数学好玩（解决问题讲义）数学北师大版五年级上册

该小学数学讲义以“问题情境—方法梳理—应用拓展”为主线构建“数学好玩”单元知识体系，通过框架图呈现设计秋游方案、图形规律、尝试与猜测三类问题的解决步骤，用对比表格归纳租车策略（如大车小车费用比较），思维导图串联秋游方案设计的资料收集、计算统计等流程，清晰呈现优化策略、规律归纳等重难点。 讲义亮点在于情境化例题与分层训练结合，如租车、划船等现实问题培养数学眼光，鸡兔同笼的假设法步骤拆解发展推理意识。变式训练覆盖基础到拓展，答案解析详细，助力不同学生提升，支持教师精准教学和学生自主复习。

第六单元 数学好玩 1.设计秋游方案： ---- 收集风景区资料的方法有通过互联网搜索、咨询旅行社、向父母请教、到图书馆查阅有关地理方面的书籍等。 ----在设计秋游方案的过程中,用到了计算、统计等数学知识及列举法、排除法、调查分析法、讨论法、假设法等数学方法。 ----常见题型：租车船问题，购票问题，话费问题，运费问题，购物问题等。 2.图形中规律： ----在找点阵图中的规律时,应观察点阵中图形的基本形状,从图形的变化中找到规律。 ----常见题型：求图形个数，图形个数求和等。 3. 尝试与猜测： ----解决鸡兔同笼问题时,可以逐一列举,按照一定的顺序,把各种可能出现的情况--列举出来;还可以取中列举,各取接近总数的一半开始列举,在列举中不断调整数据； ----常见题型：鸡兔同笼问题，倒扣问题等。 类型1 设计秋游方案： 典型例题1：14名老师带着326名同学去春游。每辆大车租金900元，每辆小车租金500元，怎样租车最省钱? 思路分析： （1）每辆大车限坐40人，费用900元； （2）每辆小车限坐20人，费用500元；则2辆小车坐40人，费用 × = （元）； （3）900元＜ 元，说明大车比小车便宜，尽量多租 车； （4）师生总人数是 + = （人），然后用总人数除以大车的载客量40人，看需要租几辆大车和几辆小车，尽量坐满，不要有空位；列式计算： ÷ = （辆）… （人）； （5）余数刚好可以坐满 辆小车，所以刚好租 辆大车和 辆小车； （6）列式计算租金：900× +500× = （元） 答题区： 变式训练： 1.某实验小学组织四年级学生进行研学旅行，参加活动的老师有10人，学生有226人。每辆大车租金800元，每辆小车租金450元。怎样租车最省钱?最少需要多少钱? 2.四年级一共有 43 人去公园划船，现在有以下两种船可供租用。请问怎样租船最省钱?共需要付多少钱? 3.王老师要用 900 元帮学校篮球队购买12 个训练用球，福利体育用品店有3 种不同价格的篮球，请你帮何老师设计至少两种购买方案，并算一算每种方案剩下多少钱? 类型2 图形中的规律： 典型例题2：用小棒摆正方形，摆一摆，填一填。 （1）如果要摆10个正方形，需要多少根小棒？ （2）一共用了40根小棒，可以摆几个正方形？ 思路分析： （1）每多摆1个小正方形，就增加 根小棒；所以摆2个小正方形需要小棒的根数是 根， 摆3个小正方形需要小棒的根数是 根，摆4个小正方形需要小棒的根数是 根，…… （2）因为从1个小正方形开始，每增加1个小正方形，小棒的根数依次是：3×1+1, 3×2+1, 3×3+1，3×4+1，……，所以摆n个小正方形需要小棒的根数是3× +1根；, （3）则摆10个小正方形，需要小棒的根数是3× +1= （根）； （4）那么40根小棒，需要摆的小正方形的个数是（ - ）÷3= （个）。 答题区： 变式训练： 1.如图，第1个图中有1个○，第2个图中有7个○，第3个图中有19个○，……，按此规律画下去，第4个图中有多少个○？ 2.如图，小明用相同的小棒搭房子，他搭3间房子用了13根小棒，搭10间房子用多少根小棒？ 3.黑白两种颜色的正六边形，按如图所示的规律拼图案。照这样的规律拼下去，第几个图案中的白正六边形比黑正六边形多32个? 类型3 尝试与猜测： 典型例题3：饲养场里鸡、兔一共有14只，小明数了数，鸡和兔共有40条腿。鸡、兔各有多少只? 思路分析： 思路一： （1）因为数值较小，本题可以采用逐一列举法，通过不断调数得到符合题意的数值； （2）因为鸡兔共有14只，共有40条腿；假如有鸡1只，兔13只，共有2×1+4×13=54条腿（不合题意）；假如鸡2只，兔12只，共有 条腿（不合题意）；假如鸡3只，兔11只，共有 条腿（不合题意）；假如鸡4只，兔10只，共有 条腿（不合题意）；假如鸡5只，兔9只，共有 条腿（不合题意）；假如鸡6只，兔8只，共有 条腿（不合题意）；假如鸡7只，兔7只，共有 条腿（不合题意）；假如鸡8只，兔6只，共有 条腿（符合题意）； （3）所以鸡有 只，兔有 只。 思路二： （1）假设14只全是兔子，则14只兔子共有 × = （条）腿，比实际40条腿多出 了 - = （条）腿；这多出的腿是所有鸡看成兔后多出总腿数； （2）每只鸡比原来多出 - = （条）腿； （3）所以鸡的只数是 ÷ = （只），兔有 - = （只）。 答题区： 变式训练： 1.学校举办趣味竞赛，共有20 道题。评分标准是:做对一道题得5分，做错一道题倒扣3分。小明做完了全部题目，得了68分。小明做错了几道题? 2.王大爷有一个小菜园，他有时会把新鲜的蔬菜拿到市场上卖。这一天他收入的总钱数是65元，全部是5元和1元的票面，一共有33张。5元和1元的各有多少张? 3.潮汕猪肉脯肉质紧实，入口焦香。厂家出品了一箱6包的礼品装，还有一箱10 包的普通装。如果车间一天生产 760 包，按两种包装，共分装为100箱，那么礼品装和普通装各装了多少箱? A夯实基础 一、填空题 1.新华小学10名老师带着170名学生准备租车去参观红岩革命纪念馆。 租大车（ ）辆和小车（ ）辆最省钱，租金是（ ）元钱。 2.希望小学买了两种钢笔共165支奖励给学生，A种钢笔每盒10支，B种钢笔每盒15支。这两种钢笔共买了16盒，A种钢笔买了（ ）盒，B种钢笔买了（ ）盒。 3. 如图，一张桌子配4把椅子，两张桌子摆在一起配6把椅子，三张桌子摆在一起配8把椅子，……，按这样的规律摆放，6张桌子需要配（ ）把椅子；摆（ ）张桌子要配20把椅子。 二、选择题 1.天柱山推出甲，乙两种购票优惠方案(如下)。一家2个大人带3个小孩去游玩，选择（ ）方案更省钱。以下有两种方案： 甲方案:成人每位100元，小孩每位40元。 乙方案:团体5人及5人以上每位80元。 A.甲 B.乙 C.甲和乙 2. 一家商场开展假日酬宾活动，凡购物满100元(不足100元不计)，回赠35元现金。现有150元现金。最多能买到（ ）元物品。 A.150 B.185 C.200 3.如图,用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面,当n=7时,共有（ ）块白色瓷砖。 A.42 B.8 C.56 B培优拔高 三、解答题 1. 在图中，物体从点A出发，按照从A→B(第1步)→C(第2步)→D(第3步)→A→ E→F→G-A→B……的顺序循环运动，则第405步到达哪个点？ 2. 尊老、敬老、爱老、助老是中华民族传统美德。在2025年端午节期间，南昌56名社会爱心志愿者到某敬老院开展爱心助老活动。将56名社会爱心志愿者分成10组，每5人一组打扫卫生，每7人一组表演节目。打扫卫生和表演节目各有多少组? 3. 某旅游公司有下面三种车接送游客。如果你是小导游，你怎样安排车辆接送旅游团的42个游客?写出你的几种设计方案。 C思维拓展 四、拓展题 1.平安出租车公司乘车计费方式:5km以内5元(包括 5km),超过部分每千米1.2元(不足1km 按 1km算)。天顺出租车公司乘车计费方式:每千米 1.1 元(不足1km按1km算)。 （1）当行驶4km时，乘哪个公司的出租车省钱? （2）当行驶5km时，乘哪个公司的出租车省钱? （3）李叔叔要到25km远的地方办事，乘哪个公司的出租车省钱? 2. 今有鸡兔同笼，上有23个头，下有60只脚。鸡、兔各有多少只? 方法一:列表，填一填。 鸡 23 22 21 20 19 18 17 16 兔 0 1 2 3 4 脚 46 48 50 52 方法二:假设法。 （1）假设笼子里面全是鸡，那么就有脚 23×2=46(只)，这样就少 60-46=14(只)。1只兔比1只鸡多出2只脚，也就有兔14÷2=7(只)。所以，有（ ）只兔和（ ）只鸡。 （2）按照这种方法，假设笼子里面全是兔，该怎样算呢? 3. 希望小学四（1）班的同学准备到娱乐公园去游玩.下面是他们收集到的资料四（1）班共有学生45人。每辆汽车最多可乘坐24人，包车每辆的定价是90元,娱乐公园的门票价格是:每人10元，学生半价，娱乐公园各游玩项目的价格是: 请你算一算: （1）每人乘车和买门票一共要交多少元? （2）用6元钱最多可以玩几个项目?是哪几个?最少可以玩几个项目?是哪几个? （3）如果你准备去，准备向家长要多少钱?这些钱可以怎么安排? 4.快放暑假了，小明期待着假期与爸妈参加“北京五日游”。爸爸妈妈把这个旅游计划的设计任务交给了小明。同学们，你能帮小明设计一个旅游计划吗? 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 思路分析：500 2 1000 1000 大 14 326 340 340 40 8 20 1 8 1 8 1 7700 答题区： 大车40人900元，小车20人500元，小车40人的话就需要2辆小车，费用1000元，比大车900元贵，说明租大车便宜，尽量租大车。学生人数加上老师人数等于总人数，然后除以大车的载客量40人，看需要租几辆大车，有余数的话看租小车能否拉走，尽量坐满；求出租的车数量后乘以各自的租金计算租车价格；据此解答。 【详解】 根据分析尽量租大车：（326＋14）÷40 ＝340÷40＝8（辆）……20（人） 20÷20＝1（辆）刚好坐满 答：租8辆大车，一辆小车最省钱。 8×900＋1×500 ＝7200＋500 ＝7700（元） 答：租车费用是7700元。 变式训练答案： 1.解析：租大车平均每人费用：800÷40=20（元） 租小车平均每人费用：450÷18=25（元） 20＜25 所以租大车便宜一些，尽量多租大车更省钱。 租车情况： （226+10）÷40=5（辆）……36（人），36÷18=2（辆） 租5辆大车，2辆小车正好坐满。 费用：800×5+450×2=4900（元） 答：租5辆大车，2辆小车最省钱，最少需要4900元。 2.解析： 大船限坐5人，每只船40元；小船限坐4人，每只船35元。 租大船平均每人费用：40÷5=8（元/人） 租小船平均每人费用：35÷4=8.75（元/人） 8＜8.75 所以尽量多租大船便宜。 租船情况： 43=35+8=5×7+4×2（租7只大船和2只小船） 费用：40×7+35×2=350（元） 答：租7只大船和2只小船最省钱，最少需要付350元钱。 3.解析： 本题主要是通过不同的组合方式来设计购买方案并计算剩余金额。 方案一: 选择全部购买A号球（单价65元），根据“总价=单价×数量”，可算出购买12个A号球的总价。 总价：65×12=780（元） 剩下钱：900-780=120（元） 方案二: 选择购买部分B号球（单价72元）和部分C号球（单价80元），这里选择买10个B号球和2个C号球。 10个B号球价钱：72×10=720（元） 2个C号球价钱：80×2=160（元） 总价：720+160=880（元） 剩下钱：900-880=20（元） 当然还可以有其他的组合方案，所以答案不唯一。 答：可以选择单独购买12个A号球，共需780元，剩下120元；还可以选择购买10个B号球和2个C号球，共需880元，剩下20元。（答案不唯一） 类型2 答案解析 典型例题2： 思路分析： 3 7 10 13 n 10 31 40 1 13 答题区： 根据小棒的摆设规律可知，多摆一个正方形就需要加三根小棒，由此推理出一般规律即可解答问题。 【详解】 由分析可知，摆3个正方形需要： 3×3＋1 ＝9＋1 ＝10（根） 摆4个正方形需要： 4×3＋1 ＝12＋1 ＝13（根） 则摆n个正方形需要：n×3＋1根小棒 （1）当n＝10时，小棒根数： 10×3＋1 ＝30＋1 ＝31（根） （2）因为摆n个正方形小棒根数：n×3＋1根 所以40根小棒摆的正方形的个数为（40-1）÷3=13（个） 答：如果摆10个正方形，需要31根小棒，40根小棒可以摆13个小正方形。 变式训练答案： 1.解析：第一幅图有1个○，第二幅图有1+6×1=7个○，第三幅图有7+6×2=19个○，则第四幅图有19+6×3=37个○。 2.解析：搭1，2，3，4，5，……，n间房子所需小棒根数依次是1+4×1=5根，1+4×2=9根，1+4×3=13根，1+4×4=17根，1+4×5=21根，……1+4×n根。 所以搭10间房子需要小棒根数是1+4×10=41（根） 答：搭10间房子用41根小棒. 3.解析： 列表如下： 白色六边形个数 黑色六边形个数 白色比黑色多的个数 第1个图案 2+4×1 1 2+4×1-1=5 第2个图案 2+4×2 2 2+4×2-2=8 第3个图案 2+4×3 3 2+4×3-3=11 …… …… …… …… 第n个图案 2+4×n n 2+3×n 解：（32-2）÷3=10（个） 答：第10个图案中的白正六边形比黑正六边形多32个。 类型3 答案解析 典型例题3： 思路分析： 思路一： 2×2+4×12=52 2×3+4×11=50 2×4+4×10=48 2×5+4×9=46 2×6+4×8=44 2 2×7+4×7=42 2×8+4×6=40 8 6 思路二： 4 14 56 56 40 16 4 2 2 16 2 8 14 8 6 答题区： 运用假设法解题： 鸡的只数：（4×14-40）÷（4-2）=8（只） 兔的只数：14-8=6（只） 答：鸡、兔各有8只，6只。 变式训练答案： 1.假设20道题全部正确，则得分20×5=100（分） 丢分：100-68=32（分） 错1题丢分：5+3=8（分） 错题数：32÷8=4（题） 答：小明做错了4道题。 2.假如全是1元票面。 5元张数：（65-1×33）÷（5-1）=8（张） 1元张数：33-8=25（张） 答：5元和1元的各有8张，25张。 3.假如全是一箱6包的礼品装。 10包的普通装箱数：（760-100×6）÷（10-6）=40（箱） 6包的礼品装箱数：100-40=60（箱） 答:礼品装和普通装各装了60箱，40箱。 A夯实基础 一、填空题 1.答案：3 2 3800 解析： 大车每人价钱：800÷40=20（元） 小车每人价钱：700÷30≈23（元） 20＜23，所以租大车便宜，尽量多租大车。 租车情况： 10+170=180=120+60=40×3+30×2（租3辆大车2辆小车正好坐满） 费用：800×3+700×2=3800（元） 2.答案：15 1 解析：假设16盒都是A种钢笔盒数。 B种钢笔盒数：（165-10×16）÷（15-10）=1（盒） A种钢笔盒数：16-1=15（盒） 3.答案：14 9 解析: 1,2,3,4，……，n张桌子依次需要椅子的把数是2+2×1=4把，2+2×2=6把，2+2×3=8把，2+2×4=10把，……，2+2×n把。 所以6张桌子需要椅子张数：2+2×6=14（把） 20把椅子需要摆桌子张数：（20-2）÷2=9（张） ‌二、选择题 1.答案： A 解析： 甲方案费用：100×2+40×3=320（元） 乙方案费用：80×5=400（元） 320＜400 所以选择甲方案更省钱。答案为A 2.答案：B 解析：150元满了1个100元，所以可以回赠1个35元。所以最多能买到150+35=185（元）物品。答案为B 3.答案：C 解析：当n=1,2,3,4,……，n时白瓷砖块数依次是1×2=2,2×3=6,3×4=12,4×5=20，……，n×（n+1）。所以当n=7时，白色瓷砖块数是7×8=56（块） 所以答案为C B培优拔高 三、解答题 1.答案：E 解析：考查周期问题。 一个循环为B---C---D---A---E---F---G---A，周期步数是8。 405÷8=50（个周期）……5（步） 余数的第5步应走到点E。 答：第405步到达E点。 2.答案：7 3 解析：鸡兔同笼问题。 运用假设法解题：假设10组都是打扫卫生。 表演节目的组数：（56-5×10）÷（7-5）=3（组） 打扫卫生的组数：10-3=7（组） 答：打扫卫生和表演节目各有多7组，3组。 3.答案： 可以设计四种方案，依次是大客车1辆、面包车5辆、小轿车14辆、面包车4辆和小轿车2辆。 解析： 根据旅游团人数为42人，结合三种车型的载客量，有以下四种安排方案： 方案一：大客车1辆： 大客车限坐45人，剩余3个空位，可满足需求。 ‌ 方案二：面包车5辆： 42÷9=4（辆）……6（人），需要5辆面包车，5×9=45（人），剩余3个空位。 方案三：小轿车14辆： 小轿车每辆限坐3人，需14辆，刚好坐满无空位。 ‌ 方案四：面包车4辆+小轿车2辆： 9×4+2×3=42（人），刚好坐满无空位。 答：可以设计四种方案，依次是大客车1辆、面包车5辆、小轿车14辆、面包车4辆和小轿车2辆。 C思维拓展 四、拓展题 1.答案： 解析： 要判断乘坐哪家公司出租车更省钱，需根据行驶距离对比两家公司的计费方式： 平安出租车公司： ‌ 5km以内‌：5元（包含5km） ‌ 超过5km部分‌：每千米1.2元（不足1km按1km计） 天顺出租车公司： ‌ 全程费用‌：每千米1.1元（不足1km按1km计） ‌ 解： （1）行驶 4km‌时： 平安公司：5元（5km内费用） 天顺公司：1.1×4=4.4（元） 答：天顺公司更省钱。 ‌ （2）行驶5km‌时： 平安公司：5元（5km内费用） 天顺公司：1.1×5=5.5（元） ‌ ‌ 答：平安公司更省钱。 ‌ （3）当行驶 25km‌时： 平安公司：5+（25-5）×1.2 = 29（元） 天顺公司：1.1×25=27.5（元） ‌ ‌ 答：天顺公司更省钱。 ‌ 2.答案：16只，7只 解析： 方法一:列表，填一填。 鸡 23 22 21 20 19 18 17 16 兔 0 1 2 3 4 5 6 7 脚 46 48 50 52 54 56 58 60 方法二:假设法。 （1）假设笼子里面全是鸡，那么就有脚 23×2=46(只)，这样就少 60-46=14(只)。1只兔比1只鸡多出2只脚，也就有兔14÷2=7(只)。所以，有（ 7 ）只兔和（ 16 ）只鸡。 （2）按照这种方法，假设笼子里面全是兔，该怎样算呢? 鸡的只数：（23×4-60）÷（4-2）=16（只） 兔的只数：23-16=7（只） 答：鸡、兔各有16只，7只。 3.答案：（1）9；（2）三，划船、射击、乘空中列车；（3）至少20元钱，9元开支车费和门票，其余11元可以玩每个项目1次。 解析： （1）2辆车可以坐24×2=48（人），所以45人需要租2辆车； 总价90×2=180（元），每人乘车费用：180÷45=4（元）； 购买门票只需半价，每人10÷2=5（元）；一共需要4+5=9（元） 答：每人乘车和买门票一共要交9元钱。 （2）划船每人每小时费用：12÷4=3（元），射击2元，乘空中列车1元，动物表演5元。 答：6元最多可玩的项目：划船3元、射击2元、乘空中列车1元；最少可以玩的项目：看动物表演5元。 （3）如果每个项目都玩1次，加上车费和门票，可以向家长至少要的钱数（划船一定要4人1组，不能单独玩）： 3+2+1+5+9=20（元） 答：如果你准备去，准备向家长至少要20元钱，这些钱可以出来开支车费和门票外，每个项目都可以玩1次。 4.答案： （1）去时可坐火车到北京，返程时可坐飞机。 （2）在北京的五天四晚的路线安排: 第一天:根据抵达时间安排接站，安排入住酒店。第二天:天安门广场+毛主席纪念堂+故宫博物馆+恭王府+ 什刹海 第三天:升国旗仪式+八达岭长城+奥林匹克(鸟巢、水立方) 第四天:颐和园+圆明园+天坛公园+清华大学 第五天:根据返程时间安排送站。 (答案不唯一，合理即可) 解析：本题考查的知识点是多样的交通方式、介绍北京。结合对相关知识点的综合性学习分析完成。 【解析】 （1）可结合妈妈、爸爸及小明的不同需求设计。如去时可坐火车去北京这样既节省了交通成本，也满足了妈妈的愿望。返程时，可坐飞机，满足了小明的愿望。结合对北京的了解，简要介绍下北京著名的景点。 答:(1)去时可坐火车到北京，返程时可坐飞机。 （2）在北京的五天四晚的路线安排: 第一天:根据抵达时间安排接站，安排入住酒店。 第二天:天安门广场+毛主席纪念堂+故宫博物馆+恭王府+什刹海第三天:升国旗仪式+八达岭长城+奥林匹克(鸟巢、水立方) 第四天:颐和园+圆明园+天坛公园+清华大学 根据返程时间安排送站。(答案不唯一，合理即可)第五天: 【点评】此题为实践题目，要结合每人的要求及不同交通方式的特点完成。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$