第一章 预备知识（复习课件）数学北师大版2019必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了集合（含概念、表示、关系与运算）、常用逻辑用语（充分必要条件、全称特称命题）、不等式（性质、解法及基本不等式应用）等核心知识，通过单元知识图谱将各模块内容分层呈现，如集合从元素特性到表示方法再到关系运算，构建起逻辑严密的知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的递进式复习策略，如集合间关系题型强调空集分类讨论培养逻辑推理能力，基本不等式应用通过配凑变形训练创新意识，体现数学思维。题型设计分层，从基础辨析到参数求解，满足个性化复习需求，助力学生巩固知识，也为教师提供高效备课资源。

单元复习课件 第一章 预备知识 北师大版2019·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.集合的基本概念与表示：理解集合的含义，明确集合中元素的确定性、互异性和无序性这三大特性；熟练掌握列举法、描述法等集合的表示方法，能够根据具体问题选择合适的方法准确表示集合。​ 2.集合间的基本关系：清晰掌握子集、真子集、相等集合的概念，能准确判断两个集合之间的关系；理解空集的定义，知道空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，并能在解题中正确运用空集的性质。​ 3.常用逻辑用语的基本概念：理解命题的概念，能判断一个语句是否为命题；掌握全称量词与存在量词的含义，能正确识别全称命题和特称命题。​ 4.充分条件与必要条件：理解充分条件、必要条件、充要条件的概念，能准确判断两个命题之间的充分、必要关系；能运用充分条件和必要条件解决相关问题，如判断参数的取值范围等。 单元学习目标 5.能根据一元二次方程的特点，灵活选择合适的解法，提高解题效率。例如，对于结构简单的方程可选用开平方法或因式分解法，对于一般形式的方程可选用配方法或求根公式法。 ​6.理解恒成立问题的概念，明确在给定的取值范围内，某个式子或不等式始终成立的含义，能准确区分恒成立问题与存在性问题。 7.具备对式子进行变形的能力，能通过配凑、拆项、换元等方法，将不符合基本不等式形式的式子转化为符合条件的形式，进而运用基本不等式求解。 8.提高数学思维的灵活性，在运用基本不等式解决问题时，能从不同角度思考问题，尝试不同的变形方法，培养创新思维能力。 单元学习目标 单元知识图谱 单元知识图谱 一、元素与集合的相关概念 确定性 无序性 互异性 属于 列举法 描述法 有限集 无限集 点集 数集 考点串讲 二、集合间的基本关系 任意一个元素 子集 至少 都是 也都是 考点串讲 两个集合的所有元素 属于集合A且属于集合B的所有元素 全集U中不属于集合A 的所有元素 或 且 且 三、集合间的基本运算 考点串讲 三、集合间的基本运算 考点串讲 充分条件 必要条件 充要条件 四、充分条件、必要条件 充分 必要 充要 考点串讲 全称命题 对任意x属于M，有成立 特称命题 存在M中的元素,使成立 特称命题 全称命题 四、全称量词与存在量词 考点串讲 第26课 一张图学透 不等关系与不等式 ＞ ＜ ＞ ＜ 五、不等式性质 考点串讲 五、比较两数（式）大小方法 考点串讲 R 六、三个“二次”的主要结论及关系 考点串讲 七、分式不等式的解法 考点串讲 几何平均数 算术平均数 八、基本不等式 考点串讲 题型一、集合的基本概念 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么． 对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性． 答案：(1)B　(2)D 题型剖析 题型一、集合的基本概念 题型剖析 题型一、集合的基本概念 检验！ 检验！ 答案：(1)C　(2)-4 变式训练 题型一、集合的基本概念 变式训练 题型二、集合间的基本关系 根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 答案：(1)B　(2)(-∞，3] 题型剖析 题型剖析 题型二、集合间的基本关系 题型剖析 题型二、集合间的基本关系 题型剖析 题型二、集合间的基本关系 答案：(1)D　(2)D 变式训练 题型三、集合间的运算 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； 连续型数集的运算，常借助数轴求解 题型剖析 题型三、集合间的运算 根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解 题型剖析 题型三、集合间的运算 变式训练 题型四、四种命题的关系 答案：(1)B　(2)C 由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题 题型剖析 题型四、四种命题的关系 题型剖析 题型四、四种命题的关系 答案：(1)B　(2)已知c>0，若ac>bc，则a>b. 变式训练 题型五、充分必要条件 题型剖析 题型五、充分必要条件 题型剖析 题型五、充分必要条件 变式训练 题型五、全称命题、特称命题 答案：(1)BD　(2)B 题型剖析 题型五、全称命题、特称命题 对量词命题的否定的关注点 (1)两变:一变量词,量词互化;二变结论,即否定结论. (2)一补:对省略全称量词的全称量词命题要补上量词后再进行否定. 答案：(1)C　(2)D 题型剖析 题型六、根据命题的真假求参数的取值范围 题型剖析 题型六、根据命题的真假求参数的取值范围 根据命题的真假性求参数的方法步骤 (1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围； (2)判断命题p，q的真假性； (3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围． 题型剖析 题型六、根据命题的真假求参数的取值范围 题型剖析 题型六、根据命题的真假求参数的取值范围 变式训练 题型七、不等式性质的应用 题型剖析 题型七、不等式性质的应用 题型剖析 题型七、不等式性质的应用 题型剖析 题型七、不等式性质的应用 【探究1】将本例条件改为－1<x<y<3，求x－y的范围． 【探究2】若将本例条件改为“－1<x＋y<4，2<x－y<3”，求3x＋2y的取值范围． 由于变量间相互制约，在“取等”的条件上会有所不同，则应建立待求整体与已知变量之间的关系，然后根据不等式的性质求待求整体的取值范围 题型剖析 题型七、不等式性质的应用 【探究1】将本例条件改为－1<x<y<3，求x－y的范围． 【探究2】若将本例条件改为“－1<x＋y<4，2<x－y<3”，求3x＋2y的取值范围． 题型剖析 不等式性质应用问题的常见类型及解题策略 (1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． 题型七、不等式性质的应用 题型剖析 题型七、不等式性质的应用 变式训练 题型八、一元二次不等式的解法 题型剖析 题型八、一元二次不等式的解法 题型剖析 题型八、一元二次不等式的解法 1．解一元二次不等式的一般步骤 一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． 二判：计算对应方程的判别式． 三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． 四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．   2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 提醒：当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况． 题型剖析 题型八、一元二次不等式的解法 变式训练 题型九、一元二次不等式的恒成立问题 题型剖析 题型九、一元二次不等式的恒成立问题 题型剖析 题型九、一元二次不等式的恒成立问题 题型剖析 题型九、一元二次不等式的恒成立问题 题型剖析 不等式恒成立问题的求解方法 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． (2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值． 题型九、一元二次不等式的恒成立问题 题型剖析 题型九、一元二次不等式的恒成立问题 变式训练 题型十、利用基本不等式求最值 题型剖析 题型十、利用基本不等式求最值 题型剖析 题型十、利用基本不等式求最值 题型剖析 题型十、利用基本不等式求最值 题型剖析 题型十、利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值问题的常见类型及解题策略 (1)知和求积的最值．求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立． (2)知积求和的最值．明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件． (3)构造不等式求最值．在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解． 题型剖析 题型十、利用基本不等式求最值 变式训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 课堂总结 课堂总结 课堂总结 课堂总结 课堂总结 感谢聆听! 【例1】（1）设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　) A.eq \f(9,2) B.eq \f(9,8) C．0 D．0或eq \f(9,8) 【解析】(1)由题意可知，集合M＝{5，6，7，8}，因此共4个元素． (2)若集合A中只有一个元素， 则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a＝0时，x＝eq \f(2,3)，符合题意； 当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝eq \f(9,8)， 所以a的值为0或eq \f(9,8). 1．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 设集合A＝{2，3，a2＋2a－3}，集合B＝{|a＋3|，2}，已知5∈A，且5∉B，则a的值为________． 【解析】（1）因为{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，即eq \f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2. （2）由于5∈A，且A＝{2，3，a2＋2a－3}， ∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4. 当a＝2时，B＝{5，2}，不符合条件5∉B，∴a＝2不符合题意，应舍去； 当a＝－4时，B＝{1，2}，符合条件5∉B，∴a＝－4. [例2] (1)已知集合A＝{x|y＝ eq \r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(　　) A．AB B．BA C．A⊆B D．B⊆A (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________． 【解析】(1)由题意知A＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}，∴A＝{x|－1≤x≤1}， ∴B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，∴BA，故选B. (2)∵B⊆A， ∴①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2. ②若B≠∅，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3. 由①、②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3. 【解析】（2）∵B⊆A，∴①当B＝∅时，即2m－1<m＋1，m<2，符合题意． ②当B≠∅时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1＞5))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,2m－1＜－2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m>4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m<－\f(1,2).))即m>4. 综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)． 【探究1】在本例(2)中，若A⊆B，如何求解？ 【探究2】若将本例(2)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？ 【解析】（1）若A⊆B，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≤－3，,m≥3.))所以m的取值范围为∅. 【探究1】在本例(2)中，若A⊆B，如何求解？ 【探究2】若将本例(2)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？ 【探究3】若将本例(2)中的集合A，B分别更换为A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}， 如何求解？ 【解析】（3）①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2； ②若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意； ③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq \f(5,2)，此时B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不合题意． 综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)． 1．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是(　　) A．{a|a≤2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≥2} 2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】（1）由A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，A⊆B，则{a|a≥2}． 【解析】（2）因为集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，所以当满足A⊆C⊆B时，集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，故满足条件的集合C有4个． 角度二：连续型数集间的交、并、补运算 【例4】设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝(　　) A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4) 【解析】因为|x－1|<2⇔－2<x－1<2，故－1<x<3，即集合A＝(－1，3)．根据指数函数的性质，可得集合B＝[1，4]．所以A∩B＝[1，3)． 答案：C 有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度： 角度一：离散型数集间的交、并、补运算 【例3】设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁UA)∩B＝________． 【解析】依题意得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∁UA＝{4，6，7，9，10}，(∁UA)∩B＝{7，9}． 答案：{7，9} 角度四：已知集合的运算结果求参数 【例6】　已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________． 【解析】A＝{x∈R||x＋2|＜3}＝{x∈R|－5＜x＜1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m＜1，则B＝{x|m＜x＜2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1. 答案：－1　1 有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度： 角度三：已知集合的运算结果求集合 【例5】设全集U＝M∪N＝{1，2，3，4，5}，M∩∁UN＝{2，4}，则N＝(　　) A．{1，2，3} B．{1，3，5} C．{1，4，5} D．{2，3，4} 【解析】画出Venn图，阴影部分为M∩∁UN＝{2，4}，∴N＝{1，3，5}． 答案：B 设集合A＝{x|x2＋2x－3＞0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(4,3))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)) D．(1，＋∞) 【解析】选B　由题意知A＝{x|x2＋2x－3＞0}＝{x|x＞1或x＜－3}，因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a＞0，根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)≤0且f(3)＞0， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－4a－1≤0，,9－6a－1＞0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥\f(3,4)，,a＜\f(4,3)，))即eq \f(3,4)≤a＜eq \f(4,3). 【例1】(1)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” (2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数 【解析】否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．假命题． 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数．真命题． 【解析】否命题：若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数．假命题． 逆命题：若x＋y是偶数，则x，y都是偶数．假命题． 【解析】(1)依题意得原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”． (2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”． 【探究1】写出本例(1)中命题的否命题和逆否命题，并判断其真假性． 【探究2】写出本例(2)中命题的否命题和逆命题，并判断其真假性． 1．命题“若a3>b3，则a>b”的否命题是(　　) A．若a3>b3，则a≤b　　　　B．若a3≤b3，则a≤b C．若a≤b，则a3>b3 D．若a≤b，则a3≤b3 2．命题“已知c>0，若a>b，则ac>bc”的逆命题是________． 【例2】设a是实数,则a<5成立的一个必要不充分条件是(　　) A.a<6 B.a<4 C.a2<25 D.> 【解析】选A.因为a<5⇒a<6,a<6a<5,所以a<6是a<5成立的一个必要不充分条件. 【例3】设命题p:实数x满足a<x<3a,其中a>0,命题q:实数x满足2<x≤3. ①若a=1,且p,q均为真命题,求实数x的取值范围; ②若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 【解析】①由a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真命题时,实数x的取值范围是1<x<3. 又q为真命题时,实数x的取值范围是2<x≤3,所以,当p,q均为真命题时, 有解得2<x<3,所以实数x的取值范围是{x|2<x<3}. ②p是q的充分不必要条件,即p⇒q且qp. 设A={x|x≤a或x≥3a},B={x|x≤2或x>3},则A⫋B. 所以0<a≤2且3a>3,即1<a≤2.所以实数a的取值范围是{a|1<a≤2}. 1.方程x2-2x+a=0无实根的充要条件是(　　) A.a≤1　 B.a<1　 C.a≥1　 D.a>1 2.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是____________.  答案:（1）D (2)m=-2 全称命题与特称命题是高考的常考内容，题型多为选择题，难度较小，属容易题，且主要有以下几个角度： 角度一：判断全称命题、特称命题的真假性 【例4】（多选）下列命题是全称量词命题且为假命题的是(　　) A.每个四边形的内角和都是360° B.任何实数都有算术平方根 C.对任意直角三角形的两锐角A,B,都有sin A=cos B D.∀x∈{y|y是无理数},x2是无理数 【例5】下列是存在量词命题且是真命题的是(　　) A.∀x∈R,x2>0 B.∃x∈Z,x2>2 C.∀x∈N,x2∈N D.∃x,y∈R,x2+y2<0 角度二：全称命题、特称命题的否定 【例6】命题“∀x>0,2x2=5x-1”的否定是(　　) A.∀x>0,2x2≠5x-1 B.∀x≤0,2x2=5x-1 C.∃x>0,2x2≠5x-1 D.∃x≤0,2x2=5x-1 【例7】命题p:∃a>0,a+<2,则p的否定为(　　) A.∀a<0,a+<2　 B.∃a<0,a+≥2 C.∀a>0,a+<2　 D.∀a>0,a+≥2 【例8】已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p∨q是真命题，则实数a的取值范围是________． 【解析】若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，则－eq \f(a,4)≤3，即a≥－12.因为p或q是真命题，所以a∈R，即a的取值范围是(－∞，＋∞)． 答案：(－∞，＋∞) 【探究1】在本例条件下，若p∧q为真命题，求实数a的取值范围． 【探究2】在本例条件下，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围． 【探究3】在本例条件下，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围． 【探究4】在本例条件下，若非p为真命题，求实数a的取值范围． 【解析】（1）∵p∧q为真，∴p和q均为真， ∴a的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)． 【解析】（2）∵p∧q为真命题时，a的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)， ∴p∧q为假命题时，a的取值范围为(－∞，－12)∪(－4，4)． 【解析】（3）由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a<－12；若p假q真，则－4<a<4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)． 【解析】（4）∵非p为真命题，∴p为假命题，故Δ＝a2－16<0，即－4<a<4. 【解析】对于命题p，mx2＋1<1，得mx2<0，若p为真命题，则m<0，若p为假命题，则m≥0；对于命题q，对任意x∈R，x2＋mx＋1≥0，若命题q为真命题，则m2－4≤0，即－2≤m≤2，若命题q为假命题，则m<－2或m>2.因为p∨(非q)为假命题，则需要满足命题。 答案：C 不等式的性质及其应用是高考命题的热点，题目难度不大，常以选择题，填空题的形式出现，且主要有以下几个命题角度： 角度一：利用不等式的性质比较大小 【例9】　 (2014·四川高考)若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) A.eq \f(a,c)>eq \f(b,d)　 　　　B.eq \f(a,c)<eq \f(b,d) C.eq \f(a,d)>eq \f(b,c) D.eq \f(a,d)<eq \f(b,c) 【解析】由c<d<0⇒eq \f(1,d)<eq \f(1,c)<0⇒－eq \f(1,d)>－eq \f(1,c)>0，又a>b>0，故由不等式性质， 得－eq \f(a,d)>－eq \f(b,c)>0，所以eq \f(a,d)<eq \f(b,c)，选D. 【答案】D 角度二：与充要条件相结合命题 【例10】若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】对于0＜ab＜1，如果a＞0，则b＞0，a＜eq \f(1,b)成立，如果a＜0，则b＜0，b＞eq \f(1,a)成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”成立，但条件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的必要条件．即“0＜ab＜1”是“a＜eq \f(1,b)或b＞eq \f(1,a)”的充分而不必要条件，选A. 【答案】A 角度三：与真假命题的判断相结合命题 【例11】设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ①eq \f(c,a)>eq \f(c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)． 其中所有正确结论的序号是(　　) A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【解析】由a>b>1，c<0得，eq \f(1,a)<eq \f(1,b)，eq \f(c,a)>eq \f(c,b)；幂函数y＝xc(c<0)是减函数，所以ac<bc；因为a－c>b－c，所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，①②③均正确，选D. 答案：D 角度四：求代数式的取值范围　 【例12】已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是___ __，3x＋2y的取值范围是_____． 【解析】∵－1<x<4，2<y<3， ∴－3<－y<－2， ∴－4<x－y<2. 由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6， ∴1<3x＋2y<18. 答案：(－4，2)　(1，18) 【解析】∵－1<x<3，－1<y<3，∴－3<－y<1， ∴－4<x－y<4.①又∵x<y，∴x－y<0，② 由①②得－4<x－y<0.故x－y的取值范围为(－4，0)． 【解析】设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,m－n＝2，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2)，)) 即3x＋2y＝eq \f(5,2)(x＋y)＋eq \f(1,2)(x－y)，又－1<x＋y<4，2<x－y<3， ∴－eq \f(5,2)<eq \f(5,2)(x＋y)<10，1<eq \f(1,2)(x－y)<eq \f(3,2)，∴－eq \f(3,2)<eq \f(5,2)(x＋y)＋eq \f(1,2)(x－y)<eq \f(23,2)， 即－eq \f(3,2)<3x＋2y<eq \f(23,2).故3x＋2y的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(23,2))). 不等式“a－b>a且a＋b<b”成立的充要条件为(　　) A．a>0且b>0 B．a<0或b<0 C．a<0且b<0 D．a<0或b>0 解析：选C　由a－b>a知b<0，由a＋b<b知a<0，它们之间的逻辑 联结词为“且”，所以原不等式等价于a<0且b<0，即不等式“a－b>a 且a＋b<b”成立的充要条件为a<0且b<0. 【例13】已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集是 (－1，3)，则不等式f(－2x)<0的解集是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))) 【解析】由f(x)>0，得ax2＋(ab－1)x－b>0，又其解集是(－1，3)， ∴a<0.且eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－ab,a)＝2，,－\f(b,a)＝－3，))解得a＝－1或a＝eq \f(1,3)(舍去)， ∴a＝－1，b＝－3，∴f(x)＝－x2＋2x＋3，∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3， 由－4x2－4x＋3<0，得4x2＋4x－3>0，解得x>eq \f(1,2)或x<－eq \f(3,2)，故选A. 【例14】解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)． 【解析】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≥0，解得x≥eq \f(2,a)或x≤－1. ③当a<0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≤0. 当eq \f(2,a)>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤eq \f(2,a)；当eq \f(2,a)＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意； 当eq \f(2,a)<－1，即a>－2时，解得eq \f(2,a)≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a>0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥\f(2,a)，或≤－1))；当－2<a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(2,a)≤x≤－1))； 当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}；当a<－2时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1≤x≤\f(2,a))). 解下列不等式： (1)0＜x2－x－2≤4；（2）x2－4ax－5a2＞0(a≠0)． 【解析】(1)原不等式等价于 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－2≤4))⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－6≤0))⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－2）（x＋1）＞0，,（x－3）（x＋2）≤0))⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞2或x＜－1，,－2≤x≤3.)) 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2≤x＜－1或2x＜x≤3)). (2)由x2－4ax－5a2＞0知(x－5a)(x＋a)＞0.由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论． 当a＜0时，x＜5a或x＞－a；当a＞0时，x＜－a或x＞5a. 综上，a＜0时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜5a或x＞－a))； a＞0时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞5a或x＜－a)). 【探究1】在本例中，把“x∈R，f(x)<0”改为“x∈[1，3]，f(x)<－m＋5”，如何求解？ 【探究2】在本例条件下，求使f(x)<0，且|m|≤1恒成立的x的取值范围． 【探究3】在本例条件下，若函数f(x)的值域为(－∞，0]，且关于x的不等式f(x)>c的解集为(m，m＋5)，求实数c的值． 【例14】设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立， 则实数m的取值范围为________． 【解析】要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0； 若m≠0，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0))⇒－4<m<0. 所以m的取值范围为(－4，0] 答案：(－4，0] 【探究1】在本例中，把“x∈R，f(x)<0”改为“x∈[1，3]，f(x)<－m＋5”，如何求解？ 【解析1】要使f(x)<－m＋5在[1，3]上恒成立， 只需mx2－mx＋m<6恒成立(x∈[1，3])，又因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)>0， 所以m<eq \f(6,x2－x＋1).令y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))， 因为t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)在[1，3]上是增函数，所以y＝eq \f(6,x2－x＋1)在[1，3]上是减函数． 因此函数的最小值ymin＝eq \f(6,7).所以，m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))). 【探究2】在本例条件下，求使f(x)<0，且|m|≤1恒成立的x的取值范围． 【解析2】将不等式f(x)<0整理成关于m的不等式为(x2－x)m－1<0. 令g(m)＝(x2－x)m－1，m∈[－1，1]． 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（－1）<0，,g（1）<0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋x－1<0，,x2－x－1<0，)) 解得eq \f(1－\r(5),2)<x<eq \f(1＋\r(5),2)， 即x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)，\f(1＋\r(5),2))). 【探究3】在本例条件下，若函数f(x)的值域为(－∞，0]，且关于x的 不等式f(x)>c的解集为(m，m＋5)，求实数c的值． 【解析3】∵f(x)的值域为(－∞，0]， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m＝0，))解得m＝－4. ∴f(x)＝－4x2＋4x－1. 由f(x)>c，得－4x2＋4x－1>c，即4x2－4x＋1＋c<0， 又∵不等式的解集为(m，m＋5)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋（m＋5）＝1，,m（m＋5）＝\f(1＋c,4)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,c＝－25.)) ∴实数c的值是－25. 若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0，2]恒成立，则a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1－\r(3),2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(3),2)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1－\r(3),2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(3),2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3),2)，\f(2＋\r(3),2))) 【解析】选C　∵x∈(0，2]，∴a2－a≥eq \f(x,x2＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x)).要使a2－a≥eq \f(1,x＋\f(1,x)) 在x∈(0，2]时恒成立，则a2－a≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋\f(1,x)))) eq \s\do7(max)，由基本不等式得x＋eq \f(1,x)≥2， 当且仅当x＝1时，等号成立，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋\f(1,x)))) eq \s\do7(max)＝eq \f(1,2).故a2－a≥eq \f(1,2)， 解得a≤eq \f(1－\r(3),2)或a≥eq \f(1＋\r(3),2). 【例15】(1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为________； （2）当x>0时，f(x)＝eq \f(2x,x2＋1)的最大值为________． 【解析】(1)∵x>0，y>0，且2x＋y＝1， ∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(2x＋y,x)＋eq \f(2x＋y,y)＝3＋eq \f(y,x)＋eq \f(2x,y)≥3＋2eq \r(2)，当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(2x,y)时，取等号． (2)∵x>0， ∴f(x)＝eq \f(2x,x2＋1)＝eq \f(2,x＋\f(1,x))≤eq \f(2,2)＝1，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号． 答案：(1)3＋2eq \r(2)　(2)1 【探究1】在本例(1)的条件下，求xy的取值范围． 【探究2】在本例(1)的条件下，求4x＋2y的最小值． 【解析1】∵1＝2x＋y≥2eq \r(2xy)， ∴eq \r(xy)≤eq \f(1,2\r(2))＝eq \f(\r(2),4)，∴0<xy≤eq \f(1,8)，即xy的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))). 【解析2】4x＋2y＝22x＋2y≥2eq \r(22x·2y)＝2eq \r(22x＋y)＝2eq \r(2)， 当且仅当x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(1,2)时取最小值2eq \r(2) 【解析3】∵x>0，y>0，2x＋y＝a，∴a>0，eq \f(2x＋y,a)＝1. ∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))·eq \f(2x＋y,a)＝eq \f(1,a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))(2x＋y)＝eq \f(1,a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(y,x)＋\f(2x,y))) ＝eq \f(3,a)＋eq \f(1,a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(2x,y)))≥eq \f(3,a)＋eq \f(2,a) eq \r(\f(y,x)·\f(2x,y))＝eq \f(3,a)＋eq \f(2\r(2),a)＝eq \f(3＋2\r(2),a). 即eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为eq \f(3＋2\r(2),a). 【探究3】若将本例(1)中“2x＋y＝1”改为“2x＋y＝a”，如何求解？ 【解析4】因为x<eq \f(5,4)，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5) ＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时， 等号成立．故f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值为1. 【探究4】若将本例(2)中的“x>0”改为“x<eq \f(5,4)”，试求f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值． 已知正实数x，y满足xy＝1，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋y)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋x))的最小值为________． 已知0<x<1，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,1－x)的最小值是________． 【解析】依题意知，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋y)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋x))＝1＋eq \f(y2,x)＋eq \f(x2,y)＋1≥2＋2eq \r(\f(y2,x)×\f(x2,y))＝4， 当且仅当x＝y＝1时取等号，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋y)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋x))的最小值为4. 【解析】∵0<x<1，∴0<1－x<1.∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,1－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,1－x)))(x＋1－x) ＝2＋eq \f(x,1－x)＋eq \f(1－x,x)≥4，当且仅当x＝eq \f(1,2)时，等号成立．故eq \f(1,x)＋eq \f(1,1－x)的最小值是4. 1．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(3,x)≥1，x∈N))，B＝{x|log2(x＋1)≤1，x∈N}，S⊆A，S∩B≠∅，则集合S的个数为(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 解析：选C　法一：从0开始逐一验证自然数可知A＝{1，2，3}，B＝{0，1}，要使S⊆A，S∩B≠∅，S中必含有元素1，可能有元素2，3，所以S有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个． 法二：A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(3,x)≥1，x∈N))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1－\f(3,x)≤0，x∈N))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－3,x)≤0，x∈N))＝{x|0<x≤3，x∈N}＝{1，2，3}，B＝{x|log2(x＋1)≤1，x∈N}＝{x|0<x＋1≤2，x∈N}＝{x|－1<x≤1，x∈N}＝{0，1}，因为S⊆A，S∩B≠∅，所以集合S中必含有元素1，可能有元素2，3，可以是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个，故选C. 2．对于非空集合A，B，定义运算：A⊕B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知M＝{x|a<x<b}，N＝{x|c<x<d}，其中a、b、c、d满足a＋b＝c＋d，ab<cd<0，则M⊕N等于(　　) A．(a，d)∪(b，c) B．(c，a]∪[b，d) C．(a，c]∪[d，b) D．(c，a)∪(d，b) 解析：选C　∵a＋b＝c＋d，ab<cd<0，a<x<b，c<x<d，∴a<c<0<d<b， ∴M∪N＝(a，b)，M∩N＝(c，d)， ∴M⊕N＝(a，c]∪[d，b)，故选C. 解析：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}． (1)∵A∩B＝[0，3]，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2＝0，,m＋2≥3，))∴m＝2. (2)由(1)知：∁RB＝{x|x＜m－2或x＞m＋2}， ∵A⊆∁RB，∴m－2＞3或m＋2＜－1，即m＞5或m＜－3. 因此实数m的取值范围是{m|m＞5或m＜－3}． 答案：(1)2　(2)(－∞，－3)∪(5，＋∞) 3．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}． (1)若A∩B＝[0，3]，则实数m的值为________； (2)若A⊆∁RB，则实数m的取值范围为________． 解析：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}． (1)∵A∩B＝[0，3]，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2＝0，,m＋2≥3，))∴m＝2. (2)由(1)知：∁RB＝{x|x＜m－2或x＞m＋2}， ∵A⊆∁RB，∴m－2＞3或m＋2＜－1，即m＞5或m＜－3. 因此实数m的取值范围是{m|m＞5或m＜－3}． 答案：(1)2　(2)(－∞，－3)∪(5，＋∞) 4．已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝{x|3<x≤4}，则a＋b的值等于________． 解析：由已知得A＝{x|x<－1或x>3}， ∵A∪B＝R，A∩B＝{x|3<x≤4}．∴B＝{x|－1≤x≤4}， 即方程x2＋ax＋b＝0的两根为x1＝－1，x2＝4.∴a＝－3，b＝－4，∴a＋b＝－7. 答案：－7 5.下列命题中正确的个数是 (　　) ①∃x∈R,x≤0; ②至少有一个整数,它既不是合数也不是质数; ③∃x∈{x|x是无理数},x+5是无理数. A.0　 B.1　 C.2　 D.3 【解析】选D.①∃x∈R,x≤0,正确; ②至少有一个整数,它既不是合数也不是质数,正确,例如数1满足条件; ③∃x∈{x|x是无理数},x+5是无理数,正确,例如x=π.综上可得①②③都正确. 6已知p(x):x2+2x-m>0,如果p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是__________.  【解析】由题意得p(1)是假命题,p(2)是真命题,得解得3≤m<8. 答案:{m|3≤m<8} 7.选择合适的量词(∀,∃),加在p(x)的前面,使其成为一个真命题. (1)x>2; (2)x是偶数; (3)若x是无理数,则x2是无理数; (4)a2+b2=c2. 【解析】(1)∃x∈R,x>2. (2)∃x∈Z,x是偶数. (3)∃x∈R,若x是无理数,则x2是无理数.(如x=) (4)∃a,b,c∈R,a2+b2=c2. 8.指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假: (1)存在一个三角形没有外接圆; (2)∃x∈R,<0; (3)存在实数x,使得=-x. 【解析】(1)存在一个三角形没有外接圆,是存在量词命题,命题为假命题. (2)存在量词命题.非负数有算术平方根,且仍为非负数,所以该命题为假命题. (3)存在量词命题.当x<0时, =-x,所以该命题为真命题. 【解析】选A　∵x>1，∴x－1>0，∴y＝eq \f(x2＋2,x－1)＝eq \f(x2－2x＋2x＋2,x－1)＝eq \f(x2－2x＋1＋2（x－1）＋3,x－1)＝eq \f(（x－1）2＋2（x－1）＋3,x－1)＝x－1＋eq \f(3,x－1)＋2≥2 eq \r(（x－1）·\f(3,x－1))＋2＝2eq \r(3)＋2，当且仅当x－1＝eq \f(3,x－1)，即x＝1＋eq \r(3)时取等号．所以函数y＝eq \f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为2eq \r(3)＋2. 9.函数y＝eq \f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值是(　　) A．2eq \r(3)＋2 B．2eq \r(3)－2 C．2eq \r(3) D．2 【解析】(1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1，3)，则f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0， 因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)·x＋3a.①由方程f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②因为方程②有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－eq \f(1,5).由于a<0，舍去a＝1，将a＝－eq \f(1,5)代入①，得f(x)＝－eq \f(1,5)x2－eq \f(6,5)x－eq \f(3,5).(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1＋2a,a))) eq \s\up12(2)－eq \f(a2＋4a＋1,a)及a<0，可得f(x)的最大值为－eq \f(a2＋4a＋1,a).由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a2＋4a＋1,a)>0，,a<0，))解得a<－2－eq \r(3)或－2＋eq \r(3)<a<0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－eq \r(3))∪(－2＋eq \r(3)，0)． 10已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1，3)． (1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围． eq \a\vs4\al(1)种思想——数形结合思想 Venn图是研究集合的工具，借助Venn图和数轴即数形结合能使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． eq \a\vs4\al(3)个注意点——解决集合问题应注意的问题 (1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． (2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误． (3)防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解． eq \a\vs4\al(1)个关系——逻辑联结词与集合的关系 　“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”． eq \a\vs4\al(2)类否定——全称命题和特称命题的否定 全称命题的否定是特称命题：全称命题p：∀x∈M，p(x)；非p：∃x∈M，非p(x)． 特称命题的否定是全称命题：特称命题p：∃x∈M，p(x)；非p：∀x∈M，非p(x)． eq \a\vs4\al(3)点提醒——命题否定中的易错点 注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提． (2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定． (3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”． eq \a\vs4\al(2)种方法——比较大小的方法 作差比较法与作商比较法是判定两个数或式大小的两种基本方法，其中变形是关键． eq \a\vs4\al(3)个注意点——应用不等式的性质应注意的问题 (1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，b<c⇒a<c. (2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)． (3)“a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n>1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，a>b>0”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b>0”这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现“32>(－4)2”的错误结论． eq \a\vs4\al(1)个过程——一元二次不等式的求解过程 　解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)． eq \a\vs4\al(2)种思想——分类讨论和转化思想 　(1)分类讨论的思想：含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论．在判断方程根的情况时，判别式是分类的标准；需要表示不等式的解集时，根的大小是分类的标准． (2)转化思想：不等式在指定范围的恒成立问题，一般转化为求函数的最值或值域问题． eq \a\vs4\al(3)个注意点——解含参数不等式应注意的问题 　(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数为零的情况． (2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． (3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述． eq \a\vs4\al(1)个技巧——公式的逆用 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤eq \f(a2＋b2,2)；eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a，b>0)逆用就是ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)(a，b>0)等，还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立的条件等． eq \a\vs4\al(3)个注意点——利用基本不等式求最值应注意的问题 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存 在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． $$