第1章 三角形的初步知识 单元测试-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

第1章 三角形的初步知识 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（   ） A．2，2，3 B．2，3，3 C．2，2，4 D．2，3，4 【答案】C 【分析】此题主要考查三角形三边关系，根据三角形三边关系，较短的两边之和必须大于最长的第三边，若两边之和等于或小于第三边，则无法组成三角形． 【详解】A 、2，2，3，较短两边为2和2，和为4，大于第三边3，能组成三角形； B 、2，3，3，较短两边为2和3，和为5，大于第三边3，能组成三角形； C 、2，2，4，较短两边为2和2，和为4，等于第三边4，无法组成三角形； D 、2，3，4，较短两边为2和3，和为5，大于第三边4，能组成三角形． 故选：C． 2．下列命题中的真命题是（    ） A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短 C．若a，b满足，则 D．同位角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断命题真假，垂线段最短，绝对值的意义，平行线的性质，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断A；由垂线段最短可判断B；根据绝对值的意义可判断C；根据平行线的性质可判断D． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； B、垂线段最短，原命题是真命题，符合题意； C、若a，b满足，则，原命题是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 3．椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形稳定性逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，C选项椅子的设计中利用了“三角形稳定性”， 故选：C． 4．如图，是的一个外角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，．根据三角形的外角的性质，即“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，由此求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴． 故选：A 5．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．不能作出的高，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项符合题意． 故选：D． 6．一个三角形的两边长分别为3和5，若第三边的长为奇数，则这个三角形第三边的长不可能为（   ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．先利用三角形三边关系确定第三边长的取值范围，再利用第三边长为奇数，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为和， ∴第三边长， 即第三边长， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为，，， ∴不符合题意， 故选：D． 7．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 8．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质即可得到，求得的长，即可得到的周长． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长 ∵，， ∴的周长； 故选：B 9．如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4或 B．6 C．或1 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．分两种情况分别计算，①若，②若，即可分别求得． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，， 即， 解得， 当时，，， 即，， 解得， 故， 解得， 故的值为或， 故选：A． 10．如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④． 其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．①根据，和，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③证明，根据①的结论，证明结论错误；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【详解】解：①， ， ， ， ， ，故①正确； ②平分， ， 又， ， ， ，故②正确； ③∵， ∴， ， ， 由①得，， ， ；故③错误； ④， 又， ， ，， ∴， ， ，故④正确； 综上分析可知，①②④正确，故B正确． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．如果，那么，这个命题的条件是 ，结论是 ． 【答案】 【分析】本题考查了命题的结果，掌握命题是由题设（条件）和结论组成是关键，根据命题的结果判定即可求解． 【详解】解：如果，那么， ∴这个命题的条件是，结论是， 故答案为：①，② ． 12．如图所示，在中，点在边的延长上，已知，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是关键，根据平行线的性质，角的计算得到，由互余即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 13．如图，中，点D是的中点，，且的面积为8．则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 根据题意可知：是阴影部分的面积的3倍，的面积是的面积的2倍，依此可求解． 【详解】解：点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为8， ∴，， 故答案为： 14．如图，在中，，，，于点A，P，Q两点分别在线段和射线上运动，，则当 时，才能使和全等． 【答案】6或3 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据题意分两种情况讨论，第一种情况是，第二种情况是，继而得到本题答案． 【详解】解：∵和全等，， ∴或， 当时， ∵， ∴， 当时， ∵， ∴， 故答案为：6或3． 15．如图，在中，垂直平分，点为直线上一动点，则周长的最小值是 ．    【答案】11 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 如图：连接，由垂直平分线的性质可得，则周长的为，所以当点和点重合时，此时的周长最小为． 【详解】解：如图：连接，    ∵垂直平分， ∴， ∴周长的为， ∴当点和点重合时，此时的周长最小为． 故答案为：11． 16．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 【答案】①②④ 【分析】此题考查了三角形内角和定理和外角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解． 由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④． 【详解】∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 如图，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴． 故④正确； 综上正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，理解全等三角形的判定是解答关键． 根据题意易得，由平行线的性质得到，然后利用判定三角形全等的“”来求解． 【详解】证明：， ， 即． ， 在和中， ． 18．如图所示，有一个三角形的运动跑道，点和点是两个设置了休息站的特殊位置，现市政府想新规划一条线路，使得点到点的距离与点到点的距离相等且点在跑道上，请你用尺规作图法找出点的位置（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，作线段的垂直平分线交于点E，连接即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 19．如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题． (1)写出所有的真命题：______；（命题写成“______”的形式，用序号表示） (2)请选择一个真命题加以证明． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是选择合适的判定方法证明． （1）根据全等三角形的判定方法选择条件和结论即可； （2）根据选择的条件结合全等三角形的判定方法分别证明即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：选择命题时，证明如下： 在和中，， ， ． 选择命题时，证明如下： 在和中，， ， ． 20．如图，在中，平分，利用圆规和无刻度直尺作出的边上的高（保留作图痕迹）． (1)若，，求的度数； (2)若，，则的度数 ______，的度数 ______（用含和的代数式表示）． 【答案】(1) (2)， 【分析】求出，可得结论； 利用角平分线的定义，三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：图形如图所示． ，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， 的度数为； （2）解：由题意知，， 是角平分线， ， 是高， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查作图基本作图，三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义，三角形的高，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21．已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． (1)若，则的长为 ； (2)若，，求的长； (3)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． （1）直接根据线段垂直平分线的性质求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质得，再求出即可求解； （3）先根据的周长为求出，由线段垂直平分线的性质得，进而可求出的长． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ． 故答案为：3； （2）解：垂直平分， ， ，， ， ． （3）解：的周长为，， ， 垂直平分， ， ． 22．课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； (2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质定理： （1）过点G作，垂足分别为H，M，N，根据角平分线的性质可得，即可求证； （2）过点P作，垂足分别为点E，F，根据角平分线的性质可得，再由角平分线的判定定理可得平分，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 过点G作，垂足分别为H，M，N， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即点G到三边的距离相等； （2）解：如图，过点P作，垂足分别为点E，F， ∵分别是的一个内角及一个外角的平分线，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【答案】（1）三角形内角和等于；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；（2），过程见解析；；（3）． 【分析】此题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，列代数式，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，三角形内角和定理，“八字”模型的应用是解决问题的关键． （1）①甲同学：根据，则，同理得，再根据得； ②乙同学：根据三角形外角性质得，，由此得； （2）①设与交于点，根据角平分线性质得，，则，，在和构成的“八字”模型中，，进而得，在和构成的“八字”模型中，，继而得； ②由①可知：，，进而得； （3）设与交于点，设，，则，，，由得，在和构成的“八字”模型中，，则，进而得，由解得，，在和构成的“八字”模型中，，进而得． 【详解】解：（1）甲同学证明： ，（三角形内角和等于）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明： ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于， 故答案为：三角形内角和等于； 乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）①设于交于点，如图所示： 、分别平分、， ，， ，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， ，， ， 在和构成的“八字”模型中，， ， 故答案为：； ②，， 由①可知：，， ， ， 故答案为：； （3）设与交于点，如图所示： 设，， ，， ，， ， ， ， 在和构成的“八字”模型中，， ，， ， ， 由，解得：，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， 故答案为：． 24．【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点F，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由． 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，求的长． 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3）3.4 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案． 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长、相交于点F， ， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）延长至点H，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， （对顶角相等）， ， ， ； （3）延长、相交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ，， ， ， 因此，的长为3.4． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的初步知识 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列长度的三条线段不能组成三角形的是（   ） A．2，2，3 B．2，3，3 C．2，2，4 D．2，3，4 2．下列命题中的真命题是（    ） A．相等的角是对顶角 B．垂线段最短 C．若a，b满足，则 D．同位角相等 3．椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的一个外角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B．C． D． 6．一个三角形的两边长分别为3和5，若第三边的长为奇数，则这个三角形第三边的长不可能为（   ） A．7 B．5 C．3 D．1 7．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，分别以点A和点B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线，交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（   ） A．4或 B．6 C．或1 D．4 10．如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④． 其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．如果，那么，这个命题的条件是 ，结论是 ． 12．如图所示，在中，点在边的延长上，已知，若，则 ． 13．如图，中，点D是的中点，，且的面积为8．则阴影部分的面积是 ． 14．如图，在中，，，，于点A，P，Q两点分别在线段和射线上运动，，则当 时，才能使和全等． 15．如图，在中，垂直平分，点为直线上一动点，则周长的最小值是 ．    16．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．如图，，，，求证：． 18．如图所示，有一个三角形的运动跑道，点和点是两个设置了休息站的特殊位置，现市政府想新规划一条线路，使得点到点的距离与点到点的距离相等且点在跑道上，请你用尺规作图法找出点的位置（不写作法，保留作图痕迹） 19．如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题． (1)写出所有的真命题：______；（命题写成“______”的形式，用序号表示） (2)请选择一个真命题加以证明． 20．如图，在中，平分，利用圆规和无刻度直尺作出的边上的高（保留作图痕迹）． (1)若，，求的度数； (2)若，，则的度数 ______，的度数 ______（用含和的代数式表示）． 21．已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． (1)若，则的长为 ； (2)若，，求的长； (3)若的周长为，，求的长． 22．课本再现 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． (1)如图1，已知是的角平分线，求证：点G到三边的距离相等； (2)如图2，分别是的一个内角及一个外角的平分线，，连接．若，求的度数． 23．【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 24．【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点F，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】（1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由． 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$