∠1 角1 分析：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。它们的公共端点叫做角的顶点。通常用符号“∠”来表示，据此解答即可。 详解：从一点引出的两条射线所组成的图形叫作角。角通常用符号“∠”来表示，如图，记作“∠1”，读作“角1”。 【练3】从一点引出的( )所组成的图形叫做角，角通常用符号( )表示。 答案： 两条射线 ∠ 分析：根据题意，一点和从这点出发的两条射线所组成的图形叫角，其中这一点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边，角的符号是∠；据此解答即可。 详解：由分析可得：从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角，角通常用符号∠表示。 如图： 这个角可以记作“∠1” 题型四：数角的数量 【例4】如图中有( )条射线，形成( )个角，( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 答案： 5 8 2 3 3 分析：射线只有一个端点，向一端无限延长，不能度量；角是由一个顶点和两条边组成的；直角等于90度，锐角大于0度小于90度，钝角大于90度小于180度，据此解答。 详解：上图中有5条射线，形成8个角，2个直角，3个锐角，3个钝角。 点睛：本题主要考查了射线及角的分类的特征，要熟练掌握。 【练4】下图中一共有( )个角，其中有( )个直角。 答案： 8 3 分析：角的概念：从一点引出两条射线所形成的图形叫做角；直角为90°，按顺序不重复的数出对应的角，据此解答。 详解：根据分析：图中一共有8个角，其中有3个直角。 点睛：掌握对角的认识，以及对直角概念的认识是解答本题的关键。 题型五：角的大小比较 【例5】如图，某军事演习时甲炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好能命中敌机，这时炮筒枪与地面成25°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒枪与地面的角度应( )25°（填“＜”“＞”或“＝”）；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒枪与地面的角度应( )25°（填“＜”“＞”或“＝”）。 答案： ＞ ＜ 分析：根据角的大小与角两边叉开的大小有关；结合图意可知：如果敌机继续往前飞，则炮筒枪与地面叉开的角度变大，所以炮筒枪与地面的角度应大于25°；如果敌机向后方逃跑，则炮筒枪与地面叉开的角度变小，所以炮筒枪与地面的角度应小于25°。据此解答。 详解：根据分析可知： 某军事演习时甲炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好能命中敌机，这时炮筒枪与地面成25°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒枪与地面的角度应（＞）25°（填“＜”“＞”或“＝”）；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒枪与地面的角度应（＜）25°（填“＜”“＞”或“＝”）。 【练5】把一个12度的角放在10倍的放大镜下观察，这个角的度数是( )度。 答案：12 分析：放大镜只会改变角两边的长短，不会改变角的大小，依此填空。 详解：根据分析可知，把一个12度的角放在10倍的放大镜下观察，这个角的度数是12度。 题型六：角的度量 【例6】如图，量角器量出的∠1的度数是 。 答案：90°/90度 分析：用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数，0刻度线没有与边的一边重合，用外圈的大度数减去外圈的小度数就是被量角的度数，据此解答即可。 详解：140°－50°＝90° 所以，量角器量出的∠1的度数是90°。 【练6】如图，量角器所量角的度数是( )，它是一个( )角。 答案： 55 锐 分析：度量方法：量角要注意两对齐，量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和角的一条边对齐。做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈，所以量角器所量角的度数是55°。 锐角大于0小于 90°、直角等于90°、钝角大于90°小于180°，55°小于90°，所以量角器所量角为锐角。 详解：由分析可知，量角器所量角的度数是55°， 55°＜90° 所以它是一个锐角。 题型七：画角 【例7】以B为顶点画一个比直角小的角，并写出角的度数。 答案：见详解 分析：直角是90°的角，比直角小60°的角的度数是30°。先过A点画一条射线，使量角器的中心和A点重合，0°刻度线和射线重合。在量角器30°刻度线的地方点一个点。以A点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出30°的角。 详解：90°－60°＝30° 【练7】以A为顶点画一个35°角，B为顶点画一个55°角。 答案：见详解 分析：画角的步骤是：使量角器的中心和A点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器35°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；同理画出55°的角；依此画图即可。 详解：如图： 题型八：平角、周角与其他角的综合 【例8】钟面上3时整，时针和分针成( )角；钟面上( )时整，时针和分针成平角；一周角( )个平角( )个直角。 答案： 直 6 2 4 分析：钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°； 当钟面上1时整，时针分针之间有l大格，是30°，是一个锐角； 一个周角是360°，一个平角是180°，一个直角是90°，据此计算。 详解：3时整，时针和分针之间有3大格，用3×30°＝90°，所以钟面上3时整，时针和分针成直角。 平角是180°，说明时针和分针之间有6大格。钟面上6时整，时针和分针成平角。 2×180°＝360° 4×90°＝360° 所以，一周角2个平角4直角。 即钟面上3时整，时针和分针成直角；钟面上6时整，时针和分针成平角；一周角2个平角4个直角。 【练8】钟面上3时分针和时针形成的角是( )；6时分针和时针形成的角是( )；9时半分针和时针形成的角是( )。（填写“锐角”、“直角”、“钝角”或“平角”） 答案： 直角 平角 钝角 分析：钟面上有12个大格，每两个大格之间的夹角是30°，钟表上3时时针与分针之间有3大格，3×30°＝90°；6时分针和时针之间有6大格，6×30°＝180°；9时30分，时针与分针之间有3大格和半格，计算出3×30°＋15°的结果；再根据直角90°，平角是180°，钝角比直角大，比180°小，即可解题。 详解：由分析可知： 3×30°＝90°，是直角； 6×30°＝180°，是平角； 3×30°＋15° ＝90°＋15° ＝105° 90°＜105°＜180°，是钝角。 所以在钟表上3时分针和时针形成的角是直角；6时分针和时针形成的角是平角；9时半分针和时针形成的角是钝角。 题型九：角度的计算 【例9】下图中，已知∠1＝30°，求∠2、∠3、∠4的度数。 答案：∠2＝60°；∠3＝120°；∠4＝60° 分析：∠1和∠2组成了直角，直角是90°，用90°减去∠1的度数就可以计算出∠2的度数；∠3和∠2组成了平角，平角是180°，用180°减去∠2的度数就可以计算出∠3的度数；∠3和∠4组成了平角，用180°减去∠3的度数就可以计算出∠4的度数；据此解答。 详解：因为，所以； 因为，所以； 因为，所以； ∠2的度数是60°，∠3的度数是120°，∠4的度数是60°。 【练9】如图，已知∠2是∠1的3倍，请你算出，∠2和∠3的度数。 答案：∠2＝135°；∠3＝45° 分析：已知∠2是∠1的3倍，则把∠1看作1份，则∠2是3份；又因为∠1与∠2拼成平角，平角是180°，则180°÷4＝45°，即∠1是45°，180°减去∠1的度数即可求出∠2的度数。∠2与∠3拼成平角，则180°减去∠2，即可求出∠3。据此解答。 详解：∠1＝180°÷（3＋1） ＝180°÷4 ＝45° ∠2＝180°－∠1 ＝180°－45° ＝135° ∠3＝180°－∠2 ＝180°－135° ＝45° 一、填空题 1．如图，取一张长方形纸片，按下列方法折纸，∠2＝( )°。 答案：90 分析：根据折叠的过程可知：∠1＋∠3＝∠2，再根据∠1＋∠2＋∠3是平角，平角＝180°，再进一步计算即可。 详解：∠1＋∠3＝∠2 ∠1＋∠2＋∠3＝180° ∠2＋∠2＝180° 180°÷2＝90° 则∠2＝90° 2．下边量角器量出的角是( )度，这个角再加上( )度就是平角。 答案： 55 125 分析：角的度量方法：量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。如果角的起始边不是与0刻度线重合，角的度数为两条边所对的刻度之差； 平角等于180°，用180°减去这个角的度数即可解答。 详解：120°－65°＝55° 180°－55°＝125° 所以量角器量出的角是55度，这个角再加上125度就是平角。 3．3时整，时针与分针成( )角。( )时整，时针和分针成平角； 答案： 直 6 分析：直角为90°，平角为180°，3时整时，分针指向12，时针指向3，所形成角为90°，为直角。分针指向12，时针指向6，所形成的角为平角，为6时整，据此解答即可。 详解：由分析可知，3时整，时针与分针成直角。6时整，时针和分针成平角。 4．如图，已知，那么( )°，( )°。 答案： 48 132 分析：观察图中可知，∠1和∠2组成一个直角，直角等于90°，用90°减去∠1的度数，即可求得∠2的度数； ∠2和∠3组成一个平角，平角等于180°，用180°减去∠2的度数，即可求得∠3的度数。 详解：∠2＝90°－∠1＝90°－42°＝48° ∠3＝180°－∠2＝180°－48°＝132° 所以48°，132°。 5．用一副三角板中最大的角和最小的角可以拼成( )°角。 答案：120 分析：一副三角板上的角的度数是由30°、60°、90°及45°、45°、90°角组成的，最大的角是90°，最小的角是30°，利用加法计算即可解答。 详解：据分析可得： 90°＋30°＝120° 用一副三角板中最大的角和最小的角可以拼成120°角。 二、判断题 6．一个15°的角，用放大10倍的放大镜看角的度数是150°。( ) 答案：× 分析：角的大小跟两边叉开的大小有关，跟边的长短无关。用10倍的放大镜看角，只改变角两边的长度，没有改变角两边叉开的大小，则角的度数不变。 详解：一个15°的角，用放大10倍的放大镜看，角的大小不变，仍是15°。原说法错误。 故答案为：× 7．小红画了一条5厘米长的射线。( ) 答案：× 分析：根据射线的含义：射线只有一个端点，能向一端无限延伸，不能量出长度；据此进行判断即可。 详解：根据分析可知，射线可以无限延长，无法测量长度。 故答案为：× 8．喷气式飞机在天上“画”了一条长2000米的射线。( ) 答案：× 分析：根据射线的特点，射线只有一个端点，可以向一端无限延长，所以射线是无限长的，不能测量其长度。据此判断。 详解：根据分析可知： 射线不能度量长度，原题说法错误。 故答案为：× 9．用放大镜看一个30°的角，角的度数不变。( ) 答案：√ 分析：角的大小与两边的长短无关，只与角两边张开的大小有关，所以用放大镜看一个30°的角，角的度数不变。 详解：根据分析可知：用放大镜看一个30°的角，角的度数不变。原题说法正确。 故答案为：√ 10．线的长度从长到短排列是：直线＞射线＞线段。( ) 答案：× 分析：直线没有端点，无限长。射线没有端点，无限长。线段有两个端点，有限长。直线、射线和线段不能比较长短，线段与线段能比较长短，据此判断。 详解：因为直线和射线是无限长的，所以直线、射线和线段不能比较长短，原题说法错误。 故答案为：× 三、选择题 11．3时半，钟面上时针与分针成（    ）角。 A．锐 B．钝 C．直 答案：A 分析：钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°，3时半，分针指向6，时针位于3和4中间，时针和分针相差2个半大格，2个大格为2×30°＝60°，半格为15°，60°＋15°＝75°，大于0°小于90°的角是锐角，据此解答即可。 详解：2×30°＝60° 60°＋15°＝75° 75°的角是锐角，即3时半，钟面上时针与分针成锐角。 故答案为：A 12．学校举行放风筝比赛，规定用一样长的线。三名同学放风筝的线与地面形成角的度数如下，飞得最高是（    ）。 A．30° B．45° C．70° 答案：C 分析：已知风筝的线一样长，则风筝线与地面形成的角越大，风筝离地面越高。据此比较三个角的大小即可。 详解：30°＜45°＜70° 所以，飞得最高的是70°。 故答案为：C 13．如图是一把断尺，用它测一次可以测出（    ）种不同长度的整厘米线段。 A．3 B．4 C．6 答案：C 分析：用尺子上每两个刻度之间的刻度之差即是可以测出的线段的长度；根据按顺序数线段的方法，先以0刻度为起点，可以测量出的长度分别是1厘米、4厘米、6厘米，再以刻度1为起点，可以测出不同的长度是刻度1至刻度4（即3厘米）和刻度1至刻度6（即5厘米），再以刻度4为起点，可以测出不同的长度是刻度4至刻度6（即2厘米）；据此解答。 详解：根据分析可知： 用这把断尺，用它测一次可以测出的整厘米长度有： 1－0＝1（厘米） 4－0＝4（厘米） 6－0＝6（厘米） 4－1＝3（厘米） 6－1＝5（厘米） 6－4＝2（厘米） 所以，用它测一次可以测出6种不同长度的整厘米线段。 故答案为：C 14．下面不能用一副三角板拼出来的角是（    ）。 A．105° B．90° C．150° D．75° 答案：B 分析：一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°。将它们进行组合即可解答。 详解：60°＋45°＝105° 90°＋60°＝150° 30°＋45°＝75° 所以不能用一副三角板拼出来的角是90°。 故答案为：B 15．∠1＋∠2＋∠3＝180°，其中∠1＝80°，∠2＝∠3，那么∠2＝（    ）。 A．40° B．50° C．60° 答案：B 分析：根据题意，∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠1＝80°，那么∠2＋∠3＝180°∠1＝180°80°＝100°又知∠2＝∠3，求∠2，用100°除以2，计算即可求解。 详解：根据分析可知： ∠2＋∠3＝180°∠1＝180°80°＝100° ∠2＝∠3 ∠2＝100°÷2＝50° ∠1＋∠2＋∠3＝180°，其中∠1＝80°，∠2＝∠3，那么∠2＝50°。 故答案为：B 四、计算题 16．下图，已知∠1＝65°。求∠2和∠3各多少度。 答案：∠2＝25°；∠3＝115° 分析：已知直角＝90°，平角＝180°；从图中可以看出：∠1和∠2组成了直角，一共是90°，则用90°减∠1的度数65°，即得到∠2的度数； 同时∠1和∠3组成了平角，一共是180°，则用180°减∠1的度数65°，即得到∠3的度数。据此解答。 详解：∠2＝90°－65°＝25° ∠3＝180°－65°＝115°。 所以，∠2是25°，∠3是115°。 17．如图所示，求出下图中∠1、∠2、∠3的度数。 答案：∠1＝125°；∠2＝55°；∠3＝35° 分析：观察图形可知，∠1与55°组成了一个平角，所以∠1＝180°－55°；∠1与∠2也组成了一个平角，所以∠2＝180°－∠1；∠2与∠3组成了一个直角，∠3＝90°－∠2。 详解：∠1＝180°－55°＝125° ∠2＝180°－∠1＝180°－125°＝55° ∠3＝90°－∠2＝90°－55°＝35° 五、作图题 18．这张纸片的一个角不小心被裁掉了，你能想办法量出这个角的度数吗？ 答案：见详解 分析：把这个角剩下的两条边延长就能得到原来的角，然后量出这个角的度数即可解答。 详解：如下图，把剩下的两条边向左延长，交于一点，形成一个角，这个角就是被裁掉的角，用量角器测量，这个角是20度。 19．以A为顶点画出一个120°的角，以B为顶点画出一个25°的角，组成一个三角形，你能量出这个三角形第三个角的度数吗？ 答案：见详解 分析：使量角器的中心和A点重合，0°刻度线和线段AB重合，在量角器120°刻度线的地方点一个点，以A点为端点，通过刚画的点，画初一条射线，即为以A为顶点画出的120°的角；以同样的方法以B为顶点画出一个25°的角，这两条射线相交于一点，组成一个三角形。 量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，据此量出第三个角的度数。 详解：根据分析可得：作图如下 点睛：本题考查用量角器画角以及用量角器测量角度数的方法，画角时注意两重合，即量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合；用量角器量角时，要根据角的开口方向确定0°刻度线的位置，分清内外圈刻度。 六、解答题 20．学校举行风筝比赛，选手们用同样长度的风筝线把风筝送上高空。等风筝线放完且风筝飞稳后，将线的一端固定在地面上，再比较哪只风筝飞得更高。 （1）为了验证自己的想法，强强用同样长的线代表风筝线，对不同飞行高度的风筝进行模拟，如图1、图2所示。量一量，图1中风筝线与地面所形成的角是（    ）°，图2中风筝线与地面所形成的角是（    ）°，图（    ）的风筝飞得更高。 （2）当风筝和底面形成的夹角是60°时，哪只风筝飞的更高？ ①在图3上画出风筝线与地面所形成的60°角，并用“●”标出风筝位置。（图3中的风筝线与图1，图2中的风筝线长度一样！） ②认真观察以上3幅图，图（    ）的风筝飞得最高，图（    ）的风筝飞得最低。 （3）根据以上探究，将你的发现或想要继续研究的问题写在横线上。 ___________________________________________________________________。 答案：（1）30；45；2 （2）①图见详解 ②3；1 （3）风筝线与地面的夹角越大，风筝飞得越高。 分析：（1）将量角器的0刻度线与角的一边重合，并将风筝线置于另一角的顶点。读取风筝线所指示的度数即可。分别用量角器量出图1和图2的度数，根据图中风筝飞行的高度，判断图2的风筝飞得更高。 （2）①使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合。在量角器上找到所画角的刻度60的地方点一个点。以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。画的长度与图1和图2中风筝线的长度一致，并且用“●”标出风筝的位置。 ②画出图3的风筝之后，比较三幅图中风筝的高度，选出飞得最高的风筝和飞得最低的风筝。 （3）把三幅图中风筝线与地面形成的夹角和风筝飞行的高度进行一个比较，就会有所发现。 详解：（1）图1中风筝线与地面所形成的角是30°，图2中风筝线与地面所形成的角是45°，图2的风筝飞得更高。 （2） ②认真观察以上3幅图，图3的风筝飞得最高，图1的风筝飞得最低。 （3）风筝线与地面形成的夹角：30°＜45°＜60° 对应的风筝的高度：图1＜图2＜图3 因此风筝线与地面的夹角越大，风筝飞得越高。 21．从小云家到电影院有3条路，走哪一条最近？为什么？ 答案：②；因为两点之间线段最短 分析：从小云家到电影院有3条路，这3条路中，第1条与第3条要分别经过游泳馆和商场，走中间的②条路最近，因为两点之间线段最短。 详解：从小云家到电影院有3条路，走②条最近，因为两点之间线段最短。 22．资料卡： 有趣的角度 （1）丹顶鹤是国家一级保护动物。它们结对飞行，通常都是排成“人”字形，而且“人”字形的角度一般保持在110°左右。 （2）标准红领巾的三个角的角度分别是120°、30°、30°。 （3）中国、朝鲜、俄罗斯阅兵踢正步时两腿之间所组成的夹角分别75°，90°，105°。 （4）体育老师的口号“向后转”就是让同学旋转180°。 请根据以上材料中的信息并结合本单元所学知识解答下列各题。 角在生活中应用广泛，除资料中“有趣的角度”之外，还有许多有趣的角。本单元我们重点研究了角，还研究了线段、直线、射线。 （1）资料中出现的角中，锐角有（    ）个，钝角有（    ）个。 （2）请根据资料卡中描述的角度画出标准红领巾。 （3）小小一副三角板，他们组合能画出不少角度哦！请你试着拼出中国、朝鲜、俄罗斯阅兵踢正步时两腿之间所组成的夹角，并画下来。 答案：（1）3；3 （2）（3）见详解 分析：（1）根据锐角、钝角、直角、平角、周角的含义进行解答：大于0°小于90°的角叫做锐角；等于90°的角叫做直角；大于90°小于180°的角叫做钝角；平角等于180°；周角等于360°；据此解答即可； （2）用量角器的圆点和顶点A、B分别重合，0刻度线和AB重合，在量角器30°的刻度上点上点，过A、B两个点和刚作的点画射线，相交于点C就组成了三个角的角度分别是120°、30°、30°三角形； （3）一副三角板有30°、45°、60°、90°的角，所以90°角用三角板直接就可画出，75°的角可以利用45°＋30°＝75°画出；105°的角可以利用45°＋60°＝105°画出；据此解答。 详解：（1）资料中出现的角中，锐角有3个，钝角有3个。 （2）据分析作图如下： （3）据分析作图如下： 点睛：本题主要考查角的分类、三角板的角的度数、角的拼图等知识点，以及考查了学生利用三角板和量角器画角的能力。 23．（1）请你画一条从学校到加油站最近的路。 （2）“愚公移山”的故事激励了千千万万的人。想一想，愚公之所以移山可能是因为用到了数学中的什么知识？ （3）生活中哪些地方也运用到了这些数学知识？请举一例说明。 答案：（1）见详解 （2）两点之间线段最短。 （3）把弯曲的公路改直。 分析：（1）因为两点之间的线段最短，所以从学校到加油站最近的路线是学校与加油站的连线。 （2）可能是因为用到了数学中两点之间线段最短。 （3）生活中利用两点之间的线段最短的例子较多，选择合适的例子说明即可。 详解：（1）画一条从学校到加油站最近的路，如下图： （2）愚公之所以移山，可能是因为用到了数学中的知识：两点之间线段最短。 （3）举例：把弯曲的公路改直，就能缩短路程根据两点之间，线段最短。 点睛：此题主要考查了两点之间的线段最短。 24．如图，把一张正方形的纸对折两次，打开后再沿着两条对角的线对折，再打开。 你能直接从图中找出45°、135°和225°的角吗？并在图中标出来。 答案：见详解 分析：把一张正方形的纸对折两次，打开后再沿着两条对角的线对折，再打开后图中最小的角是45度；如图，蓝色标注的角是45度，红色标注的角是135度，绿色标注的角是225度。 详解：如图所示： 点睛：图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二单元 线和角 单元知识清单讲义 知识点一：线段、直线、射线的认识及特征 线段 定义：直线上两点间的一段叫做线段，这两个点叫做线段的端点。 特征：有两个端点，不能向两端无限延伸，可以度量长度。比如黑板的边、书本的边都可以近似看作线段。 直线 定义：把线段向两端无限延长，就得到一条直线。 特征：没有端点，可以向两端无限延伸，无法度量长度 。在实际生活中，可近似看作直线的例子较少，但像笔直的铁轨（向远方延伸）可帮助我们理解直线的概念。 射线 定义：把线段的一端无限延长，就得到一条射线。 特征：只有一个端点，只能向一端无限延伸，无法度量长度。生活中的手电筒光线、汽车大灯射出的光等都可以近似看作射线。 知识点二：数图形（线段、直线、射线） 数线段：在一条直线上有若干个点时，数线段的方法是先确定一个端点，然后依次与其他点组合形成线段，最后将所有线段数量相加。例如，直线上有、、三个点，以为端点的线段有、，以为端点的线段有，共条线段。 数射线：因为每个点都可以向左右两个方向引出射线，所以在一条直线上有个点时，射线的数量是条。 数直线：过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。 知识点三：角的概念及表示方法 角的概念：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 角的表示方法： 用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，如，表示以为顶点，、为边的角。 用一个大写字母表示，当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点字母表示，如 。 用数字或希腊字母表示，在角内靠近顶点处标上数字或希腊字母，如、 。 知识点四：数图形（数角） 数角时，先确定一个角的边，然后依次与其他边组合形成角。例如，由条射线（）组成的图形中，角的数量为 。 知识点五：角的大小比较 直观比较法：通过观察，直接判断角的大小，开口大的角大，开口小的角小。 重叠比较法：把两个角的顶点和一条边重合，看另一条边的位置。另一条边在外边的角大，另一条边在里边的角小 。 度量比较法：用量角器量出角的度数，根据度数比较大小，度数大的角大，度数小的角小 。 知识点六：角的度量 度量单位：角的度量单位是度，用符号“”表示。把半圆平均分成等份，每一份所对的角的大小是度，记作 。 量角器的使用方法：把量角器的中心与角的顶点重合，刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数 。 知识点七：用量角器画角 步骤： 先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，刻度线和射线重合。 在量角器上找到要画的角的度数的刻度线，在上面点一个点。 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，就得到了要画的角。 知识点八：用三角尺画角 一副三角尺有两个，一个三角尺的三个角的度数分别是、、，另一个三角尺的三个角的度数分别是、、 。 可以直接用三角尺画出的角有、、、，还可以通过两角相加或相减画出其他一些特殊度数的角，如， 。 知识点九：平角、周角的认识及特征 平角：一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角，平角等于 ，平角的两边在同一条直线上，但平角不是直线。 周角：一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角，周角等于 ，周角的两边重合，但周角不是射线。 知识点十：角度的计算 已知几个角的度数关系，求其中一个角的度数。例如，已知和组成一个直角，，那么 。 角的和差计算，如已知，，求与组成的角（两角不重叠）的度数为 。 题型一：线段、直线、射线的特征辨析 【例1】把序号填在相应的横线上。 直线：    线段：    射线：    所以④是直线；①⑥是线段；②是射线。 【练1】聪聪画了一条长8cm的( )，把它向两端无限延长，得到一条( )。 题型二：数线段、直线、射线的数量 【例2】如图，图中有线段 条，射线 条。 【练2】下图中有( )条直线、( )条射线、( )线段。 题型三：角的概念与表示方法 【例3】从一点引出的两条( )所组成的图形叫作角。角通常用符号“( )”来表示，如图，记作“( )”，读作“( )”。 【练3】从一点引出的( )所组成的图形叫做角，角通常用符号( )表示。 题型四：数角的数量 【例4】如图中有( )条射线，形成( )个角，( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 【练4】下图中一共有( )个角，其中有( )个直角。 题型五：角的大小比较 【例5】如图，某军事演习时甲炮兵发现一架敌机，如果现在发射炮弹，那么正好能命中敌机，这时炮筒枪与地面成25°角。如果敌机继续往前飞，那么炮筒枪与地面的角度应( )25°（填“＜”“＞”或“＝”）；如果敌机向后方逃跑，那么炮筒枪与地面的角度应( )25°（填“＜”“＞”或“＝”）。 【练5】把一个12度的角放在10倍的放大镜下观察，这个角的度数是( )度。 题型六：角的度量 【例6】如图，量角器量出的∠1的度数是 。 【练6】如图，量角器所量角的度数是( )，它是一个( )角。 题型七：画角 【例7】以B为顶点画一个比直角小的角，并写出角的度数。 【练7】以A为顶点画一个35°角，B为顶点画一个55°角。 题型八：平角、周角与其他角的综合 【例8】钟面上3时整，时针和分针成( )角；钟面上( )时整，时针和分针成平角；一周角( )个平角( )个直角。 【练8】钟面上3时分针和时针形成的角是( )；6时分针和时针形成的角是( )；9时半分针和时针形成的角是( )。（填写“锐角”、“直角”、“钝角”或“平角”） 题型九：角度的计算 【例9】下图中，已知∠1＝30°，求∠2、∠3、∠4的度数。 【练9】如图，已知∠2是∠1的3倍，请你算出，∠2和∠3的度数。 一、填空题 1．如图，取一张长方形纸片，按下列方法折纸，∠2＝( )°。 2．下边量角器量出的角是( )度，这个角再加上( )度就是平角。 3．3时整，时针与分针成( )角。( )时整，时针和分针成平角； 4．如图，已知，那么( )°，( )°。 5．用一副三角板中最大的角和最小的角可以拼成( )°角。 二、判断题 6．一个15°的角，用放大10倍的放大镜看角的度数是150°。( ) 7．小红画了一条5厘米长的射线。( ) 8．喷气式飞机在天上“画”了一条长2000米的射线。( ) 9．用放大镜看一个30°的角，角的度数不变。( ) 10．线的长度从长到短排列是：直线＞射线＞线段。( ) 三、选择题 11．3时半，钟面上时针与分针成（    ）角。 A．锐 B．钝 C．直 12．学校举行放风筝比赛，规定用一样长的线。三名同学放风筝的线与地面形成角的度数如下，飞得最高是（    ）。 A．30° B．45° C．70° 13．如图是一把断尺，用它测一次可以测出（    ）种不同长度的整厘米线段。 A．3 B．4 C．6 14．下面不能用一副三角板拼出来的角是（    ）。 A．105° B．90° C．150° D．75° 15．∠1＋∠2＋∠3＝180°，其中∠1＝80°，∠2＝∠3，那么∠2＝（    ）。 A．40° B．50° C．60° 四、计算题 16．下图，已知∠1＝65°。求∠2和∠3各多少度。 17．如图所示，求出下图中∠1、∠2、∠3的度数。 五、作图题 18．这张纸片的一个角不小心被裁掉了，你能想办法量出这个角的度数吗？ 19．以A为顶点画出一个120°的角，以B为顶点画出一个25°的角，组成一个三角形，你能量出这个三角形第三个角的度数吗？ 六、解答题 20．学校举行风筝比赛，选手们用同样长度的风筝线把风筝送上高空。等风筝线放完且风筝飞稳后，将线的一端固定在地面上，再比较哪只风筝飞得更高。 （1）为了验证自己的想法，强强用同样长的线代表风筝线，对不同飞行高度的风筝进行模拟，如图1、图2所示。量一量，图1中风筝线与地面所形成的角是（    ）°，图2中风筝线与地面所形成的角是（    ）°，图（    ）的风筝飞得更高。 （2）当风筝和底面形成的夹角是60°时，哪只风筝飞的更高？ ①在图3上画出风筝线与地面所形成的60°角，并用“●”标出风筝位置。（图3中的风筝线与图1，图2中的风筝线长度一样！） ②认真观察以上3幅图，图（    ）的风筝飞得最高，图（    ）的风筝飞得最低。 （3）根据以上探究，将你的发现或想要继续研究的问题写在横线上。 ___________________________________________________________________。 21．从小云家到电影院有3条路，走哪一条最近？为什么？ 22．资料卡： 有趣的角度 （1）丹顶鹤是国家一级保护动物。它们结对飞行，通常都是排成“人”字形，而且“人”字形的角度一般保持在110°左右。 （2）标准红领巾的三个角的角度分别是120°、30°、30°。 （3）中国、朝鲜、俄罗斯阅兵踢正步时两腿之间所组成的夹角分别75°，90°，105°。 （4）体育老师的口号“向后转”就是让同学旋转180°。 请根据以上材料中的信息并结合本单元所学知识解答下列各题。 角在生活中应用广泛，除资料中“有趣的角度”之外，还有许多有趣的角。本单元我们重点研究了角，还研究了线段、直线、射线。 （1）资料中出现的角中，锐角有（    ）个，钝角有（    ）个。 （2）请根据资料卡中描述的角度画出标准红领巾。 （3）小小一副三角板，他们组合能画出不少角度哦！请你试着拼出中国、朝鲜、俄罗斯阅兵踢正步时两腿之间所组成的夹角，并画下来。 23．（1）请你画一条从学校到加油站最近的路。 （2）“愚公移山”的故事激励了千千万万的人。想一想，愚公之所以移山可能是因为用到了数学中的什么知识？ （3）生活中哪些地方也运用到了这些数学知识？请举一例说明。 24．如图，把一张正方形的纸对折两次，打开后再沿着两条对角的线对折，再打开。 你能直接从图中找出45°、135°和225°的角吗？并在图中标出来。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$