1.1 等腰三角形 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 1.1 等腰三角形 暑假巩固 一、等边三角形的性质综合 1.如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　） A.60° B.45° C.40° D.30° 2.如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　） A.△ABD≌△EBC B.△NBC≌△MBD C.DM=DC D.∠ABD=∠EBC 3.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD，BE交于点F，则∠AFB等于（　　） A. 50° B. 60° C. 45° D. ∠BCD 4.如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是_____________度． 5.如图，△ABE和△ACD都是等边三角形，若BO+OC=m，OE+OD=n，则BD的长为　      　．（用含m，n的式子表示） 6.已知，如图，△ABC是等边三角形，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：BF=CF+CE． 7.已知如图所示，在等边△ABC和等边△ADE中，点B，A，D在一条直线上，BE，CD交于F． （1）求证：△BAE≌△CAD； （2）求∠BFC的大小； （3）在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，此时BE交CD的延长线于点F，其他条件不变，得到图2所示的图形，请直接写出（1）（2）中结论是否仍然成立． 二、含30°角的直角三角形与等腰三角形 1.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，连接CE交AD于点H，则图中的等腰三角形有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(　　) A.2个 B.4个 C.5个 D.6个 3.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ） A.3cm B.6cm C.3cm D.6cm 4.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥AB，交BC于点D，且∠CAD=30°，CD=3，则BD=            ． 5.一个等腰三角形的顶角是120º，底边上的高线长是1cm，则它的腰长是            cm． 6.某幼儿园有一块等腰三角形菜地，AB＝AC＝10 m，∠C＝75°，现如今要将它划分为两块面积相等的菜地给大一班和大二班进行蔬菜种植，若点D为AB的中点，连接CD．求△ACD的面积． 7.如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=BC. 三、等腰三角形与平行线性质 1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为BC上一点，DE∥AC交AB于E，则∠BED的度数为（　　） A.140° B.80° C.100° D.70° 2.如图，在△ABC中，AB=AC，过A点作AD∥BC，若∠BAD=110°，则∠BAC的大小为（　　） A.30° B.40° C.50° D.70° 3.如图，AD∥BC，AC=BC，∠B=65°，则∠DAC的度数为（　　） A.50° B.25° C.60° D.65° 4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC=          °． 5.如图，a∥b，∠ABC=50°，若AB=AC，则∠α=      °. 6.如图，AC与BD相交于点O，OA=OB，AB∥CD.求证：∠C=∠D． 7.如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB交AB于点D，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠E=36°，求∠B的度数． 四、反证法 1.用反证法证明一个命题的结论“a＜b”时应假设（　　） A.a＞b B.a≤b C.a=b D.a≥b 2.用反证法证明“若a＜3，则a2＜9”时，应假设（　　） A.|a|≥3 　 B.|a|＞3 C.a2≥9 　 D.a2＞9 3.用反证法证明：若abc=0，则a,b,c至少有一个为0，应该假设（　　） A.a,b,c没有一个为0 B.a,b,c只有一个为0 C.a,b,c至多一个为0 D.a,b,c三个都为0 4.用反证法证明“如果|a|＞a,那么a＜0”是真命题时，第一步应先假设        ． 5.用反证法证明：“等腰三角形的底角必是锐角”的第一步反设是：           ． 6.小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a,b,c在同一平面内，a∥c,b∥c, 求证：a∥b． 证明： 7.数学课上，学生提出如何证明以下问题． 如图，AB∥CD．求证：∠B+∠E+∠D=360°． 老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下： 证明：假设∠B+∠E+∠D≠360°， 如图，延长BE交CD的延长线于点F，G为DF延长线上一点． ​ ∵AB∥CD， ∴∠ABF=∠EFG． ∵∠ABE+∠BED+∠CDE≠360°， ∴∠BED+∠CDE+∠EFG≠360°， 这与“_____”相矛盾， ∴假设不成立， ∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°． 以上证明过程中，横线上的内容应该为________________________． 五、等腰三角形与三角形内角和 1.如图，∠BOC=8°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…，这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=60°，则∠C的度数为（　　） A.60° B.30° C.35° D.40° 3.如图，在△ABC中，AB=AC，DB=BC，∠B=70°，∠ACD的度数为（　　） A.10° B.15° C.25° D.30° 4.在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC=            °． 5.等腰三角形的一个外角是60°，则其底角是            . 6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DE=EB，BD=BC，试求∠A的度数． 7.在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，一含30°角的三角板如图放置（一直角边与BC边重合，斜边经过△ABC的顶点A），求∠α的度数. 六、等边三角形的性质和等腰三角形的判定 1.如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中除△ABC外等腰三角形的个数是（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 2.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（　　） ①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°． A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（　 　） A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a 4.已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①　            　；②　            　；③　                       ；④　            ． 5.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是　         ． 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求BC的长． 7.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD． （1）求∠BAD和∠BDE的度数； （2）求证：AD=DE． 七、含30°角的直角三角形与等边三角形 1.如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长为（ ） A.2 B.3 C.1 D.8 2.在△ABC中，∠C=90°，AB=10，点D在AB上，且△ADC是等边三角形，则AD的长是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 3.如图，△ABC为等边三角形，BD为∠ABC的平分线，交AC于D，DE⊥BC，垂足为E，若EC=1cm，则AB的长度为（　　） A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 4.如图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D．若△ABC的周长为12，则CD=         cm． 5.如图，在等边三角形ABC中AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BE=2，则AF=　     　． 6.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，求线段AB的长. 7.已知，如图，等边△ABC中，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ． 八、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 1.如图，D是等边△ABC的边AB上的一点，CD=BE，∠1=∠2，则△ADE是（　　） A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 2.等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（　　） A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰但非等边三角形 3.P为∠AOB内一点，∠AOB=30°，P关于OA，OB的对称点分别为M，N，则△MON定是（　　） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.一个等腰三角形的一条边长为7，一个外角为120°，则这个三角形的周长为　            　． 5.如图，AD是等腰直角三角形ABC斜边上的中线，P是DA的延长线上的一点，当∠PBA=_____________时，△PBC是等边三角形． 6.已知，如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E． （1）求证：AD=AE． （2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由． 7.如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE，DE，使EC=DE.求证：△ABC是等边三角形． 九、等边三角形和等腰三角的性质 1.如图，△ABC中，AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为（　　） A.75° B.80° C.70° D.85° 2.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知等腰三角形的周长为40cm，以一腰为边作等边三角形，其周长为45cm，则等腰三角形的底边长是（　　） A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm 4.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度． 5.如图，△ABC为等边三角形，以AC为直角边作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°，则∠CBD=____________°． 6.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE=40°，BE=DE，求∠CED的度数． 7.如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．试探究BM，MN，CN之间的数量关系，并加以证明． 十、定义法判定等腰三角形 1.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A，B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.如图，直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　     　个． 5.在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有       个． 6.如图，线段AB的一个端点B在直线m上，若直线m上存在点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C有多少个？ 7.已知∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.求证：AB＝AC. 十一、等腰三角形的判定与三角形内角和 1.如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，给出以下条件，不能判定其是等腰三角形的是（　　） A.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶3 B.a∶b∶c=2∶2∶1 C.∠B=50°，∠C=80° D.2∠A=∠B+∠C 4.在△ABC中，∠A=100°，当∠B=　            　°时，△ABC是等腰三角形． 5.如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A=          　时，△AOP为等腰三角形． 6.如图，∠ACB=90°，AC=AD，DE⊥AB，求证：△CDE是等腰三角形． 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 十二、等腰三角形判定与角平线、平行线综合 1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(　　) A.BC＝EC B.EC＝BE C.BC＝BE D.AE＝EC 2.如图，若AD平分∠BAC，AD∥EC，则下列三角形中是等腰三角形的为(　　) A.△ABD B.△ACD C.△ACE D.△ABC 3.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD，CF都是高，相交于点P，角平分线BE分别交AD，CF于Q，S，则图中的等腰三角形个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝________. 5.如图，已知∠A＝36°，BD平分∠ABC，∠C＝72°，则∠DBC＝________，∠BDC＝________，图中的等腰三角形有______________________． 6.已知，如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE∥BC．求证：△ABC是等腰三角形． 7.如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B=40°，求∠AGC的度数． 十三、定义判定等边三角形 1.已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣b）2+ +|c2﹣64|=0，则三角形的形状是（　　） A.底和腰不相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 2.用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（　　） A.39 B.27 C.24 D.25 3.三角形中任意一角的平分线都是这角对所边上的中线，对这个三角形最准确的判断是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 4.在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为　            　． 5.如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出______个． 6.如图，AD∥BC，且DB平分∠ADC． （1）求证：DC=BC； （2）如果∠C∶∠ADC=1∶2，求证：△CDB是等边三角形． 7.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论． 十四、等腰三角形的三线合一 1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，则下列结论不正确的是（　　） A.BD=DC B.CE=AE C.∠BAD=∠CAD D.∠CBE=∠DAC 2.等腰三角形的对称轴是（　　） A.顶角的平分线 B.底边上的高 C.底边上的中线 D.底边上的高所在的直线 3.如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠CAB，则下列结论中：①AD⊥BC；②AD=BC；③∠B=∠C；④BD=CD．正确的有（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 4.如图，△ABC的周长为16，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为12，那么AD的长为____________． 5.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，AD平分∠BAC，则BD=____________． 6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD． 7.如图①，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC. 十五、等边三角形中的三线合一 1.等边三角形角平分线、中线和高的条数共为（　　） A.3 B.5 C.7 D.9 2.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° 3.在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（　　） A.4 B.8 C.16 D.32 4.如图，等边△ABC中，AD为高，若AB=6，则CD的长度为　      　． 5.如图，等边△ABC周长是12，AD是∠BAC的平分线，则BD=　     　． 6.如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD． 7.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE. 十六、等边三角形的三个角都等于60° 1.已知如图，等边△ABC中，D是AB上一点，∠EDF=60°，则∠AED等于（　　） A. ∠B B. ∠BFD C. ∠ADE D. ∠BDF 2.如图，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2等于（　　） A.60° B.90° C.120° D.180° 3.如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　） A.100° B.80° C.60° D.40° 4.点D为等边三角形内部一点，∠DCB=∠ABD，则∠BDC的度数为　       　． 5.三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=　       　°． 6.如图，等边△ABC，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度数． 7.如图，△ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，∠BQM等于多少度？ 北师大版八年级下册 1.1 等腰三角形 暑假巩固（参考答案） 一、等边三角形的性质综合 1.如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　） A.60° B.45° C.40° D.30° 【答案】A 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，∴AB=BC=AC，在△ABD和△CAE中，BD=AE，∠ABD=∠CAE，AB=AC，∴△ABD≌△CAE，∴∠BAD=∠ACE，又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，∴∠ACE+∠DAC=60°，∵∠ACE+∠DAC+∠AFC=180°，∴∠AFC=120°，∵∠AFC+∠DFC=180°，∴∠DFC=60°．故选A． 2.如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　） A.△ABD≌△EBC B.△NBC≌△MBD C.DM=DC D.∠ABD=∠EBC 【答案】C 【解析】A.可以利用SAS验证，正确； B.可以利用AAS验证，正确； C.可证∠MBN=60°，若DM=DC=DB，则△DMB为等边三角形，即∠BDM=60°∵∠EAB=∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM=∠EAD=60°．与已知不符，错误； D.可由∠ABE，∠DBC同加一个∠DBE得到，正确．所以错误的是第三个．故选C． 3.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD，BE交于点F，则∠AFB等于（　　） A. 50° B. 60° C. 45° D. ∠BCD 【答案】B 【解析】∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，设AD与BC相交于P点，在△ACP和△BFP中，有一对对顶角，∴∠AFB=∠ACB=60°．故选B． 4.如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是_____________度． 【答案】60 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD=∠C，AB=BC，在△ABD与△BCE中，AB=BC，∠ABD=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=60°．故答案为：60． 5.如图，△ABE和△ACD都是等边三角形，若BO+OC=m，OE+OD=n，则BD的长为　      　．（用含m，n的式子表示） 【答案】（m+n） 【解析】∵△ABE和△ACD都是等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，∴∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，EA=BA，∠EAC=∠BAD，AC=AD，∴△EAC≌△BAD，∴EC=BD，∵BO+OC=m，OE+OD=n，∴BO+OC+OE+OD=m+n，∴EC+BD=m+n，∴BD=（m+n）． 6.已知，如图，△ABC是等边三角形，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于F，求证：BF=CF+CE． 【答案】证明 过点D作DM∥AC交BC于M， 则△BDM∽△BAC， ∵△ABC是等边三角形，∴△BDM是等边三角形， ∴BD=BM=DM， ∵BD=CE， ∴BM=DM=CE，∵DM∥AC， ∴∠MDF=∠E， 在△DMF和△ECF中，∠MDF=∠E，∠DFM=∠EFC，DM=EC， ∴△DMF≌△ECF（AAS），∴FM=CF， ∴BF=BM+FM=CF+CE． 7.已知如图所示，在等边△ABC和等边△ADE中，点B，A，D在一条直线上，BE，CD交于F． （1）求证：△BAE≌△CAD； （2）求∠BFC的大小； （3）在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，此时BE交CD的延长线于点F，其他条件不变，得到图2所示的图形，请直接写出（1）（2）中结论是否仍然成立． 【答案】（1）证明 ∵等边△ABC和等边△ADE，∴AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=60°，∴∠CAE=60°，∠BAE=∠CAD=120°，∴△BAE≌△CAD． （2）解 ∵△BAE≌△CAD，∴∠ADC=∠AEB，∵∠BFC=∠ABE+∠ADC，∴∠BFC=∠ABE+∠AEB=180°﹣∠BAE=60°． （3）解 成立．∵等边△ABC和等边△ADE，∴AE=AD，AC=AB，∠BAE=∠CAD=60°，∴△BAE≌△CAD，∵∠CDA=∠AEB，∴∠ABE+∠BDF=∠ABE+∠CDA=∠ABE+∠AEB=180°﹣∠BAE=180°﹣60°=120°，∴∠ABE+∠BDF=120°，∠BFC=180°﹣（∠ABE+∠BDF）=60°． 二、含30°角的直角三角形与等腰三角形 1.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，连接CE交AD于点H，则图中的等腰三角形有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】B 【解析】∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是角平分线，∴∠CAD=∠BAD=30°，∴AD=BD．∴△ABD是等腰三角形．∵AD是角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，∴CD=ED，∴AC=AE，∴△CDE，△ACE是等腰三角形；又△CEB也是等腰三角形，显然此图中有4个等腰三角形．故选B． 2.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直线BC或射线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有(　　) A.2个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】C 【解析】根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造AB的中垂线；②以B为圆心，BA长为半径作圆；③以A为圆心，AB长为半径作圆；他们与直线BC或射线AC的交点即是点P，故符合条件的点P有5个． 3.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ） A.3cm B.6cm C.3cm D.6cm 【答案】D 【解析】如图，过点C作CD⊥AD，∴CD=3cm， 在直角三角形ADC中，∵∠CAD=30°，∴AC=2CD=2×3=6 (cm)， 又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB=AC=6(cm)，∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，∴BC=6cm．故选：D． 4.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥AB，交BC于点D，且∠CAD=30°，CD=3，则BD=            ． 【答案】6 【解析】∠CAD=30°，AD⊥AB，可得∠CAB=120°；由AB=AC可得∠B=∠C=30°，所以∠CAD=∠C=30°．所以CD=AD=3，在Rt△ABD中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2AD=6． 5.一个等腰三角形的顶角是120º，底边上的高线长是1cm，则它的腰长是            cm． 【答案】2 【解析】∵等腰三角形的顶角是120°，∴等腰三角形的底角是30°，又∵底边上的高线长是1cm，∴它的腰长是2cm． 6.某幼儿园有一块等腰三角形菜地，AB＝AC＝10 m，∠C＝75°，现如今要将它划分为两块面积相等的菜地给大一班和大二班进行蔬菜种植，若点D为AB的中点，连接CD．求△ACD的面积． 【答案】解 过点C作CE⊥AB于点E，如图， ∵AB＝AC＝10 m，∠ACB＝75°， ∴∠ABC＝∠ACB＝75°， ∴∠A＝30°， ∵CE⊥AB， ∴△ACE是直角三角形， ∴EC＝AC＝5(m)， ∵点D为AB的中点， ∴AD＝AB＝5(m)， ∴S△ACD＝×AD×CE＝ (m2)， 即所求的面积为m2. 7.如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E，F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=BC. 【答案】证明 ∵AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠B=∠C= (180°-120°)=30°. 又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°. 在Rt△BDE中，∵∠B=30°, ∴DE=BD. 同理在Rt△CDF中，DF=CD. ∴DE+DF=BD+CD= (BD+CD)= BC. 三、等腰三角形与平行线性质 1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为BC上一点，DE∥AC交AB于E，则∠BED的度数为（　　） A.140° B.80° C.100° D.70° 【答案】C 【解析】∵AB=AC，∠B=40°，∴∠C=40°，∴∠A=180°﹣40°﹣40°=100°，∵DE∥AC，∴∠BED=∠A=100°．故选C． 2.如图，在△ABC中，AB=AC，过A点作AD∥BC，若∠BAD=110°，则∠BAC的大小为（　　） A.30° B.40° C.50° D.70° 【答案】B 【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD∥BC，∠BAD=110°，∴∠C=∠B=180°-110°=70°，∴∠1=∠C=70°，∴∠BAC=∠BAD﹣∠1 =110°﹣70°=40°.故选B． 3.如图，AD∥BC，AC=BC，∠B=65°，则∠DAC的度数为（　　） A.50° B.25° C.60° D.65° 【答案】A 【解析】∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∵AC=BC， ∴∠ACB=∠B，∵∠B=65°，∴∠BAC=65°， ∴∠BCA=50°，∴∠DAC=50°．故选A． 4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC=          °． 【答案】25 【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BAC=130°，∴∠C=（180°-130°）÷2=25°，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠C=25°．故答案为25． 5.如图，a∥b，∠ABC=50°，若AB=AC，则∠α=      °. 【答案】130 【解析】∵AB=AC，∠ABC=50°，∴∠ACB=∠ABC=50°，∵a∥b，∴∠α=130°．故答案为130． 6.如图，AC与BD相交于点O，OA=OB，AB∥CD.求证：∠C=∠D． 【答案】证明 ∵OA=OB，∴∠A=∠B，又∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠C=∠D． 7.如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB交AB于点D，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠E=36°，求∠B的度数． 【答案】解 ∵AE∥DC，∴∠BCD=∠E=36°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠BCD=72°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACD=72°． ∴∠B的度数为72°． 四、反证法 1.用反证法证明一个命题的结论“a＜b”时应假设（　　） A.a＞b B.a≤b C.a=b D.a≥b 【答案】D 2.用反证法证明“若a＜3，则a2＜9”时，应假设（　　） A.|a|≥3 　 B.|a|＞3 C.a2≥9 　 D.a2＞9 【答案】C 3.用反证法证明：若abc=0，则a,b,c至少有一个为0，应该假设（　　） A.a,b,c没有一个为0 B.a,b,c只有一个为0 C.a,b,c至多一个为0 D.a,b,c三个都为0 【答案】A 4.用反证法证明“如果|a|＞a,那么a＜0”是真命题时，第一步应先假设        ． 【答案】a≥0 5.用反证法证明：“等腰三角形的底角必是锐角”的第一步反设是：           ． 【答案】等腰三角形的底角都是直角或钝角 6.小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a,b,c在同一平面内，a∥c,b∥c, 求证：a∥b． 证明： 【答案】证明 假设a,b相交于点A， 则过A点有两条直线a,b都平行于c, 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾， 所以假设是错误的， 所以a∥b. 7.数学课上，学生提出如何证明以下问题． 如图，AB∥CD．求证：∠B+∠E+∠D=360°． 老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下： 证明：假设∠B+∠E+∠D≠360°， 如图，延长BE交CD的延长线于点F，G为DF延长线上一点． ​ ∵AB∥CD， ∴∠ABF=∠EFG． ∵∠ABE+∠BED+∠CDE≠360°， ∴∠BED+∠CDE+∠EFG≠360°， 这与“_____”相矛盾， ∴假设不成立， ∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°． 以上证明过程中，横线上的内容应该为________________________． 【答案】三角形的外角和等于360° 五、等腰三角形与三角形内角和 1.如图，∠BOC=8°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…，这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（　　） A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】C 【解析】由题意可知AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=8°，∴∠A1AA2=（2×8）°，∠A2A1A3=（3×8）°，∠A3A2A4=（4×8）°，∠A4A3A5=（5×8）°，…，∠Ak+1AkAk+2=[（k+2）•8]°．由题意得（k+2）•8＜90，解得k＜9.25，由于k为整数，故k=9，可以画11条线段，n=11．故选C． 2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=60°，则∠C的度数为（　　） A.60° B.30° C.35° D.40° 【答案】B 【解析】∵△ABD中，AB=AD，∠B=60°，∴∠B=∠ADB=60°，∵AD=CD，∴∠C=∠DAC，又∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，∴∠C=×60°=30°.故选B． 3.如图，在△ABC中，AB=AC，DB=BC，∠B=70°，∠ACD的度数为（　　） A.10° B.15° C.25° D.30° 【答案】B 【解析】∵DB=BC， ∴∠BCD＝＝55°， ∵AB=AC，∠B=70°， ∴∠ACB=∠B=70°， ∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-55°=15°. 故选：B． 4.在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC=            °． 【答案】32 【解析】设∠BAC=x，则∠BDC=42°+x． ∵CD=CB，∴∠B=∠BDC=42°+x．∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=42°+x，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=x，∴∠ADC=∠B+∠BCD=42°+x+x=42°+2x．∵∠ADC+∠BDC=180°， ∴42°+2x+42°+x=180°，解得x=32°，所以∠BAC═32°．故答案为32． 5.等腰三角形的一个外角是60°，则其底角是            . 【答案】30° 【解析】当60°的外角在底角处时，则底角=180°﹣60°=120°，因此两底角和为240°＞180°，故此种情况不成立．因此只有一种情况，即60°的外角在顶角处．则底角为60°÷2=30°. 6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DE=EB，BD=BC，试求∠A的度数． 【答案】解   设∠EBD=a，∵AD=DE=BE，BD=BC，AC=AB， ∴∠A=∠AED，∠EBD=∠EDB=a，∠C=∠BDC=∠ABC， ∵∠AED=∠EBD+∠EDB=2∠EBD=2a， ∴∠A=2∠EBD=2a， ∵∠BDC=∠A+∠EBD=3∠EBD=3a， ∴∠C=3∠EBD=3a，∵∠A+∠C+∠ABC=180°， ∴2a+3a+3a=180°，∴a=22.5°． ∴∠A=2a=45°． 7.在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，一含30°角的三角板如图放置（一直角边与BC边重合，斜边经过△ABC的顶点A），求∠α的度数. 【答案】解 如图， ∵AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C ==40°， ∵∠DEF=90°，∠D=30°， ∴∠DFE=90°-∠D=60°， ∵∠DFE是△ACF的一个外角， ∴∠α=∠DFE-∠C=20°. 六、等边三角形的性质和等腰三角形的判定 1.如图，在等边△ABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中除△ABC外等腰三角形的个数是（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】B 【解析】根据已知条件易证△AOB，△AOC，△BOC，△BOD，△COE，△ODE均为等腰三角形．故答案选B． 2.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（　　） ①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD=DE；④∠BDE=120°． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，∴BD平分∠ABC，BD⊥AC；∵∠ACB=∠CDE+∠DEC=60°，又CD=CE，∴∠CDE=∠DEC=30°，∴∠CBD=∠DEC，∴DB=DE．∠BDE=∠CDB+∠CDE=120°， ∴这四项都是正确的．故选：D． 3.如图，△ABC为等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，若△ABC的周长为18，BD=a，则△BDE的周长为（　 　） A.9+a B.12+2a C.12+a D.9+2a 【答案】D 【解析】∵△ABC的周长为18，∴BC=AC=18÷3=6，∵△ABC为等边三角形，BD是中线，∴CD=AC=×6=3，∠CBD=×60°=30°，∵CE=CD，∴∠E=∠CDE=×60°=30°，∴∠CBD=∠E，∴BD=DE，∴△BDE的周长=6+3+a+a=9+2A．故选D． 4.已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出四个正确结论①　            　；②　            　；③　                       ；④　            ． 【答案】①DB=DE　②BD⊥AC　③∠DBC=∠DEC=30°　④△ABD≌△CBD　⑤△DCE∽△BDE　⑥∠CDE=30°　⑦BD平分∠ABC（任写其中四个都可以） 5.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，则∠1的度数是　         ． 【答案】75° 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∵BD=BC，∴AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，∵∠CBD=90°，∴∠ABD=90°+60°=150°，∴∠BDA=15°，∴∠1=90°-15°=75°．故答案为75°． 6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求BC的长． 【答案】解 ∵△ABD是等边三角形， ∴∠B=∠BAD=∠ADB=60°， ∵AB=2，∴BD=AD=2， ∵∠BAC=90°， ∴∠DAC=90°﹣60°=30°， ∵∠ADB=60°， ∴∠C=30°，∴AD=DC=2， ∴BC=BD+DC=2+2=4， ∴BC的长为4． 7.如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD． （1）求∠BAD和∠BDE的度数； （2）求证：AD=DE． 【答案】（1）解 ∵等边三角形三线合一， ∴BD为∠ABC的角平分线， ∴∠BAD=30°，∠ABD=60°， ∵BE=BD，∴∠BDE=∠BED， ∵∠BDE+∠BED=∠ABD， ∴∠BED=∠BDE=30°， ∴∠BAD=∠BDE=30°． （2）证明 ∵∠BAD=∠BDE=30°， ∴AD=DE. 七、含30°角的直角三角形与等边三角形 1.如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长为（ ） A.2 B.3 C.1 D.8 【答案】A 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC．∠BAC=∠C． 又∵AD=CE， ∴△ABD≌△CAE（SAS）． ∴∠ABD=∠CAE． ∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°． ∴∠BPF=∠APD=60°． ∵∠BFP=90°，∠BPF=60°，∴∠PBF=30°． ∴PF=PB=×4=2． 故选A． 2.在△ABC中，∠C=90°，AB=10，点D在AB上，且△ADC是等边三角形，则AD的长是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【解析】∵△ADC是等边三角形，∴∠A=60°，AC=AD，∴∠B=90°﹣60°=30°，∵AB=10，∴AC=AB=×10=5，∴AD=5．故选B． 3.如图，△ABC为等边三角形，BD为∠ABC的平分线，交AC于D，DE⊥BC，垂足为E，若EC=1cm，则AB的长度为（　　） A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 【答案】C 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，∵EC=1cm，∴CD=2EC=2(cm)，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD=CD=2cm，∴AB=AC=AD+CD=4(cm)．故选：C． 4.如图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D．若△ABC的周长为12，则CD=         cm． 【答案】2 【解析】∵等边△ABC的周长为12cm， ∴AC=12÷3=4(cm)，∠BAC=60°， ∵DC∥AB， ∴∠ACD=∠BCA=60°，∵AD⊥CD， ∴∠CAD=90°-∠ACD=90°-60°=30°， ∴CD=AC=2(cm)． 5.如图，在等边三角形ABC中AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BE=2，则AF=　     　． 【答案】6 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°，又DE⊥AB， ∴∠BDE=30°， ∴BD=2BE=4，∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，∠BAD=30°， ∴AB=2BD=8，∴AE=6， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴AF=AE=6． 故答案为：6． 6.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，求线段AB的长. 【答案】解 ∵直尺的两对边相互平行， ∴∠ACB=∠α=60°， ∵∠A=60°， ∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=180°-60°-60°=60°， ∴∠A=∠ABC=∠ACB， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=3-1=2（cm）． 7.已知，如图，等边△ABC中，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ． 【答案】证明 ∵△ABC为等边三角形， ∴∠C=∠ABC=60°，AB=BC， ∵AE=CD，AC=BC，∴EC=BD； 在△BEC与△ADB中，EC=DB，∠C=∠ABC，AB=BC， ∴△BEC≌△ADB（SAS）， ∴∠EBC=∠BAD； ∵∠ABE+∠EBC=60°，则∠ABE+∠BAD=60°， ∵∠BPQ是△ABP外角， ∴∠ABP+∠BAP=60°=∠BPQ， 又∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ． 八、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 1.如图，D是等边△ABC的边AB上的一点，CD=BE，∠1=∠2，则△ADE是（　　） A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 【答案】C 【解析】因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC=60°．又因为CD=BE，∠1=∠2，且AC=AB，所以△ADC≌△AEB，所以AD=AE，∠EAD=∠CAB=60°，所以△ADE为等边三角形．故选C． 2.等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（　　） A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰但非等边三角形 【答案】A 【解析】如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠AEF=∠DEC=90°﹣∠C，∠F=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠F，∴AE=AF，又∠BAC=120°，∴∠FAE=60°．∴△AEF是等边三角形．故选A． 3.P为∠AOB内一点，∠AOB=30°，P关于OA，OB的对称点分别为M，N，则△MON定是（　　） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【答案】A 【解析】根据题意画出草图，∵P关于OA，OB的对称点分别为M，N，∴AO⊥MP，PO=OM，BO⊥PN，OP=ON，∴△POM为等腰三角形，△PON为等腰三角形， ∴∠MOE=∠POE，∠POF=∠FON，OM=OP=ON，又∵∠AOB=30°， ∴∠POE+∠POF=30°，∴∠MOE+∠FON=30°，∴∠MON=60°，又∵MO=ON， ∴△MON为等边三角形．故选A． 4.一个等腰三角形的一条边长为7，一个外角为120°，则这个三角形的周长为　            　． 【答案】21 【解析】∵等腰三角形一个外角为120°，则内角为60°，∴该三角形为等边三角形．从而知周长为3×7=21．故答案为21． 5.如图，AD是等腰直角三角形ABC斜边上的中线，P是DA的延长线上的一点，当∠PBA=_____________时，△PBC是等边三角形． 【答案】15° 【解析】当∠PBA=15°时，△PBC是等边三角形，理由如下：∵AD是等腰直角三角形ABC斜边上的中线，∴∠ABC=45°，BD=DC，AD⊥BC，∴PB=PC，∵∠PBA=15°，∴∠PBC=60°，∴△PBC是等边三角形，故答案为：15°. 6.已知，如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E． （1）求证：AD=AE． （2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明 ∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°，∵AE⊥AB， ∴∠E=90°=∠ADB， ∵AB平分∠DAE， ∴∠1=∠2， 在△ADB和△AEB中，∠ADB=∠E，∠1=∠2，AB=AB， ∴△ADB≌△AEB（AAS）， ∴AD=AE． （2）解 △ABC是等边三角形． 理由：∵BE∥AC，∴∠EAC=90°， ∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴∠1=∠2=∠3=30°， ∴∠BAC=∠1+∠3=60°， ∴△ABC是等边三角形． 7.如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE，DE，使EC=DE.求证：△ABC是等边三角形． 【答案】证明 如图，延长BD至F，使DF=BC，连接EF，∵EC=ED，∴∠ECD=∠EDC，∴∠ECB=∠EDF，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴BE=EF，∠B=60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE=BF，∵AE=BD，∵BC=DF，∴AE=CF，∴AB=BC，∴△ABC是等边三角形． 九、等边三角形和等腰三角的性质 1.如图，△ABC中，AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为（　　） A.75° B.80° C.70° D.85° 【答案】B 【解析】∵AB=AC，以AB，AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，∴∠ABC=∠ACB，AE=AD，∠AEB=∠ADC=60°，∠3=∠4=60°，∵∠EDC=40°，∴∠1=∠2=40°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠ABC=360°，∴2∠ABC=360°﹣40°﹣40°﹣60°﹣60°=160°，∴∠ABC的度数为80°．故选：B． 2.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和高重合，故本选项错误，②等腰三角形两腰上的高相等，正确；③等腰三角形的最小边不一定是底边，故本选项错误；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，正确；⑤等腰三角形不一定是锐角三角形，故本选项错误；其中正确的有2个．故选B． 3.已知等腰三角形的周长为40cm，以一腰为边作等边三角形，其周长为45cm，则等腰三角形的底边长是（　　） A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm 【答案】B 【解析】∵等边三角形的周长为45cm，∴其边长为15cm，∵等腰三角形的周长为40cm，∴其底边长=40﹣（15×2）=10(cm)．故选B． 4.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝__________度． 【答案】15 【解析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB＝60°，因为DF＝DE，所以∠EFD＝∠E,又CG＝CD，所以∠CGD＝∠CDG=2∠E,所以∠ACB＝2∠CDG =4∠E =60°，所以∠E =15°． 5.如图，△ABC为等边三角形，以AC为直角边作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°，则∠CBD=____________°． 【答案】15 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，∵△ACD是等腰直角三角形，∴AC=CD，∴BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=150°，∴∠CBD=15°．故答案为：15． 6.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE=40°，BE=DE，求∠CED的度数． 【答案】解 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵∠ABE=40°，∴∠EBC=∠ABC ﹣∠ABE=60°﹣40°=20°，∵BE=DE， ∴∠D=∠EBC=20°， ∴∠CED=∠ACB﹣∠D=40°． 7.如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．试探究BM，MN，CN之间的数量关系，并加以证明． 【答案】解 BM+CN=NM．证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE，∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，∴∠BCD=30°，∴∠ABD=∠ACD=90°，即∠ABD=∠DCE=90°，∴在Rt△DCE和Rt△DBM中，∵BD=CD，BM=EC，∴Rt△DCE≌Rt△DBM，∴∠BDM=∠CDE，又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，∴∠MDN=∠NDE=60°，在△DMN和△DEN中，∵ DM=DE，∠MDN=∠NDE，DN=DN，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴NM = EN，即NM =CE+CN，∴BM+CN=NM． 十、定义法判定等腰三角形 1.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A，B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】如图，分情况讨论． ①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个； ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个． 因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有2个．故选B． 2.如图，直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论： ①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个； ②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个； ③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，1+1+2=4． 故选D． 3.如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 【答案】D 【解析】∵△ADB≌△ADC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．故选D． 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有　     　个． 【答案】6 【解析】如图，①AB的垂直平分线交AC一点P1（PA=PB），交直线BC 于点P2； ②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2（此时AB=AP）； ③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）． 故符合条件的点有6个．故答案为6． 5.在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有       个． 【答案】3 【解析】第一图，由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确． 第二图，由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误． 第三图，由作图可知BA=BD可推出BD=CD=AD，即△ADC是等腰三角形，故正确． 第四图，由作图可知DA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确． 故答案为3 6.如图，线段AB的一个端点B在直线m上，若直线m上存在点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C有多少个？ 【答案】解 如图， 分三种情况： 当BA=BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交直线m于点C1，C2， 当AB=AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交直线m于点C3， 当CA=CB时，作AB的垂直平分线交直线m于点C4， 综上所述，使△ABC为等腰三角形，这样的点C有4个. 7.已知∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.求证：AB＝AC. 【答案】证明 ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)． 而已知∠1＝∠2， ∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC(等角对等边)． 十一、等腰三角形的判定与三角形内角和 1.如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 2.如图，∠A=36°，∠ADB=108°，则图中共有等腰三角形（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】∵∠A=36°，∠ADB=108°，∴∠ABD=36°， ∴AD=BD，即△ABD是等腰三角形． 而△ABC及△BDC无法证明是等腰三角形． 故选A． 3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a，b，c，给出以下条件，不能判定其是等腰三角形的是（　　） A.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶3 B.a∶b∶c=2∶2∶1 C.∠B=50°，∠C=80° D.2∠A=∠B+∠C 【答案】D 【解析】A.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶3，∴∠A=∠B，故A是等腰三角形； B.a∶b∶c=2∶2∶1，∴a=b，故B是等腰三角形； C.∠B=50°，∠C=80°，∴∠A=∠B=50°，故C是等腰三角形； D.2∠A=∠B+∠C，∠A=60°，∠B+∠C=120°，故D不一定是等腰三角形．故选：D． 4.在△ABC中，∠A=100°，当∠B=　            　°时，△ABC是等腰三角形． 【答案】40 【解析】∵△ABC是等腰三角形，∠A=100°，∴∠B=(180°-100°)÷2=40°．故答案为：40． 5.如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=30°，当∠A=          　时，△AOP为等腰三角形． 【答案】30°或75°或120° 【解析】当点O为等腰三角形顶点时，∠A=75°，当点A为等腰三角形顶点时，∠A=120°，当点P为顶点时，∠A=30°，故答案为30°或75°或120°． 6.如图，∠ACB=90°，AC=AD，DE⊥AB，求证：△CDE是等腰三角形． 【答案】证明 ∵DE⊥AB， ∴∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠ACB．∵AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC， ∴∠ECD=∠EDC， ∴CE=DE，即△CDE是等腰三角形． 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 【答案】证明 ∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠EAC+∠CEF=90°， ∵CD是AB边上的高，∴∠BAE+∠DFA=90°， ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠BAE=∠EAC， ∴∠CEF=∠DFA，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF， ∴△CEF是等腰三角形． 十二、等腰三角形判定与角平线、平行线综合 1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(　　) A.BC＝EC B.EC＝BE C.BC＝BE D.AE＝EC 【答案】C 【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A＝90°， ∴∠BCD＝∠A. ∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE. 又∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BC＝BE. 2.如图，若AD平分∠BAC，AD∥EC，则下列三角形中是等腰三角形的为(　　) A.△ABD B.△ACD C.△ACE D.△ABC 【答案】C 【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵AD∥EC，∴∠AEC=∠BAD，∠ACE=∠DAC，∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC，∴△ACE是等腰三角形．故选C． 3.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD，CF都是高，相交于点P，角平分线BE分别交AD，CF于Q，S，则图中的等腰三角形个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD，CF都是高，∴∠DAC=45°，∴CD=AD，∴△ADC为等腰直角三角形， ∴∠BAD=30°，∴∠APF=60°，∵∠ABC=60°，且BE是∠ABC的角平分线， ∴∠QBD=30°，∴∠BQD=60°，∴SP=SQ， ∴△QSP为等腰三角形，∵∠BAD=EBA=30°， ∴△QAB是等腰三角形，∵∠ABE=30°，∠AEB=∠EBC+∠ACD=30°+45°=75°， ∴∠BAC=180°﹣30°﹣75°=75°，∴∠BAC=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形， ∵∠SBC=∠SCB=30°， ∴△SBC是等腰三角形．故选D． 4.如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝________. 【答案】3 5.如图，已知∠A＝36°，BD平分∠ABC，∠C＝72°，则∠DBC＝________，∠BDC＝________，图中的等腰三角形有______________________． 【答案】36°　72°　△ABC，△DBA，△BCD 6.已知，如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE∥BC．求证：△ABC是等腰三角形． 【答案】证明 ∵AE∥BC，∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C， ∵AE是△ABC外角的平分线，∴∠DAE=∠EAC， ∴∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形． 7.如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B=40°，求∠AGC的度数． 【答案】（1）证明 ∵AF平分∠DAC， ∴∠DAF=∠CAF， ∵AF∥BC， ∴∠DAF=∠B，∠CAF=∠ACB， ∴∠B=∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形． （2）解 ∵AB=AC，∠B=40°， ∴∠ACB=∠B=40°， ∴∠ACE=140°， ∵CG平分∠ACE， ∴∠ACG＝∠ACE=70°， ∵AF∥BC， ∴∠AGC=180°-∠BCG=180°-40°-70°=70°． 十三、定义判定等边三角形 1.已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足（a﹣b）2+ +|c2﹣64|=0，则三角形的形状是（　　） A.底和腰不相等的等腰三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 【答案】B 【解析】由（a﹣b）2++|c2﹣64|=0得a﹣b=0，b﹣8=0，c2﹣64=0，又a，b，c是三角形的三边长，∴a=8，b=8，c=8，所以三角形的形状是等边三角形．故选：B． 2.用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（　　） A.39 B.27 C.24 D.25 【答案】B 【解析】设增加x个小木棒时拼成13个等边三角形．1+=13，x=24，24+3=27．故选B． 3.三角形中任意一角的平分线都是这角对所边上的中线，对这个三角形最准确的判断是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【答案】C 【解析】如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF．∵AD是中线，∴BD=CD．∴Rt△BDE≌Rt△CDF．∴∠B=∠C．∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．等边三角形是一特殊的等腰三角形，所以等边三角形中任意一角的平分线都是这角所对边上的中线．故选：C． 4.在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为　            　． 【答案】8 【解析】连接相邻的点，图中等边三角形有△ABD，△BCE，△BDE，△DFG，△DEG，△EGH， △BFH，△ACG，共8个，故答案为8． 5.如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出______个． 【答案】2 【解析】最多可作2个位置不同的等边三角形，如图． 6.如图，AD∥BC，且DB平分∠ADC． （1）求证：DC=BC； （2）如果∠C∶∠ADC=1∶2，求证：△CDB是等边三角形． 【答案】（1）证明 ∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠BDC， ∴∠DBC=∠BDC，∴DC=BC． （2）证明 ∵∠ADB=∠BDC， ∴∠BDC∶∠ADC=1∶2， ∵∠C∶∠ADC=1∶2，∴∠BDC=∠C， ∴BD=BC，由（1）可知DC=BC， ∴BD=BC=CD， ∴△CDB是等边三角形． 7.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BD于点D，E是AD延长线上的一点，且BC=BE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论． 【答案】解 △BCE是等边三角形， 理由如下：∵AB =AC，AD⊥BC，∴BD=DC， ∵AD⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°， 又∵ED为公共边， ∴△BDE≌△CDE，∴BE=CE， ∵BC=BE，∴BC=CE=BE， ∴△BCE是等边三角形． 十四、等腰三角形的三线合一 1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，则下列结论不正确的是（　　） A.BD=DC B.CE=AE C.∠BAD=∠CAD D.∠CBE=∠DAC 【答案】B 【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，故A，C正确；∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠CBE=90°﹣∠C，∠DAC=90°﹣∠C，∴∠CBE=∠DAC，故D正确；∵AB≠BC，AD⊥BC，∴CE≠AE．故选B． 2.等腰三角形的对称轴是（　　） A.顶角的平分线 B.底边上的高 C.底边上的中线 D.底边上的高所在的直线 【答案】D 【解析】根据等腰三角形的性质“三线合一”可知，顶角平分线、底边的中线、底边的高所在的直线是等腰三角形的对称轴．故选D． 3.如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠CAB，则下列结论中：①AD⊥BC；②AD=BC；③∠B=∠C；④BD=CD．正确的有（　　） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】①∵△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD平分∠CAB，∴AD⊥BC，故本小题正确； ②∵△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C，∵∠B与∠BAC的大小不能确定，∴AD与BC的长度无法比较，故本小题错误； ③∵△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C，故本小题正确； ④∵△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD平分∠CAB，∴BD=CD，故本小题正确．故选D． 4.如图，△ABC的周长为16，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为12，那么AD的长为____________． 【答案】4 【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC． ∵AB+AC+BC=16，即AB+BD+CD+AC=16，∴AC+DC=8， ∴AC+DC+AD=12，∴AD=4．故答案为：4． 5.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，AD平分∠BAC，则BD=____________． 【答案】4 【解析】∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=BC=4．故答案是4． 6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD． 【答案】证明 ∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD． 7.如图①，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC. 【答案】证明   (1)如图，过点A作AG⊥BC于点G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE. (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC， ∴AF⊥BC. 十五、等边三角形中的三线合一 1.等边三角形角平分线、中线和高的条数共为（　　） A.3 B.5 C.7 D.9 【答案】A 【解析】等边三角形为特殊的等腰三角形，故每个内角的角平分线和其对应边的中线、高线均符合三线合一的性质，故等边三角形角平分线、中线和高的条数共3条．故选A． 2.等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】D 3.在等边△ABC中，已知BC边上的中线AD=16，则∠BAC的平分线长等于（　　） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】C 【解析】∵在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC的平分线长为16．故选C． 4.如图，等边△ABC中，AD为高，若AB=6，则CD的长度为　      　． 【答案】3 【解析】∵等边△ABC中，AB=6，∴AB=BC=6．∵AD⊥BC， ∴CD=BC=3．故答案为3． 5.如图，等边△ABC周长是12，AD是∠BAC的平分线，则BD=　     　． 【答案】2 【解析】∵△ABC是等边三角形，AD是∠BAC的平分线，∴AB=BC=CA，BD=CD，∵等边△ABC周长是12，∴BC=4，∴BD=2．故答案为2． 6.如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE=BD． 【答案】证明 ∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线， ∴AE=AD，AD为∠BAC的角平分线， 即∠CAD=∠BAD=30°， ∴∠BAE=∠BAD=30°， 在△ABE和△ABD中，AE=AD，∠BAE=∠BAD，AB=AB， ∴△ABE≌△ABD（SAS）， ∴BE=BD． 7.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE＝CD.求证：BD＝DE. 【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°. 又CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED. 又∠BCD＝∠CDE＋∠CED， ∴∠CDE＝∠CED＝30°. ∴∠DBC＝∠DEC. ∴BD＝DE(等角对等边)． 十六、等边三角形的三个角都等于60° 1.已知如图，等边△ABC中，D是AB上一点，∠EDF=60°，则∠AED等于（　　） A. ∠B B. ∠BFD C. ∠ADE D. ∠BDF 【答案】D 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵∠EDF+∠BDF+ADE=180°，∠B+∠BDF+∠BFD=180°， ∴60°+∠BDF+∠ADE=60°+∠BDF+∠BFD， ∴∠ADE=∠BFD， ∵∠A+∠ADE+∠AED=∠B+∠BFD+∠BDF=180°，∵∠A=∠B=60°， ∴∠AED=∠BDF．故选D． 2.如图，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2等于（　　） A.60° B.90° C.120° D.180° 【答案】C 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠1+∠2=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°．故选C． 3.如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　） A.100° B.80° C.60° D.40° 【答案】A 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°， ∵∠1=20°，∴∠3=100°，∴∠2=100°．故选A． 4.点D为等边三角形内部一点，∠DCB=∠ABD，则∠BDC的度数为　       　． 【答案】120° 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠DCB=∠ABD，∴∠DBC+∠DCB=60°，∴∠BDC=180°﹣60°=120°．故答案为：120°． 5.三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=40°，则∠1+∠2=　       　°． 【答案】140 【解析】∵图中是三个等边三角形，∠3=40°，∴∠ABC=180°﹣60°﹣40°=80°，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴80°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）=180°，∴∠1+∠2=140°．故答案为：140 6.如图，等边△ABC，∠1=∠2=∠3，求∠BEC的度数． 【答案】解 ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠2=∠3， ∴∠2+∠BCE=∠3+∠BCE=∠ACB=60°，∴∠BEC=180°﹣（∠2+∠BCE）=180°﹣60°=120°． 7.如图，△ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，∠BQM等于多少度？ 【答案】解 ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC. 在△AMB和△BNC中， ∴△AMB≌△BNC(SAS)， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°. 学科网（北京）股份有限公司 $$